2021届辽宁省实验中学高考数学考前模拟训练试卷附答案解析.pdf

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1、2021届辽宁省实验中学高考数学考前模拟训练试卷一、单 选 题（本大题共8 小题，共 40.0分）1.已知集合4 =x|/+x 0 ,B=x|0,且Q丰1）的图象恒过定点P,若定点P在基函数g（%）的图象上,4 .甲、乙、丙三名同学到足球场馆和篮球场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，且每个场馆至少去一名同学，则甲、乙两人安排在同一个场馆的概率为（）5 .已知。一是大小确定的一个二面角，若a,b是空间两条直线，则能使Q,b所成的角为定值的一个条件是（）A.Q/Q且b/。B,a/a且b 1 p C.a 1 a且D.a 1 a且b 1 06.“2或 刀 0”是“；x2 S s2B.=x2)Si s2

2、C.Xy=%2 S1=S2D.xr x2 s28.偶函数/(%)的定义域为R,周期为4,导函数为尸(x),若/(x)f(x),且“20 1 9)=2,则不等式/(x)2蜡-1 的 解 集 为()A.(1,+0 0)B.(e,4-0 0)C.(-oo,0)D.(-00)1)二、多选题(本大题共4 小题，共 20.0分)9.在平行四边形A B C C 中，|而|=2，|而|=1，DE=2 F C，A E 交B D 于尸且荏.前=一 2，则下列说法正确的有()A.荏 书 而+：而B.O F=|D BC.=g D.1 0.某年级有1 2个班，现要从2班到1 2班中选1 个班的学生参加一项活动，有人提议

3、：掷两个骰子,得到的点数之和是几就选几班，这 种 选 法()A.公平，每个班被选到的概率都为七B.2班和1 2班被选到的概率相等C.不公平，6班被选到的概率最大D.不公平，7班被选到的概率最大1 1.下列四个命题中正确命题的序号是()A.y=sinxWy=COST在 2 兀 +p 2 kn+z r (f c e Z)上都是减函数B./(%)=Q t a n 2的最小正周期为|a|/r(a H 0)C.将y =3s 讥2x 的图象向左平移:个单位，得到y =3s i n(2x +$的图象D.y =5 s i n(2x +a)的图象关于y 轴对称的充要条件是：a=kn+k e Z)1 2.若函数/

4、(x)对VQ,b E R,同时满足：当Q +b =0 时，有/(Q)+f(b)=0；当Q 4-b O i l 寸,有/(a)+/(，)0,则称/(无)为。函数.下列函数中是。函数的有()A./(%)=e +ex B./(%)=ex-ex(0,x=0C./(%)=%-sinx D./(x)=n三、单空题(本大题共4 小题，共 20.0分)1 3 .若正四棱柱徽麴-.篇蜀 遹的底面边长为2,高为4,则异面直线.躅目,犯所成角的正切值是_1 4.已知等比数列 斯 的公比q 为正数，且a 3 a 9 =2 底，则勺=.1 5.过抛物线2 =8 y的焦点且斜率为2 的直线与抛物线交于力，B 两点，弦长|

5、4B|等于.1 6 .圆。为 4 B C 的外接圆，A B =AC =2,ABAC=1 2 0,延长4。交圆。于点P,若 而=AAB+fiAC，则;1 +的值为.四、解答题(本大题共6 小题，共 70.0分)1 7 .己知数列 册 的前n 项和为无，且满足的=1,当n 2 2(n e N*)时，(n -1)S -(n +l)Sn_!=1(n3-n).(1)计算：a 2,a3；(2)求 a.的通项公式；(3)设%=t a n 何，求数列 b n+i 的前n 项和1 8 .在锐角 4B C 中，内角4 B,C 的对边分别为a,b,c,且2 a s 讥C =(1)求角4 的大小；(2)若(1 =b

6、+c=3,求4B C 的面积.19.如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，力 E为底面直径，4E=AD.AABC是底面的内接正三角形，P为。上一点，P0=DO.6(1)证明：PA 1平面PBC;(2)求二面角B-P C-E的余弦值.20.18.(本小题满分12分)退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势,某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20 80岁(含20岁和80岁)之间的600人进行调查，并按年龄层次20,30),30,40),40,50),50,60),60,70),70,80绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在20,40)岁

7、的人为“青年人”，40,60)为“中年(I)若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄;(U)将上述人口分布的频率视为该城市在2 0 -8 0年龄段的人口分布的概率.从该城市2 0 -8 0年龄段市民中随机抽取3人，记 抽 到“老年人”的人数为Y，求随机变量丫的分布列和数学期望.2 1 .设双曲线r一y2 =1其右焦点为F,过F的直线与双曲线C的右支交于4、B两点.3 J(1)求直线斜率的取值范围；(2)求4B中点的轨迹坐标方程.22.已知函数/(x)=x(a -，n x),g(x)=x2+ex.(I)讨论/(X)在(1,+8)上的单调性；(11)设九(乃=)一

8、9 0),若/(x)的最大值为0,求a的值；参考答案及解析I.答案：D解析：解：/I=x|-1 x 0,B=x|-1 x 其中甲，乙被安排至同一场馆所包含的基本事件个数为m=朗=2,故所求概率为P=%=：.n 3故 选:B.先确定安排3名同学去2个场馆，且每个场馆至少去一名同学的基本事件总数，再确定其中甲，乙被安排至同一场馆所包含的基本事件个数，从而利用古典概型概率计算公式即可求出所求概率.本题考查古典概型概率计算公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题.5.答案：D解析：解：如图，若a l a 且b l 夕，/X A过4 分别作直线a、b的平行线，交两平面a、/?分别为C、B/设

9、平面ABC与棱，交点为。，连接B。、C O _易知四边形4B0C四点共面%-lC/4B0C与4 B4C互补 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _/a-I 一n 是大小确定的一个二面角，而NBOC就是它的平面角，NBOC是定值，ZBAC也是定值即a,b所成的角为定值故选：D.采用直接法，证明若a l a 且b l/?,则a,b所成的角为定值，方法是将直线平移到一个平面内，利用二面角的定义和线线角的定义证明两角互补本题考查了空间想象能力，线线所成的角和面面角，特别是二面角的平面角，要会作，会证，会算6.答案：B解析：解：由：1，解得x l,此时不等式x 2 或x 2 或不 0,则 2 成

10、立，即充分性成立，故 X 2或x 0”是“工 r的充分不必要条件，X故 选:B.根据不等式之间的关系结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论.本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键.7.答案：B解析：解：甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示，兀，石分别表示甲、乙成绩的平均数，S,S2分别表示甲、乙成绩的标准差，则与=2(78+79+84+85+85+86+91+92)=85.8S：=：(78-85)2+(79-85)2+(84-85)2+(85-85)28+(85-85)2+(86-85)2+(91 _ 8 5)2 +(92 _ 85)2=输一 1&；

11、(77+78+83+85+85+87+92+93)=85,1sf=-(77-85产 +-8 _ 85产 +-3-85)2+(85-85)28+(85-85)2+-85产 +(9 2 _ 8 5)2 +(93 _ 85)2=11 Z.*X%2，S V S2 故选：B.利用茎叶图分别求出甲、乙成绩的平均数和甲、乙成绩的方差，由此能求出结果.本题考查甲、乙成绩的平均数和甲、乙成绩的标准差的求法，考查茎叶图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.8.答案：A解析：解：,r(x)/，令9(乃=等则丁(乃=四 泮 0，则g(x)单调递减,偶函数/(x)的定义域为R，周期为4,则/(2019)=/(3

12、)=/(-I)=/(I)=2,因为 g(l)=：由/(x)2e*T可得，%:即g(x)1.故选：A.根据已知可考虑构造函数9(吗=等，结合导数与单调性关系可判断g(x)的单调性，进而可求不等式.本题主要考查了不等式的求解，导数与单调性关系的应用是求解问题的关键.9.答案：BC D解析：解：DE对于选项 A：AE=AD+DE=AD+D C =AD+(AC -AD)=AD+A C,故选项 A 不正确;对于选项B：易证明 D E F-Z k B/M,所 以 芸=竿=3 所 以 前=:而 芝 丽，故选项B正确；BF AB 3 3 5对于选项C：A E-BD=-2即(而+|而)(而-四)=-2,所以同之

13、 一!而 /荏 2 =-2,3 3所以1 1 A B ,：x 4=2,解得Z B 4D =1，.A p?、AB-AD 1 1c o s =,.=ABxAD 2x1 2因为=0,TT所以同，而=；，故选项C正确.对于选项。：FB-FC =DB (FD+DC)=|(荏-初).前 +荏)，3 2 _ _=-(AB-AD)(AD-AB)+AB=|(X B-4D)-(|A B +|A D),9 -2-6 -2=x -3 AB-AD-X AD2 5 2 5=x 4 =故选项。正确.故选：BC D.根据向量的线性运算，以及向量的夹角公式，逐一判断四个选项的正误，即可得出答案.本题考查向量的运算，解题关键是三

14、角形相似的判断，属于中档题.1 0.答案：BD解析：解：记第i 班被选到的概率为P(i),则P =0,1x1 1P(2)=P(1 2)=-=-P(3)=P(1 1)=皆=3,P(4)=P(1 0)=辛建，P(5)=P(9)=詈=aP(6)=P(8)=i =P =詈/所以2 班和1 2 班被选到的概率相等，故 A、C错误，B、。正确:故选：BD.记第i 班被选到的概率为P(i),根据题意计算P(i)可解决此题.本题考查古典概型及概率计算方法，考查数学运算能力，属于中档题.I I.答案：ABD解析：解：对于4：函数y =s i n x 和函数y =c o s x 在 2 k?r +1,2 卜 兀+

15、?r (k e Z)上都是减函数，故 4正确；对于8：函数/X x)=研 即；的最小正周期为，=兀，(a芋0)故 8正确；对于C：将y =3 s i n 2 x 的图象向左平移:个单位，得到y =3 s i n(2 x +今=3 c o s 2 x 的图象，故 C错误;对于。：y =5 s i n(2 x +a)的图象关于y 轴对称，故令a=/o t +(/c 6 Z),即函数的图象关于y 轴对称的充要条件是a=卜 兀+(k 6 Z),故。正确；故选：ABD.直接利用三角函数的性质，函数的周期和单调性，对称性的应用，函数的图象的平移变换的应用判断A、B、C、D的结论.本题考查的知识要点：三角函

16、数的性质，函数的周期和单调性，对称性的应用，函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.12.答案：BC解析：本题是新定义问题，意在考查函数奇偶性和单调性的判断，属于基础题.根据函数奇偶性和单调性进行判断.解：由条件可知，对VaeR,都有f(a)+f(-a)=0,故/(x)是奇函数，由条件可 知,当 a b时，f(a)f(b)=f(b),故f(x)是增函数，对于4,f(x)-ex-ex,显然当x 0 时，/z(x)0,故f(x)是增函数，满足条件；对于C,/(-x)=-x -s i n(-x)=sinx-x=-/(x),故/()是奇函数，满足条件 ，/z(x)=1-

17、cosx 0,故/(%)是增函数，满足条件 ；对于D,当 0,而当x 0时，/(x)0,:.q =故答案为方.15.答案:40解析：解：直线过抛物线x2=8 y的焦点?(0,2),且斜率为2,.直线的方程为y=设4(xi，y j,B(x2 ly2),抛物线的焦点为F,直线经过抛物线的焦点，根据抛物线的定义可得：AB=AF+BF=yi+2+光+2,联立方程组仁2 受；2,化简得y2-36y+4=0,%+%=36,AB=y14-24-y2+2=40.故答案为：40.求出直线的方程为y=2%+2,设4(卬%),B(x2,y2),推出依8|=|4F|+田川二联立方程组2=2：+2,利用韦达定理，转化求

18、解即可本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质的应用，是中档题.16.答案：4解析：本题考查平面向量加法法则，圆的性质，三角形的解法.属于中档题.利用圆的性质求出而=4而，再利用平面向量加法法则求解即可.解：如图，设圆。的半径为R,2x+2,%+2+y2+2,AB=AC=2,Z.BAC=120,力 BO为等边三角形，AD=R,.-.AP=4而，D为的中点，AP=4AD=4 x G通+1硝=2AB+2AC,AP X AB-I-/J.AC A=2 =2，a+=4.故答案为：4.17.答案：解：（1）令九=2,得$2-3$1=2,又0L=SI=1,所以g =4；令n=3,得2s3452

19、=8,所以的=4+2（1+4）（1+4）=9.(2)因为当n 2(n G N*)时，(n-l)Sn-(n+1)S71T =1(n3-n),所以。-汩 _ =；八 n(九+1)(n-l)n 3所以数列 就%为等差数列，所 以#-=2 +三0-1)=1 7 1 +三，771 n(n+l)2 3、J 3 6所以 Sn=；on(n+l)(2n+1),于是，当n 2 2(n 6 N*)时，an=Sn-Sn_i=|n(n+l)(2n+1)-(n-l)n(2n-1)=n2,当71=1时，Q i=S i=l,满足上式，故 即=/.(3)因为b=ta n n,则b九+1与=tan(n+l)tann=所 鲁 二：

20、。-1,于是，Tn=Lm(ta?i2 tcinl)1 4-二 九 tcLn2)1+,+瓦菽(tan(n+1)tdTiTi)1=tan(n 4-1)tanl n=即 二+1 n 1.解析：(1)令九=2,得S z-3 S i=2,进而得出心；再令九=3,得2s3-4s2=8,进而得出的；(2)由题意可得：当n 2 2(nN*)时，点 石-含 盆=也 进而得出数歹K舟；为等差数列，于是可求出土的通项公式，进 而 得 出 的 通 项 公 式；(3)将已知式子裂项 为%+1%=tan(n+l)tann=-1,利用裂项相消求和即可得出所求的答案.本题考查等差数列及其前n项和、裂项相消法求和，考查学生的计

21、算能力和逻辑推理能力，属中档题.18.答案：解：由2 Q sin C =y/3c2sinAsinC=y/3sinC，所以 sin A =，2因为人是锐角，所以4=全(2)由余弦定理彦=ZJ2+c2 2bccosA,得/+c2 be=3,又 b+c=3,所以be=2,所以三角形面积为S =-besinA=-x 2 x =.2 2 2 2解析：(1)根据正弦定理可得sinA=与，即可求出角4 的大小；(2)根据余弦定理和三角形的面积公式即可求出.本题考查了正弦定理和余弦定理以及三角形的面积公式，属于基础题.1 9.答案：(1)证明：不妨设。的半径为1，则4 0 =0 B =0 C =l,AE=AD

22、=2,AB=BC =C A=8，DO=/DA2-OA2=V 3-P。=f。=?,6 2PA=PB=PC =JPO2 4-A O2=，2在 A P A C 中，PA2+PC2=A C2,故 P A I P C,同理可得 P A I P B,PB C P C =P,PB,P C u 平面 P B C,PA 1 平面 P B C.(2)解：以0 为坐标原点，以0E,。所在直线分别为y,z轴,圆锥底面内垂直于0 E 的直线为x 轴,建立如图所示的空间直角坐标系。-x y z,则有B d,0),C (-累,0),P(0,0,1),吊(0,1,0),比=(一 板 0,0),方=停 弓 0)而=停，/日),

23、设平面P B C 的法向量为4=(X i，y i，z D，则BC-n=0t 解得元=（o,四,i）,（C P-n=0同理可得平面P C E 的法向量荻=(V 2,-V 6,-2 V 3),由图形可知二面角B -P C-E 为锐二面角,则c o s”I 器上管故二面角B-P C-E的余弦值为区.5解析：本题考查线面垂直的证明和二面角的求法，属于中档题.(1)求出各线段长度，用勾股定理找出垂直关系即可证明，(2)建立空间直角坐标系，求法向量即可求解.20.答案：(1)4 8(岁)；。(2)随机变量X的分布烈如下表：，X0123P6412548125121251125随机变量X的数学期望E(X)=0

24、 x 总+1 展+2 七+3*+=：.解析：(1)由题意估算,所调查的600人的平均年龄为：25x0.1+35x02+45x0.3+f(2)由频率分布直方图可知，“老年人”所占的频率为5.从该城市20 8 0年龄段市民中随机抽取1人，抽 到“老年人”的概率3依题意.X的可能取值为0,l,2,3.，c 1 0 4 64 1 4、48p(jr=o)=c f(-)(-)3=；p(jr=i)=c(-)1(-r=-；，P(X=2)=c公 足)、与；P(X=3)=氓 足)。=2。，随机变量X的分布列如下表：，X0123P6412548125121251125.二随机变量X的数学期望E(X)=0 x g +

25、lx与+2x=+3 x =j.221.答案：解：(1)双曲线言一*=1其右焦点为尸(2,0),设直线方程为y=依 一 2忆，代入方程J-y2=i,得(3/一 1)/一 12k2无+12/+3=0.设401，1)，8(%2，丫 2)，则X1+%2=素 0，Xl%2=技 有 0，A=144k4-4(31-1)(12/+3)=3/c2+3 0,所以k的范围是(8,堂)U(，+8);(2)设4B中点为(&,%),%0=4 =黑,yo=kx0-2 k =(x0-l)2+3羽=1，所以4B中点的轨迹坐标方程为(x-1)2+3y2=1.解析：(1)求出直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理以及判别式，转化求

26、解k的范围即可.(2)利用(1)的结果，转化求解中点的轨迹方程即可.本题考查双曲线的简单性质，直线与双曲线的位置关系的应用，轨迹方程的求法，是中档题.2 2.答案：解：(1)因为/(%)=。一1 一 ,所以(%)在(0,+8)上单调递减且(4 T)=0,若?。一 141,即QW1,则当X 1时，/(%)1,则当1V%V T时，/(%)0,所以/(%)在 上 单 调 递 增；当,2。一 1 时，/(x)+8,X-+8时 九(%)-0 0,所以存在唯一正实数出满足力(%0)=0,即a =1 +lnx0+2XQ-e x(*),当 W(O,%o)时，/iz(x)0,九。)是(O,%o)上的增函数；当 G (%。,+8)时，(%)0,所以%o ex0=0,B P e-x =x0所以一出=lnxQf 所以a =1 +lnx0+2 x0 ex0=1 x0 4-2 x0 x0=1.解析：(/)先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解；()先对函数求导，结合导数可分析九。)的性质，然后结合导数与单调性的关系可求最值，结合题意可求.本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及由最值求解参数，属于中档试题.