2021年上海市闵行区高考数学二模试卷（学生版+解析版）.pdf

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1、2021年上海市闵行区高考数学二模试卷一、填 空 题（本大题共有12题，满 分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.（4 分）设集合 A=x|x2 3x 40,B=x|-2x 0/0）的两焦点分别为七、F2,P为双曲线上一点，a h轴，且|P g|是|尸耳|与I片E l的等差中项，则 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为.10.（5分）若 四 边 形A 8 8是 边 长 为4的菱形，尸为其所在平面上的任意点，则的取值范围是.U/71tanx,x t v11.（5分）已知函数f（X）=1）则4+%+%+%=（结果用含a 的式子表7 广）二、选

2、择 题（本大题共有4 题，满分20分，每题5 分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.（5 分）p:log,x 0,q:x。），0%）6 恒成立；/（2&-%）/2 C.36 D.36收三、解 答 题（本大题共有5 题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（14 分）已知函数/（fo g。+1）.（1）证明：f（x）在区间（T O,go）上是增函数；（2）若函数F（x）=m+/（x）在区间 0,2 上存在零点，求实数，的取值范围.18.（14 分）如图，在四棱锥一 43CE 中，已知 A_L 平面 43C）,A

3、B 1 A D,AB/CD,AB=2CD,SLAB=AM=AD=2.（1）求 四 棱 锥ABC。的体积；（2）求直线MC与平面AD M所成的角.19.（14分）某植物园中有一块等腰三角形ABC的花圃，腰长为20米，顶角为30。，现在花圃内修一条步行道（步行道的宽度忽略不计），将其分成面积相等的两部分，分别种植玫瑰和百合.步行道用曲线小表示（。、E两点分别在腰4 5、AC上，以下结果精确到0.01）.（1）如果曲线D E是以A为圆心的一段圆弧（如图1）,求4）的长；（2）如果曲线D E是 直 道（如图2）,求4 J+A E的最小值，并求此时直道0 E的长度.20.（16分）如图，已知椭圆:上+丁

4、=1的左、右顶点分别为A、B,P是椭圆上异于4A、8的一点，直线/:x =4,直线A P、BP分别交直线/于两点C、D,线段8的中点为 E.（1）设直线AP.B P的斜率分别为kA P、心。，求kAP-kK P的值；（2）设A/WP、A48C的面积分别为$、S2,如果求直线A尸的方程；（3）在x轴上是否存在定点N（,0），使得当直线N P、NE的斜率底-、存在时，kN P-kNE为定值？若存在，求 出 心 的 值；若不存在，请说明理由.2 1.(1 8分)对于有限集S =q ,%,4，,-1 am(mGN,如果存在函数f(x)(/(x)=x除 外)，其 图 象 在 区 间。上 是 一 段 连

5、续 曲 线，且 满 足 f(S)=S，其中/(5)=/(%)|X GS,SU0,那么称这个函数f(x)是 P变换，集合S是尸集合，数列2,a3.am-4,是尸数列.例如，5 =1 ,2,3 是 P集合，此时函数/(x)=4-x 是 P变换，数 列 1,2,3或 3,2,1等都是P数列.(1)判断数列1,2,5,8,9是否是P数列？说明理由；(2)若各项均为正数的递增数列%(啜力2 0 2 1,e N.)是 P数列，若 P变换/(x)=2,求Xa a2.2 0 2 1 的值；(3)元素都是正数的有限集5 =，%,*，a“J(jnwN,m.3),若%,总 有 支 wS,其中L,i，/,?.试判断集

6、合S是否是P集合？请说明理由.2021年上海市闵行区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填 空 题（本大题共有12题，满 分 54分，第 1 6 题每题4 分，第 7 12题每题5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.（4 分）设集合 A=x|x 2-3 x-4 0 ,B=x-2x2,则 4n B =_（T，2）_.【解答 解：A=X|X2-3X-4 0 =X|（X-4）（X+1）0=X|-1 X 4 ,Ap|B=x|-l x 2 .故答案为：（-1,2）.2.（4分）复数z =上t&（!为虚数单位）的共轨复数为_2+，_.i【解答】解：z =+2=7 +2 ,iz=2 +i,故答

7、案为：2 +i.1 Q3.（4分）在无穷等比数列 中，CL=1,a5=，则lim（4+阴+。）=.2 7-2【解答】解：在无穷等比数列 ,中，由的=1,得 q 3=&=_L,即夕=_ I,则4=&=3.a2 2 7 3 qr /、4 3 9lim（q+/+%）=;=r =-00-q j _ I 2-3故答案为：2sinx 14.（4 分）已知函数/）I，若/（a）=2 0 2 1,贝 U/（。）=_ 一 2 0 2 1 _.x3 1sinx 1【解答】解：函数/（x）=|.|=sinx-/,函数是奇函数，三 1所以/（a）=2 0 2 1,则/（-4）=-/（a）=-2 0 2 1.故答案为：

8、-2 0 2 1.5.（4分）已知角a 的顶点是坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合,它的终边过点P（-|,|）.则cos2a-sin2a 1 -tan2a所以c o s 2a=cosa+sma 14-tanac o s 2 a=-一 25 一【解答】解:因为角a的顶点是坐标原点,始边与x 轴的正半轴重合,它的终边过点P（-|,：）,4所以 t a n a =-）_ 3 3一5I-161+3 2 59故答案为：-Z.256.（4 分）若直线/的参数方程为=厂（止/?）,则直线/的倾斜角为-.y =1 +V3r -3-X=l +/L【解答】解：直线/的参数方程为 厂Q e R），消去参数得到：y

9、=l +G（x-l）,整y =1 +V3/理得 y=g x+1 -G ,所以直线的斜率2=116=石,由于。0,兀）、故。工3故答案为：.37.（5 分）在（1-9的二项展开式中，中间一项的系数为_ _ 1 6 0 一（用数字作答）X【解答】解：（1-2）6的二项展开式共7 项，X9中间一项为第 4 项,且=C（-）3=-160X-3,X中间一项的系数为-160.故答案为：-160.8.（5 分）如图，在正六棱柱的所有棱中任取两条，则它们所在的直线是互相垂直的异面直线的概率为【解答】解：由正六棱柱的18条棱中任取两条，共有C 1=153种，考虑侧棱与底面垂直，与底面的直线都垂直，其中是互相垂直

10、的异面直线共有2x 6x 4=48种，所以它们所在的直线是互相垂直的异面直线的概率为9 =3.153 51故答案为：512 29.(5分)已知双曲线 马=1(。0力0)的两焦点分别为K、F,P 为双曲线上一点，a bPF?_ L x 轴，且|是|尸耳|与|片乃|的等差中项，则双曲线的渐近线方程为_y=2&x _【解答】解：设耳(-c,0),g(c,0),由x =c,可得y =土 b1鼻-1 =人,则|不|=生，a由为双曲线的右支上一点，可得|P/=；|=2a+|PE I=2a +C,a由|PE|是I WI与|F；E|的等差中项，可 得 生=2a +2+2c,a a可得 b2=c2 a2=2a(

11、a+c),即为 c =3a,则 b=Jc2-a2=2 0 a ,所以双曲线的渐近线方程为y =2&x.故答案为：y=22x.10.(5 分)若 四 边 形 A B C。是 边 长 为 4 的菱形，P 为其所在平面上的任意点，则 P A P C-P B P D 的取值范围是 _ 0-16)【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，设=OA=a,O D =b,A(0,a),C(0,-a)，B(b,0),)(-/7,0)，P(x,y),r r则 C M=4s in a,O D =4c o s a,a G(0,),，2则 2a e(0,万),PA=(-x,a-y),PC=(x,-a-y),PB=(b-

12、x,-y),PD=(-b-x,-y),所 以 丽.方=x2+y 2-/,pB.pb=x2+y2-b2,则|可 而 一 丽 丽|=|从-a2|=i6|cos2a-sin2al=16|cos2ale0,16).的实数a 的取值集合是.(二 2兀亡 3，3 J则满足等式K 0,。)，专 U告3打2),若/(x)在=3 Ka,2a4兀 7兀 1丁 Y 2【解答】解：函数f(x)的大致图象如右图所示,由 K0,a)=/(x)maxy xG0,a),结合图象可知，2L a 1),则4+/+/+%i=_ 23a+210_.(结果用含a 的式子表示)【解答】解：因 为%十=1%I +&-6 1+一 4 一 1

13、 I，所以凡二|生一4 I +&-2 1+1。-1 -21(比 3)，所以%-4 =1 /一 4.11，所以 4+1=4+1 4 -q 一 11，因为 =1,a2=a(a 1),所以。3=%-4 =a-l,a4=%+1。3 -阻 1=，。5 =4+I。4 -。3 1=。+1，。6 =%+。5 一。4 1=+2，所 以 一 I =1 ,几.3,1,7 7 =1所以 为=,=2,+一 4,.3且 w N*J T 以 4+q+44=1 +a+(a-1)+a+(a+1)+.+(a+20)=23a+1+2+3+20=23a+210,艮|J 4+a,+q+6 2 4 =23a+210.故答案为：2 3 a

14、+2 1 0.二、选 择 题（本大题共有4 题，满分20分，每题5 分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.1 3.（5 分）设 p:l og 2 X 0,q:x,则 是 q 成立的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分亦非必要条件【解答】解：由于命题P。l og?X 0=l og 2 1 oV X V 1 ;P:0 x p:x 0）,0 x,x2,且/（为）=f（），给出以下结论：X”石恒成立；/（26-占）/区）恒 成 立.则（）A.正确，正 确 B.正确，错误 C.错误，正 确 D.错误，错误【解答】解：对于，因为

15、0 0），于是(M -x2)(xlx2-a)=0，因为西 2 J%/=2G,于是“；W 新,所以对；对 于 ，因 为 0 占 0)的 性 质 得，X0%!4a x2,由知 4a 2sqrta-x,x2,因为/(x)在(a,+oo)上单调递增，所以 f 1 2 8 -x、)/2 C.3 6 D.3 6及【解答】解：设点P(x,y)是曲线C上的任意一点，由点P满足平面内到两条定直线x=0,y=x 距离之和为3,.I+庄=3,夜当噫6 3 时 x.y 时，x+(72 -l)y-3 /2 =0,片,y 时，x-(&+l)y+3&=0,当-3 轰 上 0 时 x.y 时，x-(0 +l)y-3&=0,*

16、,y时，x+(a-l)y+30 =O,分别画出四条直线如下图，易知四边形A 8 C D 为矩形，.直线+(0 _ 1)3 五=0 与直线工+(应1)+3&=0 的距离为|3 拒+3 夜|6旅J(A/2-1)2+1.直线x-(夜+l)y+3夜=0 与直线x-(夜+l)y-3 夜=0 的距离为13夜+3 0|6 五.)也6m 6m =8立,故选：B.三、解答题(本大题共有5 题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.(14 分)已知函数 f(x)=log2(2*+l).(1)证明：f(x)在区间(ro,m)上是增函数；(2)若函数F(x)=m+/(x)在区间 0,2

17、上存在零点，求实数，的取值范围.【解答】证明：(1)在 R 上任取N,x2,且看%，2 再 4-1贝 )-/*,)=log,(2*+l)k)g,(2*2+l)=log,22+1/xx2y /.0 v 2+1 v 2电 +1 ,/(x,)=1,所以 5AB =g(A 8+Cr)-AO=3,又四棱锥M -A B C D的高h=A M =2,所以棱锥 一 的体积K=g 5Ase 无=2；(2)因为AM_L平面ABCD,C D u平面ABCD,所以 AM_LCZ),又因为 AB_LA),A B/C D,所以 CD1.A。，又 4时0|4=4,A M ,A O u 面 A D M,所以 CD J_ 面,

18、所以NC/W/)为直线MC与平面A D M所成的角，1 J7在 RtACDM 中，8=1,M D =242 tan Z C M D =,2V2 4所以 Z.CMD=arctan,4故直线M C与平面A D M所成的角为arctan.19.（14分）某植物园中有一块等腰三角形4 3 c的花圃，腰长为2 0米，顶角为30。，现在花圃内修一条步行道（步行道的宽度忽略不计），将其分成面积相等的两部分，分别种植玫瑰和百合.步行道用曲线3 E表示（Q、E两点分别在腰他、A C上，以下结果精确到0.01）.（1）如 果 曲 线 是 以A为圆心的一段圆弧（如图1）,求A Q的长；（2）如 果 曲 线 上 是

19、直 道（如图2）,求A D+A E的最小值，并求此时直道Q E的长度.【解答】解：设AD=x,依题知，扇形的面积为又 M B C 的面积为 5Mse=1-202 sin30=100.11 jr由 S扇 形0AE 得：彳=5，2 Z O解得：X2971-13.82（米）故4 9的长约为13.82米.（2）如图2,线段。E平分AABC的面积，设AZ）=x,A E=y .Ay-sin30=-x 100,/.xy=200,又 AO+AE=x+y.2/d =2 O 0 （当且仅当 x=y=1 0 a时取等号），此时 AO+AE=2 O 0“28.28（米），D E =A/2X2-2 x2cos300=7

20、.32（米）综上，A D+A E的最小值约为28.28米，此时直道D E的长度约为7.32米.2 0.（1 6 分）如图，已知椭圆:一+产=1 的左、右顶点分别为A、B,P是椭圆上异于4.A、3的一点，直线/:x=4,直线M、8 P 分别交直线/于两点C、D,线段C 的中点为 E.（1）设直线43、8尸的斜率分别为我”、kBP,求”即 的值；（2）设A A B P、A A B C 的面积分别为$、S2,如果邑=2S/求直线AP的方程;（3）在x 轴上是否存在定点N（,0）,使得当直线NP、NE的斜率心0、”跖存在时，kN P-kNE为定值？若存在，求出心./他的值；若不存在，请说明理由.【解答

21、】解：（1）可求点A、B的坐标分别为（-2,0）、（2,0）,（2分）（2）设点 P（2 c o s 6,s i n e）（s i n。30）,则直线”的方程为y =2 c黑2（x +2）.分）令 x =4 得 y =3 也，所以点C的坐标为（4,3吆）.（8 分）c o s 0+1 c o s 0+1由 S,=2 S|得 s i n l=2|s i n 例,所以8 5。=2闾1 1。=且，c o s O +1 2 2所以直线AP的方程为、=土 电(x +2)._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.(1 0 分)6(3)同(2),设点尸(2 c o s),s i n 6)(s i n

22、。H0),直线A P的方程为y =(x +2)2 c o s 8+2同理可求直线期的方程为：y=i n。(x _ 2),2 c o s 9-2令彳=4 得不sm,所以点。的坐标为(4.s m ),CO中点E(4,一4c os 6).c o s 0-1 c o s 0-s i n，(1 2 分)2-4c o s 6f fkNP-k NF=-s-i-n-。-生e；nn一=-2-4-c-o-s-。-=.2.-.4.c.o.s.，.(z 1一42 c o s。一 4 一 (2 c o s。一 )(4一 )-4)+2(4-n)c o s 0分)要使 为 定 值，只需7 二=亏*，n(n-4)2(4 一

23、n)2解得=1,此时无帅&；=-所以在x 轴上存在定点N(l,0),使 得 左 根/,为 定 值.(1 6 分)2 1.(1 8 分)对于有限集S =4，a2,a3,，am_ ,q“(m e M ,九.3),如果存在函数/(幻(/(乃=彳除外)，其 图 象 在 区 间。上 是一段 连 续 曲 线，且 满 足/(S)=S ,其中/(5)=/(x)|xe S,ScD),那么称这个函数f(x)是 P变换，集合S是尸集合，数列q,a2,a3,am_t,是尸数列.例如，S =1,2,3 是尸集合，此时函数/(x)=4-x 是 P变换，数 列 1,2,3或 3,2,1等都是尸数列.(1)判断数列1,2,5

24、,8,9是否是P数列？说明理由；(2)若各项均为正数的递增数歹U a J(度k2 0 2 1,e N*)是 P数列，若 P变换/(x)=2,求X4%.4021 的值；(3)元素都是正数的有限集5 =,a2,4，am-9 aJ(m e N*,nt.3),若 ,-,4 。2。3。2020 生021因为递增数列 叫(1釉2 0 2 1,M)是尸数列,Q所以一=0,04021，=。2020，=%022-”，92O2O9-=%202l99记 A =q 4.2021 9 则 A =(4 4()2 1 A(0 2 2020).(%/O 2 2 r).(“2。4)=9 2 所以 2a3 /021=32 0 2 1.(3)不妨设 4 v 4 v q v v am_x am当q w l时，考 察发 包 幺 .生 1,1%q 4 q a J且a=4,2=4%幺=44即4 _ =(2釉 所 以 4(掇h是等比数列，4=(1釉m)an-/n+l此时存在P变换/()=刍 一，使得/(S)=S,故集合S是P集合.X当4=1时，考察4=1%,%,02 al a2 a2因 为 幺,4公a2 a2 a2 a2q S,故&=。2，幺=%a2 a2即&=兄(3领h附，所以以 (1到 是等比数列，密 加%/(x)=-,使得/(S)=S,故集合S是一个P集合.X综合，可知，集合S是一个P集合.m),此时存在P变换