2021届高考数学二轮复习热点精练15 空间几何体（客观题）（文）（解析版）.pdf

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1、专题15空间几何体（客观题）一、单选题i.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是A.C.4i83B.4D.8【试题来源】北京房山区2021届高三上学期数学期末试题【答案】A【解析】根据三视图可知，该四棱锥的直观图如图P-A B C Q 所示，底面为对角线长为21 （2）4的正方形，与底面垂直的侧棱的长度为2,.,.其体积为丫=512、耳卜2=,故选A.B2.算数书竹简于上世纪八十年代在我省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中有一道求“困盖”体积的题：困下周六丈高二丈，求积.即已知圆锥的底面周长为6 丈，高为2 丈，求圆锥的体积.算数书中将圆周率乃近似取为3,则该困盖

2、的体积（单位：立方丈）约为A.2C.4B.3D.6【试题来源】2020年湖北省普通高中学业水平合格性考试【答案】A3【解析】设圆锥底面半价为，则2如*=6,，=,乃：.V =-XT2X2=-X-X x2=2.故选 A.3 3 7T2 7 T3.某几何体的三视图均为如图所示的五个边长为单位1的小正方形构成，则该几何体与其外接球的表面积分别为A.18,3万C.30,11%D.32,11乃【试题来源】陕西省宝鸡市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（理）【答案】C【解析】由三视图的几何体如图所示，可知几何体的表面积为S=lxlx5x6=30,设该几何体外接球的半径为R，则2 R=/12

3、+12+32=VT1，所以该几何体外接球的表面积为5=4万x=1 TC故选C.4.一个几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积是正视图 侧视图俯视图【试题来源】浙江省金华市义乌市2 0 2 0-2 0 2 1 学年高三上学期第一次模拟考试【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是一个以直角梯形为底面，高为6的四棱柱,Q5.已知某几何体的三视图如图所示，若 该 几 何 体 的 体 积 是 则 =【试题来源】江西省吉安市2 0 2 1 届高三大联考数学（理）（3-2）试题【答案】B【分析】作出原几何体对应的直观图，可知该几何体为一个圆台中挖去一个以圆台上底面为底面的圆柱后所得，结合题

4、中的数据以及台体、柱体的体积公式可求得为的值.【解析】作出原几何体对应的直观图如下图所示：由三视图可知，该几何体为一个圆台中挖去一个以圆台上底面为底面的圆柱后所得,圆台的上底面半径为1,下底面半径为2,高为X,圆柱底面半径为1,高为X,则其体积为 V -X-（7 T-12+7 T-22+J乃 小2?）万-x-7 rx ,3 /34 8由题设知，一 兀X =-Tt,：.x =2,故选B.3 3【名师点睛】求解几何体体积的方法如下：（1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利

5、用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.6.我国古代数学名著 九章算术中有如下问题：“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何？术曰：以七周乘三尺为股，木长为勾，为之求弦.弦者，葛之长”意思是今有2丈长的圆木，其横截面周长3尺，葛藤从圆木底端绕圆木7周至顶端，问葛藤有多长？九章算术还有解释：七周乘以三尺为股（直角三角形较长的直角边），木棍的长为勾（直角三角形较短的直角边），葛的长为弦（直角三角形的斜边）（注：1丈=1 0尺）A.2 9尺 B.2 7尺C.2 3尺 D.2 1尺【试题来源】大庆铁人、鸡 西-中、鹤岗一中三校2 0 2 0-2 0 2 1学年

6、高三上学期联考（理）【答案】A【解析】根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，如下图所示，矩形的高（即木棍的高）为2 0尺，矩形的底边长为7 x 3 =2 1 （尺），因此葛藤长，2 0 2+2肝=2 9 （尺）故选A.【名师点睛】对于空间几何体中最值问题的求解方法；（1）计算多面体或旋转体的表面上折线段的最值问题时，一般采用转化的方法进行，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为直”或“化曲为直”来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状；（2）对于几何体内部折线段长的最值，可采用转化法，转化为两点间的距离，结合勾股定理求解.7.中国古代数学名著 九章算术中记载了公元前3 4 4年商鞅督造的

7、一种标准量器商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），今有一球的体积与该商鞅铜方升的体积相当，设球的半径为R,则R M单位：寸D的值约为A.2.9C.3.135.4D.3.2【试题来源】河南省2 0 2 1 届高三名校联盟模拟信息卷（文）【答案】B【解析】由三视图作出直观图，如图，易得商鞅铜方升是由一圆柱和一长方体组合而成,故其体枳 V =（5.4 L 6）x 3 x l +xx l.6 =1 1.4 +0.4 ,4设球的半径约为R,则丁1 1.4+0.4 4，得及3 3.0.故选B.8.如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径6 c m,高 8 c m（不含杯脚），已知水的高度是 4 c m

8、,现往杯子中放入一种直径为1 c m 的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变.如果放完珍珠后水不溢出,则最多可以放入珍珠A.9 8 颗C.1 2 0 颗 D.1 2 6 颗【试题来源】湖北省黄冈市部分普通高中2 02 0-2 02 1 学年高三上学期1 2 月联考【答案】D【解析】作出圆锥的轴截面图如图，由题意，。尸=8,&P=4,O A =3,4 x 3设 q A =%，则一=一，即 了 =二.8 3 2则最大放入珍珠的体积V =,7 F x 32x 8-x 4 =2 1，3 3 最多可以放入珍珠1 2 6 颗.选 D.9.在正方体A3CD 44G。中，三棱锥A 4。的表面积为4

9、月，则正方体外接球的体积为A.4信B.遍兀C.32居D.8娓兀【试题来源】天津市滨海七校2 02 0-2 02 1 学年高三上学期期末联考【答案】B【解析】设正方体的棱长为。，则 4 =A C =A g =A=4C=.C=J ，由于三棱锥A -4cA的表面积为4 6 所以S=4S 蜴c =4x1 X缶了=4 百，所以a =&，所以正方体的外接球的半径为“旬+（应）+（匈=见，2 2所 以 正 方 体 的 外 接 球 的 体 积 为 乎）=乃故选5.【名师点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，

10、如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.1 0.已知正方体4BQD-44GR的所有顶点都在球。的表面上，若球。的体积为3 6 万，则正方体A B C。A4GA的体积为.A.273 B.3上C.12垂 D.2473【试题来源】天津市和平区2 02 0-2 02 1 学年高三上学期期末【答案】D【分析】先求出球。的半价，再根据正方体的棱长与其外接球半径的关系，求出正方体的楼长，即可求出正方体的体积.4【解析】.球。的体积为3 6 7，即/=3 6 万，解得R =3,设正方体ABC。A4G。的棱 长

11、 为 由 题 意 知 2/?=，7+牛+片,即6 =Ga，解得a=2 0，：.正方体AB C D-A.B D,的体积V 3=246.故选 D.1 1.刍薨，中国古代数学中的一种几何体.九章算术中记载：“刍薨者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.薨屋盖也翻译为 底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍薨字面意思为茅草屋顶”.如图为一刍薨的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则搭建它（无底面，不考虑厚度）需要的茅草面积至少为A.1 4C.1 6B.D.8A/58A/6【试题来源】四川省峨眉第二中学校2 0 2 0-2 0 2 1 学年高三上学期1 1 月 月 考（理）【答案

12、】B【分析】由三视图可知该刍薨是一个组合体，它山成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成,根据三视图中的数据可得其需要覆盖的面积.【解析】根据三视图画出其立体图形：如图，茅草覆盖面积即为几何体的侧面积,根据立体图形可知该几何体的侧面为两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形.其中，等腰梯形的上底长为2,下底长为4,高为，f+2?=石；等腰三角形的底边长为2,高为J a+2 2 =6,故侧面积为S =2x（4+2）x石+2x2x4x君=8石2 2即需要茅草覆盖面积至少为8小，故选B.1 2.已知三棱锥P-ABC满足：P C=AB=非,P A=B C=5 4 C=P B=2,则三棱锥P-A8 C的体积

13、为A.旦 B.也2 32 底 n V63 4【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2 0 2 1届高考适应性月考卷（三）（文）【答案】B【解析】因为P C=A B=6，P A=B C=6 AC=P B=2,构造长方体如图所示:则F C,AB,P A,B C,AC,为长方体的面对角线,/+/=5设 AQ =a,BD=C Q =c,plij c2+/?2=3a2+c2=4a -y f i解得,z,=0 ,所以三棱锥P-AB C的体积为C=1长方体的体积减去三棱锥c -DAB.F -P AC,G -P B C,E -P A B的体积,BP V=7 3 x 7 2 x 1-4 x 1 x x 1 x 7 2

14、 x l =,故选 B.3 2 31 3.如图，在直三棱柱A B C-A 的侧面展开图中，B,C是线段A D的三等分点，且AD=3A/3,若该三棱柱的外接球。的表面积为1 2力，则 的=g,C,D.(A：ABCD(A)A.72 B.2C.V5 D.2V2【试题来源】广东省高州市2021届高三上学期第一次模拟【答案】D【分析】根据展开图，得到直观图为直三棱柱，求得底面的外接圆半径，由外接球体积求得外接球的半径，进而利用勾股定理求得球心到三棱柱底面的距离，乘以2 即得三棱柱的高,即为A 4,的长【解析】由展开图可知，直三棱柱A BC-a 4 G 的底面是边长为行 的等边三角形,其外接圆的半径满足2

15、厂=*-=2,所以/=1.由4%R 2=i2%得 R=上.sin 60由球的性质可知，球心。到底面A BC的距离为=JR2 f 2=,结合球和直三棱柱的对称性可知，A4,=2 J =2V2,故选D.1 4.在 九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.已知四棱锥S-A B CO 为阳马，SO _L底面ABC。，其三视图如图所示，正视图是等腰直角三角形，其直角边长为2,俯视图是边长为2 的正方形，则该阳马的表面积为A.4 7 2+8C.8【试题来源】浙江省百校2020-2021学年高三上学期12月联考【答案】A【解析】由本题三视图知，该阳马是底面为正方形的四棱锥，两个侧

16、面是等腰直角三角形,另外两个侧面是直角三角形，证明如下：5。_ L平面A B C。，B C u平面A B C。，所以S D L B C,乂 B C 上 C D,C D Q S D=D,所以 BCJ,平面 S O C,S C u 平面 S O C,所以 8 C_ L S C.同理 A8 J.S 4.所以 S x 2 x 2 H x 2 x 2 H x 2 x 2,V 2 H x 2 x 2,/2 +2 x 2 =4 /2 +8 .故选 A.2 2 2 21 5 .己知长方体的两个底面是边长为1的正方形，长方体的一条体对角线与底面成4 5 角，则此长方体的外接球表面积为A.4乃 B.6万C.1 2

17、 7 D.2 4乃【试题来源】宁夏平罗中学2 0 2 1届高三上学期期末考试（文）【答案】A【解析】记该长方体为A 6 C D 44G。，为该长方体的一条体对角线，其与底面所成角为4 5。，因 为 在 长 方 体-中，侧棱。1底面4 3 C。，则Z D.B D为8。与底面所成角，即/R B D=4 5,因为长方体的两个底面是边长为1的正方形，所以B D =d A E P+A B 2=0，则DLI=BD=6,所以B R=7 2+2=2,又长方体的外接球直径等于其体对角线的长,即该长方体外接球的直径为2 H =3。=7 2 +2=2,所以此长方体的外接球表面积为S =4兀 R?=4万.故选A.1

18、6 .某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为2%,面积为 的扇形，则该圆锥的外接球的表3 3面积为A 2 7缶6 49nC.8【试题来源】周口市商丘市大联考2 0 2 0-2 0 2 1学年第一学期高中毕业班阶段性测试（三）27兀I F3兀T【答案】c【解析】解析设圆锥的母线长为/，则侧面积S=,X2 Z/2=W，所以/=12 3 32 yr 1设圆锥的底面半径为r，则 2 万 r=丁/,所以r =一，3 3所以圆锥的高Z=J/2 _/因为/z r,所以球心在圆锥的高匕设外接球的半径为R ,由*=（一 A）?+/,得 夫2（与 R +），解 得/?=苧，所以球的表面积为4 4/?2 =4%x9 7r

19、.故选c.81 7.四面体A B C。中，A B L B C,C D B C,B C =2,且异面直线A 8与 C。所成的角为6 0.若四面体A B CZ）的外接球半径为6，则四面体A B C。的体积的最大值为A.2 6B.4 73百 口 也L-L/.3 6【试题来源】浙江省绍兴市稽阳联谊学校2 0 2 0-2 0 2 1 学年高三上学期1 1 月联考【答案】A 解析 构建直三棱柱A B E -F C D，设G,“分别为 AB E,AC D F的外心，连接G H ,取其中质。，则。为宜三棱柱AB E-C D F的外接球的球心，也为四面体A B C。的外接球的球心，因为异面直线A B与 C O所

20、成的角为6 0。，所以N A B E =6 0 .设三棱柱底面 A B E 的外接圆半径为r,则r=万 斤=2，A E=2 r s in 6 0 =28，再由余弦定理，A E1=A B2+B E2-2 A B-BE-c o s 6 0 A B2+B E2-/I B-B E=1 2.所以 12=A B2+B E?-A B B E N 2A B-B E A B B E =A B B E ,即A 8-B E 4 1 2,当且仅当A B =B E =26时，等号成立，所以匕A-6BCC”D=VAA UDt iBb.E=VD3 AB2E =-AB-BE-sm60-D6E =AB-BE N H AF =N

21、 B AD =45，所以AB 1 AF ,AC 1 AG,AD L AH ,因为 A 4,_ L 平面 ABCOEFGH,且 AanA8=A,则A F J.平面因为A F 4 8 4 月，所以共有4个阳马；同理，A G _ 1 _ 平面AAGC,共 4个；4/_ 1 平面4 4,。，共 4个;ABL平面M 耳产，共 4个；ACL平面AAGQ,共 4个;AO1平面A 41Hi，共 4个；故有2 4 个阳马.故选C.2 9.在长方体A B C。A 4G。中，A B =C C=g，BC=1 ,点、M在正方形CORG内,平面ACM,则三棱锥M-ACG的外接球表面积为1 1 A.Tt B.7 兀2C.1

22、 IK D.1 4 兀【试题来源】广东省广州市2 0 2 1 届高三上学期阶段训练【答案】C【解析】长方体A C 1 中，AA_L平面a RG，G u 平面CORC，所以乂 平面ACM，ACu平面ACM,所以C|M _ L A C,因为Acn A2=A，所以G ，平面ACR，而u平面ACR,所以gM i CD,S PG是正方形，所以M 是CR与交点，即为CR的中点，也是G。的中点.C/0 C 是直角三角形，设 E是 CG中点，F是 B4中点，则由E f 7 ABe可得E F J.平面eq（长方体中棱与相交面垂直），E是GM C的外心，三棱锥A MCG的外接球球心。在直线EF上（线段E/或 EF

23、的延长线上）.设O E =，则 好+3+(1 /?)(解得/?=1 所以外接球半径为r=。丫+（也 =,表面积为5=4/=4%*口=1 1%.3 0 .如 图，已 知 四 棱 台AB C D-AB G R的 上 下 底 面 均 为 正 方 形，A B =2y/2,AxBl=V 2,A 4,=C Q =D Dt=2,则下述正确的是A.该四棱台的高为26B.A 4,CC,C.该四棱台的表面积为2 6D.该四棱台外接球的表面积为1 6 万【试题来源】四川省师范大学附属中学2 0 2 0-2 0 2 1 学年高三上学期期中（理）【答案】D【解析】将四棱台A B C。A4 G。的侧棱延长，相交于点P，形

24、成四棱锥P-A8C O设正方形A B C。和 AgGA的中心分别为，。1，如图所示:A选项：由于AB=2 0，A4=则4，4分别为中点，.PA=2A4,=4,pO =y/p-A O2=2x/3-.。=；2 =6即四棱台A BCD A BCR的高为、Q,故A错误;B选项：连接ACNAPC（或其补角）、即直线A4,与CG所成的夹角,P A =4,P C =4,AC =4,A PA C 是等边三角形,.NAPC=60，即与CG所成的夹角为60,故B错误；C选项：S正 方 形s=Q闾、8,=（二+2.呼=3 3，梯 形 A A B 8 1 2 2则该四棱台的表面积S=8+2+地x4=10+6，7,故C

25、错误；2D选项：设该四棱台外接球的球心M到上底面4 A G O的距离为X，则 A =H=Vl2+x2,AM=R=22+（/3-X）2，所以 Vl2+x2=把+限式,解得x=G，则外接球半径R=2,故该四棱台外接球的表面积S=4%H2=16万，故D正确，故选D.二、填空题1.已知正三棱柱A8C-A&G的体积为54,AB=6,记三棱柱ABC 4 8 c的外接球为球a,则外接球。的表面积是.【试题来源】山西省2021届高三上学期八校联考（文）【答案】6071【分析】先求出底面三角形的面积，以及底面外接圆半径，根据体积，得出正三棱柱的高,进而可求出外接球的半径，从而可得出外接球的表面积.解析】因为正三

26、棱柱A BC一 A4 G的底面积s =g X 6 2 X s i n 6 0 =9 7 3 ,底面外接圆半径r=26，所以正三棱柱A BC-A,4c l的高力=上=26,2 s i n 6 0 S所以外接球。的半径R =+已j=岳，则s =47 C/?2=6 0 7 t，故答案为6 0兀.2 .已知三棱锥S ABC中，SAY SB,S A 1 S C,SB 1 S C ,若三棱锥S A B C的外接球的表面积为2 4乃，记S SB C+S+S刈,，则S的最大值为.【试题来源】华大新高考联盟2 0 2 1届高三1 1月教学质量测评（联考）（文）【答案】1 2【分析】设SA =x,SB =y,SC

27、=z，则/4/也2=&，从而可得炉+；/+z?=2 4,而s=s S BC+s S A C+s SAB=（x y+y +立）,然后利用基本不等式可求得结果【解析】设 SA =J C,SB =y,S C =z,则/+_/+=（2 R；而4%R?=2 4万，得x2+y2+z2 2 4；故 S=S SBC+S S A C+S=g（盯+x z）4；（1+共 +%设,当且仅当x =y =z =2叵时等号成立，故S的最大值为1 2.3 .长方体A B C。A4 GA的棱长分别为0，也，2,则 其 外 接 球 的 体 积 为.【试题来源】吉林省白城市第一中学2 0 2 0-2 0 2 1学年高三上学期第三次

28、月考（文）9兀【答案】2【分析】根据长方体的结构特征，得到其外接球的直径即等于长方体的体对角线的长，由此求出外接球半径，进而可得外接球的体积.【解析】因为长方体的外接球直径等于长方体的体对角线的长，又长方体A BCD-A BCR的棱长分别为逝，6，2 ,所以该长方体外接球的直径为2 7?=J（V2）2+（A/3）2+22=3，即外接球半径为/?=不，所以外接球的体积为V =二万R3=一.故答案为三.2 3 2 24.在三棱锥。A B C 中，C D J底面 A B C,A C 1 B C,A B =BD =5,B C =4,则此三棱 锥 的 外 接 球 的 表 面 积 为.【试题来源】宁夏石嘴

29、山市第三中学2 0 2 1届高三上学期第三次月考（期末）（文）【答案】3 47【解析】因为底面48 C,所以C D L A C,C D 1 B C,又AC L 8C,所以三棱锥D-AB C的外接球就是以CD,CA C8为棱的长方体的外接球，其直径为长方体的对角线,因为C D =d B b BC2=52 42 =3,AC 7 AB 2-B C 2=耳-42 =3,所以外接球 的 宜 径2R=JCZ3+B 6+4e 2/3 2 442壬J2另,所以外接球的表面积为4%A，=万入3 4 =3 4）故答案为3 4万【名师点睛】利用三棱锥。一 A 8 C的外接球就是以C ,C A C 5为棱的长方体的外

30、接球求解是解题关犍.5.我国古代数学名著 九章算术中将正四棱锥称为方锥.已知某方锥各棱长均为2,则其 内 切 球 的 体 积 为.【试题来源】百校联盟2 0 2 1届普通高中教育教学质量监测考试（全国新高考卷）答案6 10&兀3【解析】如图，设方锥底面的中心为。，则在R t A B C中，A C =20，所以4 O =C O =0，在R t A P A。中，p o =4 i，所以方铢的体积为殍，设方锥内切球的半径为r,而方锥的表面积为4 +4 xx 2?x且=4 +，2 2由等体积法可 得 逑=，x（4 +4G）r，解得r=一一&，3 3 V 7 2体积为一4 兀X （-屈-五-=-6-A/-

31、6-1-0-/-2 兀.微短：6-7-6-1-0-/27 t .3 2 3 3【名师点睛】几何体与球相切问题解题策略：（1）体积分割法求内切球半径：（2）作出合适的 截 面（过球心、切点等），在平面上求解；（3）多球相切问题，连接各球球心，转化为处理多面体问题.6.在我国古代数学名著 九章算术中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，己知三棱柱ABC A是一个“堑堵”，其中AB=B 4=2,8C=1 ,A。=拓，则这个“堑堵”的 外 接 球 的 表 面 积 为.【试题来源】江苏省南通市启东市2020-2021学年高三上学期期中【答案】9n【解析】因为AB=2,3 C =1,AC=S，所以至

32、 2+8。2=4。2,所以所以可将三棱柱ABC4 4 c l 补成一个长方体，如图：则该长方体的对角线长等于这个“堑堵”的外接球的直径2R,所以2R=J?百仃=3,所以R=|.所以外接球的表面积为4%R2=4万X(|)2=9%.故答案为9万【名师点睛】将三棱柱A B C-A A G 补成一个长方体，利用长方体的对角线长等于这个“堑堵”的外接球的宜径求解是本题解题关键.7.如图，已知三棱锥V A B C,点 P 是忆4 的中点，且 AC=2,V5=4,过点P 作一个截面，使 截 面 平 行 于 和 A C,则 截 面 的 周 长 为.【试题来源】上海市复兴高级中学2021届高三上学期期中【答案】

33、6【解析】设 AS、B C、VC的 中 点 分 别 为E、F,连接E F、PF.P D,如图所示B八ED因为。、E 分别为AB、8 c 的中点，所以O E/7 A C,同理尸、。分别 为 VA、AB的中点,所以力尸口丫8.D E,。匚平面石尸尸。，VB,A C Z 平面EFPD,所以VB P 平面EFPD,A C Z7平面E F P D,所以截面E F P D就是所求平面,因为AC=2,V5=4,所以。E=P/=1,P D=F E =2,所以截面EFPD的周长为2+2+1+1=6,故答案为6.8.已知一个棱长为1 的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球

34、体的底面圆内，则该半球体（包括底面）的表面积为.【试题来源】陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期第一次高考模拟测试（文）【答案】29万【分析】根据正方体和半球的关系，作出对应的轴截面，根据对应关系求得求得半径，结合面积公式，即可求解.【解析】作出半球和正方体的轴截面，如图所示，设求得的半径为R,因为正方体的棱长为I,所 以 正 方 体 的 对 角 线 长=，半球的表面积为S在直角OB C中,9兀故答案 为 三9.已知三棱锥 A BCD 中，A B =C D =R AC =B D =2,AD =B C =6 若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为【试题来源】吉林省梅河口市第五

35、中学2 0 2 1 届高三上学期第三次月考(文)【答案】岳兀【分析】由三棱锥的棱两两相等，所以把它扩展为长方体，即可由此求出球半径，得出体积.【解析】由题可知，该三棱锥是由长方体的面对角线构成，如图，设 长 方 体 的 棱 长 分 别 为 则/仲 2=的2 y 2=4a2 y 2=3 ，贝 1 6+4+力=6,设球半径为R，则 2/?=力 2+0+2=/,即 氏=半，则球的体积 为 等 1 =几 万.1 0.圆台上、下底面的圆周都在一个直径为1 0 的球面上，其上、下底面半径分别为4和 5,则 该 圆 台 的 体 积 为.【试题来源】2 0 2 1 年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学【

36、答案】6 阮【解析】圆台的下底面半径为5,故下底面在外接球的大圆上，如图所示，设球的球心为。，圆台上底面的圆心为。，则圆台的高OO，=J o。？。，。？=1 5 2 4 2 =3，据此可得圆台的体积：V=j -x 3 x(52+5 x 4 +42)=6 U.故答案为6b r.【名师点睛】本题考查圆台与球的切接问题，解题的关键在于确定下底面与球的关系，然后利用几何关系确定圆台的高度即可求得其体积.1 1.已知直三棱柱ABC-44。AR A G-2,B&2/3,竹 2 其外接球的体积为【试题来源】吉林省四平市公主岭市范家屯镇第一中学两校联考2 0 2 1 届高三上学期期末（理）【答案】2 2 屿万

37、3【解析】已知A B=A C,所以三角形ABC为等腰三角形，取 M 为 8c的中点，连接AM,则A M L B C,由已知得 8 c=2&，B M =6 ,又；A 5=2,，N 3 A =6 0 ,所以B C 273.0/8 4。=1 2 0,再由正弦定理$04一 6-,（为三角形ABC外接圆半径）,片2,V设两底面的外接圆的圆心分别为O ,Q,外接球球心。为 Q Q 的中点，外接球的半径/?=8=卜+学）=5 所以球的体积为g%R 3=2 2 咨，故答案 为 若 叵.1 2.在长方体抽 8-44储4 中，AB=CC=&8 c=1,点M在正方形COQG内，G ，平面 C M ,则三棱锥M-C

38、C的外接球表面积为.【试题来源】安徽省合肥市第六中学2 0 2 0-2 0 2 1 学年高三上学期期中（理）【答案】1U【解析】如图所示：平面ACM，连接C2，又CDR G 为正方形，点M为正方形CDQ G 对角线的交点，则M CG是等腰直角三角形，M是直角顶点，设E是CG中点，则E是M CG的外心，取F是 4中点，则M/B C,而B CL平面。C 0。，平面。C G R，三棱锥M-C Q的外接球的球心。在直线E F匕由已知可计算，F C.O在E F的延长线上，设O/=x,则由。&=。得(亚+x2=(x+l)2+f解得尤=/，0 C =-+1.外接球表面积5=11乃13.张衡是中国东汉时期伟大

39、的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八 分 之 五.已知三 棱 锥A-BC。的每个顶点都在球。的球面上，AB _L底 面BCD,BC _L CO,且 图 =6,B C =2,利用张衡的结论可得球。的表面积为.【试题来源】山东省日照第一中学2020-2021学年高三第二次联合考试【答案】IOVK)【分析】山BC CO,得到 BCD的外接圆的圆心。为BO的中点，再由A3 _L底面BCD,由截面圆的性质得到球。的球心为侧棱AD的中点求解.【解析】如图所示：因为3C L C。，所以8D=J 7，BCD的外接圆的圆心。为80的中点，又A 3,底面5 C O,由截面圆的性质得球。的球心为

40、侧棱AO的中点，从而球。的直径为AD=利用张衡的结论可得 =，则乃=9，16 8所以球。的表面积为47=10万=10函.故答案为10厢.A14.在 三 棱 锥P A B C中，侧 棱PA，底 面A B C/B A 6 1 2 0 ,A3 上 且P A =2 BC,则 该 三 棱 锥 的 外 接 球 的 体 积 为.【试题来源】山东省实验中学2020-2021学年高三第二次诊断试题,32万【答案】3【分析】根据题意，画出图形，根据余弦定理、正弦定理，结合球的体积公式进行求解即可.【解析】在DABC中，由余弦定理可知B C=V A B2+AC2-2 A B -B C -cos A B AC =V1

41、+l-2xlxlxcosl20=石，因为N3AC=120,AB=A C=l,所以口4 3。是顶角为钝角的等腰三角形，设口 A 8C的外接圆的直径为AD,由正弦定理可知AD =。=2，sin Z B AC sin 120因为侧棱PA L底面ABC,P A =2 B C =2 6,所以三棱锥产一ABC的外接球的直彳仝为P D,由 勾 股 定 理 可 知=4 AD2+P A1=万+（2乖1y=4，所以三.棱锥P ABC的外接球的半径为R=x 4 =2,2所以三棱锥P A 8C的外接球的体积为丫=彳4%N =4=7rx 2 3 =32乃 .故答案为32一 4.3 3 3 31 5.沿正三角形ABC的中

42、线AD翻折，使点3与点。间的距离为J 5,若该正三角形边长为2,则四面体ABC。外 接 球 表 面 积 为.【试题来源】陕西省宝鸡市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（文）【答案】5n【解析】由题意，折叠后的四面体中，A D L C D,A D L D B,CDDB=D,4 0,面BCO,H AB=AC=2,在火tlADB 中，A D=,且 BC=血,A设 BCD的外心为M 外接圆半径r,过 N 作 M N,平面8 Q C,过 A 作 AM/DM 则四边形 AEWM 为矩形，M N=AD=6,因为8OC 中，B D=D C=,B C=血，故/8 C C=9 0 ,由正弦定理可得

43、，变 =2 r,即 则 可 得 外 接 球 球 心。在 M N的中点，*=1 2。1+/=（*）2+；=，四面体4-8 8 的外接球表面积5=4兀/?2=5万.故答案为5万.1 6.已知正三棱锥的底边边长为2 6，侧棱长为、万，则该正三棱锥的外接球半径和内切球半 径 的 比 值 为.【试题来源】长沙市广益实验中学2020-2021学年高三上学期第一次新高考适应性考试7【答案】-2【解析】如图正三棱锥A B C D 中，A M 是高，M是底面BC。外心，。是外接球球心，=2 x 1 x 2 行=2，AM 7 AB-R M?=5 设外接球半径为R，3 2贝 有一/?+2 2=/?2,解得尺=平（火

44、 6 说明。在 AM 延长线上），VA-BCD=4又xQ拒）?x道=3，E 是 中点，AE-VAC2 CE2 2,S&A C D=C D.A E =92&2=2 6 5/=当0亚2=3 52 2 e 4所以.棱锥A -B C D在全面积为5 =3 x 2 7 3 +3 7 3=9 .设内切球半径为厂，则;S r =VA_BCD即！x 9&x r =3,r=昱,所以3 3 r 21 7.鳖 膈(b i e n a o)出 自 九章算术商功：“斜解立方，得两重堵.斜解遭堵，其一为阳马，一 为 鳖 席.”鳖膈是我国对四个面均为直角三角形的三棱锥的古称.如图，三棱锥ABCO是一个鳖脯，其中 A 3 _

45、L B O,5CLC。，且 加 衣 S C =4,过点B向A C引垂线，垂足为E,过E作C O的平行线，交A O于点尸，连接B尸.设三棱锥S.A-6 co的外接球的表面积为E ,三棱锥A-BEQ的外接球的表面积为5 2，则 肃=D【试题来源】广东省肇庆市2 02 1届高三上学期第次(1 1月)统一检测【答案】yi m i AB l B C,AB 1 B D,则 A B _L 平面 B C D,C O u 平面 B C D,所以 A B _L C ,又 C D I B C ,B C I A B =B ,所以 C O_L 平面 A C B,B E,A C u 平面A CB,所以 C D J.AC，

46、C D L B E .又 C D I I E F ,所以 AC E F ,又B E L AC,所以三棱锥E A B尸可补形成以E 4,M,E B为棱的一个长方体，其外接球的直 径 的 平 方 等 于 的 平 方 和，而 由A B J.B A A C L D(,则AO是三棱锥A B C D 外接球的直径.因为 4 5 =8。=。=4,所以/7=4&，E F =2,E B =2 g，4 =20，B D =4拒 AD =742+(4 72)2=4A/3-所以 E 4?十 四？+石/2 =2 0，,A。丫 4 8 (x/2 0 Y S,4 8 7 1 23=4 =4 x竺=4 8%，S2=4T T X

47、 J=2 0乃，所以U =k=1 2)4 -2 S2 2 0 万 5【名师点睛】本题考查求三棱锥外接球的表面积，解题关键是外接球球心，求出球的直径.三楂锥外接球球心在过各面外心且与此面垂直的直线上.有时可利用直角三角形去寻找外接球球心.1 8.如图，是由正四棱锥和长方体拼接而成的组合体，其顶点都在半径为R的球面上，记为 A5CO 的外接圆半径.若该正四棱锥和长方体体积相等，则,=【试题来源】河南省开封市2 02 1 届高三第一次模拟考试（理）【答案邛【解析】设正四棱锥的顶点为P,与底面A、B、C、。对应的顶点记为4、耳、G、D,设正四棱锥P-ABC。与长方体A B C。A4G A的公共外接球的

48、球心为。，所以。是长方体的中心，设正方形A B C。的中心为Q,正方形ABC。的中心为“，则 P、H、0、Q在 一 条 过 棱 锥 的 高 和 长 方 体 中 心 的 直 线 上，长 方 体 的 高 为HQ=CG =y j A C-A C2=J（2 R-7 =一户,E.P H =O P -O H=R _1 0 C；_ C i H。=R7R?_ 卡,因为正四棱锥与长方形的底面积相等，它们的体积又相等，所以=即=7,所以g =,=竽.故答案为生叵.A,BA【名师点睛】本题考查了组合体的几何体特征，解题的关键点是找到它们的高之间的关系然后用R、r 来表示，考查了空间想象力和计算能力.1 9.以A B

49、C为底的两个正三棱锥尸 A B C 和 Q-A B C 内接于同一个球，并且正三棱锥P-AB C的侧面与底面AB C所成的角为45,记正三棱锥尸-A B C 和正三棱锥Q A B C的 体 积 分 别 为 匕 和 ,则 =.（注：底面为正三角形且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥为正三棱锥）【试题来源】湖南省株洲市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量统一检测【答案】14【分析】取 A 8中点E,连接CE,P E,则。在 C E 匕 可得N P E q=4 5 ,求出,再由求出球半径，即可得出Q Q,由 于=方 即可得出.【解析】如图，连 接 P Q,则 P。中点为球心O,P。与平面A

50、 8C交于01,即三角形A8C中心，且尸Q，平面A B C,设三角形ABC边长为2,取 A8 中点 E,连接 CE,P E,则 在CE L 且 CE_L PE_L A6,N P E O 即为P-AB C的侧面与底面AB C所成的角，N P E O】=45,：.PO、=E O=W，设球半径为R，在直角三角形。中，OO：+O =OC2,即（R正 +f =R 2,解得氏=述，.o o 述立=正，I 3 J I 3 J 6,632则0 q=5J3+会J3 竽4x/3，二K片 胡p o 二1 故答案为“1【名师点睛】本题考查外接球问题，解题的关键是根据球的外接关系求出P Q,Q a 的关系,将体积之比转