2021届高三高考数学之真题+模拟重组卷5【含答案】.pdf

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1、2021届高三高考数学之精选真题+模拟重组卷5（一）历年真题精选姓名：班级：得分：注意事项：本试卷满分1 5 0分，考试时间1 2 0分钟.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1 -；1.（2018全国高考真题（文）设2 =+2 i,则|z|=1 +1A.0 B.C.1 D.7 2【答案】C【解析】z =；：+2 i=(1)。-i)(l-i)(l +i)+2 i=i +2 i=i，则|z|=l,故选c.2.（2018全国高考真题（理）已知集合4=（，y）|x 2 +y23,xez，yeZ,则A

2、中元素的个数为（）A.9 B.8 C.5 D.4【答案】A【详解】/x2+y2 3x2 5 0%,所以超过了经济收入的一半，所以D 正确；故选A.8.（2018全国高考真题（理）设 A,C,。是同一个半径为4 的球的球面上四点，口 A 6 c 为等边三角形且其面积为9 6,则 三 棱 锥 A B C体积的最大值为A.1273 B.186 C.2 4 G D.5473【答案】B【详解】如图所示,D点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，当DM，平面ABC时，三棱锥D ABC体积最大此时，OD=OB=R=4,；S ABC=WAB?=9耳/.AB=6,点M为三角形ABC的中心BM=-S E =273

3、3.R/OOMB 中，有 OM=OB?-BM2=2.DM=OD+OM=4+2=6（-ABCL=1X9V3X6=18V3故选B.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.（2021湖南长沙市长郡中学高三二模）设a,h,c都是正数，且4=6=9,那 么（）A.ab+h c-2ac B.ab+bc=acc.2 2 1-=1 cab2 _ j _b a【答案】A D【详解】由于a,b,。都是正数，故可设4 =6 =9=M，a=l o g4 M,b=l o g6 M,c=l o g9 M,则 L =1 0 8 4,7 =l o gi W

4、 6 ,-=l o g,w 9.a b c1 1 2 1 2 1v l o gM 4+l o gi W 9=2 1 o gj W 6 ,-+-=-,即一=-,去分母整理得，ab+bc=2ac.a c b c b a故选A D.10.（2020河北石家庄市正定一中高二期中）设椭圆C:+V=i的左右焦点为，F2,P 是C上的动点,则下列结论正确的是（）A.P Ft +P F2 =2y/2 B.离心率e =C.A P Z K面积的最大值为0 D.以线段耳工为直径的圆与直线x+y-&=0相切【答案】A D【详解】对于A选项，由椭圆的定义可知|P耳|+|P耳=2。=2夜，所以A选项正确.对于B选项，依题

5、意a =0,。=l,c =1 ,所以所以B选项不正确.。,2 2对于C选项，忻g|=2 c =2,当尸为椭圆短轴顶点时，斗鸟的面积取得最大值为:2c=c 3 =l,所以C选项错误.对于D选项，线 段 为 直 径 的 圆 圆 心 为（0,0），半径为c =1,圆心到直线x +y 0 =0的距离为也即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段入为直径的圆与直线x+y-&=0 相切，所以D 选项正确.综上所述，正确的为AD.故选：AD11.(2021山东高三专题练习)如图，正方体-的棱长为1，动点E 在线段4 G 上，尸、分 别 是 AO、Q 9的中点，则下列结论中正确的是()A.FM/A.Q B.平面C

6、G PC.存 在 点&使 得 平 面 8EE平面C G 2。D.三棱锥B-C E E 的体积为定值【答案】ABD【详解】在 A 中，因为F,M分别是A D,C D的中点，所以F M 1 A C H A G,故A 正确；B C C D在 B 中，因为 tanZ B M C=2.tanZ C F D =2,故/B M C =Z C F D,C M F D7T故 Z B M C +Z D C F =N C F D +Z D C F =Q.故 B M L C F、又有 B M ,所以AW，平面CC7,故 B正确;在 C中,8 尸与平面CCQQ有交点，所以不存在点E,使得平面BE F H平面CCQQ，故

7、 C错误.在 D中,三棱锥B-C E F以面BC F为底，则高是定值，所以三棱锥B-C E F的体积为定值，故 D正确.故选：A B D.TT1 2.（2 0 2 0 辽宁大连市 辽师大附中高三月考）设函数鼠幻=5 加”X（0）向左平移一个单位长度得到函数外）,5 6 9已知_/U）在 0,2 元 上有且只有5 个零点，则下列结论正确的是（）A.八 工）的图象关于直线x 对称B./（x）在（0,2 幻上有且只有3 个极大值点，/U）在（0,2 外上有且只有2 个极小值点TTC./（X）在（0,历）上单调递增D.的 取 值 范 围1?是 2看9）【答案】C D【详解】冗JT7T 2 4依题意得

8、f(x)=g(x+)=sin 6 9(x +)=sin(s+),T =,如图:5a)5a)5 C D对.于A ,令人 (oxH T C =k.T C .k-T T 34 t._.j t P C T 占-l _/1%兀H ,k G Z，得X=-1-,Z GZ,所以J(x)的图象关 直或X=-1-5 2 co 106 y co 1 O co(Z eZ)对称，故 A不正确；对于3,根据图象可知，万/，.f（x）在（。，2 万）有.3 个极大值点，/（幻 在（0,2%）有 2个或3个极小值点，故 3不正确,十 一、,兀 、e 7 1 5 2T l 2 4 n 5 万 2万 2 9万对于O，因为乙=-F

9、 -7 =-F -x =-,xB=-F3T=-F3X =-,所以5 G 2 5a)2 co 5co 5 5a)co 5。247r 297T 12 2 9 1兀 ,解得一 gv,所以。正确；5。5 6 9 5 10j r 1 Jr 1 2 7 r 3 y r 3 4 2 9对于C，因为一一土+-T =+-X ,由图可知f(x)在(0,)上递增，因为口 二 3,5a)4 5 4 6 y 10 10 y 10n 3 71 3 7 T所以_L=土_(1一工)l ,即实数？的最小值为1.14 .(2 018全国高考真题(理)已知函数/(x)=2 sin x+sin 2 x,则/(x)的最小值是【答案】当

10、叵2【解析】/(X)=2 cosx +2 cos2 x =4 cos2x +2 cosx-2 =4(cosx +1)c o sx,所以当cosx 5时函数单调增，从而得到函数的减区间为2k7v-,2k7T-(Z e Z),函数的增区 间 为2k7c-,2k7c+-(吐Z),所以当x =2版 时，函数/(x)取得最小值，此时sin r =一 字sin 2 x =-*,所以/（%,=2 x 1一 年）孝=一 ,故答案是一 串.x+1,x 0,2【答案】（一!，+:时，2，+2*1恒 成 立，即%；当时，2 +x g +l l恒成立，即 0 1=X -,即J X 4 O.综 上，X 的取值范|制是（

11、,+）.416.（2 018北京高考真题（文）若D Ab C的 面 积 为 手（/+。2一/）,且 为 钝 角，则N B=；工 的 取 值 范 围 是.a【答案】6 0。（2,+OQ）【详解】a2+c2-b2 sin B D sin B-=,即 C OS B =-j=r-,2ac v 3 v 3s i n B 信兀-=V3,ZB=,cos B 3兀71 N C为钝角，ZB=-,.0 Z A -,3 6tanA G卜韦岛e（+8），唔（2,+00）.故答案为 生，（2,+8）.四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（2018全国高考真题（理）等比数列 4 中，q=l,%=4%.（1）求%的

12、通项公式；（2）记S.为 4 的前八项和.若S,”=6 3,求m.【答案】,=（2广 或aa=2T.（2）m=6.【解析】（1）设伍 的公比为9，由题设得。=/i.由已知得/=4/,解得g=0（舍去），夕=-2或q=2.故 an-（-2）z，或 an=2,_|.（2）若4=（一2广，则S,（；）由s,“=63得（2）=-1 8 8,此方程没有正整数解.若 a“=2 T,则 S=2-1.由 =63得2 =6 4,解得机=6.综 匕m=6.18.（2018天津高考真题（理）在 A BC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知/?sinA =6!C OS B-.I 6J（1）求角B的大小;（

13、2）设 a=2,c=3,求力和sin（2 A-8）的值.【答案】(I )-；(1 1)/7 =77.3 1 4【解析】（I）在 4 8 C中，由 正 弦 定 理a=,可得加讥4 =改 加8,s i n A s i n B71又由 bs i n A=acos I B I,得 as i n B =acos I B -j,6即 s i n B=cos -聿卜可得 tan B =y/3 .又因为Be（O,兀），可得4m.Tl(I I )在 A B C中，由余弦定理及a=2,c=3,B=,3有/=/+/-2accos B=7，故 氏手.由加山A =可得s比/4J3 ,2亍.因为a,3C 的中点，以D F

14、 为折痕把。尸 C折起，使点。到达点。的位置，且 P 尸工(1)证明：平面P E E，平面A 3/7);(2)求O P与平面A B ED所成角的正弦值.【详解】(1)由已知可得，B E 上P F，B E 工E F，又PFpEF=F ,所以8 F_ L平面P E/7.又B F u平面A B F D，所以平面P E F 平面A B F D；(2)作 P H 工E F，垂足为.由(1)得，P _ L平面A B ED.以 为坐标原点，而 的 方向为)轴正方向，|而|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系-冲乙X由（1）可得，D E 上P E.又D P =2,D E =1，所以 P E=.又 P F=1

15、，E F =2,故 P E L P F.可得PH=走,E =32 2则“（0,0,0）,P为平面A B尸。的法向量.设D P与平面A 3 R D所成角为6,则s in。uucr uiH P D Piinw;uu%I研I四3Z _ V 3y/3 4所以。尸与平面A B F D所成角的正弦值为.420.（2020全国高考真题（理）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据（X*j,）（i=l,2,，20）,其中x,和 y,分别表示第，个样区的植2

16、0 20 20物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得、尸6 0,=1 2 0 0,X（为 行=8 0,i=i=i=20 205或3 ：令f(%)o,得 一2 x 0或/(I)一或c !时，/(-l)=c-l 0,/(-)=c+j 0,/4)=c-i 0,/(l)=c+0,4 4 2 4 2 4 4又/(-4 c)=-6 4 c3+3 c+c=4C(1-1 6C2)0,由零点存在性定理知f(x)在(Tc,-1)上存在唯一 个零点x0,即/(X)在(T,T)匕存在唯-一个零点，在(T,+o。)上不存在零点，此时/(X)不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当时，/(-l)=c-l

17、 0,/(-)=c+i 0,/(i)=c-i 0,/(l)=c+0,由零点存在性定理知/(幻在(l,-4 c)上存在唯一一个零点七,即f(x)在(l,+oo)上 存在唯一一个零点，在(YO,1)上不存在零点,此时/(幻不存在绝对值不大于I的零点，与题设矛盾；综上，/(x)所有零点的绝对值都不大于1.(二)2021新高考模拟卷姓名：班级：得分：注意事项：本试卷满分1 50 分，考试时间1 2 0 分钟.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.一、单项选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共 40分）1.（2021辽宁高三月考）已知复数z =空 二 是

18、 纯 虚 数（其中i 是虚数单位），则实数。的 值 为（）2-1A.1 B.2 C.3 D.-2【答案】A【详解】伍+2 z）（2 +i）2a-2+（a+4）iz =二 f（2-0（2 +0 5由题意可知，5，即a =l.UoI 5故选：A2.（2021辽宁高三月考）已知集合4 =卜|1%2 L 故选：B.3.(2021全国高三开学考试(文)/“4是“函数X)=2X2 -1%-1 1 1 在(0,+?)上单调递增”的()A,充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【详解】若/(x)=2/3+in x在(0,+8)上单调递增，则(x)=4x-m+2 0对

19、任意的x e(0,”。)恒成立,X.有4x+L z?对任意的xe(0,+8)恒成立，即加,而4+2 2/4片，=4当且仅当X)m in X i/Xx=,时 等 号成立，则加工4.2 ,“m 0,即 sin（a+：）=,所以 tan（a +7）=2,I t T t则 t a n a =t a n a +-I 4 4 i t nt a n a+-t a n I 4 j 4.（兀1 +t a n a +一I 4_7 1 3 t a n 4故选：D.5.（2021南京市中华中学高三期末）在 口/LB。中，AC=9,NA=60。，。点 满 足=2痂，A）=用，则 B C 的 长 为（）A.3不 B.3娓

20、 C.373 D.6【答案】A【详解】因 为 丽=2而，_ _ _ _ 1_ _ 1 _ 2 1_所以 AO=AB+3Z)=A5+-8 C =A3+(AC AB)=-A 5 +-A C,3 3_ 3 3设 AB =x,则 而2=(2而+3 7 =-X2+-X X X9COS600+-X92U 3 J 9 9 9即2 d+9 x 1 2 6 =0,因为x（），故解得尤=6,即 A 8 =6,所以=y/AB2+AC2-2 AB AC cos 6 0 =62+92-2 x6 x9 x1 =3s.故选：A.6.（2021长沙市湖南师大附中高三月考）有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒中杀死一个病毒的同

21、时将自身分裂为3 个，现在有一个这样的细菌和110个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死，至少需要（）A.4 秒钟 B.5 秒钟 C.6 秒钟 D.7 秒钟【答案】B【详解】1秒时，新被杀死的病毒为1个，自身新增长3个；2秒时，新被杀死的病毒为3个，自 身 新 增 长 个;3秒时，新被杀死的病毒为3 2个，自身新增长3 3个;以此类推秒时，新被杀死的病毒为3 T个，自身新增长3 个，故累计杀死病毒数为：=l +3 +32+33+.-+3n-,i-3n由 S“2 1 1 0得，3 .2 2 1,解得正整数十.5.1-3故选：B.7.（2 0 2 1江苏盐城市高三一模）已知点A,8,C,。在 球。的表

22、面上，._ 1平面8。5。，8,若A B =2,BC=4,AC与平面说所成角的正弦值为叵,则球O表面上的动点P到平面A C D距离的最5大 值 为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【详解】如图，因为平面BCD，B C L C D,所以AO为球的直径由 AB=2,B C =4得 4 c =2百作C E _L B O,则N C 4 E即为AC与平面4 3。所成角所以s inN C A =l =华，得CE=2壶5 AC 2 V 5设 8 =x由等面积法得4%=20+1 6,解得x=4所以A D?=.2+8。2+。2 =4 +1 6+1 6 =3 6，即2 R=6，R=3又平面A C D过球

23、心，所以P到平面A C O距离即为半径的长所以P到平面A C。距离的最大值为3.故选：B.2 28.（2021安徽高二开学考试（文）已知4B分别是椭圆。:+2=1（。方0）的左、右顶点，M.Na b4是椭圆。上两点关于1轴对称，若40、B N的斜率之积为g,则椭圆C的离心率是（）A#R V 5 5 7 3 n 50A.B.C.-D.-3 3 9 9【答案】B【详解】2 2 A,B分别是椭圆 c:=+2=1 3 。0）的左、右顶点，二A（-a,0）,B（a,0）a b2 2乂M,N是椭圆上关于8轴对称的两点，设/（天,%），则N（x,一）,且工+与=1,即a b2 b/2 2%故 AM,8N的斜

24、率之积为G”.y 一 尤 滔(2 一 片)/4”|女2 一 一 2 2-2 2-2 一 c，x0+a x0-a a-xQ a-x0 a 9所以椭圆C离心率是e=J l 4=或.a a2 3故选：B二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共 2 0 分.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9.(2 0 2 1 广东广州市高三二模)已知函数/(x)=2 c os?x-2 8 s in(;r +x)c os x-1,则下列结论正确的是()A.函数/(X)的 图 象 关 于 点 对 称B.函数/(x)在 0 若 单 调 递 增C.函 数/(力 在 0,1上的值域为-1,2 D.把函

25、数y =2 s in 2 x的图象向左平移?个单位长度可得到函数V =f(x)的图象6【答案】B C【详解】函数/(%)=2 c o s2 x-2 5/3 s i n(,+x)c o sx-1 =2 c o s2 x-l +2 /5 s i n x c o s x=V 3 s i n 2x+c o s 2x=2 s i n 2 x +I 6对于 A,当 x =71 时，/I y71 l =c2 s i.nflc 2 x 71+71|l =c2 s.m J7T=.1故 图 像 不 关 于 点 对 称，故 A错误:J I J i 1 1 1!对于B,由-2k7V 2x-F 2k7r(k G Z)得

26、-k7v x 9ab【详解】由尤2+y2 +4 x-2 y+l =0 可得(x+2)2+(丁-1)2=4,故圆的直径是4,所以直线过圆心(-2,1),即2。+8=1,故 B正确；乂。，b均为正数，所以由均值不等式。匕 1，当且仅当。=!力=时等号成立；故 C正确;8 4 2当且仅当=二，即。=匕，即 =!时，等号成立，故 D正确.h a 3故选：B C D11.（2021湖北宜昌市高三期末）已知（-2）|=%+勾。-1）+4。-1）2+-+40（X 一1），则下列结论正确的有（）A.%=1 B.。6 二-2 1。C.Qi 1&7 4 十 Ha,（5 7 7 -1-0-2-3-D.a。+。2 +

27、。4+。6+/+。1 0 =5 1 2cc2 22 2-21 0 1 0 2 4【答案】A C D【详解】取 X =1 得%=1,A正确；由(x 2 7=1 (x 1)展开式中第7 项为C；)(x l)T 所以4 =/=2 1 0,B错误;-i I O由 1 (=)=骞 +g(x1)+黑(X 1)2+智(x 1 尸取 x =2 得2 2 2 2-21 0 2 31 0 2 4C正确;由(x _2)i o =4 +4(x _ 1)+Q)(X 1)2 +。(1 1)取1 =()得(4 +的 +4 +6+4 +4 o)(4+4+/+%+佝)=2 )取光=2 得(4+%+%+。6+/+Go )+(4+

28、%+。5 +/+佝)=()所以4 +%+4+4 +6+4 0-29=5 1 2,D 正确.故选：A C D丫 +朋1 2.(2 0 2 1 湖南岳阳市岳阳一中高二月考)设函数/(司=三*,则下列选项正确的是()e 冈A./(力为奇函数 B.“X)的图象关于点(0,1)对称C./(X)的最大值为+1 D./(X)的最小值为+1e e【答案】B C D【详解】/(x)=5v+1 =-rL +l,不满足了(X)=/(x),所以 4 不正确；尤 一 x x令g(x)=F，则 g(-x)=f=-F=-g(x),所以 g(x)为奇函数，则 力 的图象关于点(0,1)对称，所以8 正确；Y设X)=F+1的最

29、大值为M，则 g(x)的最大值为M I,*设/(x)=F+1 的最小值为N，则 g(x)的最小值为N-1,e x1 x当x0时，g(x)=-v，所以g(x)=-v，e ex当XG(0,1)时,g (x)0 ,当 X G(l,+8)时，g(x),由y =_ e求导得y =-e/.xo=O,即切点为(0,-1).它在切线y =-x+匕：a +1 =-1,C L=-2.故答案为：-21 5.(2 0 2 1四川高三月考(理)已知函数/(x)=x)的值域是 0,1 ；/(x)是以1为最小正周期的周期函数；“X)在 0,2句 上 有4个零点；JT 2 7 r/(%)在 区 间-,y上单调递增.其中所有正

30、确结论的编号是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.【答案】【详解】因为 X)=C OS1 2一 c o s(2尤 一 =与V 3 _ 1 .0 门=c o s 2 x s in 2x-c o s 2x-.2 2 I 6 J对于，.,T 0),贝i J：c =/+一 2 0 c o s C=3/?z2+m2-2 x V 3选择条件的解析：据此可得：a c =V 3m x/n =V 3m2 ：.m=选择条件的解析：ip,./口 b+c-cr ITI+nr 3m据此可得：c o s A=-=-；-2bc 2m则：s i n A=-孝，此时：c s i n A-选择条件的解析：m c m、,可

31、得一=一=1 ,c=b,b m与条件c =&矛盾，则问题中的三角形不存在.mx/?/x =m2，即c=机.21,此时 c =m=l.1=,2m x =3，则：c=m=2 6.2解法二：sinA=yJ3sinB,C=6/.sinA=V 3s i n（A+C）=V 3 s i n|sinA=百 s i n （+C）=6 s in侬sinA-yficosA tanA-&若选,ac=V 3/*a=y3b=若选，c s讥4=3,则 叵=3，/2,8=万-（A+C）,%+）+cosA 2 2A=区.8=。=工3 6。，后=V J,，c=l;=26；若选，与条件C=G/2矛盾.18.（2021全国高三专题练

32、习）已知 4 为等差数列，也,为等比数列，4 =瓦=1,5=5（%），4=4（包一优）.（I）求 4 和 也 的通项公式；（I I）记 凡 的前项和为 s“，求证：StlSn+2 S （e N）；（初-2也,为奇数，（I I D对任意的正整数，设q,=%+2 求数列%的前2 项和.沁 为偶数.1%,4+5 4【答案】（I ）4=，b“=2 T；（I I）证明见解析；（I I I）吗2 2n +l 9x 4 9【详解】（I ）设等差数列 q的公差为d，等比数列也“的公比为名山q=1,%=5（%一4），可得 d=l.从而 的通项公式为a“=.由/=1也=4 0 4-4）,又 内0,可得/一4q +

33、4=0,解得 4=2,从而也 的通项公式为“=2 T.（n）证明：由（1河 得s =（i）,故5+2=；(+1)5+2)(+3),S 3=；(+l(+2)2,从而 S S+2 S；+=-万(+l)(n +2)0,所以 s.s“+2（in）当为奇数时，c=(3。“-2 总 _(3-2)2 Tanan+2n n+2)n +2 n当为偶数时，c“%_ 1%2对任意的止整数，仃ZC/T=Z 3.8 41，片 _ 100 x(33x 8-37x 22)2、55x 45x 70 x 30因此，彳9 5%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.20.（2021山东泰安市高二期末）如图,在

34、三棱锥P-A BC中，A B =20，2 4 =P 3 =PC =AC =4,。为 AC 的中点.(1)证明：PO_L平面ABC；(2)若点M在棱8C上，且二面角M-%-C为30。，求PC与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值.【答案】(1)证明见解析；(2)B.4【详解】(1)因为AP=CP=AC=4,。为A C的中点，所以O P L A C，且OP=26.连结OB.应因为 AB=BC=JAC,2所以D A bC为等腰直角三角形，n.OBAC,OB=-A C =22由 OP?+QB?=P E2 知尸O_LO3.由 OP_LAC知 PO _L平面 ABC.(2)如图，以0为坐标原点，无 的 方

35、向为x轴正方向，建立空间直角坐标系。-孙z.由己知得。(0,0,0),8(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2百)，而=(0,2,2+)UUU取平面PAC的法向量O B =(2,0,0).uuu设M(a,2-a,0)(0 a /3(n -4),f 3 a,-a).2A/3(-4)向所以c o sC 3 5=一 一 ，.由已知得c o s 砺 法=四2,3 3-4)2+3/+/22 6 1 a-4|百 4所 以/；?-解得。=T(舍去)，=-2,3 3-4)2+3/+/2 3所以万=8g 46 /、又 定=(0,2,2b)，所以c o s 定 =走4所以P C 与平

36、面P A M 所成角的正弦值 为 立.421.(2021全国高三专题练习(文)已知椭圆C:工+4=1(0 根5)的 离 心 率 为 巫，A,8 分别为C25 m 2 4的左、右顶点.(1)求 C 的方程；(2)若点尸在。上，点 Q 在直线x=6 上，且|8尸|=|8。|,B P 1 B Q,求口A P Q 的面积.【答案】(1)二+3 =1；(2)25 25 2【详解】2 2(1)C:二 +与=1(0机 5)25 m2二。=5,b=m,解得“=或 加=(舍),4 4r2 2-|：-二.C 的方程为：25 15)2即=25 25(2)不妨设P,。在 x 轴上方 点P 在 C 上，点。在直线x=6

37、 上，且|3尸1=8。|,B P 1 B Q,过点P作左轴垂线，交点为M-设x =6与轴交点为N根据题意画出图形，如图-,-B P B Q,BPLBQ,/P M B =/Q N B =90。,又Z P B M +Z Q B N=9 0 ,/B Q N +N Q B N=9 0,Z P B M =Z B Q N ,根据三角形全等条件“A 4 S”，可得：A PMB 三A BN Q,X2 16/.,/+=1 ,25 255(5,0),|尸M=忸 叫=6-5=1,设P点为(4,力)，可得P点纵坐标为为=1,将其代 入 三+3匕=1,25 25x 2 J 6可得：工+卬=1,25 25解得：X p =

38、3 或 X p =-3,P 点为(3,1)或(3,1),当P点为(3,1)时，故|阿=5-3=2,丛 PMB 三4 BNQ,.-.MB=NQ=2,可得：。点为(6,2),画出图象，如图x=6A(-5,0)06,2),可求得直线AQ的直线方程为：2尤 1 l y+1()=0,根据点到直线距离公式可得P到直线A Q的距离为：d=+=_5 =好V 22+l l2 V 1 2 5 5根据两点间距离公式可得：|A 0=J(6 +5 p+(2-O f =5A/5，.口A PQ面积为：lx5V5x=-：2 5 2当千点为（一3,1）时,故 阿=5+3=8,APM B 三BNQ,:.M B=NQ S,可得：。

39、点为（6,8）,画出图象，如图4 5,0),。(6,8),可求得直线AQ的直线方程为：8x-lly+40=0,根据点到直线距离公式可得P到直线A Q的距离为:|8x(-3)-llxl+40|_|5|_ 5V82+ll2 V185 7185根据两点间距离公式可得：AQ=J（6+5）2+（8-0）2 =闹,.APQ面积为:1X2V185x52综上所述，口APQ面积为：-22 2.(2 0 2 1石嘴山市第三中学高三月考(理)已知函数/(x)=a e 2*+(a-2)e-x.(1)讨论/(的单调性；(2)若/(x)有两个零点，求a的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)(0,1).【解析】(1)/(

40、%)的定义域为(-0 0,+0 0)，./(X)=lae1+(a-2)e*1 =(a e*l)(2 e +1),3)若440,则r(x)(),则 由/(x)=0得x =l n a.当-I n a)时，/(x)0,所以/(%)在(8,-l n a)单调递减,在(I n a,卡 。)单调递增.(2)(i )若aWO,由 知，“X)至多有 个零点.(i i)若a0，由 知，当x =I n a时，x)取得最小值，最小值为 l n a)=l 十+l n a.当a =l时，由于”-l n a)=O,故/(x)只有一个零点；当a e(l,+oo)时，由于 1 一，+l n a 0,即/(-l n a)0,故/(x)没有零点；当a e(O,l)时，l-，+l n a 0,即/(-l n)2 e +20,故/(x)在(f,I n a)有一个零点.设正整数“0满足 o In则/(%)=”(a e +4-2)-%e“-n02 -n0 0.由于 I n I )-I n a,因此/（x）在（-I n a,+0 0）有一个零点.综上，a的取值范围为（0,1）.