江苏省连云港市部分学校2023-2024学年高三上学期10月第二次学情检测数学试题含答案.pdf

《江苏省连云港市部分学校2023-2024学年高三上学期10月第二次学情检测数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省连云港市部分学校2023-2024学年高三上学期10月第二次学情检测数学试题含答案.pdf（24页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第 1 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司2024 届高三第二次学情检测数学试题届高三第二次学情检测数学试题一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若复数i 1i2aa，Ra，则a（）A.1B.0C.1D.22.已知全集U R，集合2log10Axx，21Bxx，则（）A 2,UAB.BAC.UABD.,2AB 3.若 11 ln1xf xxax为偶函数，则a（）A.1B.0C.12D.14 向量1ab，3c 且0abc，则cos

2、,ac bc（）A.1314B.1314C.45D.455.“sincos0”是“22sinsin1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.记nS为等比数列 na的前 n 项和，若45S ，6221SS，则8S（）A 120B.85C.85D.1207.已知sinsin13，则cos3（）A.12B.33C.23D.228.已知定义在R上的函数 f x满足 2fxf x ，且1x，21,x，12xx，12120f xf xxx若1x，2ln10fxafx恒成立，则 a 的取值范围为（）.江苏省连云港市部分学校2023-2024学年高三上学期10月第二

3、次学情检测数学试题第 2 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司A.2,0B.2,C.2,D.12,2二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.已知ab，则（）A.22ln1ln1abB.33abC.11abD.1122ab10.已知函数 2cos0,2f xx一个极大值点为 1，与该极大值点相邻的一个零点为1，将 f x的图象向左平移 1 个单位长

4、度后得到函数 g x的图象，则下列结论正确的是（）A.2cos44f xxB.f x在区间6,9上单调递增C.g x奇函数D.若 g x在区间1,a上的值域为2,2，则3a 11.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，3ABC，内角B的平分线交AC于点D且3BD，则下列结论正确的是（）A.111acB.b的最小值是 2C.3ac的最小值是4 3D.ABC的面积最小值是312.定义在R上的函数 f x满足220,1f xfxfx 为偶函数，则（）A.110fxfx B.11fxfxC.4f xf xD.20230f三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题

5、5 分，共分，共 20 分分13.已知函数 22log,14,1xx xf xx，则12ff_的为第 3 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司14.已知向量(cos,2)a，(1,sin)b，且ab，则2sin22cos3_15.在锐角三角形ABC，2AB，且114,tantantanABC则AB边上的中线长为_16.已知直线l与曲线1exy和ln(1)yx都相切，请写出符合条件的两条直线l的方程：_，_四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.设na是公比不为 1 的等比数列，1

6、a为2a，3a的等差中项（1）求na的公比；（2）若11a，求数列nna的前n项和18.如图，直三棱柱111ABCABC-中，12,3ABBCAA，平面1ABC 平面11A ABB （1）求证：ABBC；（2）求二面角1AACB的正弦值19.已知函数22()cos2 3sin cossinf xxxxxm的最大值为 1.（1）求常数 m 的值；（2）若0125xf，00,3x，求0cos2x的值.20.已知数列 na的前n项积为nT，且1nnaT.（1）求证：数列1nT是等差数列；（2）证明：321211234nnnaaaaaaaaa.21.在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知

7、2bc ac.第 4 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司（1）若3B，求ac的值；（2）若ABC是锐角三角形，求23sin2cosBC的取值范围.22.已知函数21()(1)ln(1),()2f xxxg xaxx（1）求证：121fxx；（2）若函数()()()h xf xg x在(0,)上存在最大值，求a的取值范围第 1 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司2024 届高三第二次学情检测届高三第二次学情检测数学试题数学试题一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出

8、的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若复数i 1i2aa，Ra，则a（）A.1B.0C.1D.2【答案】A【解析】【分析】利用复数的运算法则、复数的相等运算即可得解.【详解】解：由题意，222i 1ii+ii21i220iaaaaaaa ，22210aa，解得：1a .故选：A.2.已知全集U R，集合2log10Axx，21Bxx，则（）A.2,UAB.BAC.UABD.,2AB【答案】C【解析】【分析】先求出集合,A B，再由交集，补集，并集的定义判断 A，C，D；由集合间的关系判断 B.【详解】由22log10log 1x，则01 1x，解得：12x，所以12Axx，由21x可得2

9、10 x，即20 xx，则200 x xx，解得：02x，故02Bxx，故 B 错误；故UA1x x或2x，故 A 错误；UB0 x x或2x，AUB，故 C 正确；第 2 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司0,2AB，故 D 错误.故选：C.3.若 11 ln1xf xxax为偶函数，则a（）A.1B.0C.12D.1【答案】D【解析】【分析】求出函数的定义域，利用函数奇偶性的定义建立方程进行求解即可【详解】由101xx，得1x 或1x ，由()f x是偶函数，()()fxf x，得11(1)ln(1)ln11xxxaxaxx ，即11(1)ln(1)ln11xxxaxaxx，即11

10、1(1)ln()(1)ln11xxxaxaxx，则11(1)ln(1)ln11xxxaxaxx，由于1ln1xx不恒为 0，所以11xaxa，得1a，故选：D4.向量1ab，3c 且0abc，则cos,ac bc（）A.1314B.1314C.45D.45【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的数量积及模长计算夹角即可.【详解】由已知可得222122cabcaba ba b，又2,2acab bcba，所以2222222225213cos,14774444ababaa bbac bcaa bbba ba.第 3 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司故选：A5.“sincos0”是“22s

11、insin1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念，结合三角恒等式即可得结果.【详解】若sincos0，则sincos，所以2222sinsincossin1，即充分性成立；若22sinsin1，则22sincos，即sincos，所以sincos0不成立，所以“sincos0”是“22sinsin1”的充分不必要条件，故选：A.6.记nS为等比数列 na的前 n 项和，若45S ，6221SS，则8S（）A.120B.85C.85D.120【答案】C【解析】【分析】方法一：根据等比数列的前 n 项

12、和公式求出公比，再根据48,SS的关系即可解出；方法二：根据等比数列的前 n 项和的性质求解【详解】方法一：设等比数列 na的公比为q，首项为1a，若1q ，则405S ，与题意不符，所以1q ；若1q，则611263 230SaaS，与题意不符，所以1q；由45S ，6221SS可得，41151aqq，6211112111aqaqqq，由可得，24121qq，解得：24q，所以8S 8411411151 168511aqaqqqq 第 4 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司故选：C方法二：设等比数列 na的公比为q，因为45S ，6221SS，所以1q ，否则40S，从而，24264

13、86,S SS SS SS成等比数列，所以有，22225215SSS，解得：21S 或254S，当21S 时，2426486,S SS SS SS，即为81,4,16,21S，易知，82164S ，即885S ；当254S 时，2241234122110SaaaaaaqqS，与45S 矛盾，舍去故选：C【点睛】本题主要考查等比数列的前 n 项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握48,SS的关系，从而减少相关量的求解，简化运算7.已知sinsin13，则cos3（）A.12B.33C.23D.22【答案】B【解析】【分析】已知等式利用两角和的正弦公式和辅助角公式化简得3sin63，再

14、利用诱导公式求cos3的值.【详解】由1333sinsinsinsincossincos3sin1322226，得3sin63，所以3coscossin.36263故选：B第 5 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司8.已知定义在R上函数 f x满足 2fxf x ，且1x，21,x，12xx，12120f xf xxx若1x，2ln10fxafx恒成立，则 a 的取值范围为（）A.2,0B.2,C.2,D.12,2【答案】B【解析】【分析】由 2fxf x 得到 f x的图象关于点1,0对称，再由1x，21,x，12xx，12120f xf xxx得到 f x在1,上单调递增，再将2l

15、n10fxafx，转化为ln12fxfxaf xa，从而有ln1xax，即ln1axx，1x，然后令 ln1h xxx，1x，用导数法求得其最大值即可.【详解】解：由 2fxf x ，得 20fxf x，故 f x的图象关于点1,0对称因为1x，21,x，12xx，12120f xf xxx所以 f x在1,上单调递增，故 f x在,上单调递增，因为2ln10fxafx，所以ln12fxfxaf xa，所以ln1xax，即ln1axx，1x 令 ln1h xxx，1x，则 12111xh xxx 当12x时，0h x，h x单调递增，当2x 时，0h x，h x单调递减，所以 max22h x

16、h，所以2a 故选：B二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.的第 6 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司9.已知ab，则（）A.22ln1ln1abB.33abC.11abD.1122ab【答案】BD【解析】【分析】根据对数函数lnyx的单调性及取特殊值1a ，2b ，即可判断 A；根据幂函数3yx的单调性即可判断 B；取特殊值1a，1b=-即

17、可判断 C；根据指数函数12xy的单调性即可判断 D【详解】对于 A，由函数lnyx在0,上单调递增，又ab，不妨取1a ，2b ，此时2211ab，所以22ln1ln1ab，故 A 错误；对于 B，由函数3yx在 R 上单调递增，又ab，所以33ab，所以 B 正确；对于 C，由ab，不妨取1a，1b=-，此时11ab，故 C 错误；对于 D，由函数12xy在 R 上单调递减，又ab，所以1122ab，故 D 正确故选：BD10.已知函数 2cos0,2f xx的一个极大值点为 1，与该极大值点相邻的一个零点为1，将 f x的图象向左平移 1 个单位长度后得到函数 g x的图象，则下列结论正

18、确的是（）A.2cos44f xxB.f x在区间6,9上单调递增C.g x为奇函数D.若 g x在区间1,a上的值域为2,2，则3a【答案】BD【解析】第 7 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司【分析】对于 A，根据余弦型函数的图象与性质进行判断；对于 B，由余弦型函数增区间公式得出结果；对于 C，根据图象平移变换及函数奇偶性定义进行判断；对于 D，根据余弦型函数的定义域、值域的关系以及图像与性质得出结果【详解】设 f x的最小正周期为 T，由题意，1124T ，得28T，所以4，所以 2cos4f xx，又点1,0在 f x的图象上，所以2cos04，所以2 24k，kZ，即2 4

19、k，kZ，又2，所以4，对于 A，因为 2cos44f xx，故 A 错误；对于 B，令2 2 44kxk，kZ，解得8381kxk，kZ，所以 f x的单调递增区间为83,81kk，kZ，当1k 时，单调递增区间为5,9，故 B 正确；对于 C，因为 12cos12cos444g xf xxx，所以 g x为偶函数，故 C 错误；对于 D，当1,xa 时，,444ax，又 g x的值域为2,2，如图，当0 x 时，02g，所以344a，解得3a，故 D 正确故选：BD.11.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，3ABC，内角B的平分线交AC于点第 8 页/共 21 页学科网（

20、北京）股份有限公司D且3BD，则下列结论正确的是（）A.111acB.b的最小值是 2C.3ac的最小值是4 3D.ABC的面积最小值是3【答案】ABD【解析】【分析】由三角形面积公式寻找a，c关系，再利用基本不等式判断【详解】解：由题意得：ABCABDBCDSSS，由角平分线以及面积公式得111sin3sin3sin232626acac，化简得acac，所以111ac，故 A 正确；2acacac，当且仅当ac时取等号，2ac，4ac，所以13sin324ABCacASBCac，当且仅当2ac时取等号，故 D 正确；由余弦定理222222cosbacacABCacac2223343 44ac

21、acacac 所以2b，即b的最小值是2，当且仅当2ac时取等号，故 B 正确；对于选项C：由acac得：111ac，11333(3)()134242 3acacacacaccaca，当且仅当1113acacca，即13313ac 时取等号，故 C 错误；故选：ABD12.定义在R上的函数 f x满足220,1f xfxfx 为偶函数，则（）A.110fxfx B.11fxfxC.4f xf xD.20230f【答案】BC第 9 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】由已知条件得到函数 f x的奇偶性和对称性，对选项进行验证.详解】由220f xfx，令2xt，则有 0f

22、tft，即 f x为奇函数，00f，由1fx为偶函数，f x的对称轴为1x，得11fxfx，故 B 选项正确；则有 2f xfx，可得2fxfx 即有 24f xfxfx，所以 f x是周期函数，且周期为 4（不一定是最小正周期），C 选项正确；1111fxfxfxfx ，故 A 选项错误；2023506 4 111ffff，已知条件不能得到 1f的值，D 选项错误故选：BC三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.已知函数 22log,14,1xx xf xx，则12ff_【答案】1【解析】分析】代入计算即可【详解】由函数 22lo

23、g,14,1xx xf xx，有 1212fff.故答案为：114.已知向量(cos,2)a，(1,sin)b，且ab，则2sin22cos3_【答案】423【解析】【分析】根据向量垂直可得1tan2，即可弦切互化求解.【详解】由ab可得1cos2sin0tan2 ，【第 10 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司所以22222sin22sincos2tan1432cos32cos3cos3sin53tan2354，故答案为：42315.在锐角三角形ABC，2AB，且114,tantantanABC则AB边上的中线长为_【答案】2【解析】【分析】根据题设条件整理得2sin4sinsinc

24、osCABC，再利用正弦定理和余弦定理得到22232abc，进而利用向量的数量积运算求得2CD，由此得解.【详解】因为114tantantanABC，所以coscos4cossinsinsinABCABC，整理得sincoscossin4cossinsinsinABABCABC，即sin4cossinsinsinABCABC，即sin4cossinsinsinCCABC，即2sin4sinsincosCABC，由正弦定理2sinsinsinabcRABC，可得24coscabC，又由余弦定理得2222cosabCabc，所以22222cabc，即22232abc，则222222123cos22

25、abCabcccc，假设AB的中点为D，则12CDCACB ，所以222124CDCACBCA CB ，则2222222211 311112cos222242422CbaabCcccBDA，所以2CD.故答案为：2.16.已知直线l与曲线1exy和ln(1)yx都相切，请写出符合条件的两条直线l的方程：_，第 11 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司_【答案】.yx .11eeyx【解析】【分析】设出切点，利用切点求出切线方程，联立方程求出切点处的值，代入求出切线方程.【详解】因为1exy，ln(1)yx，所以1exy，11yx，设直线l与曲线1exy和ln(1)yx分别切于点111,

26、exx，22,ln1xx，所以切线方程分别为11111eexxyxx，2221ln11yxxxx，即1111111eeexxxyxx，22221ln111xyxxxx，因此1121e1xx，则121ln1xx ，又11112122eeln11xxxxxx，所以1111212222211eeln11ln1111xxxxxxxxx，化简得2221 ln101xxx，解得20 x 或2e 1x，当20 x 时，切线方程为yx，当2e 1x 时，切线方程为11eeyx.故答案为：yx，11eeyx.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步

27、骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.设na是公比不为 1 的等比数列，1a为2a，3a的等差中项（1）求na的公比；（2）若11a，求数列nna的前n项和第 12 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）2；（2）1(13)(2)9nnnS.【解析】【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比q的方程，求解即可得出结论；（2）由（1）结合条件得出na的通项，根据nna的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.【详解】（1）设na的公比为q，1a为23,a a的等差中项，212312,0,20aaa aqq，1,2qq ；（2）设nna的前n项和为nS，111,(

28、2)nnaa，211 12(2)3(2)(2)nnSn ，23121(2)2(2)3(2)(1)(2)(2)nnnSnn ，得，2131(2)(2)(2)(2)nnnSn 1(2)1(13)(2)(2)1(2)3nnnnn ，1(13)(2)9nnnS.【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题.18.如图，直三棱柱111ABCABC-中，12,3ABBCAA，平面1ABC 平面11A ABB （1）求证：ABBC；（2）求二面角1AACB的正弦值【答案】（1）证明见解析 第 13 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司（

29、2）44226【解析】【分析】（1）过点A 作1ADAB，根据题意证得AD 平面1ABC，得到ADBC，再由三棱柱111ABCABC-为直三棱柱，证得1AABC，利用线面垂直的判定定理，证得BC平面11A ABB，即可得到ABBC；（2）以点B为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面1AAC和平面1ABC的一个法向量(1,1,0)n 和(0,3,2)m，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问 1 详解】如图所示，过点A 作1ADAB于点D，因为平面1ABC 平面11A ABB，平面1ABC 平面111A ABBAB，且AD 平面11A ABB，所以AD 平面1ABC，又因为BC平面1ABC，

30、所以ADBC，由三棱柱111ABCABC-为直三棱柱，可得1AA 平面ABC，因为BC平面ABC，所以1AABC，又因为1ADAAA，且1,AD AA 平面11A ABB，所以BC平面11A ABB，因为AB平面11A ABB，所以ABBC.【小问 2 详解】如图所示，以点B为坐标原点，以1,BC BA BB所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为12,3ABBCAA，可得1(0,2,0),(0,0,0),(2,0,0),(0,2,3)ABCA，第 14 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司则11(0,0,3),(2,2,0),(0,2,3),(2,0,0)A

31、AACBABC,设平面1AAC的法向量为(,)nx y z，则130220n AAzn ACxy，取1x，可得1,0yz，所以(1,1,0)n，设平面1ABC的法向量为(,)ma b c，则123020m AAbcm ACa，取3b，可得0,2ac，所以(0,3,2)m，则33cos,21326m nm nm n ，设二面角1AACB的平面角为为锐角，可得3cos26，所以442sin26，即二面角1AACB的正弦值为44226.19.已知函数22()cos2 3sin cossinf xxxxxm的最大值为 1.（1）求常数 m 的值；（2）若0125xf，00,3x，求0cos2x的值.【

32、答案】（1）1m （2）724 350【解析】【分析】（1）根据辅助角公式化简可得 2sin 26xmf x，然后根据正弦函数的性质，即可得出第 15 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司答案；（2）根据已知可得出03sin65x，04cos65x，然后根据二倍角公式得出00sin2,cos266xx的值，根据两角差的余弦公式，即可得出答案.【小问 1 详解】cos23sin2f xxxm132cos2sin222xxm2sin 26xm，当Z22,62kkx，即2,6xkkZ时，max21f xm，所以1m .【小问 2 详解】由（1）知，2sin 216f xx.由0125xf得，0

33、12sin 21265x，所以03sin65x.又00,3x，所以0,66 2x，所以2004cos1 sin665xx，所以00024sin22sincos66625xxx，2007cos21 2sin6625xx，所以000013cos2cos 2cos2sin2632626xxxx17324724 322522550.20.已知数列 na的前n项积为nT，且1nnaT.第 16 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司（1）求证：数列1nT是等差数列；（2）证明：321211234nnnaaaaaaaaa.【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等差数列的定

34、义，111nnTT为定值即可证明.（2）由结合（1）求nT的通项公式，进而得 na，再把1nnnaaa化简代入求值，从而即可证明.【小问 1 详解】由数列 na的前n项积为nT，得12-1nnnTaaaa，又1nnaT，所以，当2n 时，11nnnTTT，整理得111)(1nnTT，即1111nnTT，所以，当2n 时，1111nnTT为定值，所以数列1nT是等差数列.【小问 2 详解】因为1nnaT，令1n，得111aT，112a，故112T，结合（1）可知，1nT是首项为 2，公差为 1 的等差数列，所以11nnT，得11nTn.所以，当2n 时，11111nnnTnnaTnn，显然112

35、a 符合上式，第 17 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司所以1nnan.所以1111 11212221nnnnnaannnan nnnn，故3212112nnnaaaaaaaaa1 111 111111 112 132 2421122nnnn1 111131112 12124212nnnn.因为*Nn，11012nn，所以32121123111342124nnnaaaaaaaaann21.在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bc ac.（1）若3B，求ac的值；（2）若ABC是锐角三角形，求23sin2cosBC的取值范围.【答案】（1）2ac （2）31,3【解析

36、】【分析】（1）根据题意利用余弦定理即可求解.（2）先利用余弦定理、正弦定理、两角和差公式得2BC，再把23sin2cosBC化简到同一个角的三角函数，最后利用正弦函数的单调性确定取值范围.【小问 1 详解】在ABC中，3B，据余弦定理可得222222cosbacacBacac，又22bcac，故2aacac，即22aac，又0a，故2ac，得2ac.【小问 2 详解】.第 18 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司在ABC中，据余弦定理可得2222cosbacacB，又22bcac，故2222cosacacBcac，即22cosaacBac，又0a，故2cosacBc.据正弦定理sin

37、sinacAC，可得sin2sincossinACBC，所以sin 2sincossinBCCBC，即sin2sincossinBCCBC，sincoscossin2sincossinBCBCCBC所以sincoscossinsinBCBCC，sinsinBCC，因,0,A B C，所以 BC ，BCC或BCC，即2BC或B（舍）.所以23sin2cos3sin2cos212sin 216BCCCC.因为ABC是锐角三角形，所以03,202,20,2ACBCC得64C，所以22263C，故3sin 2,162C，2sin 2131,36C，所以23sin2cosBC的取值范围是31,3.22.

38、已知函数21()(1)ln(1),()2f xxxg xaxx（1）求证：121fxx；（2）若函数()()()h xf xg x在(0,)上存在最大值，求a的取值范围【答案】（1）证明见解析 （2）0,1【解析】为第 19 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据题意，求得(1)ln1fxx，令 2ln22m xxx，求得 22m xx，得到函数 m x的单调性，结合 10m xm，即可得到121fxx；（2）根据题意得到21()(1)ln(1),12h xxxaxx x，求得()ln(1)h xxax，令()ln(1)xh xxax，得到 11xax，分0a，1a 和0

39、1a，三种情况讨论，结合零点的存在性定理和函数的单调性、极值（最值）的定义，即可求解.【小问 1 详解】解：由函数()(1)ln(1)f xxx，可得()ln(1)1fxx，则(1)ln1fxx，令 2ln22m xxx，可得 22m xx，当(0,1)x时，可得 0mx，m x单调递增；当(1,)x时，可得 0m x，m x单调递减，所以 10m xm，所以ln220mxxx，即ln121xx，即121fxx.【小问 2 详解】解：由函数21()()()(1)ln(1),12h xf xg xxxaxx x 可得()ln(1)11ln(1)h xxaxxax 令()ln(1)xh xxax，

40、可得 11xax当0a 时，0 x，h x在(0,)上单调递增，所以 00hxh，所以 h x在(0,)上单调递增，无最大值；当1a 时，1101xaax，可得 h x在(0,)上单调递减，所以 00h xh，所以 h x在(0,)上单调递减，无最大值；当01a时，由 101xax，可得110 xa，所以当1(0,1)xa时，0h x，h x在1(0,1)a上单调递增；当1(1,)xa时，0h x，h x在1(1,)a上单调递减，由（1）知，ln21xx，第 20 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司所以当0 x 时，21221(1)1(21)xxaxxa xxa x ，取241ta，则

41、11ta且 1(21)0tta t，又由 1(1)00a，所以由零点的存在性定理，存在01(1,)xta，使得00 x，所以当0(0,)xx时，0 x，即 0h x；当0(,)xx时，0 x，即 0h x，所以 h x在0(0,)x单调递增，在0(,)x 单调递减，此时 h x在(0,)上存在最大值0h x，符合题意，综上所述，实数a的取值范围是0,1.【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.结论拓展：与ex和ln x相关的常见同构模型elne lnelnaaaabbbb，构造函数 lnf xxx或 exg xx；eelnlnelnaaabbabb，构造函数 lnxf xx或 exg xx；elnelnelnaaaabbbb，构造函数 lnf xxx或 exg xx.