2021年上海市杨浦区高考数学二模试卷（学生版+解析版）.pdf

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1、2021年上海市杨浦区高考数学二模试卷一.填 空 题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4 分，7-12每题5 分。考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果1.（4 分）己知复数z 满足z=2-2.为虚数单位），则 z =.2.（4 分）已知函数/（x）=x7二 T 的反函数为尸（x）,则广|（3）=.1 3 73.（4 分）在行列式。=2 5-2 中，元素3 的 代 数 余 子 式 的 值 为.1 2 44.（4 分）在（x-夜）8的二项展开式中，f项 的 系 数 是.X+1.05.（4 分）已知x,y 满足y-20，则 z=x-2 y 的 最 大 值 为.x-y-06.（4

2、分）方程 log5（4 ll）l=log5（2 3）的解为 x=.7.（5 分）已知一组数据a,3,-2,6 的中位数为4,则其总体方差为一.8.（5 分）已知函数，（x）=g（%）+|2%-l|为奇函数,若g（-l）=7,则 g（1）=.9.（5 分）直线/：5 +2口一丁+2-1=0（）被圆。:（工 一 1）2 +2=16所截得的弦长为4，则 lim.10.（5 分）非空集合A 中所有元素乘积记为7（A）.已知集合加=1,4,5,7,8,从集合用的所有非空子集中任选一个子集A,则T（A）为偶数的概率是.（结果用最简分数表示）11.（5 分）函数/（x）=sin（3x）+G cos（ax）3

3、 0）,若有且仅有一个实数满足:喷帆；2 x=是函数图象的对称轴，则。的 取 值 范 围 是.12.（5 分）如图，在棱长为2 的正方体A8CZ5-A4 G A 中，点P 是平面ACGA上一动点，且满足D F。户=0,则满足条件的所有点尸所围成的平面区域的面积是.D二、选 择 题（本大题满分20分）本大题共有4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5 分，否则一律得零分.1 3.（5分）若？，i是虚数单位，则 =是（m-）+（,+为纯虚数”的（A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件1 4.（5分）已知数列”,是无穷等

4、比数列，若4 生。，则数列 4的前 项和5,（）A.无最大值，有最小值 B.有最大值，有最小值C.有最大值，无最小值 D.无最大值，无最小值1 5.（5分）在 四 边 形 中AB =D C =(3,y/3),且满足AB A D A C|函 AD7Z则I/1=(）A.2 B.6 C.G D.2也1 6.（5分）已知函数f（x）的定义 域 为 值域为A,函数/（x）具有下列性质：（1）若x,y e D,则,-A :（2）若x,y e D,则/（x）+（y）w A .下列结论正确的是（）f（y）函数/（x）可能是奇函数；函数/（X）可能是周期函数；存在x e。，使得=2 0 2 0对任意x e D,

5、者B有f（x）GA.A.B.C.D.三、解 答 题（本大题满分76分）本大题共5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.1 7.（1 4 分）如图，棱柱 A B C-A 4 G 中，AB =B C=AA,=2,8 q _ 1 _底 面 筋。，A B L B C D是棱4?的中点.（1）求证：直线8 c与直线 G为异面直线;（2）求直线力 与平面A B C所成角的大小.1 8.（1 4分）己知f（x）=o r+；,（a为实常数）x+（1）当。=1时，求不等式/（x）+/d）X4（I）若P在抛物线上且满足|尸 尸|=3,求直线P F的斜率；（2）T（肛0）是x轴上一定点.

6、若动点P在上满足内,4的范围内运动时，|尸门,，|A T|恒成立，求?的取值范围;（3）。是曲线上另一动点，且满足尸P J _ F Q,若 A P F Q 的面积为4,求线段P。的长.21.（1 8 分）已知无穷数列 如 与无穷数列 儿 满足下列条件:的C 0,1,2,rtG N*；b上!_=（-I）|lz/-X z+i|,n 6 N*.记数列仍 的前项积为心.L 2 4（1 ）若。1=历=1,2=0,4 3 =2,。4=1,求 n；（2）是否存在。1,。2,。3,。4,使得历，历，加，4 成等差数列？若存在，请写出一组4 1,。2,。3,。4；若不存在，请说明理由；（3）若=求炎0 21 的

7、最大值.2021年上海市杨浦区高考数学二模试卷参考答案与试题解析填空题(本大题满分5 4分)本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果1.(4 分)已知复数z 满足z=2-i(i为虚数单位)，则 zN=5.(解答解：因为z=2 i,所以三=2+i,所以 z Z=(2-i)(2+i)=4+l=5,故答案为：5.2.(4 分)已知函数/(x)=x7=T 的反函数为尸(x),则/(3)=5.【解答】解：令于(x)=J H i =3,解得x=5,故 尸(3)=5.故答案为：5.13.(4 分)在行列式。=23 75-2 中，元素3 的代数余子式的值为

8、_-1 02 41 3【解答】解：在行列式。=2 51 27-2 中，元素3 的代数余子式的值为:4(-1)I+22X4-(-2)X1=-10,故答案为：-10.4.(4 分)在(x-0)8 的二项展开式中，4 项 的 系 数 是 56【解答】解：由己知可得展开式中含f的项为：C；x6(-夜 尸=2 x 28x6=56x6,所以展开式中x6项的系数为56,故答案为：56.X 4-1.05.(4 分)已 知 x,y 满足,y-2 0 ，则 z=x-2 y 的 最 大 值 为 9x-y-4 0【解答】解：由约束条件作出可行域如图,由z=x-2 y,得 y=；-由图可知，当直线y=过 A 时，直线在

9、y 轴上的截距最小,z 有最大值为9.故答案为：9.6.(4 分)方程 log 0 2J-3 0 ，解得x=2.故答案为：2.7.(5 分)已知一组数据a,3,-2,6 的中位数为4,则其总体方差为-2【解答】解：因为数据”，3,-2,6 的中位数为4,所以生0 =4,故。=5,2所以这组数据的平均数为%(-2+3+5+6)=3,11Q故方差为、(一 2-3)2+(3-3尸+(5 3)2+(6-3用=.故答案为：28.(5 分)已知函数/(x)=g(%)+|2%-l|为奇函数,若g(-1)=7,则g(1)=_-1 1【解答】解：根据题意,函数/(x)=g(x)+|2x-1|,则/(1)=g(1

10、)+1,f(-l)=g(-l)+3,又由函数/(x)=g(x)+|2x-l|为奇函数，则/(-1)+/(1)=g(1)+g(-l)+4 =0,则 g (1)=-1 1,故答案为：T1.9.(5 分)直线/:(+2)x-y +2-l=0(eN*)被圆C:(x-l)2+y 2=1 6 所截得的弦长为d“，则 I imd“=_ 2 j 7 _.【解答】解：圆C:(x-l +y 2=i6 的圆心(1,0),半径为4,由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 可 得9 +1 6-1+4=2.1 6-(|+2+2 -1 1+2)+14 5一+Tn n 2lim dn=lim 2 1 6-=2,6-9 =2币

11、./-+oo M-+x 4.45I+-+I n n故答案为：2 .1 0 .(5 分)非空集合A中所有元素乘积记为7 (A).已知集合知=1,4,5,7,8,从集合M 的所有非空子集中任选一个子集4,则T(A)为偶数的概率是.(结果用一 3 L最简分数表示)【解答】解：因为集合用=1,4,5,1,8),所以集合M 的所有非空子集共有丁-1 =31 种，若T(A)为奇数，则 A中元素全部为奇数，又1,3,5 的非空子集个数，共有23-1=7 种，所以T(A)为偶数的共有31-7 =24 种，故T(A)为偶数的概率是空.31故答案为：.311 1 .(5 分)函数/。)=$皿8)+。；(5)3 0

12、),若有且仅有一个实数加满足:喷版；2X =2是函数图象的对称轴，则 出 的 取 值 范 围 是 1,-）.-3 3【解答】解：函数/（x）=sin（6 9 x）+V3 C OS（V X）（V 0）=2sin（d x+y）,若有且仅有一个实数 2满足：噫%-；工二帆是函数图象的对称轴，2故函数的图象的对称轴只有一条在 0,-,2co-m+=k/r+E P x=（krc+）kw Z,3 2 6 0令 人=0,可得函数的图象的对称轴方程元=二，6（07 C 4 口 兀 1 2 T C,，一，且 +-，6a）2 6 0 2 G 2求得a）=2 0,球半径RC =0,2连接耳R,则 4 R _ L A

13、 G，1 A 4,所以8a，平面A C G A，所以R到平面A C G A的距离4 =g尸血，因为。为CR中点，所以o到平面A C G A的距离d=L4=*，所以圆半径r=-屋=J|,圆面积S=7tr=.2故答案为：.2二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.1 3.(5分)若1 ,wR,i是虚数单位，则?=是为纯虚数”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解答】解：复数z =/n-+(?+),为纯虚数，可得解得?=().in+*0um =nn是

14、“复数z =m-n +(,+)i为纯虚数”的必要不充分条件.故选：B.1 4.(5分)已知 数 列 是 无 穷 等 比 数 列，若4/0,则数列 4的前项和5,()A.无最大值，有最小值 B.有最大值，有最小值C.有最大值，无最小值 D.无最大值，无最小值【解答】解：根据题意，数列 q是无穷等比数列，若4生0,数列 0“所有项为负，q则有的=S z-S 1 s2,同理可得 S|S2 s ,故数列 a的前n项和S 有最大值，无最小值，故选：C.1 5.(5分)在四边形A 8 C D中，瓶=反=(3,6),且 满 足 第 +生 =M l A C|=(AB AD AC)A.2B.6C.gD.2+【解

15、答】解 一.缁+尚 二 篇,，AC为 NSW的角平分线,.A 豆=C,.四边形A 8 C D 是平行四边形，四边形A B C。是菱形，.ZB AC=ZB C A,|A 8|=,9+3=2 6 ,故选：D.1 6.(5 分)已知函数/(x)的定义域为。，值域为4,函数/(x)具有下列性质：(1)若x,y e D,则(2)若x,y&D,则/(x)+/(y)e A .下列结论正确的是()f(y)函数/(X)可能是奇函数；函数“X)可能是周期函数；存在x w。，使得八幻=圆4；2020对任意xw D,都有r(x)e A.A.B.C.D.【解答】解：中，若.f(x)为奇函数，则 由 性 质(1)得，/(

16、x)H O,所以当y =x时，f(x)+f(y)=f(x)+/(-x)=0 A，性 质(1)(2)矛盾,错误;若/(x)为周期函数，则，(x)=/(x +T),T为周期，当 A e(f o,0)0(0,+o o)时，性质(1)(2)均成立，结论正确；由上述分析可知，当 A e(T ,0)O(0,*)时/(x)的值域为A ,所以一定存在与使得/(x0)=,结论正确；0 2020由性质(2)可得当y=x时，/(x)+/()，)=2f(x)e A,故 A为无穷集合，故/(x)A,结论正确.故选：B.三、解答题(本大题满分7 6分)本大题共5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的

17、步骤.1 7.（1 4 分）如图，棱柱 ABC-A4G 中，AB =B C =AA,=2,8与，底面 A B C,AB L B C D是棱越 的中点.（1）求证：直线BC与直线。G为异面直线:（2）求直线OG与平面ABC所成角的大小.【解答】（1）证明：假 设 直 线 与 直 线 0 G共面，（2 分）,点 B,C,平面 A B C,而过直线8 c 和直线B C外一点）有且只有一个平面，（2 分）：.C,e 平面ABC,矛盾！（1 分）假设不成立故直线8 c 与直线QG为异面直线.（1 分）（2）解：如图，以3为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，（1 分）则 8（0,0,0）,C（2,0,

18、0）,A（。，2,2）,B C =（2,0,0）,&一,(a 为实常数)x+1(1)当a=l 时，求不等式/(x)+/d)x 的解集;X(2)若函数f(x)在(0,+oo)中有零点，求。的取值范围.【解答】解：(1)当a=l 时，不等式/(x)+/d)=x+1+l x,化 简 可 得 四 o,X X X所以x(x+l)0,解得一 1cx 0),r +1,1x+X因为x+2的取值范围是 2,+00),X故。的取值范围是19.(14分)如图，A,B,C三地在以O 为圆心的圆形区域边界上，回=30公里，AC=10公里，NB4c=60。，。是圆形区域外一景点，ZDBC=90,ZDCB=60.(1)O、

19、A 相距多少公里？(精确到小数点后两位)(2)若一汽车从A 处出发，以每小时50公里的速度沿公路4 5 行驶到。处,需要多少小时？(精确到小数点后两位)D【解答】解：（1）在 A4BC中，由余弦定理可得,BC2=AB2+AC2-2AB-ACcos ZCAB=302+102-2-30-10-cos60=700,BC=T0出，贝!I OA=1 BC=七四=匹。15.28（公里）.2 sin ZBAC 2 sin 600 3 X答：O、A相距约15.28公里;(2)在 RlACBD 中，B=BC tan60o=10 xV 3=10V21.A C在 AABC 中，-sin ZABCBCsinZBCA日

20、 n 10 1 0 a .回即-=-，.sin NA8C=-,sin ZABC sin 600 14cosNABD=cos(NABC+1o=_sinN48C=-吟，AD2=AB2+BD2-2AB-BDCOSNABD=302+(10 e -2x30 x10 0 x(-)=3900.AD=0yf39（公里）.所需时间为U晅=叵。1.25小时.50 5答：从 A 行驶到。约需要1.25小时.DB20.(1 6 分)焦点为尸的抛物线6：y 2=4 x 与圆。2：。-1)2+丁=1 6 交于A,B 两点，其中A点横坐标为4，方程的曲线记为，P是曲线上一动点.(X-1)2+/=1 6,XXA(1)若尸在抛

21、物线上且满足|P F|=3,求直线PF的斜率；(2)T(m,0)是x 轴上一定点.若动点P在 上满足,X,的范围内运动时，|P T|,|A T|恒成立，求 机的取值范围；(3)。是曲线上另一动点，且满足若A P F Q 的面积为4,求线段P。的长.【解答】解：(1)P是抛物线V=4 x 上满足|P 用=3 的点,过点P作 7 W，/于 N,由抛物线的定义可知，|P f|=|P N|,设尸(*,y),则*+1=3,解得才=2,又因为点P在抛物线上，所以 y 2=8 ,得 y =2/2,所以直线PF的斜率为无=丝 也=2&.2-1(2)设 P(X ,y),由卜+得=3 y=4 y =+3V 3所以

22、 A(3,2 6)，8(3,-26),x“=3,由|P T|,|A T|,得(%-%)2+4,(3-附2+1 2,H P x；-2m xi+m2+4%”21 -6m+m因为 X ,xA=3，匚 X2-21 1,、,1 2、所以小，-=（1 一 3+6-）,2x-6 2 x-31 1 7令/（X）=_（X 3+6-）,则是增函数，且0,x 汶-4（y；+）+1 6%必+1 6 =0，因为A P F Q 的面积为4,所以 P F|Q F|=4,所以（玉+1）（受+1）=8,所以千天+(x,+x2)-7=0 ,所以K.支+(田+五)-7 =0,4 4 4 4所以 汶 +4()；+)_ 1 1 2 =

23、0,+得，2 y；y；+1 6 y%-9 6 =0,所以+8 乂必-4 8 =0,令/=b%则户+8-4 8 =0,解得f =-1 2 或 f =4,即 乂%=T2或=4,代入得X%=T 2城+必2 =-8（舍）或乂必=42 2M +力=2 4所以城+若%必=40，则/，X同号，且丫产，由可知-2 伤 丸2 6,-2 6觌2A/3,所 以+bn=212a 2 2 a3 1 2%4由 导 一 百a 3 a/T得，b,喉,T4=b1-b2-b3-b4=y|g5(2)不存在.假设存在，设从，bl,b3,从公差为d,若40,则用 0,3 0,公差 d=2-i 0,矛盾;若 b i0,加 0,b 4 0

24、,d=h4-h i 0,且/?4 h 3 0，b4k-2 V o,b4k l0,设%=18丁5/11知 P 11，|bJ1 =qn,得Lf I编，进一步得到|为+2|=如他+1|加|,显然WW+1的值从大到小依次为1,3,A4 1 6(z)若 q/jqn+l=l,则,qn=ln ,则,%+l=1anan+l1 .5 a1tHh 0)an+2)=0)不可能;q n =l或，qn+iq_33 4 ,则,Q n+l=lanan+l2 d1)=(2,0)或an+2)=1)凡，6+1.1)=(2,1)an+2)=。)不可能;(沆)若q/q w*则，3q =-n 43,则.+1=7anan+la.)=(2,1)/1 、，、，不可能;a n+.J9)=(2,1)a ,)=(0,2)1 1 时1 取得,凡+1，an+2)=&，0)(z7)若q/q V则3(.I bn+2|y|bnp|b2nH 尸|b1|呜)n T ，I b&K C-j-)1 1-1|b2|(y)1 1-1*|bj|=(y)n-l j乃02 1|=|4历 3.&2 O 2 1|=|Z?1 加加.&2 02 1卜|历 4加 Z?2 02 0|0,.仃)_/l x 1 02 01 00.U2 02 H m ax-k2 )