2021年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅱ）（含解析版）.pdf

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1、2021年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷)数学(理)一、选择题1.设2(z+z)+3(z-z)=4 +6 i,则 N=()A.1-2/B.l +2zC.1 +zD.1-z答案：C解析：z=a+bi,则 z=法，2(z+z)+3(z z)=4。+6历=4 +6 i,所以 a =l,b-,所以z=l +i.2.已知集合 S =s|s =2+l,”e Z ,T =r|r=4 +l,”e Z ,则 S P I T：()A.0B.Sc.TD.Z答案：C解析：s =2 +1,e Z；当 n=2k,Z w Z 时，S =s|s =4 A+1,4 w Z ；当=2A+1,A w Z 时，5 =S|5

2、=4 +3,左6 2.所以7 0 5,5。7 =7 故选(：.3.已知命题：3 x e R,s i n x l；命题q：Vx w2 1,则下列命题中为真命题的是()A.p/qB.p/qc.p/fD.(p vq)答案：A解析：根据正弦函数的值域s i n x e-1,1,故 生 e R,s i n 无1,为真命题，而函数y =y =*为偶函数，且无2 0时，y =eM l,故V x w R,y =恒成立.，则q也为真命题，所以p 八q 为 真,选A.4.设函数/(x)=二,则下列函数中为奇函数的是()1 +xA./(x-l)-lB./(%-1)+1C./(x +l)-lD./(x+l)+l答案：

3、B解析：1-r?2/(%)=-1+，/(x)向右平移一个单位，向上平移一个单位得到g(x)=为奇l +x 1 +X X函数.5.在正方体A B C D-A B。中，尸为。的中点，则 直 线 总 与 A 所成的角为()A.2B.3C.4D.6CpA B答案：D解析：如图，NPB G 为 直 线 与 A 所成角的平面角.易知A A,BCI为正三角形，又 尸 为 A C 中点，所以NPBG=工.66 .将5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑、冰球和冰壶4 个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.6 0 种B.120 种C.24 0

4、 种D 4 8 0 种答案：C解析：所求分配方案数为C；A：=24 0.7 .把函数y =f（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的1倍,纵坐标不变，再把所得曲线向右平移?个单位长度，得到函数）=$出*2）的图像，则/（x）=（）A.S 呜唱）B-S i n（f +f|）C.s i n（2 x-）12D.s i n（2x-b答案:B解析:.,左、左移*./左、横坐标变为原来的2倍./I 乃、逆向：y =s m(x-)-y=s i n(x+)悚 上 殳加y =s i n(-x +).故选B.8.在区间(0,1)与(L2)中各随机取1个数，则两数之和大于工 的概率为()4A.Z923B.3 2C.3

5、 2D.-9答案:解析：由题意记x e(0,l)，y e (1,2),题目即求x+y 的概率，绘图如下所示.411 3 3c xl-AM-AN l-x-x-e q故 尸=力 _=2=2 4工=H l 1 3 219.魏晋时期刘徽撰写的 海岛算经是关于测量的数学著作.其中第一题是测量海岛的高.如图，点E,G在水平线AC上，OE和尸G是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称 为“表高”，EG称 为“表距”，GC和芯”都称为“表目距”.GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB=()D.表高x表距表目距的差+表高表高x表距表目距的差表高x表距表目距的差-表高+表距表高x表距表目距的差-表距

6、答案:A解析：连接DF交AB于M,则AB=AM+BM.MB MB _ _ _记/=ZBFM=3,则-=MF-MD=DFtan p tan af右f i j tan /q?=FG，tan a=ED/所z以GC EH幽 一 幽=幽,tan 0 tan a tan P1tanar r FH)=-)=MB,FG EDGC-EHEDED D F二表高x表距GC EH 一表目距的差所以高A8=表高x表距表目距的差+表高.EH1 0.设a 0 0,若 X=Q为函数/(x)=Q(x a)2(x-份 的极大值点，则K.a bC.ab a2答案：D解析：若。0,其图像如图(1),此时，若。0,时图像如图(2),此

7、时，b a 方 0)的上顶点，若 C 上的任意一点P 都满足,|P 同 W 2 b,则。的离心率的取值范围是()A.勺,1)B 0 DD.(0,1 答案：c解析：由题意，点3(0向，设P(5,%),则3+卷=1=片=屋(1一用，故a b tr2 2|尸8=x；+(%-8f=/(1一/)+4一2姐+/?2 =-y l-2 b y()+a2+h,%e-A 切.由题意，当为=一匕时，仍剧?最大，则一(w b,从“？,a2-c2c2,c=-,1 1 c a 2ce(0 亭1 2.设a=21 n l.01,8=ln l.O 2,c=V T 0 4-l,则()A.a b cB.b c aC.b a cD.

8、c a h答案：B解析：设 J(x)=ln(l+x)-J l+2x+l,则6-c=/(0.02),易得平、-1 2 _ J l+2x-(l+x)1 +x 2，l +2x(l+x)J l+2x当x 0时，l +x=J(l+x)2 2 J l+2x,故广(x)VO.所以/(x)在 0,+o o)上单调递减，所以/(0.02)v/(0)=0，故人c.再设 g(%)=21n(l+%)-Jl+4%+1,则 a-c =g(0.01),易得、2 4 疝 嬴 一(j)g(x)=-1=2-厂-1 +x 2 jl+4x(1+x)Jl+4x当0W x Vl+2x+x2=l+x,所以g(x)在 0.2)上NO.故g(

9、x)在 0.2)上单调递增,所以g(0.01)g(0)=0,故，C.综上，a c b.二、填空题13.已 知 双 曲 线C：-一2=1(加 0)的一条渐近线为g x+冲=0,则C的焦距m为.答案：4解析：易知双曲线渐近线方程为y=?x，由题意得“2=加，尸=1,且一条渐近线方程为aGy=-%,则有机=0(舍去)，加=3,故焦距为2c=4.m14.已知向量 2=(1,3),5=(3,4),若(一/1杨_1五，则 2=.答案：35解析：由题意得(2 /1石)彳=0,即15 252=0,解得;l=|.15.记3 c的内角A,B ,C的对边分别为。，b,C,面积为3 =60,a2+c2=3ac,贝!。

10、=.答案：272解析：S BC-acsin B -ac-V3 ,所以 ac=4,由余弦定理，h2=a2+c2-ac=3ac-ac=2ac=S,所以=25/5.1 6.以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则 所 选 侧 视 图 和 俯 视 图 的 编 号 依 次 为 （写出符合要求的一组答案即可）.答案：或解析：由高度可知，侧视图只能为或.侧视图为，如图（1）,平面P 4 C 1 平面 A BC,PA=PC=42,BA=B C =S A C =2,俯视图为.俯视图为，如 图（2）,R4 1平面4BC,A 4=l,A C =A B=&,8c =2,俯视图为.(

11、0三、解答题17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10件产品，得到产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为1和 y ,样本方差分别己为s；和 S；._ -2 2(1)求x,y ,$1,$2 ：(2)判 断 新 设 备 生 产 产 品 的 该 项 指 标 的 均 值 较 旧 设 备 是 否 有 显 著 提 高(如果J2 2止*

12、,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较I 日设备有显著提高，否10则不认为有显著提高)。答案：见解析解析：(1)各项所求值如下所示.x =-(9.8+10.3 +10.0+10.2 +9.9+9.8+10.0+10.1+10.2 +9.7)=10.0,y =2-(i o.l +10.4+10.1 +10.0+10.1+10.3 +10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3 ,A,2=x (9.7-10.0)2+2 x(9.8-l 0.0)2+(9.9-10.0)2+2 x(10.0-l 0.0)2+(10.1-10.0)2+2 X (10.2-10.0)2+(10.3-1 o 0)2

13、 =o 036s；$X (10.0-10.3)2+3 X(10.1 10.3)2 +(1 0 3 10 3)2 +2 x(10.4-10.3)2+2x(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2=0。4(2)由(1)中数据得歹一元=3,2喑L o.3 4显然歹E M为BC的中点，且P81AM.(1)求 6 C；(2)求二面角A PM B的正弦值.答案：见解析解析：(1)因为尸1平面ABC。，且矩形ABC。中，AT_LOC.所以以方无，D C,而 分别 为 几y,z轴正方向，。为原点建立空间直角坐标系。一 邙.设8C=f,AQ,O,O),6(7,1,0)，M(-,l,0)，P(0,0,l)

14、.所以=A M=(_L,I O)22 t2因为P 8 1 A M,所以284 =一万+1 =0所以，=J 5,所以笈c =J5.设 平 面A P M的 一 个 法 向 量 为m =(x,y,z),由 于AP=(-72,0,1),则m-A P =-/2x+z=0_ _ 72.令x=0,的用=(、讶,1,2).设平面PM8的一个法向量为m-A M =-x+V =0I 2-7 f f n-CB=y/2xr=0 一 =(x,y,z),则 bn%=彳(2 2)，4=,b“b“2 2故也J是以|_ 为首项，g为公差的等差数列.3 1 刁+2 223c +2(2)由(1)知6=士+(一1)L=士，则 丁 +

15、-=2 =-2 2 2 S +2?+13 c C +2 +1 =1 时，n=S,=-，2 时，an=Sn-Sn-=-T-2+1n(7?+1)n(n+1)2 0.设函数/(%)=l n(a x)，已知x =O是函数y=xf(x)的极值点.(1)求。；(2)设函数g(%)=:、，证明：g(x)l.xf(x)答案：见解析解析：(1)令 h(x)=xf(x)=x l n(a -x)x则/(x)=l n(a -x)-.a-x；x =0 是函数y =的极值点.(O)=O.解得：a =1 ；废)由(1)可知：/(x)=l n(l-%)/、x+f(x)1 1g(x)=-=-1 ，xf(x)f(x)X要证g(x

16、)l,即证一 一+1。-1+0 (x l 且X H 0)f(x)x l n(l -x)xx +(l x)l n(l x)_0-乙-0.x l n(l-x)当天 0 时，x-l n(l x)0.当0 v xv 1 时，x l n(l x)0令 H(x)=x +(1 x)l n(l x)，且易知H(0)=0.则 H(x)=l-l n(l-x)+(l-x)=-l n(l-x)1-x(i)当x 0时，易得H (x)H(0)=0,得证.(i i)当0 x 0,则”(%)在(0,1)上单调递增.：(0)=0,，H(x)H(0)=0,得证.综上证得g(x)0)的焦点为尸，且尸与圆M：+(y+4 f=1上点的

17、距离的最小值为4.求p；(2)若点尸在M匕P A,总 是。的两条切线，A,B是切点,求A R 4 3面积的最大值.答案:见解析解析:(1)焦点厂(0,K)到?+(y+4)2=l的最短距离为+3 =4,所以p=2.2 2(2)抛物线y=,x 2,设A(X QD，P(x0,y0),得-4/1 /、1 1 2 1IPA：y=-xl(x-xl)+y1-xlx-xl-xtx-yt，%：y=-x2x-y2，且%；=一叶 一8%-1 5,1%=彳玉玉 一乂1PA，/用都过点P(/，%)，则|故 几：y0=xnx-y,即，=3改/一汽，联立5 /一,得/_ 2/%+4%=0,A=4 x02-1 6y0,x2=

18、4y另 哂=31A Bi 4 AB-g k()2 _ 4%I,dX。2 _4y0i2 i 2=#。2-4%)2=(-%2T 2%-1.而为 e 5,-3 ,故当y0 =-5时，达到最大，最大值为2 0 6.2 2.在直角坐标系X 0 y中，0c的圆心为。(2,1),半径为1.(1)写出O C的一个参数方程；(2)过点尸(4,1)作O C的两条切线.以坐标原点为极点，I轴正半轴为极轴建立坐标系,求这两条切线的极坐标方程.答案：见解析解析：x=2 +c os 0(1)O C的参数方程为 (。为参数)y=1 +s in。(2)C 的方程为(x-2)2+(y l)2=l当直线斜率不存在时，直线方程为x

19、 =4,此时圆心到直线距离为2 广，舍去；当直线斜率存在时，设直线方程为y 1 =攵。-4),化简为自一y 4左+1 =0,此时圆心C(2,l)到直线的距离为d=2 I-Z4+U=r =l,Jr+1化简得2代|=JFW,两边平方有4公=A2+1,所以&=_3代 入 直 线 方 程 并 化 简 得 百y+百-4 =0或x +百y-百-4 =0化为极坐标方程为0 c os 6-6/?s ine=4一6=ps in(+)=4 -7 36或 pc os0+V 3 p s i n=4 +V3 o psin(0+)=4 +/3 .62 3.已知函数 f(x)=x-a+x+3.(1)当。=1时，求不等式/(x)2 6的解集;(2)若f(x)-a,求。的取值范围.答案:见解析解析:当a=1 时，/(%)6|x-l|+|x +3|6,当xW 3时，不等式。1 x x 326,解得xW 4；当3 x -a,即/(x)m in 一a,因为,f(x)=|x a|+1 x +3 以(x a)(x +3)R a+3 1(当且仅当(x a)(x +3)a,即 a+3。或 a+3 -a ,解得ae(-|,-Ko).