2021年全国高考甲卷数学（文）试卷解析.pdf

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1、绝密启用前2021年全国高考甲卷数学（文）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1.设集合M =1,3,5,7,9 ,N=x|2 x 7 ,则M Q N=（）A.7,9 B.5,7,9 C.3,5,7,9 D.1,3,5,7,9 2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查3.已知（l-i）2 z =3 +2 i,贝 此=（）3 3A.1 1 i B.-1 +-iC.;23 .D.-12 224.下列函数中是增函数的为（）A./（X）=T B./（X）=OC./（x）=x2D./（A）=-V x

2、5.点（3,0）到双曲线版-5=1的一条渐近线的距离为（）C ID.546.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足L=5 +l g V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为（）（狗 1.2 5 9）A.1.5B.1.2C.0.8D.0.67.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-E F G后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A.该地农户家庭年收入

3、低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于1 0.5万元的农户比率估计为1 0%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间正视图8.在aABC中，己知 3 =1 2 0。，A C =晒,A B =2,则 3C=（）A.1B.7 2C.y/5D.39 .记S,为等比数列 ,的前”项和.若S z=4,S4=6,则S=()A.7 B.8 C.9 D.1 01 0 .将 3 个 1 和2个 0随机排成一行，则2 个 0不相邻的概率为()A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.8(c 不、C c o

4、s a -1 1 .若a w 0,二 ，t a n 2 a =；,则 tana=()2 )2-s in aA.巫 B,更 C.D.姮1 5 5 3 31 2.设/(元)是定义域为R的奇函数，且/(1 +X)=X),若则/图=()二、填空题1 3.若 向 量 满 足 卜卜3,卜一4 =5,白4=1 ,则卜卜.1 4.已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为3 0%则 该 圆 锥 的 侧 面 积 为.1 5.已知函数f(x)=2 c o s(沈+0)的部分图像如图所示，则.16 4且归。|=|用，则四边形际。耳的面积为.三、解答题17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较

5、两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 20 0 件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床1505020 0乙机床1208 020 0合计27013 040 0(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？(2)能否有9 9%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？_ n(ad-bc)2(a +b)(c+d)(a+c)(b+d)0.0 50 0.0 100.0 0 1k3.8 416.63 510.8 2818 .记S 为数列 凡 的前项和，已知4 0,%=3 4 ,且数列、因 是等差数列，证明：a,是等差数列.19 .已知直三棱柱A B C 4 仇C

6、 中，侧 面 为 正 方 形，A B =B C =2,E,产分别为A C和C G的中点，B F A.BX.(2)设点4 的直角坐标为(1,0),“为 C 上的动点，点P满 足 而=应赤，写出户的轨迹G 的参数方程，并判断C 与G 是否有公共点.2 2.已知函数/(幻=卜-2|，8(丫)=|2_ +3|_|2欠_ 11(1)画出y =/(x)和y =g(x)的图像：(2)若/(x +a)W g(x),求 a的取值范围.(1)求三棱锥产一E3C 的体积；(2)已知。为棱A#上的点，证明：B F 1.D E.20 .设函数+仆-3 1nx+1 ,其中 a 0.(1)讨 论 的 单 调 性；(2)若y

7、 =/(x)的图像与X轴没有公共点，求 a的取值范围.21.在直角坐标系x O y 中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为p=2-72 c o s 0.(1)将 C 的极坐标方程化为直角坐标方程;参考答案1.B求出集合N后可求M cN.解：N=g,+8 ,故M cN =5,7,9,故选：B.2.C根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.解：因为频率直方图中的组距为1,所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可

8、作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.02+0.04=0.06=6%,故A正确；该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.04+0.02x3=0.10=10%,故B正确;该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为().10+0.14+0.20 x 2=0.64=64%5()%,故 D 正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为3 x 0.024-4x 0.04+5 x 0.10+6 x 0.14+7 x0.20+8x0.20+9x 0.10+10 x 0.10+11x0.04+12x 0.02+13x0.02+1

9、4x 0.02=7.68(75元)，超过6.5万元，故C错误.综上，给出结论中不正确的是C.故选：C.点评：本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于 给 X组距.组距3.B由己知得z3+2;-2i根据复数除法运算法则，即可求解.解：(1 -z)2z =-2 z z =3 +2 i,3 +2 z (3 +2?)-/-2 +3/,3 .z =-=-=-=-l +-i.-21-2 i-i 2 2故选：B.4.D根据基本初等函数的性质逐项

10、判断后可得正确的选项.解：对于A,/(x)=-x 为 R 上的减函数，不合题意，舍.对于B,“X)为火上的减函数，不合题意，舍.对于C,/(x)=f 在(-0 0,0)为减函数，不合题意，舍.对于D,/(x)=盯 为 R 上的增函数，符合题意，故选：D.5.A首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.解：由题意可知，双曲线的渐近线方程为：-=0,即3%4 y =0,1 6 9结合对称性，不妨考虑点(3,0)到直线3 x+4 y =0的距离:,9 +0 9a-,-二 一9 +1 6 5故选：A.6.C根 据 关 系，当L=4.9 时，求出I g V,再用指数表示V

11、,即可求解.解：由 L=5 +l g V,当 L=4.9 时，l gV=-().l,故选：C.7.D根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.解：由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，故选：D8.D利用余弦定理得到关于8 c长度的方程，解方程即可求得边长.解：设 A B =c,A C =b,B C =a,结合余弦定理：=a 2 +c 2-2 a c c o s5 可得：1 9 =/+4 2 x a x c o sl 2 0，即：t z2+2 i 2 -1 5 =0 解得：。=3 (。=5 舍去)，故 B C =3.故选：D.点评：利用余弦定理及其推论解三角形的类

12、型：(1)已知三角形的三条边求三个角；(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形.9.A根据题目条件可得邑，S4-S2,S6-S4成等比数列，从而求出S6-$4 =1,进一步求出答案.解：V s,为等比数列&的前项和，S,SA-S2,S 6-S 4成等比数列S2=4 ,S4 S2=6 4 =2.-.S6-S4=l,6=1 +S4 =1 +6=7.故选：A.10.C利用古典概型的概率公式可求概率.解：解：将 3 个 1和 2 个 0 随机排成一行，可以是：0 0 1 1 1,0 1 0 1 1,0 1 1 0 1,0 1 1 1 0,1 0 0

13、 1 1,1 0 1 0 1,1 0 1 1 0,1 1 0 0 1,1 1 0 1 0,1 1 1 0 0,共 10种排法，其中2 个 0 不相邻的排列方法为：0 1 0 1 1,0 1 1 0 1,0 1 1 1 0,1 0 1 0 1,1()1 1 0,1 1 0 1 0,共 6 种方法，故 2 个 0 不相邻的概率为9 =0.6,1 0故选：C.11.A,_ _ z八，口 八 si n 2 a 2 si na c o sa 工人人一心为,口 .1 一八由二倍角公式可得t a n2。=-=-,再结合已知可求得s m a =一 ,利用同角二角c o s2 a l-2 si n a 4函数的

14、基本关系即可求解.解：-c o s a,/t a n 2 a=-；-2-si na-si n 2。2 si n a c o s a c o s a/.t a n la=-=-=-,c o s2 a l-2 si n a 2-si na(c 1 八 2 si na 1 .1aw 0,彳，.cos aw O,.=-；-,解得si na =二，I 2 )l-2 si na 2-s m a 4r-J 1 5 si n a /5c o s a=VI-si n a=-，/.t a n a=-=-4 c o s a 1 5故选：A.点评：关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求

15、出si na.1 2.C由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得了的值.解:由 题 意 可 得:/图=小+|)=(|)=-噌)故选：C.点评：关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.1 3.3正根据题目条件，利用-石模的平方可以得出答案解：V|3-5|=5a-l=a+b-2 a-b=9 +1|-2 =2 5.调=3忘.故答案为：3底.1 4.39%利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.解：1 ,V V=-62/Z=30-3故答案为：39乃.首先确定函数的解析式，然后求解/（1 J的值即可.解：

16、上,.土-1出 3 1 3万 乃 37 r T 2乃由题悬可得：T=-=.T=7T,co=2,4 1 2 3 4 T,1 37._ 1 3万 一,c,1 3/,当尤=2一 时，x+(p=2 x cp 2攵乃,(p 2 kjv 乃(k w Z),7 1令左=1可得：(P ,6据 此 有:/(x)=2 c o s|2 x-|,/T|=2 c o s|2 x -|=2 c o s =-.故答案为：-季）.点评：己知4X）=ACOS（3X+*）（A 0,。0）的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数3 和9,常用如下两种方法：由CO即可求出3确定9时，若能求出离原点最近的右侧图象

17、上升（或下降）的“零点 横坐2万T标X 0,则令c u x o+夕=0（或3X o+=7 r）,即可求出夕.（2）代入点的坐标，利用一些已知点（最高点、最低点或“零点”）坐标代入解析式，再结合图形解出。和 如 若 对A,。的符号或对夕的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.1 6.8根据已知可得P片，P用，设利用勾股定理结合m +=8,求出加，四边形P F,Q F2面 积 等 于,即可求解.解：因为RQ为。上关于坐标原点对称的两点，且|PQ I=I片g 1，所以四边形?耳QK为矩形，设|P Ft|=m,P F2=n,则加+=8,机？=48 ,所以 6 4=（加+）2 =irr+2 mn+

18、n=48 +2 mn,m n =8,即四边形PK Q乙面积等于8.故答案为：8.1 7.（1）7 5%；6 0%；（2）能.本题考查频率统计和独立性检验，属基础题，根据给出公式计算即可解:（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为埋=7 5%,2 0 01 2 0乙机床生产的产品中的一级品的频率为 =6 0%.2 0 0“2 4 0 0(1 5 0 x 8 0-1 2 0 x 5 0)2 4 0 0 in-K-=-=1 0 6.6 3 5,2 7 0 x 1 3 0 x 2 0 0 x 2 0 0 3 9故能有9 9%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.1 8.证明见解析.先 根 据

19、 厄-后 求 出数列 庖 的公差d,进一步写出 叵 的通项，从而求出 q,的通项公式,最终得证.解：V数列#1 是等差数列，设公差为=也+4 -J 4=5/星:,厄=8+(葭-1)瓜=1用i，5 N*)S“=q 2,(eN*)当N 2时，an=St l-S _!=IM2-aj/i-l)=2 aln-al当=1 时-，2 q x l-q=q,满足a“=2 4 -4，.%的 通 项 公 式 为=2 4 一4 ,(eN*)/.an-a,i =(2 q -a,)-2 4 -1)-4 =2 a 4 是等差数列.点评：在利用4=S“一5,i求通项公式时一定要讨论=1的特殊情况.1 9.(1)1;(2)证明

20、见解析.(1)首先求得AC的长度，然后利用体积公式可得三棱锥的体积；(2)将所给的几何体进行补形，从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直，然后再由线面垂直可得题中的结论.解：如图所示，连结A F,由题意可得：B F =B C2+C F2=7 4+1=7 5 由于 ABLBBi,BCAB,B B Q B C =B ,故 M JL平面 BCG用，而 Bb u平面 B C C 4,故 A B L B/7，从而有A F MJA B尸=而？=3,从而 A C=JA F2 _C/2=7 1 =2 0，则+=4。2,二AB _ L B C,A 6 C 为等腰直角三角形，S&BCE=3S&ABC=5*(5*2

21、*2)=1 ,VF-EBC=义 SABCuX CF=x lx l=.(2)由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2 的正方体A B C M-4 g G 1,如图所示，取棱A,8 C 的中点 H,G,连结正方形BCG4 中，G,尸为中点，则又 B F J.A 4，A B I D4 G =4,故 5/J_平面A 4 G”,而。u 平面A 4 G H,从而B F 工 DE.点评：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积.对于空间中垂直关系(线线、线面、面面)的证明经常进行等价转化.20.(1)/(x

22、)的减区间为。,口，增区间为仁,+.(1)求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.(2)根据/（1）0及（1）的 单 调 性 性 可 得0,从而可求的取值范围.解:(1)函数的定义域为（0,+8），(2 ax +3)(ax-l)又(幻 二1-八乙x因为。0,尤0,故2办+3 0,当0%,时，fx）L时，r（x）0；a a所以/（X）的减区间为（o,J，增区间为（2）因为/（1）=。2+“+1 0且y =/（x）的图与X轴没有公共点，所以 =/（）的图象在X轴的上方，由（1）中函数的单调性可得/（XUM=/（：）=3 _ 3 1 n!=3 +3 1 n a ,故 3+3 1 n a 0 即

23、 a.e点评：方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.（,2 f%=3 y/2 +2 c o s 02 1.（1）（X-V 2）+/=2；（2）P的轨迹G的参数方程为（8为参数）,y =2 si n。C与G没有公共点.（1）将曲线C的极坐标方程化为0 2 =2&p c o s。，将=28$。,丁 =5出。代入可得；设P（x,y）,设/（0 +&c o s a&s i n。），根据向量关系即可求得P的轨迹G的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.解：（1）由曲线C的极坐标方程p=2 /2 c o

24、s可得p1=2 2/7 cos，将x=pcose,y=psin。代入可得/+,2 =2后，即卜 一 四J+V=2,即曲线C的直角坐标方程为(x-J5)2+y 2=2；(2)设P(x,y),设 朋(五+0 c o s。,拒sinAP=y/2AM，.(x-l,y)=&(/+5 co se-l,asin e)=(2+2cose-V,2sin 8),x 1 =2+2 cos 0 x=3 +2 cos 0则 ，即 ，y=2sin。y=2sin。故P的轨迹G的参数方程为a 一3 一0+2 c s0(e为参数)y=2sin6 曲线C的圆心为(、历,0),半径为也,曲线G 的圆心为(3-夜，。)，半径为2,则圆心距为3-2 0，.3-2及 一2(1)分段去绝对值即可画出图像；(2)根据函数图像数形结和可得需将y=/(%)向左平移可满足同角，求得y =/(x+a)过A K，4 1寸a的值可求.(2)解：,f 2-x,x 2如图，在同一个坐标系里画出x),g(x)图像，=X+a)是 =/(x)平移了同个单位得到,则要使/(x+a)N g(x),需将y=/(x)向左平移，即。0,当y=/(x+a)过时，|+a 2|=4,解得a=U或*2 2 2(舍去),则数形结合可得需至少将y=/(x)向左平移;个单位，a N关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.