2021年人教A版(2019)选择性必修第一册数学第一章_空间向量与立体几何单元测试卷高中答案解析.pdf

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1、2 0 2 1年人教A版(2 0 1 9)选择性必修第一册数学第一章空间向量与立体几何单元测试卷(1)一、选择题1.已知向量a=(1,-2,2),b=(1,1,6),则|a-b|=()A.25 B.17 C.V17 D.52.已知向量a=(2,6,2),b=(-1,3,1),满足a/b,则实数4的值是()A.2 B.6C.-2D.-63.在空间直角坐标系。-x y z中,AB=()点4(-1,0,3)关于坐标原点的对称点为B,则A.2B.V10C.2V10D.104.如图所示，在空间四边形0ABe中,OA=a,OB=b,(=。，点7在4 8上，且AN =2NB,M为OC中点，则MN=()1 1

2、 T 1-C.-a+-b-c_ 2 T 1 1-*B.-Qd b d C3 2 21-*2 T 1 TD-a 4-fa c3 3 25.设P(l,-2,5)是空间直角坐标系中的一点，则点P关于坐标平面yOz的对称点的坐标为()A.(l,2,-5)B.(1,2,5)C.(1,2,5)D.(l,2,5)6.已知平面a 内有一点4(2,-1,2),平面a的一个法向量为 =G，：，9，则下列四个点2 6 3/中在平面a 内的是()B.P2(1,3,|)C.P3(1,-3,|)D.P4(-1,3,-|)7.如图，在平行六面体4BC0中，M在4 C 上，且N 在40上,且&N =2 N D,设n=2,AD

3、=b,AAr=c,则 加=()A.a+-b +-c3 3 31 T 1 T 2 TC.-a-b-c3 3 3T 1 T 1-B.Q 4 b c3 31 T T 1D.a+b +-c3 38.空间直角坐标系中2(1,2,3),的位置关系是()5),C(3,0,4),。(4,1,3),则 直 线 与 C DA.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法确定9.已知4(0,0,2),8(1,0,2).C(0,2,0),则点4 到直线B C 的距离为()272B.1C.V2D.2 V21 0.如图，在正方体A B C D-4 B 1 G D 1 中，点0 为线段B D 的中点.设点P 在线段81 c

4、l上,直线。P与平面ABD 所成的角为a,则s i na 的取值范围是()ACiR试卷第2页，总25页A.限 1B.停，1停，甯喏，当11.九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在如图所示的阳马P-A B C。中，侧棱PC _L 底面ZB C D,且PD=C D=4 D,点E是PC的中点，贝 UP。与BE所成角的余弦值是（）12.如图，直三棱柱ABC-AiBiG中，侧棱长为2,AC=BC=1,AACB=9 0 ,。是4 当的中点，尸是棱BB上的动点，DF交于点E,要使_ 1 _ 平面加。凡则线段B/的长为（）二、填空题13.已知直线，的一个法向量是 =（百,-1）

5、,则I的倾斜角的大小是14.已知平面a 的法向量为（2,-4,一 2）,平面 的法向量为（k,2,1）,若a /?,则实数k的值为.15.给出下列命题：直线I的方向向量为a=（1,-1,2）,直线ni的方向向量b=（2,1,-,则/与m垂直;直线2 的方向向量2 =(0,1,-1),平面a 的法向量 =(1,1,一1),则1 1 a；平面a,0 的法向量分别为向=(0,1,3),n2=(1,0,2),则a伙平面a 经过三点4(1,0,-1),B(0,1,0)，C(-l,2,0),向量=(1,a,t)是平面a 的法向量，则1 4 +t =1.其 中 真 命 题 的 是.(把你认为正确命题的序号都

6、填上)1 6.如图所示的一块长方体木料中，己知4 B =B C =2,A A i =l,设F 为线段4 D 上一点，则 该 长 方 体 中 经 过 点 F,C 的 截 面 面 积 的 最 小 值 为.三、解答题1 7.已知向量1 点4(-3,1,4),8(2,-2,2),点E 在 直 线 上，使得后 1 则点E 的坐标为多少.1 8.如图，在空间直角坐标系中，正方体4 B C D-&B 1 G D 1 棱长为2,E 为正方体的棱A4的中点，尸 为棱力B 上的一点，若N G E F =9 0。，则点F 的坐标是多少.1 9 .如图，正四棱柱4 B C D-A i B i G A 中，设A D=1

7、,DrD=A(A 0),若棱G C上存在唯一的一点P满足4 止 _ L P B,求实数;I的值.试卷第4页，总25页2 0 .在如图所示的几何体中，A F C B 是等边三角形，四边形4 B C C 是等腰梯形,CB=CD=1 A B,平面FC B 1 平面/B C D.AB/CD,(1)求证：A C 1 平面F C B；(2)求二面角F-BD-C 的余弦值.2 1 .在直四棱柱4 B C D-&B 1 G D 1 中，AD/BC,BAD=9 0 ,AB=A/3,AD=4 4 i =3.BC=1,(1)证明：A C lB i。；(2)求直线BiG 与平面AC。1所成角的正弦值.22.如图1,在

8、矩形4BCD中，AB=2,BC=4,E为AD的中点，。为BE中点.将 ABE沿BE折起到A B E,使得平面4B E _L 平面BCOE(如图2).(1)求证：AO 1 C D；(2)求直线4 c 与平面&DE所成角的正弦值;(3)在线段4 c 上是否存在点P,使得0P平面4 D E?若存在，求出花的值；若不存在,请说明理由.试卷第6页，总25页参考答案与试题解析2 02 1年人教A 版(2 019)选择性必修第一册数学第一章空间向量与立体几何单元测试卷(1)一、选择题1.【答 案】D【考 点】空间向量运算的坐标表示向量的模向量的减法及其几何意义【解 析】先求出；一;=(0,-3,-4),再利

9、用模长公式求解即可.【解 答】解：a=(1,2,2),b=(1,1,6).-一C L b (0,3,-4),a-b=VO2+(-3)2+(-4)2=5.故选D.2.【答 案】C【考 点】共线向量与共面向量【解 析】利用向量平行的性质直接求解.【解答】解：，向量1=回6,2),b=(-1,3,1),满 足 力“，g =g=解得a=2,1.实数;I的值是-2.故选C.3.【答 案】C【考 点】空间中的点的坐标空间两点间的距离公式【解 析】求出B点的坐标，再根据空间中两点间的距离公式即可得解.【解答】解：设B(a,瓦c),由中点坐标公式可得：?=0,等=0,等=0,解得a=l,b=0,c 3,所以-

10、3),所以点|4B|=J(-l-1引+(0 0)2+(3+3-=2V10.故选C.4.【答案】D【考点】空间向量的加减法【解析】利用向量的加法，M N =M O +OB+B N,利用中点公式代入.【解答】解：M N =M O +0 8+BN,T1-1 T M O =-OC,BN=-BA=-(pA-OB),2 3 3、7T 1 T 2 T 1 T所以 MN=-乙OC+-OB+-OA2 3 3L.2；J-=c+-b+-a.2 3 3故选D.5.【答案】B【考点】空间直角坐标系【解析】根据空间点的对称性分别进行判断即可.【解答】解：因为点P(a,b,c)与点P关于坐标平面yOz对称，则y,z不变，无

11、 相反,所以对称点P(-a,匕，c),所以P(l,-2,5)关于坐标平面yOz的对称点的坐标为(-1,一 2,5).故选B.6.【答案】B【考点】平面的法向量向量的减法及其几何意义【解析】试卷第8页，总25页若点P 在平面a 内，则024万=0,经过验证即可判断出结论.【解答】解：由题意得点=(1,0,1),P5l-n-I*0,排除选项4.同理，可排除选项C,D.因为 P；A=(1,-4,1),所以隔7 =0.故选B.7.【答案】A【考点】空间向量的基本定理及其意义向量的加法及其几何意义【解析】充分利用向量加法、减法的平行四边形、三角形法则以及数乘运算，将向表示出来，易 知 而=M A+AAt

12、+A；N,然后将三个向量分别用基底表示出来代入即可.【解答】解：因为M在4 c 上，且AM=：MC,N在上，且&N=2NO,所以=A1N=“1D.又由已知平行六面体力BCD-久当的久，SLAB=a,AD-b,AA1=c得：T T T T T TAC=a b,A/=b c,一.T T T T T T 1 TT 2 T T所以MN=MA+AN=-AM +AAX+ArN=-i(a +b)+c+|(/-c).化简得 MN=：a+：b+c.故选4.8.【答案】A【考点】共线向量与共面向量【解析】由已知得几=(一 2,-2,2),CD=(1,1,-1),AB=-2 C D,从而得到直线4B与CD平行.【解

13、答】解：在空间直角坐标系中，2 4(1,2,3),8(-1,0,5),C(3,0,4),D(4,1,3),AB=(-2,-2,2),CD=(1,1,-1),AB=-2 C D,/.直线48 与CD平行.故选4.9.【答案】A【考点】空间向量的夹角与距离求解公式【解析】求出|6|=(1,0,0),|盛|=(-1,2,-2),根据空间向量的夹角与距离公式即可求解点4到直线BC的距离.【解答】解：；4(0,0,2)，B(l,0,2),C(0,2,0),AB=(1,0,0),BC=(-1,2,-2),点4到直线BC的距离为：d=网(cos)23故选410.【答案】C【考点】用空间向量求直线与平面的夹角

14、【解析】设正方体的棱长为2,以。为原点，D4为%轴，DC为y轴，0 名为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出sina的取值范围.【解答】解：设正方体的棱长为2,以。为原点，D4为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，试卷第10页，总 25页则4(2,0,2),B(2,2,0),D(0,0,0),0(1,1,0),P(a,2,2),0 a Tn-BD=2x+2y=0/T T.n-DAr=2%4-2z=0取X=1,得蔡=(1,-1,-1),T T-t OP-nsina=|cos|=|-|0P|向a-l-l-2 ._ V 3|a-4|7(a-l)2+5-V 3-3 x/(a-l)2+S

15、，0 a 2,a=2时，sina取最小值(s i n a)m i n 3 x 1 2-4 1 _ V 23 V(2-l)2+5 -3a=0时,sina取最大值(sina)maxV 3 x|0-4|=2 7 2T V(0-l)2+5 -sina的取值范围是惇当.故选C.11.【答案】D【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离【解析】此题暂无解析【解答】解：建立空间直角坐标系如图所示,设 PO=CD=AD=2,则E(0,1,1),B(2,2,0),P(0,0,2),)(0,0,0),PD=(0,0,-2),BE=(-2,-1,1),设PD与BE的夹角为仇T 则cose=上 aIPDMBEI2一 2

16、V6V6=6,故选o.12.【答案】C【考点】点、线、面间的距离计算向量语言表述线面的垂直、平行关系【解析】以G 为原点，C14为x轴，GB1为y轴，G C 为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段名尸的长.【解答】解：以G 为原点，的&为 x轴，G B i为y轴，G C 为z轴，建立空间直角坐标系，由题意4式1,0,0),当(0,1,0),0),G(0,0,0),4(1,0,2),设F(0,1,t),0 t 0,解得2=2.【考点】空间向量的数量积运算【解析】以点。为原点。，DA,DC,DDi分别为,y,z轴建立空间直角坐标系。一 x y z,利用向量法能求出实数;I的值.【解答】解

17、：如图，以点D为原点。，DA,DC,DC1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系。一xyz,则。(0,0,0),8(1,1,0),4 式1,0,Q,设P(0,1,X),其中x e 0,川，因为&P 1 PB,所 以&.而=0,即(1,1,x-A)-(-l,0,x)=0,化简得久 2 Ax+1=0,x 0,2,由点P(0,1,x)的唯一性知方程/-Ax+1=0只有唯一解，所以，判别式/=/一 4=0,且；1 0,解得A=2.20.【答案】证明：在等腰梯形4BC0中，过点C作CE J.4B 交AB于点瓦设BC长为1,则 48=2,BE=,C E=-,AC=V3,rB C2+AC2=AB2,即乙4cB

18、=90。，所以AC 1 BC.因为面FCB与面力BCD交线为BC,又AC c:SABCD,所以AC _L 面FCB.(2)解：过点C作CM L平面B C D,以点C为原点，试卷第18页，总25页C 4 C B,C M所在的直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则 C(O,O,O),B(O,1,O),咯，/。(。，鸿)，所 以 访=(y,-1,O),B F =(。，-渭),设平面B D F的法向量为蓝=(x,y,z),则m-BD=0m BF=0即V 3 3X V =02 2Z 2y +TZ=0取z -1,则y -V 3,x -3,得 蓝=(3,6,1),取平面B C O的法向量为蔡

19、=(0,0,1)，所以cs(最 =品=1V 9+3+1V 1 31 3由图形知该二面角的平面角为锐角,所以二面角尸BD-C的余弦值为【考 点】用空间向量求平面间的夹角直线与平面垂直的判定【解 析】此题暂无解析【解 答】证 明：(1)在等腰梯形力B C D中，过点C作C E J.4B交 于 点&设8 C长为1,则 4B =2,BE=,CE=-,AC=V 3,可得B e?+心=AB2,即乙4 cB =9 0。，所以A C 1 BC.因为面F C B与面力B C D交线为B C,又AC u 面4BCD,所以力C _L面FCB.(2)解：过点C作CM 1平面EC。，以点C为原点，CA,CB,CM所在的

20、直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则 C(0,0,0),8(0,1,0),D(y,-i,0),F(0,i,),所以 BD=(y,-|,0),BF=(0,-鸿),设平面BDF的法向量为蔡=(x,y,z),则 何 BD=0-BF=0即V3 3X V=02 2：1,V3 八2y +Z=0取z=1,则y=V3,x=3,得 m=(3,V3,1),取平面BCD的法向量为1=(0,0,1)，所由 以1、1 cos V Tn,nT=_=，f 1=_|7n|-|n|V9+3+1 13由图形知该二面角的平面角为锐角，所以二面角F BD C的余弦值为去.2 1.【答案】(1)证明：以 旗，AD,4

21、%方向分别为%轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.试卷第20页，总25页4(000),C(V3,l,0),当(遮,0,3),D(0,3,0),G(遮,1,3),A (0,3,3),AC=(V3,1,0),B：D=(-V3,3,-3),TAC-BD=0,/.AC 1 B Q(2)解：设平面AC%的一个法向量为蔡=(x,y,z),AC=(V3,l,0),几 =(0,3,3),则 啖Zbm=(1,V3,V3)设直线BC1与平面4CD1所成角为仇8 1cl=(0,1,0),T T-.而。=粤粤=IB i C i l Im l 7直线&G与平面4CDi所成角的正弦值为苧.【考点】用空间向量求直线与

22、平面的夹角向量语言表述线线的垂直、平行关系两条直线垂直的判定【解析】(I)以方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.求出相关点的坐标；通过计算AC BjD=0,证明4c 1 BXD.(口)求出平面4CD的法向量，设直线当口与平面AC5所成角为。，求出Bi=(0,1,0),利用向量的数量积求解直线BiG与平面AC%所成角的正弦值.【解答】证明：以 筋，AD,方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.4(000),C(V3,l,0),当(遮,0,3),D(0,3,0),G(遮,1,3),A (0,3,3),AC=(V3,1,0)，B：D=(-V 3,3,-3),TAC-B

23、D=0,/.AC 1 B Q(2)解：设平面AC%的一个法向量为蔡=(x,y,z),AC=(V 3,l,0),几=(0,3,3),则 啖 Zbm=(1,V3,V3)设直线BC1与平面4CD1所成角为仇8 1cl=(0,1,0),T T-.而。=粤粤=IBiCilIml 7直线&G 与平面4CDi所成角的正弦值为苧.2 2.【答案】(1)证明：由已知4B=AE=2,因为。为8 E中点，所以AO 1 BE.因为平面ABE _L平面BCDE,且平面4B E n平面BCDE=BE,AO u 平面ABE,所以4 0 1平面BCDE.又因为CD u 平面BCCE,所以4。1 CD.(2)解：设F 为线段B

24、C上靠近B点的四等分点，G为C。中点，由已知易得OF 1 OG.由(1)可知，40_L平面BCDE,所以A。1 OF,AO 1 OG.以0 为原点，OF,0 G,。小所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系(如图).试卷第22页，总25页因为4 B =2,BC=4,所以4(0,0,迎)，B(l,-1,0),C(l,3,0),(-1,3,0),E(-1,1,0).设平面A D E的一个法向量为m=(Xi，yi，zi),因 为 痴=(-1,3,-伪,DE=(0,-2,0),所 以 总 可=0,即 尸+3%-岳】=0,m-DE=0,(-2%=。，取Zi=-1,得m=(企,0,1),而=(1,3,

25、-V2),所以直线4 c 与平面ADE所成角的正弦值sin。=1-=1=12V3-V31 3（3）解：在线段A C 上存在点P,使得OP平面4DE.Af D设PQo，yo，Zo），且 正=4（O S，S 1），则 衣=XAC,A G 0,1.因为4(0,0,鱼)，C(l,3,0),所以(与,yo，Zo 鱼)=(九 3 A,-V2 A),所以Xo=2,y0=3A,z0=V2 V2A,所以 P(/l,3；l,企 一 夜 4),OP=(A,3 A,V2-V2 A),若OP 平面AD E,则 办 1 薪，即 办 肃=0.由（2）可知，平面4 C E 的一个法向量蓝=（企,0,-1）,即 内-/+e=0

26、,解得;l=ge 0,1,所 以 当 祟 乏 时，O P/平面 ADE.【考点】用空间向量求直线与平面的夹角用向量证明平行直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的判定【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：由已知4B=4E=2,因为。为BE中点，所以4 0 1 BE.因为平面A B E，平面BCDE,且平面4B E n平面BCDE=BE,AO u 平面ABE,所以力 。_ L 平面BCDE.又因为CD u 平面BCCE,所以HO 1 CD.(2)解：设F为线段BC上靠近B点的四等分点，G为CD中点，由己知易得OF 1 0G.由(1)可知，A/O 1,平面BCDE,所以4。1 OF,AO 1 OG.

27、以。为原点，OF,0 G,。4 所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系(如图).因为4 B =2,BC=4,所以4(0,0,金)，5(1,-1,0),C(l,3,0),0(-1,3,0),以一 1,1,0).设平面AOE的一个法向量为就=01，月/1),因 为 痴=(-1,3,-烟,DE=(0,-2,0),所以W，D=。，即+3%-&=。，,DE =0,(-2yi=0,取Zi=-1,得m=(企,0,1),而?=(1,3,-V2),所以直线4 C 与平面4D E 所成角的正弦值sin。=|福|=I2v3-V3l 3(3)解：在线段4 C 上存在点P,使得0P平面ADE.试卷第24页，总25页设P(%o，y o，Z o),且 五=2(0 W/l W l),因为4(0,0,圾,C(l,3,0),所以(与,y0,z0-V 2)=(A,3 A,-V 2 A),所 以&=九 y()=3 九 z0=y/2 V 2 A,所以 P(4,3；l,鱼 一&/l),OP=(A,3 A,V 2-V 2 A),若O P 平面4 D E,则 办_LU,即 办 薪=0.由(2)可知，平面4DE的一个法向量蓝=(四,0,-1),即 属 一 企+内 =0,解得;1 =6 0,1 ,所 以 当 冷 朋,0 P 平面 4 D E.