2021年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案.pdf

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1、2021年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）真题及答案 1毕 选 题|时岫是，的A.低阶无穷小B.等价无穷小C.高阶无穷小D.同阶但非等价无穷小正确答案：C参考解析:J。2/_nX7*6 lx，根据阶无穷小的定义.-1）也是 的高阶无穷小.-#0,函数/（X）=x 在*=0处21单选题j I.x=0A.连续且取得极大值B.连续且取得极小值C.可导且导数为零D.可导且导数不为零正确答案：D参考解析:ex-1 ,-I因为/(O)=lim-=lime -=lim -=lim*=4，所以“.”、x x 2x-o 2x 2 函数 f(x)在x=0处可导且导数不为零.3 毕逸题7有一圆柱体,底面半径与高

2、随时间变化的速率分别为2 c m/s,-3 c m /s,当底面半径为1 0 c m,高为5 c m时，圆柱的体积与表面积随时间变化的速率分别为0.A.1 2 5 弘 c m!/s,4 0 n c m2/sB.1 2 5 n c m /s,-4 0 n c m2/sC.-1 0 0 c m3/s,4 0 n c m2/sD.-1 0 0 c m3/s,-4 0 冗 c m /s正确答案：C参考解析：设圆柱体底面半径为r,高为人则曰=2 坐=-3.nt at由体积 V=irr2h,S=21r厂 +27TM,得dt d/2 dh dS A dr c,dr dh丁，1=4 +2irh +2irr 丁

3、，dr dr 山 dr dr代入 r=10,A =5=2,=-3 得=-100IT,=40TT,dr 山 dt dt故该圆柱的体积与表面积随时间变化的速率分别为一】00宣cm3/s.4O7T cm7s.4 单选题7设函数f (x)=a x-bl n x(a o)有2个零点，则b/a的取值范围是().A.(e,+0)B.(0,e)1C.(0,e)1D.(e ,+8)正确答案：A参考解析：/(x)=ax-b In x(a 0),则 x 0 且/(x)=a =X X当6 WO时，则/(x)N O,与题意矛盾.当 b 0 时，令/(x)=0 得x=：,则当工 w(0,?)时 J(x)0.又 lim/(

4、x)=+,lim/(x)=+oc,所以需 包 6 In =6-6 In e.a5 单选题/设函数f (x)=s e c x 在 x=0 处的2次泰勒多项式为l+a x+bx)贝 U ().A.a=l,b=-21B.a=l,b=21C.a=0,b=-21D.a=0,b=2正确答案：D参考解析：由 题 意 得/(x)=sec xtan x J(x)=sec xtan2x+sec x,则 依 据 泰 勒 公 式 得 a=留=力=乌 譬=T-61 单选题 设函数 f (x,y)可微，且 f (x+1,ex)=x(x+l),f (x,x2)=2 x2l n x,则 d f (1,1)=().A.dx+d

5、yB.dx-dyC.dyD.-dy正确答案：C参考解析：将f(x+l,e，)=x(x+l)2两边对x求导得f(x +1 ,e)+/；(x+I,e*)e*=(x+1 )2+2x(x+1).将*=0代入得/；(1/)+/；(1,1)=L 将/(3/)=2 d ln x两边对x求导得f(xtx2)+/z(x,x2),2x=4x In x+2x:,.将x=】代入得2=2.联立解得(1,1)=0/；(1,1)=1,故(lf(111)=dy.7 毕选题7设函数f(x)在区间 0,1上连续，贝3也lim f/f 弛二1)；A.G 2n 2nB.!R 4空)：c四亘D.处 居)：正确答案：B参考解析：由定积分

6、定义得。(x)dx=网这里将区间 0,1分为n等份，即k.上 0，1 1，耳，1 rL I特殊点依次取区间中点-=与 二%=1，I n J I n n J I n J n 2n故U)dx=也口(48 本选题7二次型f (X|,X 2,乂3)=3+乂2)2+&+*3)2-区七1)2的正惯性指数与负惯性指数依次为().A.2,0B.1,1C.2,1D.1,2正确答案：B参考解析：/0 1 I二次型矩阵A=1 2 1,-A 1 1 -A -1 0 1 +A IA-AE|=I 2-A 1 =1 2-A 1I 1 -A 1 1 -A-1 0 1=(A+1)1 2-A I=-A(A +1 )(A-3)=0

7、,1 1 -A则 A 的特征值为-1,0,3,所以正惯性指数与负惯性指数依次为1,1.9 毕逸邀7设三阶矩阵A=(a 1,a 2,a 3),B=(P(,B 2,6 3),若向量组a1，a 2Q 3可以由向量组3,以线性表出，则().A.Ax=O 的解均为B x=O 的解B.ATX=O的解均为BTx=O 的解C.B x=O 的解均为Ax=O 的解D.BTX=O的解均为ATx=O 的解正确答案：D参考解析:因为向量组a”a2,a3o可由向量组氏，3 2,B 3 线性表出，所以存在矩阵C,使得 A=B C,取转置得 CBJ A)对于V a,BTa=0,贝 i j C 的 a=0,即 A，a=0,故

8、BTX=0的解均为A,X=0 的解.A=2io 毕选翦已知矩阵 L10-1、-1 12-5),若下三角可逆矩阵P 和上三角可逆矩阵 Q,可使得P A Q 为对角矩阵,则 P,Q 可以分别取().1 0 O f2-I 0,0C.I-3 2 1 J lo0 I、1 30 121 j正确答案：C参考解析:/1 0 O yPAQ=2-1 0经验证，(-3 2 1 A _/I 0-1 yl 0 1/I 0=01-3 013=01W 0 0 Ao 0 U VO 01式填空题f|x|3-pdx=参考解析：1【解析】|x|3 1 dx=2 J x,3 tlx=1 +8一 k3 .121填空题设函数=y(x)由

9、参数方程厂=y=参考解析：23【解析】1 0-1 yl 0 12-1 1 0 1 31 2-5 A o 0 100，故 C项正确.0/-广 3*1(7 2)Jo1=2e+t +1 确定，则d富2V 14(/-l)e*+X2&-0dy dy dtdx dt dx=4e+4(1-l)e+2t _ 4fe+2t2 e +1ddyd2!dxldx2=d/d/=d(2.=_2_五 市 2e*+1 =2e+T故 近23IM填空题dz设函数 z=z (x,y)由方程(x+1)z+y I nz-arc t an(2 x y)=l 确 定，则社(0.2)参考解析:1【解 析】令 F(x,y,z)=(x+l)z+

10、y I n z-arc t an(2 x y)T,则尸；=2-；好 百，匕=(x +1)+工,将丁=。,=2代入原方程得z =11 +(2xy)x故区.ax M2)-以填空题=1(0.2.1)/(/)已知函数=j产/i n .d ,则国=参考解析：IT 2cos-2 T T【解 析】交换积分次序求解.原区域为X型区域,。=|(-)I 1 Wx W，2,y7 wyW|,将其转化为丫型区域为D=|(z,y)I】於y WWx W/|,所以函数/(/)=dx/jin dy=d y(sin*dx=(y cos-y cos求导得/(，)=?COS-f COS r,则/(:卜-COS .151填空题微分方程

11、y -y=0的通解为参考解析：y=C（e+C2e cosy-x+C 3 1：sin?x（其中,C?，G 为任意常数）【解 析】该微分方程的特征方程为人3 1=0,解得特征根为A|=1,入2 =-y+5 1，入3叵7-T故通解为）=Ge+G e n c o s +Q b 匕sin j x（其中G，G，G为任意常数）.6 填空题X X多项式/(%)=I12 112-11 2x2中r项的系数为XX参考解析:一 5【解 析】x x 2xX-4 X+2-1 01x2-11 x 2-1/（X）=2 1x12 1 x 12-1 1 x2-1 1 x%-5 2-3 11 x 2-1，所以/项的系数为-5.2

12、1x12-1 1 x171简答题求极限lim1 +f e,2dt,、九 1e”一 1 sin x j参考解析:2 2 212简答题已知函数X)C x i1 +x 求曲线y=f (x)的凹凸区间及渐近线.参考解析:由题意知X=-1 为间断点.当 N 0 时/(幻=7 -,则/(幻=r r ZCx)=八 2 0,1 +X(1+X)(1+X)故 y=/(x)在(0,+8)上是凹的.当r。且“T 时 小)=-三，则/,=-寇 奈 了 =-不 匕,当 X 0,故，=/(x)在(-8 ,-1)上是凹的；当-1(工 0 时J (x)=-:2 =/(x)在(-1,0)上是凸的.综上所述，曲线y=/(x)的凹区

13、间为(0,+x),(-x,-1)；凸区间为(-1,0).因为li硕 幻=l i mp =8,所以曲线y=/(外不存在水平渐近线；因 为 工/仃)=Jim 占=8 ,所以X=-1 为曲线y=/(x)的垂直渐近线；因为 a=lim W=lim-；X r=1,6=lim f(x)-x=lim(-%)=-1,X X(1 4*X)t-*1+4)所以y=x-l 为曲线y=/(x)的斜渐近线；又因为 =lim=lim:-r=-1,6=lim/(x)+x=lim(-+/)=1,所以y=-4+1也为曲线y=/(x)的斜渐近线.综上所述，曲线y=/1)有一条垂直渐近线x=-1,两条斜渐近线y=4-1 和 y=-x

14、 +l.191简答题f/(X),1 2 小I-ax=-x -x+C设函数f(x)满足J A 6,L 为曲线y=f(x)(4 W x W 9),记 L的长度为S,L 绕 x 轴旋转所成旋转曲面的面积为A,求 S 和 A参考解析：因为/-x+C,所-x +c)=9 -1,J G 6 丘 6 13故/(4)=4-xr G j(x)=_；为由s=JA/1+/*()ia=J /1 +W-y x-j d.rA =(2硕工)/l+fx)2 dx =-石)、,/l +(?)-；”)dr=y-ir J (x-3 V )(+y-x j0)是微分方程x y 6 y=-6 满足条件y (白)=1 0 的解.(I)求

15、y (x)；(I I)设 P 为曲线y=y (x)上一点，记曲线y=y (x)在点P的法线在Y 轴上的截距为当 L最小时，求点P的坐标.参考解析：(I)由题意知，-9 二-则y=J 也 (J-dx+C)=e6,n*(J e-6 d x+C)=x6(J-6 x d x+C)=x6(x-6+C)=Cxb+1.由 y(。)=1 0 得 C =，故 (x)=-1-x6+1 (x 0).(H)设点P 的坐标为卜,亲？+i),导数，(工)=2 F.所以点P 处的法线方程为丫-(+/+|)=-(式、-工).令 X=0,则/p=7+y x6+1，=2 x5-l r-J=生令给=0 可得驻点 x=1.又因为斗=

16、(1 0 x4+l Ox*)=2 0 0,d x*i i *I故X=1 为函数唯一的极小值点,必为最小值点，此时点夕的坐标为211简答题设平面区域D由曲线(xz+y2也2-y2(x20,y 2 0)与x轴围成,计算二重积分j j xy d xd y.DX参考解析:s i n 2 伏,o 2?d。1 p .2 t|=s i n G e o s H c o s 2 e d e =4 Jo 8=-1 产 c o s _ 2 9 d c o s 2 tf =-1-cos231 6 Jo 4 81=4 8,221简答题x402 1 0、A=1 2 0设矩阵 11 a M仅有两个不同的特征值，若A相似于对

17、角矩阵，求a,b的值，并求可逆矩阵P,使P P为对角矩阵.参考解析：|A-2 -1 0I AE A I =J A -2 0=（入-6）（入-1）（入-3）.-1-a A -6因为矩阵A仅有两个不同的特征值，所以b=l或b=3.当b=l时，A的特征值为人产入2=1,入3=3.因为A相似于对角矩阵，所以r（EA）=l,E A 二-1 0 0 0,所以 a=1,1 -a 0 -1 ，0、(E-A)x =0的基础解系为a 1=i,a,=0 I 31 当b=3时,A的特征值为储=%=3,A,=I.因为A相似于对角矩阵，所以r(3 E-4)=1,(3E-A)x=0的基础解系为9，一 1、(E-A)x =0的基础解系为4 =1、1 (0-1/3令尸=1 0 1，则 尸-AP=31 /