2021届高考数学二轮复习热点精练25 抛物线（解答题）（文）（解析版）.pdf

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1、专题2 5 掘物线（解答题）1.设抛物线：2=4 x的焦点为F,直线 -=0经过F且与交于A、B两点.（1）若|AB|=8,求m的值；（2）设。为坐标原点，直线A。与的准线交于点C,求证：直线8 c平行于x轴.【试题来源】1*一海市长宁区2 0 2 1届高三上学期-模【答案】（1）加=1；（2）证明见解析.【分析】（1）点F（L O）代入/：%-阳一=0得到=1,直线和抛物线联立根据弦长公式得到一个等式，解出切；（2）根据题意写出各点坐标，然后寻找坐标间的关系，以证明B C平行于x轴.【解析】设A（玉,y）,呢,方）,（1）由题意尸（1,0）,尸代入-=0得 =1,直线/的方程x =m y +

2、l代入=4%得，y2-4 m y-4 =0,所以 X +%=4加，X%=-4 ,|阳=，同 一 +（y=J（疗+i）（y+必）2 _仙 ）=4 +1）=8,解得加=1;（2）抛物线V =4%的准线方程为尤=一1设C（1,%），由Q 4的方程为y二2无，得 力=一*=一 ，x x y4由（1）知X%=-4，即%=一 丁，所以%=%，8 c平行于轴.名师点睛】弦长公式：I AB|=&+%2也+）2-4中2=小+1（弘+%）2 4必先 2.已知抛物线。：丁=2联0）经过点/（6,%）,产为抛物线的焦点，且|P E|=1 0.（1）求 为 的值；（2）点。为抛物线C上一动点，点M为线段EQ的中点，试求

3、点例的轨迹方程.【试题来源X南昌新东方】江西省南昌三中2 0 2 0-2 0 2 1学年高三上学期1 1月第一次月考（理）【答案】（1）4 7 6;（2）/=8x-1 6.%+4 =2 x根据点”为线段尸。的中点，可得 4 ，即0)经过点d(6,%)可 得 疗=1 2 2，又|P用=1 0,可得6+=1 0,解得 =8,为=4：(2)由 知U y?=1 6%,贝i J F(4,0),设Q(X|,y),M(x,y),%=2 x-4Y =2 y 由点Q为抛物线C上,所 以(2为2=16(2X-4),整理可得点M的轨迹方程为y2=8x-1 6.3.已知动圆过定点A(0,2),且在x轴上截得的弦长为4

4、.(1)求动圆圆心M的轨迹方程C；(2)设不与x轴垂直的直线/与轨迹C交手不同两点P(/x),Q(X 2，%)若(+=2,求证：直线/过定点.【试题来源】重庆市重庆八中2 0 2 1届高三上学期九月份适应性月考【答案】(D f=4 y (2)证明见解析【解析】(1)设动圆圆心为M(x,y)，则V +(y 2)2 4 =y 2,化简得*x*2*=4Ay(2)易知直线/的斜率存在，设=贝岫 ，得炉 _4 6一4 8=0，y=kx+b由根与系数关系有：x1+x2=4 k ,xtx2=-4b.从而2+,=2=$+=2%工2，X X即4左=_ 88，则)=一4左，则直线/:/=求一二=%/-：,2 2

5、1 2 J故 直 线 过 定 点.4.已知抛物线:%2=2勿（0）的焦点为尸,点尸在抛物线后上，点P的横坐标为2,且|PF|=2.（1）求抛物线E的标准方程；（2）若A,8为抛物线上的两个动点（异于点），且AP L A8,求点8的横坐标的取值范围.【试题来源】河南省郑州市2 0 2 0-2 0 2 1学年高三上学期第一次质量检测（文）【答案】（1）x2=4 y；（2）（-oo,-6）u 1 0,+oo）.【解析】（1）依题意得尸（0,）,设P（2,%）,%=2 _ 5,又点P是E上一点，所以4 =2 p（2 日 ,得p2 _ 4 p+4 =0,即p=2,所以抛物线E的标准方程为V=4y.由 题

6、意知P（2,l）,设4k,/,亨），V-J4则L=_ =*i+2），因为x尸一2,所 以 =-尤2 -4A5所在直线方程为y-募-二-（x-x j,联立f=4 y.因为 X K X ,得（x+内）（X +2）+1 6 =0 ,即 X；+（X+2）X +2X+1 6 =0,因为A =（x+2 -4（2 x+1 6）20,即1 2-4%-6 0 2 0，故或xW-6经检验，当x=-6时、不满足题意.所以点8的横坐标的取值范围是（F,-6）U1 0,+8）.5.已知抛物线E：9=2川（0）的焦点为尸，过点尸作圆C：（x+2）2 +y 2=,的两条切线4，4且1，儿（1）求抛物线E的方程;（2）过点F

7、作直线/与E交于A，3两点，若A，B到直线3 x+4 y +2 0 =0的距离分别为4，d2.求4+人的最小值.【试题来源】陕西省2 0 2 0-2 0 2 1学年高三上学期教学质量检测测评卷一（文）1 2 2【答案】（1）尸=4；（2）：【分析】（1）求出圆C的圆心和半径，设与圆C的切点为M,N,由切线长定理可得四边形C M FN为正方形，然后求出P ,进而得到抛物线方程；（2）设直线/的方程为x=my +1,与抛物线的方程联立，运用根与系数关系和中点坐标公式，求 得 线 段 的 中 点 坐 标，并求出其到直线3 x+4 y +2 0 =0的距离，再由二次函数的最值和梯形的中位线定理可求得结

8、果.【解析】（1）圆C：（x+2 +y 2=2的圆心（一2,0）,半径=速-2 2抛物线E：V=2 px（p 0）的焦点尸（，0），设两条切线4，4与圆。的切点为M，N,则|C M|=|C N|=r,又则四边形C M FN为正方形，.-.|C F|=V 2 r =V 2 x=3,即 +2 =3,解得 p=2,2 2所以抛物线的方程为V=4x；（2）由（1）知产（1,0）,设直线/的方程为x=m y +l,y2=4 x,f y,y2=-4联立 ,得y 2 4 my 4 =0,由根与系数关系得 一“x=m y +l%+%=4Wx,+x2=m yl+m y2+2 =（必 +%）+2 =4 m2+2设

9、玉，y）,8（，%），线段AB的中点为Q（2加2+1,2 m），。到直线3 x+4 y+2 0 =0的距离为d,由梯形的中位线定理可得4 +4=2 4，又|3 x（2 m2+l）+4 x（2 m）+2 0|,二+8 m+2科 6（/n +|）2+y 6 1d 25 5 5 1 5当加=2时，d取得最小值。，所以4+4的最小值 为 唱6.已知M是抛物线C：V=4x上一点，尸是抛物线C的焦点，=（1）求直线M F的斜率；（2）已知动圆E的圆心在抛物线C上，点。（2,0）在圆E上，且圆E与），轴交于A,B两点，令|公4|=m，D B n,求 一+最大值.m n【试题来源】云南省红河州2 0 2 0届

10、高三高考 数 学（理）一模试题【答案】（1）6；（2）2 7 2 .【分析】（1）利用点M到焦点厂距离等于到准线的距离解出点M的横坐标，继而得到纵坐标，然后计算直线E的斜率；（2）设出动圆的圆心，表示出圆的标准方程，解出圆E与y的交点坐标，得出|川和|。川，然后求其最大值.【解析】（I）设 （毛，治），因为|闻尸|=4,所以x0 +l =4,所以%=3,/（3,2岔）且 尸（1,（）,所以直线M尸的斜率 为 苧/=6；序A2 A2（2）设圆心 圆 E 的方程为（x-）2+（y-b）2=（一一2+,4 4 ,4方2化解得炉+/一彳x 2处+/一4 =0,令x=0得/-2力+/4 =0,即 ,_e

11、+2),_(人_2)=0,所以 y =6+2或 y =Z?2,不妨设A(0,b+2),B(Q,b-2),m=|A|=j 4 +S+2)2=J/+4 4 +8，=|1=+(b-2)2=扬-4 4 +8，n m n2+nr b-A b+b1+4/?+8m n mn+8)2 _(4 0)2_ 2+16 _ 2“4+64 +16-2 _ 2 L 1 16b2“4+64 4+64 v b4+642.16+2 64b+V 7 i n当且仅当=、，即人=2近 时，取“=”,所以一+一 的最大值为2拒.b m n7.已知点F为曲线。2=2。无5 0）的焦点，点M在曲线C运动，当点M运动到轴上 方 且 满 足

12、板 轴 时，点M到直线，：y =x+4。的距离为7后.（1）求曲线C的方程；（2）设过点尸的直线与曲线C交于A 3两点，则在x轴上是否存在一点P,使得直线必与直线P B关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【试题来源】江西省景德镇一中20 21届高三8月 月 考（理）【答案】（I）尸=8 x；（2）P（-2,0）【分析】（1）求 出 再 利 用 点 到 直 线 的 距 离 公 式 求 出“=4,即可求解./、-f x=m y +2（2）由（1）可知尸（2,0）,设直线A B为尤=9+2,联立方程组J,2，利用根与系数关系可得%+%=8 ，乂 =-16,假设存在尸（。,0）

13、,由 原+4 =0即可求解.【解析】（I）由题意可得点M到直线，：y =x+4的距离为7加P .-+4 即2=772解得P =4,所以曲线。的方程为V=8%.（2）由（1）可 得/（2,0）,不妨设直线A B为*=阳），+2,x=t ny+2联立方程组2 o ，消去X可得y 8-16=0,y=S x设 A（x，y）,8（冷%），则 X +%=8 相，%必=-16,假设存在尸（a,0）,使直线2 4与直线P B关于x轴对称，则 kp A +kP B=0 ,即+%=-+-h-=o,xi-a x2-a m y+2-r z m y2+2-整理可得 2/盯%+（2。）（X +%）=，所以一3 2m+（2

14、“8m=0,解得。=一2,所以（一2,0）.8.己知抛物线/=2,（0）上点尸处的切线方程为x-y-1 =0.（1）求抛物线的方程；（2）设A（xp%）和8（，必）为抛物线上的两个动点，其中必 力%，且 +必=4,线段AB的垂直平分线I与y轴交于点C,求口 A B C面积的最大值.【试题来源】综合练习模拟卷0 3-20 21年高考一轮数学单元复习一遍过（新高考地区专用）【答案】（1）/=今；（2）8.【解析】（1）设点尸（/，），由/=2/得=3,求导得/=土,2P 2p p因为抛物线X?=2 py卜点P处的切线斜率为1，切线方程为x y l =0,2所以9=1,且与-区 一1 =0,解得p

15、=2,所以抛物线的方程为l=4y；P 2P（2）设线段A B中点M（x ，%），则%=及=2,2 2X2 X 2*二为 一X =4 4=1但小）二（，所以直线/的方程为一2=一：（工一玉），A B x2-x x2-xy 4 1 2 2 X0即2x+X o（4+y）=O,所以/过定点（0,4）,即点C的坐标为（0,4）,联立1 _ y-2 =2 （x-xQ ）n/2 2必）+2需2一8 =0,x2=4 y得/X =4看 一4（2片-8）0=-2 V 2 XO 2夜，I 阴=Jl+I x,-x2|=J（l +f）（3 2一4年）=J（4 +x；）（8-靖，设 C（0）4）到 AB 的距离 d=C

16、M =J x；+4，所以 S .be =g I AB|/f（4 +*）2（8一片）=T +4）（无；+4）（16 2片）0）上一点P（Xo,2）到焦点F的距离忸同=2x0.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点尸引圆”：（彳-3）2 +;/=产（0 0 =2xo=1所以，抛物线的方程为V=4 x.（2）由题意知，过 P 引圆（龙 一3）2 +丁 2=产（）厂 2,所以9 /0）的焦点为p,x轴 上 方 的 点（一2,m）在抛物线上，且|A/F|=|,直线/与抛物线交于A，3两 点（点A，3与M不重合），设直线M4,MB的斜 率 分 别 为%,k2.（1）求抛物线的方程；（2）已知人+42=-2,

17、/：y=kx+b,求h的值.【试题来源】江苏省南京市玄武高级中学2020-2021学年高三上学期11月学情检测【答案】（I）/=_2x；（2）-1.【分析】（1）根据抛物线的定义，可得=（-2）,求得P的值，即可得到抛物线的方程；（2）由（1）得出点M（2,2）,设4（不%）,8（9,%），联立方程组由根与系数的关系，求得,%/也=4，再结合匕+&=-2,列出方程，求得力的值,即可求解.【解析】（1）由题意，抛物线y2=_2px（P 0）,x轴上方的点M（-2,m）在抛物线上，根据抛物线的定义，可得|MF|=5-（-2）=g,解得p=l,所以抛物线的方程为V=-2x.（2）由（1）可知，点Af

18、的坐标为（一2,2）,设A（,y）,8（积%），y +b联立方程组0）的焦点为尸，过户且斜率为2的直线交抛物线于P,Q两点，|PQ|=10.（1）求抛物线。的方程；（2）过点（3,0）的直线/与抛物线C相交于A,8两点，己知M（-3,0）,且以线段AM为直径的圆与直线元=3的另一个交点为N,试问在x轴上是否存在一定点，使得直线3N恒过此定点.若存在，请求出定点坐标，若不存在，请说明理由.【试题来源】安徽省怀远一中、蒙城一中、淮南一中、颍上一中、涡阳一中2020届高三5月五校联考（理）【答案】（1）y2=8 x；（2）存在，定点为（0,0）.【解析】（1）焦点则直线PQ为y=2（尤一）,vy _

19、 z9 fxr-P -2联立 I 2 J,消去消y可得4 d 6X+2 =0，10恒成立，y 2 =2Op x4设P(玉，y j,Q(w，%)，则%+马=普，|=xi+x2+p=+p=1 0,解得 p=4,所以抛物线C的方程为y2=Sx.(2)设直线A 3为 =冲+3,联立方程0.设 A（%3,3）,B（%4,%），则 为+4=8 m 不妨设点 N（-3,。,以线段4M为直径的圆与直线X=3的另一个交点为N,(t2)则MN_LAN，又MNJ_x轴，所以AN平行x轴，设A-,t,则为=f，1 8)t所%2 =ii_33 +3,即 _ =8耳-T所以直线 BN 为 y-f=-%(x+3)=-g(x

20、+3),-3-7令y=0,解得x=0,所以直线8 N恒过此定点(0,0).12.设 点/为 抛物线y2=2px(p0)的焦点，A,B,C三点在抛物线上，且四边形A8CF为平行四边形，当8点到y轴距离为1时，忸耳=5.(1)求抛物线的方程;（2）平行四边形A B C户的对角线A C所在的直线是否经过定点？若经过，求出定点的坐标;若不经过定点，请说明理由.【试题来源】湖北省华大新高考联盟2 0 2 0届高三下学期4月教学质量测评（文）【答案】（1）y2=6x-.（2）过定点，（2,0）【解析】（1）如图所示:依题意4=1，由抛物线定义1 +5=5,所以p =8.所以抛物线方程为丁=1 6%.（2）

21、（方法一）设直线A C:x =）+/n,设A(玉,y),。(占,%)，8(%),尸(4,0),所以 E 4 =(X -4,y J ,F f i =(x0-4,y0),F C =(x2-4,y2),依题 意 方+斤=而，所以X 1 4 +&4 =X。-4,)1+必=即=X +%2 -4,=X+%，即x-t y+m,联立 2 得 y 2-i 6(y-1 6根=0 ,y-=1 6 x,所以 =(1 6厅+4 x l 6 m (),即4户+20，y,+y2=16 r,yiy2=-16 m ,所以*i +=电+?+9 2+=f x (16 r)+2m=16 r +2m .所以xn。=16r+2m-4-,

22、而 y：,=16,x 0,J o=16 f,所以()2=16(16 5+2W 4),所以加=2.即直线AC:x =(y +2,令y =0,则尤=2,所以直线x =2恒过定点（2,0）.（方法二）设 A（“J,C（x2,y2）,8 6I，%，则 BP 中点为 02、迎+416 A2，2，7所以）产 =?，即 刊2况）.又y；=16%,货=16彳2,所以y；-=16（%-.当再。时，i f（%+%）=6,所以原c =3,龙1一 彳2%所以直线 AC:y -=x 立8,即 y =（x -2）,2 y o i 3 2 J y0令x =2,则y =（）,所以直线A C过定点（2,0）.当 王=超 时，根

23、据抛物线对称性，四边形A B C尸为菱形，所以直线A C:尤=2,所以过定点（2,0）.综上直线A C恒过定点（2,0）.13.设抛物线:*2=2胡（0）的焦点为产，点A是E上一点，且线段A E的中点坐标为（1,1）.（1）求抛物线 的标准方程；（2）若B,C为抛物线E上的两个动点（异于点A），且求点C的横坐标的取值范围.【试题来源】广西桂林十八中2020届 高 三（7月份）高考数学（文）第十次适应性试题【答案】（1）x2=4 y；（2）（-o o,-6）U10,-w ）.【解析】（1）依题意 得 尸0,，设A（%）,由AF的中点坐标为（1,1）,得1 =E2p，%+弓1 =-之2即 x 0=

24、2,yQ=2-,所以 4 =2”2勺得 2一4 +4 =0,即，=2,所以抛物线E的标准方程为一=4 y ；（2 （2）由题意知A（2,l）,设B九 ，子，C,则 4 J2147k助BA =-x,-2-=4(Vx,1+2)*4r2 A因为花力一2,所以即0=一 一,BC所在直线方程为y-十=-（x-x,）.X+z 4 X 4 2卜 一 五 二-4（x-x j联立彳 4 x1+2V ,x2=4 y因为x h X,得+2）+16=0,即 k+（x+2）x+2x+16=0,因为 =（x+2-4（2x+16）N 0,即Y 一 4 尤 一 6020，故 x210 或 x-6.经检验，当x=-6时，不满足

25、题意；所以点C的横坐标的取值范围是（F，-6）U10,+8）.14.已知。是坐标系的原点，尸是抛物线C:/=4 y的焦点，过点尸的直线交抛物线于A,（1）求动点G的轨迹方程；（2）设（1）中的轨迹与y轴的交点为。，当直线A8与x轴相交时，令交点为E,求四边形DE M G的面积最小时直线AB的方程.【试题来源】浙江省杭州高中2020届高三下学期5月高考质检【答案】（1）y=-；（2）y=x+1 .4 3?10【分析】（1）求得焦点尸（0,1）,显然直线AB的斜率存在，设A5:y=+1,代入抛物线的方程，运用根与系数关系和三角形的重心坐标，运用代入法消去&,即可得到所求轨迹方程；（2）求得Q,E和

26、G的坐标，|。6|和目 的长，以及Q点到直线A8的距离，运用四边形的面枳公式，结合基本不等式可得最小值，由等号成立的条件，可得直线A8的方程.【解析】（1）焦点/（0,1），显然直线4 8的斜率存在，设AB:y =h c+l,联立龙2=4 y,消去y得，d-4 6一4=0，设A（x，y J,B（孙），G（x,y）,则玉+*2=44,xtx2=-4,4kx=93所以y+%=2+1 +仇+1 =4%2 +2,所以“心2 23 2消去k，得重心G的轨迹方程为y=-x2+-；由 已 知 及（1）知，E（-：,0）,k 手 3 xM=2k,XG=?，OD 2 OG因 为/=彳=廿+，所以D G/M E,

27、（注：也可根据斜率相等得到），OF 3 OMDG=yjl+k2 MED点到直线AB的距离d=3=JJ l +公 371+A:2所以四边形D E M G的面积S =L j l +12 .2/.2理=叵,当且仅当阳=,即攵=叵 时 取 等号,6 V 3 9 3 k i oy+2W+ITW+r-1 rk3此时四边形DEMG的面积最小，所求的直线AB的方程为y =士 誓x +1 .15.已知抛物线。：/=2内（2 0）过点。（4,4）（1）求抛物线。的方程，并求其焦点坐标与准线方程;(2)直线/与抛物线。交于不同的两点E,厂过点E作了轴的垂线分别与直线8,O F交于A，5两点，其中。为坐标原点.若A为

28、线段砥的中点，求证：直线/恒过定点.【试题来源】四川省江油市江油中学2 02 0-2 02 1学年度高三7月份第二次考试(文)【答案】(1)抛物线C的方程为V=4 x,其焦点坐标为(1,0),准线方程为x =1(2)证明见解析；【分析】(1)点。(4,4)代入求得。，即可的抛物线方程求得结果.(2)由题意知直线/斜率存在旦不为零，设直线/方程为 =冲+。(人。0),与抛物线方程联立，设F(x,y2),根据已知由OD：y =x，O F ,旷=?尤，及过点E作轴的垂线求得A B的坐标，根据A为 线 段 的 中 点，借助根与系数关系化简即可证得结论.【解析】(1)由抛物线。：产=2；1(2 0)过点

29、。(4,4),得 =2,所以抛物线C的方程为丁=4%,其焦点坐标为(1,0),准线方程为 =-1.(2)由题意知直线/斜率存在且不为零，设直线/方程为 =，叫+。(人。0),直线I与抛物线C的交点为E(%,X),产(2,%)-y2=4 x,由 得 V-4m y-4b=0(A 0),x=m y-v b.由根与系数关系，得 凹+必=4机，,%=-4 8.由己知得直线OD的方程为y =x,所以A(X 1,x J,由己知得直线O F方程为y =所以玉,”.因为A是线段5 E的中点，所以y|+-2 X|=0 ，X2将弘2 =4%,为2=4，代入式，并化简得y+%=守，把|+必=4，,必=一48代入式，化

30、简得力=一2租所以直线/的方程为x =叼-2?=m(y-2),故直线/恒过定点(0,2).16.已知抛物线/=以的焦点为F,准线为/,过焦点F的直线交抛物线E于A、B.1T(1)若A 4垂直/于点A，且N AE 41=一,求AF的长;(2)0为坐标原点，求口。钻 的 外 心C的轨迹方程.【试题来源】i 庆市第一中学2 02 0届高三下学期5月月考(理)4 5【答案】(1)-；(2)x =8 y2+-.3 2jrTT【解析】(1)由AE =A4,乙4 4/=一，得N A 41f=一，(2)设 A(a2,2 a),8,2,b),C(x,y),直线 AB:x =(y +l(r eE),由，x=ty+

31、y2=4x,2a +2。=4 r，得 丁一旬,一4 =0,由根与系数关系得2。2。=-4a+b=2t,、,即有a+b-=4 r+2,ab=-y 易得。4,的中垂线方程联立可得 0)的焦点为F,8,C为抛物线C上两个不同的动点，(B,C异于原点），当 B,C,F三点共线时，直线BC的斜率为1,忸C|=2.（1）求抛物线T的标准方程；（2）分别过8,C作 x轴的垂线，交 x轴于M,N,若 S MNP=S B C F，求 8c中点尸的轨迹方程.【试题来源】重庆市南开中学2020届高三下学期第九次教学质量检测（理）【答案】（1）y =%2；（2）y 2x2 H .-2【分 析】（1）设 直 线BC的

32、方 程 为、=彳，联 立 直 线 与 抛 物 线 的 方 程，设3（小 X）,3，从而求得8c的长，即可解出夕的值，得出抛物线丁的标准方程；（2）设 3（不 名）,。（9,%），求出,N的坐标，表示出S“N F 以及直线8c的方程，令直线BC 与y轴交于点H,则H（0,%电），表示出SB C F，利用S M N P=S BC F即可求出轨迹.【解析】（1）设直线8c的方程为y =x +5,则卜呜nxfpx-P，设 照,“（“2）2 p y=x2则I B C=V 1+T|%1=2=P =；，所以抛物线T的标准方程为y =f.（2）令6k以 乂0 2 ），2。,；），则/（%,0）,%（肛），则

33、5.=3 上 一 司 1，直线BC的方程为y-必=2 q（x -x j=y =（x +%2）x X*2,令直线BC与 y 轴交%2 于点“，则”（0,一 为 2），所以 I 印 tg+X/l，S B C F=H F X-X2所以5 k l -电 匕=51 HF|X 1-X2=xx2+=xx2=或 0（舍），%+x,令 BC中点为（%，%），则|二.2%=广 n（2%）2=X；+考+2x,x2=2 y0-l所以中点轨迹方程y=2/+；.18.已知抛物线T:x2=2p y（p 0）的焦点为F,B.C为抛物线T上两个不同的动点，当B,C过尸且与x轴平行时，B C长 为1.（I）求抛物线T的标准方程；

34、（2）分别过8,C作x轴的垂线，交x轴于M,N,若S M N F=2 S B C F，求B C中点的轨迹方程.【试题来源】重庆市南开中学2020届高三下学期第九次质检（文）y-2X3-82X2+【分析】（1）由于8 C x轴，可知B,C两 点 纵 坐 标 为 代 入V=2 p y ,即可求得B,C两点横坐标，从而求得8 c的长，即可解出P的值，得出抛物线7的标准方程；（2）设5 （芯,X；）,C（乙芯），设B C与），轴交于点Q（）,根），将两个三角形的面积O F、QA1%w|表示出来，可得。尸=2Q F,用m表示,即可解出。点的坐标，设8 C的中点R（x,y）,利川8、C、Q、R四点共线，利

35、 用 砺 配，即可求出轨迹方程.【解析】（1）由题意当3 c过F且与x轴平行时，有B（p,C（-p与,则忸C|=2p =l,所以抛物线T的方程为/=y；（2）设8（斗玉2）,。（,尤），设B C与y轴交于点Q（0,m）,则 S MNF =5 O F*xtx2,S B CF =2。用 X 1 一 9 I故由 s MNF=2s BCF得 O F =2Q F ,1 1 3 1 1 3所以2 1机一二|=:，相=或 者机=4,即Q（0，w）或Q（0,=）,4 4 8 8 8 8设8 c的中点R（x,y）,则&c =玉+%=2x ,Q（0,）时，由 Q R 3 C 得 2尸=y ,所以 y =2x-H

36、8 8 83 3当Q（0,R时，同理可得y =2 f+d，8 8I3故B C中点的轨迹方程为y =2/+三或y =2 1 +8 819.已知抛物线C：2=2x（p 0）的内接等边三角形A0 8的面积为3名（其中。为坐标原点）.（1）试求抛物线。的方程；（2）已知点M（1,1）,P,Q两点在抛物线C上，A M PQ是以点A 7为直角顶点的直角三角形.求证：直线PQ恒过定点；过点M作直线PQ的垂线交PQ于点N,试求点N的轨迹方程，并说明其轨迹是何种曲线.【试题来源】2020届四川省宜宾市叙州区第一中学校高三三诊模拟考试（文）【答案】（1）丁=x；（2）证明见解析；f+y 2 -3X+1 =0（XH

37、1）,是 以 为 直 径的 圆（除去点（1,1）.【解析】解 依 题 意，设4（4,以），8（4,力），则由|O A|=|O B,得X；+2PXA=年+2阴3，即（乙一马）（乙+/+2）=0，因为4 0,40,所以4+/；+2 0 ,故乙=4，|以|=瓦|，则A，8关于轴对称，所以AB_L尤轴，且N A O x =3 0，所 以 丛=t a n3 0 =因.4 3因 为 凡=?,所以|以|=2石p,所以|4 8|=2|%|=4 6 0，n 2 故Si=：x（4&p）=V16p。=3垂，P=5，故抛物线C的方程为 2=X .（2）由题意可设直线PQ的方程为X =2 y +a,P（x”y）,。（9

38、,），由x=2m y +a，消去x，得yo2-my-a =0,y=x故=/7?+4 a 0，X+%=加，因为N P M Q =90,所 以 称 丽=（）.即+=整理得 MW-（%+）+，1必 _（、1+%）+2 =0，y；_(y +%)-+3 y%_(y +%)+2=o，即m+2=0,得(a /+口，所以 4 1 =，+!或4 _1 =一(相+9.2)2)2 2 2 I 2)3 1当。一1二加+万，即a =z+2时，直线PQ的方程为*=阳+。=7(丁-1)+1，过定点(1,1)，不合题意舍去.故直线2。恒过定点“(2,1).设N(x,y),则 丽J.而7，即 丽.丽 =0，得(x _(x _2

39、)+(y +l)(y _l)=0,即 x2+y2 _3 x+l=0(x H 1),即 轨 迹 是 以 为 直 径 的 圆(除 去 点(1,1).2 0.设抛物线E：9=2*(0)焦 点 为/，准线为/,A为E上一点，已知以尸为圆心，E 4为半径的圆/交/于3、D点.(1)若N 8 H =6(),BE D的 面 积 为 逋，求0的值及圆产的方程；3(2)若点A在第一象限，且4、B、F三点在同一直线4上，直线4与抛物线E的另一个交点记为C,且 方=2丽，求实数2的值.【试题来源】黑龙江省哈师大附中2 0 2 0届高三高考数学(文)四模试题【答案】(1)=2,员 /为(x 1)+=p,%）,.-.0

40、 A 0）.记动圆圆心Q 的轨迹为曲线C.（1）求 C 的方程，并说明C 是什么曲线？（2）设点P 的坐标为（0,。），过点P 作曲线C 的切线，切点为4若过点P 的直线”与曲线C 交于M,N 两点，证明：Z AFM =Z AFN .【试题来源】广西南宁二中柳铁一中20 21届高三9 月 联 考（文）【答案】（1）V=4 ay,它是以F 为焦点，以直线/为准线的抛物线；（2）证明见解析.【分析】（1）设。（x,y），由题意得jY+U-aJ =|y+4，化简即得解；（2）不妨设4 t,（r 0）,先证明 7/x 轴，再利用根与系数关系证明+&网=。即得解.I 4“【解析】设 2（%,y），由题意

41、得M+（y-a）2=|），+a|，化简得%2=4a y,所以动圆圆心。的轨迹方程为f =4 ay,它是以尸为焦点，以直线/为准线的抛物线.(t2(2)不妨设4 t,I 4Jr2 (r 0).因为y=L,所以y =,4a 2a从而直线Q 4的斜率为心+“=t,解得f=2 a,即A（2iz,a）,t-Q 2a又尸（O,a）,所以A尸 x 轴.要 使 NARW=N A 7 W,只需&四+%硒=0 设直线切的方程为丁 =依 一。，代入/=4 分 并整理，得 为 24成 +4/=0.所以A=1 6/（公一）（）,解得左一1 或 1.设/（3,%）,N（%2，%），贝 ij%+9 =4。攵,xx2=4a2

42、.j _ y -a y2-a _ X2（y1-a）+x,（y2-a）KFM 十 KFN 1-x x2 xx2_ x2（x,-2 a）+xx（kx2-2 a）_ 2a（x1+x2）_ 2a-4ak 乙 K=ZK-=U.XX2 4矿故存在直线z,使得NARV/=NAF7V,此时直线m的斜率的取值范围为（-8,=+8）.22.在平面直角坐标系宜为中，已知尸（2,0）,M（2,3）,动点p 满 足;|而 标|=|可 .（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点。（1,0）作直线A 3 交。于 A,B 两 点,若V A E D 的面积是B E D 的面积的2倍，求|A8|.【试题来源】河北省张家口市邢

43、台市衡水市20 21届高三上学期摸底联考（新高考）【答案】（1）V=8 x：（2）虫.2【分析】（1）设 P（x,y），求 得 砺，声，讨 的 坐标，结合J 而 标|=|而化简、整理，即可求得抛物线的方程；（2）设 A ，x）,可马，,不 妨 设 弘0,必0，由SAAFD=2SBF求得X=-2%，设直线A 5的方程为x=y+l,联立方程组，结合根与系数的关系得,+%=8 加，%=-8,进而求得|,当，加，利用弦长公式即可求解.【解析】（1）设尸（x,y）,因为尸（2,0）,M（-2,3）,则 桥=（x+2,y 3）,砺=（2,0）,P F =2-x,-yY由/万 丽 卜|丽可得+2=1（2-工

44、）2 +丁,化简得尸=8-即动点P的轨迹C的方程为/=8x.（2）设A（%,y）,8 5,力）,由题意如以 功=g尸。|乂|，S,BFD F D-y2,易知苗 必 0，%,所以|y|=2|，所以 X=2%.设直线4 8的方程为x=my+1,*2联立卜）一 “消去X,得 丁-8叼-8=0,则A=64+320,x=m y+可得弘+必=8，乂 刈=-8由联立，解得X=4,%=-2,m =2 3.已知抛物线。的顶点在原点，焦点为E（1,0）.（1）求。的方程；（2）设P为。的准线上一点，。为直线P尸与。的一个交点且尸为PQ的中点，求。的坐标及直线PQ的方程.【试题来源】2020届全国普通高校运动训练、

45、民族传统体育专业单独统一招生考试【答 案】（1）/=_ 4 x；（2）点P 0,犷）或（1,一2 6）；后+旷 一3百=0或 f3x+y+s/s-0.【分析】（1）根据焦点坐标可求出抛物线方程；（2）设点P坐标，根据中点坐标和抛物线方程，由点斜式方程可得答案.【解析】（1）由题可设抛物线方程为丁=一 2/，因为焦点（-1,0）可得q=-1所以 =2,所以y2=一 4%.（2）设点P 坐标为。（孙 必），因为尸为P Q 中点，所以L为=一 1,所以=一3因为。在抛物线上，将%2=-3 代入得为=2/3,所以 Q（-3,2 或卜3,-2 0）,当 当=2百 时，由 上 产=0得X=2 G；当=2

46、6时，由丐&=0得 y=2 6；所以点P（l,2百）或（1,一 2 6）；所以既0=三=一 6所以直线方程6x +y-3 6=0或 6 x+,+5/3=02 4.已知抛物线C 的顶点在坐标原点，准线方程为y=g,尸为抛物线C 的焦点，点 P 为直线y=g x +2 上任意一点，以p 为圆心，为半径的圆与抛物线。的准线交于A、B两点，过 A、8 分别作准线的垂线交抛物线。于点。、E.（1）求抛物线。的方程；（2）证明：直线O E 过定点，并求出定点的坐标.【试题来源】河南省许昌市、济源市、平顶山市20 20 届高三数学（理）第三次质检试题【答案】f=2 y；证明见解析，定点贝 一；,一 2）.【

47、分析】(I)设抛物线C的标准方程为/=-2川(，0),根据抛物线的准线方程可求得P的值，由此可求得抛物线C的方程；(2)设点P的坐标为(f,s),求出圆的方程，与直线(2y =1方程联立，可得出关于1、一 2的二次方程，并设点。玉，一 羊、E x2-2)I2、可列出根与系数关系，并求得直线DE的方程，进而可求得直线DE所过定点的坐标.【解析】(1)设抛物线C的标准方程为炉=-2 p y(p 0),依题意，=！n =l,抛物线。的方程为f=2 y；2 2 (2)尸 ，一()，设 P ，s)，则s=；/+2,|P 可 2=*+；/+_|),于是圆p的方程为(x-r)2+(y-s)2=+(s+g),

48、令y =；,得 炉一2以一2$=0,(Q C x2 2设。T-、E x2,X,由式得%+%2 =2/,X yX2 2s =/4,、2 J 1 2 J 32 2+殳直线OE的斜率 为 心 _ 2 2 _%+/_尸 则直线DE的方程为KDE 一 彳-rx-x2 22 22 2、2 2 2 2代入式就有y-_ 以 _；/_2 n y +2 =,x+-=0,x=-(1 因为上式对feR恒成立，故 彳 3 =2化简2=+质即可得到定值.【解析】(1)设N直线x=-；的距离为，因为动圆N与圆M相外切，所 以|MN|=d+g,所以N到直线x=1的距离等于N到M(1,0)的距离，由抛物线的定义可知，N的轨迹。

49、为抛物线，其焦点为M(l,0),准线为x=-l,所以抛物线C的方程为/=4x.(2)设宜线/的方程为x+g=m(y+g),即 2x-2/n,y+l /n=03因为A,8与。点不重合，所以加设直线QA,QB的斜率分别为匕和&匕+&=%，点A 0,y),B(x2,y2)2x-2my-m+l=0,今联立 2 消去x并 整 理 得4my 2m+2=0,y =4x,则 M +必=4，.yiy2=2-2m,1 3由 =(4相)2 4(2-2相)0,解得2 一，且根我一.2 5k=-2=_._2_二 2(x-2)2(%2)可得2my+一3,同理可得&2=W 1 (2myj 刀 2my2 4-m-3所以 4=

50、-2-(-y-2-)-1-2-(-%-2-)-=-2-f-4-m-y-,-y-2-3-(-/-n-+-l-)-(-y-,-+-y-2-)-4-(-m-3-)-2my+加一 3 2my2+根 一 3 4m y y2+2m(m-3)(y+必)+(加-3)_ 2 4/7?（2 -2 m）-3（m +1）4/?-4（m -3）_ 8（-5m2-2 m+3）_ 84m2（2-2 m）+2 m（m-3）4m +（m-3）2 3（-5m2-2 m +3）3Q故直线Q A Q B的斜率之和为定值之.【名师点睛】利用斜率公式转化为A 6两个点的纵坐标之和与纵坐标之积，再根据根与系数关系代入化简是解题关键，本题考