江苏省泰州中学2023-2024学年高二上学期第二次质量检测数学试卷含答案.pdf

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1、1 学科网（北京）股份有限公司江苏省泰州中学高二年级 2023-2024 学年度秋学期第二次质量检测 数学试卷一、选择题一、选择题1.若两条不同的直线1l：()24220axy=与直线2l：()3210 xay+=平行，则a的值为 （）A.1B.1C.1或 1D.02已知一条直线过点 P(2，3)，且倾斜角 45，则这条直线的方程为 （）A.xy50B.xy50C.xy50D.xy503两圆22440 xyxy+=与222120 xyx+=的公共弦长等于 （）A4 B2 3C3 2 D4 24点(3，0)到双曲线x216y291 的一条渐近线的距离为（）A95 B85 C65 D455已知P是

2、椭圆22221(0)xyabab+=上一点，1F、2F分别是椭圆的左、右焦点，若12PFF的周长为6，且椭圆的离心率为12，则椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为（）A12B 32C 1 D2 6已知圆 C：22(2)(3)4+=xy，若点 P 在直线40 xy=上运动，过点 P作圆 C的两条切线PA，PB，切点分别为 A，B，则直线AB过定点坐标为 （）A11 14,55 B12 13,55 C14 11,55 D13 12,55 7.已知1F，2F是椭圆2222:1(0)xyEabab+=的左右焦点，若E上存在不同两点A，B，使得122F AF B=，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A(21,

3、1)B(0,21)C(0,32 2)D(32 2,1)8小明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问：平面上到两个定点距离之积为常数的点的轨迹是什么呢？又具备哪些性质呢？老师特别赞赏他的探究精神，并告诉他这正是历史上法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，这类曲线被称为“卡西尼卵形线”.在老师的鼓励下，小明决定先从特殊情况开始研究，假设()11,0F、()21,0F是平面直角坐标系xOy内的两个定点，满足122PFPF=的动点 P的轨迹为曲线 C，从而得到以下 4 个结论：曲线 C 既是轴对称图形，又是中心对称图形；动 点 P 的横坐标的取值范围是3,3；OP

4、的取值范围是1,3；12PFF的面积的最大值为 1.其中正确结论的个数为（）A1 B2 C3 D4 2 学科网（北京）股份有限公司 二、二、多选题多选题 9已知方程224820 xyxya+=，则下列说法正确的是 （）A当10a=时，表示圆心为(2,4)的圆 B当10a，定义双曲线2222:1xyCab=为其伴随双曲线，则下列 说法中正确的有 （）A椭圆1C与其伴随双曲线2C有四个公共点 B若椭圆1C的离心率是其伴随双曲线2C的离心率的13，则伴随双曲线2C的渐近线方程2 55yx=C若椭圆1C的左、右顶点分别为A、B，直线():0lxtta=，0b)与22142=yx有相同的渐近线，且经过点

5、()2,2M.（1）求双曲线C的方程；（2）已知直线0 xym+=与双曲线C交于不同的两点AB，且线段AB的中点在圆2220 xy+=上，求实数m的值.19已知直角三角形 ABC的顶点()2,0A，直角顶点 B的坐标为()0,2 2，顶点 C 在 x 轴上（1）求直角三角形 ABC的外接圆的一般方程；（2）设 OA 的中点为 M，动点 P满足1PMPE=，G 为 OP的中点，其中 O 为坐标原点，E为三角形ABC的外接圆的圆心，求点 G 的轨迹方程 20.在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1(0)xyEabab+=的左顶点到右焦点的距离是 3，离心率为12（1）求椭圆E的标准方程；4 学

6、科网（北京）股份有限公司（2）斜率为2的直线l经过椭圆E的右焦点，且与椭圆E相交于A，B两点已知点(3,0)P，求PA PB 的值 21.已知椭圆2222:1xyWab+=(0)ab的左右两个焦点为12,F F,且122FF=,椭圆上一动点P满足122 3PFPF+=.（1）求椭圆W的标准方程及离心率;（2）如图,过点1F作直线1l与椭圆W交于点,A C,过点2F作直线21ll,且2l与椭圆W交于点,B D,1l与2l交于点E,试求四边形ABCD面积的最大值.22.已知椭圆 E：22221(0)xyabab+=的离心率为33，椭圆 E的长轴长为 26（1）求椭圆E的标准方程；（2）设()0,1

7、A，()0,2B，过A且斜率为1k的动直线l与椭圆E交于M，N两点，直线BM，BN分别交C：()2211xy+=于异于点B的点P，Q，设直线PQ的斜率为2k，直线BM，BN的斜率分别为34,k k 求证：34kk为定值；求证：直线PQ过定点.江苏省泰州中学高二年级 2023-2024 学年度秋学期第二次质量检测 数学参考答案 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题）5 学科网（北京）股份有限公司 1.若两条不同的直线1l：()24220axy=与直线2l：()3210 xay+=平行，则a的值为（）A.1 B.1 C.1或 1 D.0【答案】B【解析】【分析】两直线1111:0lAxB yC

8、+=与2222:0lA xB yC+=平行的判定方法12210ABA B=，但要验证是否重合.【详解】因为直线1l：()24220axy=与直线2l：()3210 xay+=平行，所以()()24260aa+=，解得1a=，当1a=时，1l：10 xy+=，2l：103xy+=，两直线平行，当1a=时，1l：310 xy+=，2l：310 xy+=，两直线重合，所以1a=.故选：B.2已知一条直线过点 P(2，3)，且倾斜角 45，则这条直线的方程为()A.xy50 B.xy50 C.xy50 D.xy50 答案：C 3两圆22440 xyxy+=与222120 xyx+=的公共弦长等于()A

9、4 B2 3 C3 2 D4 2【分析】求出圆心和半径以及公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式，弦长公式，求得公共弦的长【解答】解：两圆为22440 xyxy+=，222120 xyx+=，可得：260 xy+=两圆的公共弦所在直线的方程是260 xy+=，22440 xyxy+=的圆心坐标为(2,2)，半径为2 2，圆心到公共弦的距离为0d=，公共弦长4 2=6 学科网（北京）股份有限公司 故选：D【点评】本题主要考查圆的标准方程，求两个圆的公共弦所在的直线方程的方法，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题 4点(3，0)到双曲线x216y291 的一条渐近线的距离为()A

10、95 B85 C65 D45 答案：A 解析：由题意可知，双曲线的渐近线方程为x216y291，即 3x4y0，结合对称性，不妨考虑点(3，0)到直线 3x4y0 的距离，则点(3，0)到双曲线的一条渐近线的距离 d9091695 5已知P是椭圆22221(0)xyabab+=上一点，1F、2F分别是椭圆的左、右焦点，若12PFF的周长为6，且椭圆的离心率为12，则椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为（）A12 B 32 C 1 D2【答案】C【分析】由焦点三角形周长、椭圆离心率列方程求椭圆参数，结合椭圆性质即可确定椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离.【详解】设椭圆的焦距为2c，且12PFF的周长为6

11、，所以226ac+=，椭圆的离心率为12，则12ca=，综上，22612acca+=，解得21ac=，则椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为1ac=故选：C 6已知圆 C：22(2)(3)4+=xy，若点 P 在直线40 xy=上运动，过点 P作圆 C的两条切线PA，PB，切点分别为 A，B，则直线AB过定点坐标为（）A11 14,55 B12 13,55 C14 11,55 D13 12,55【答案】C【分析】求出22(2)(3)4+=xy的圆心和半径，由几何关系得到,P A C B四点共圆，设(),4P m m，得到,P A C B的圆的方程，与22(2)(3)4+=xy相减后得到直线AB的方

12、程，求出直线AB过定点坐标.7 学科网（北京）股份有限公司【详解】圆 C：22(2)(3)4+=xy的圆心为()2,3C，半径为 2，过点 P作圆 C的两条切线PA，PB，切点分别为 A，B，故,P A C B四点共圆，其中PC的中点为该圆心，PC为直径，设(),4P m m，则PC的中点为24321,2222mmmm+=，()()()()222224327PCmmmm=+=+，故过,P A C B的圆的方程为()()22222721224mmmmxy+=，变形得到()()2221512xmxymym+=+，由相减可得直线AB的方程，即()()27521mxmym+=，整理得()527210m

13、 xyxy+=，令5027210 xyxy+=+=，解得145115xy=，故直线过定点坐标14 11,55.故选：C 7.已知1F，2F是椭圆2222:1(0)xyEabab+=的左右焦点，若E上存在不同两点A，B，使得122F AF B=，则该椭圆的离心率的取值范围为()A(21,1)B(0,21)C(0,32 2)D(32 2,1)【答案】D 延长1AF交椭圆于1A，根据椭圆的对称性，则211F BAF=，1112F AAF=，设直线1AA的方程xmyc=，11(,)A x y，122(,)A xy，8 学科网（北京）股份有限公司 联立22221xmycxyab=+=，整理得：22222

14、4()20b mayb mcyb+=，则2122222b mcyyb ma+=+，412222by yb ma=+，由122F AF B=，则122yy=，整理得：2222(32 2)04 2(32 2)amcb=，则22(32 2)(32 2)0ca+，即222232 2(21)32 2(21)ca=+，椭圆的离心率32 2cea=，椭圆的离心率的取值范围(32 2,1).8小明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问：平面上到两个定点距离之积为常数的点的轨迹是什么呢？又具备哪些性质呢？老师特别赞赏他的探究精神，并告诉他这正是历史上法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行

15、规律时发现的，这类曲线被称为“卡西尼卵形线”.在老师的鼓励下，小明决定先从特殊情况开始研究，假设()11,0F、()21,0F是平面直角坐标系xOy内的两个定点，满足122PFPF=的动点 P 的轨迹为曲线 C，从而得到以下 4 个结论：曲线 C既是轴对称图形，又是中心对称图形；动点 P 的横坐标的取值范围是3,3；OP的取值范围是1,3；12PFF的面积的最 9 学科网（北京）股份有限公司 大值为 1.其中正确结论的个数为（）A1 B2 C3 D4【答案】D【分析】设(,)P x y，由题设可得曲线 C为22224(1)2(1)4xyxy+=，将(,)x y、(,)x y、(,)xy代入即可

16、判断；令20ty=，由2222()2(1)(1)4f ttxtx=+在0,)+上有解，结合二次函数性质求 P 的横坐标的取值范围判断；由分析可得222221 1xOPxy=+，进而求范围判断；由基本不等式、余弦定理确定12FPF范围，再根据三角形面积公式求最值判断.【详解】令(,)P x y，则2222(1)(1)2xyxy+=，所以2222(1)(1)4xyxy+=，则22224(1)2(1)4xyxy+=，将(,)x y、(,)x y、(,)xy代入上述方程后，均有22224(1)2(1)4xyxy+=，所以曲线 C既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确；令20ty=，则22222(1)(

17、1)40txtx+=，对于2222()2(1)(1)4f ttxtx=+，对称轴为2(1)0 xx=+，其中负值舍去，综上，222221 1xOPxy=+，又203x，即2114x+，所以21,3OP，则1,3OP，正确；由121222 2PFPFPFPF+=，仅当122PFPF=时等号成立，12PFF的面积1212121sinsin2SPF PFFPFFPF=，而22212121212cos02PFPFFFFPFPF PF+=，所以12090FPF，所以12PFF的面积的最大值为 1，正确.10 学科网（北京）股份有限公司 综上，正确结论的个数为 4 个.故选：D【点睛】关键点点睛：通过换元

18、20ty=，构造2222()2(1)(1)4f ttxtx=+，利用根的分布求 P的横坐标、OP的取值范围.二二多选题（共多选题（共 12 小题）小题）9已知方程224820 xyxya+=，则下列说法正确的是（）A当10a=时，表示圆心为(2,4)的圆 B当10a 时，表示圆心为(2,4)的圆 C当0a=时，表示的圆的半径为4 5 D当8a=时，表示的圆与y轴相切【答案】BD【分析】将圆的一般方程化为标准方程，结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，方程224820 xyxya+=，可化为()()2224202xya+=，可圆的圆心坐标为(2,4)，A 中，当10a=时，此时半径为20

19、20a=，所以 A 错误；B 中，当10a，表示圆心为(2,4)的圆，所以 B 正确；C 中，当0a=时，表示的圆的半径为2 5r=，所以 C 错误；D 中，当8a=时，可得2024a=，方程表示的圆半径为2r=，又圆心坐标为()2,4，所以圆心到y轴的距离等于半径，所以圆与y轴相切，所以 D 正确 故选：BD.10.已知直线l：210kxyk+=和圆 O：228xy+=，则（）A.直线l恒过定点(2 1),B.存在 k 使得直线l与直线0l：220 xy垂直 C.直线l与圆O相交 D.直线l被圆O截得的最短弦长为2 3【答案】BCD【解析】11 学科网（北京）股份有限公司【分析】利用直线方程

20、求定点可判断选项 A；利用两直线的垂直关系与斜率的关系判断选项 B；利用直线恒过定点在圆内可判断选项 C；利用弦长公式可判断选项 D.【详解】对 A，由210kxyk+=可得，()210k xy+=，令20 x+=，即2x=，此时1y=，所以直线l恒过定点(2 1),，A 错误；对 B，因为直线0l：220 xy的斜率为12，所以直线l的斜率为2，即2k=，此时直线l与直线0l垂直，满足题意，B正确；对 C，因为定点(2 1),到圆心的距离为4 152 2+=，定义双曲线2222:1xyCab=为其伴随双曲线，则下列说法中正确的有（）A椭圆1C与其伴随双曲线2C有四个公共点 B若椭圆1C的离心

21、率是其伴随双曲线2C的离心率的13，则伴随双曲线2C的渐近线方程2 55yx=C 若椭圆1C的左、右顶点分别为A、B，直线():0lxtta=与椭圆1C相交于P、Q两点，则直线AP与直线BQ的交点在伴随双曲线2C上 D 若椭圆1C的右焦点为1F，其伴随双曲线2C的右焦点为2F，过2F作2C的一条渐近线的垂线，垂足为H，且12HFF为等腰三角形，则椭圆1C的离心率为55或105【答案】BCD【分析】求得椭圆1C与其伴随双曲线2C的交点判断选项 A；求得伴随双曲线2C的渐近线方程判断 选项 B；求得直线AP与直线BQ的交点判断选项 C；求得椭圆1C的离心率判断选项 D.13 学科网（北京）股份有限

22、公司【详解】选项 A：由2222222211xyabxyab+=可得0 xay=或0 xay=即椭圆1C与其伴随双曲线2C有二个公共点(,0)a，(,0)a.判断错误；选项 B：椭圆1C的离心率为22aba，其伴随双曲线2C的离心率为22aba+则22221+=3ababaa，整理得2254ba=，即2245ba=则伴随双曲线2C的渐近线方程2 5=5byxxa=.判断正确；选项 C：椭圆1C的左、右顶点分别为(,0)Aa、(,0)B a，则可令直线():0lxtta=相矛盾，不符合题意；当等腰12HFF的顶点为1F时，2222222222222+=aabababababab+，整理得()()

23、222235=0abab+，即223=5ba则椭圆1C的离心率为223101=155ba=当等腰12HFF的顶点为2F时，2222222222222+=aabababababab+，整理得224=5ba则椭圆1C的离心率为22451=155ba=故椭圆1C的离心率为55或105.判断正确.故选：BCD 三填空题（共三填空题（共 4 小题）小题）13.与两坐标轴围成的三角形面积为 4，且斜率为2的直线 l的方程为 【答案】24yx=【分析】由已知设直线方程为2yxb=+，从而可得直线的截距为,2bb，进而有1422bb=，解方程可得b 的值.【详解】设直线 l的方程为2yxb=+，令0 x=，可

24、得yb=；令0y=，可得2bx=；由题意可得：1422bb=，解得4b=，所以直线 l的方程为24yx=.故答案为：24yx=.15 学科网（北京）股份有限公司 14.圆心在直线10 xy+=上且与直线210 xy=相切于点(1,1)的圆的方程是_【答案】22(1)(2)5xy+=【解析】【分析】根据给定条件，求出过切点的圆半径所在直线方程，进而求出圆心坐标即可作答.【详解】依题意，过切点(1,1)的圆的半径所在直线方程为11(1)2yx=，即230 xy+=，由10230 xyxy+=+=解得12xy=，因此所求圆的圆心为(1,2)，半径22(1 1)(2 1)5r=+=，所以所求圆的方程为

25、22(1)(2)5xy+=.故答案为：22(1)(2)5xy+=15.中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为 .34yx【分析】设双曲线方程22221yxab=，根据已知得到43ba=，即可得到渐近线的方程.【详解】由已知可设双曲线的标准方程为22221yxab=()0,0ab.由已知可得53cea=，所以53ca=，则2222169bcaa=，所以43ba=.所以，双曲线的渐近线方程为34ayxxb=.16.若1F、2 F为椭圆C：22221xyab+=的左、右焦点，焦距为 4，点P为C上一点，若对任意的1,4，均存在四个不同的点P满足12PF PF=，则C的

26、离心率e的取值范围为_.【答案】22,32【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算律和椭圆的性质求解.【详解】由题可得，12(2,0),(2,0)FF，16 学科网（北京）股份有限公司 设O为坐标原点，则21OFFO=,所以21211221()()()()PF PFPOOFPOOFPOOFPOPOOF=+=+=24PO=,即24PO=+，因为1,4，所以25,8PO ，若存在四个不同的点P满足25,8PO ，又222bPOa，所以2258ba，即22458aa，所以289a，0b)与22142=yx有相同的渐近线，且经过点()2,2M.（1）求双曲线C的方程；（2）已知直线0 xym+=与双曲

27、线C交于不同的两点AB，且线段AB的中点在圆2220 xy+=上，求实数m的值.17 学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）2212yx=；（2）2m=.【解析】【分析】（1）根据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点()2,2M计算；（2）联立直线与双曲线的方程，得关于x的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出AB的中点坐标，代入圆的方程计算.【详解】（1）由题意，设双曲线的方程为22(0)42=yx，又因为双曲线过点()2,2M，221422=，所以双曲线的方程为：2212yx=（2）由2212yxmyx=+=得22220 xmxm=设()11,A x y()22,B xy，则122xxm+

28、=，2122xxm=，所以124yym+=则AB中点坐标为(),2mm，代入圆2220 xy+=得2520=m，所以2m=.19已知直角三角形 ABC的顶点()2,0A，直角顶点 B的坐标为()0,2 2，顶点 C 在 x 轴上（1）求直角三角形 ABC的外接圆的一般方程；（2）设 OA 的中点为 M，动点 P满足1PMPE=，G 为 OP的中点，其中 O 为坐标原点，E为三角形ABC的外接圆的圆心，求点 G 的轨迹方程【答案】（1）22280 xyx+=（2）2216116134yxx=【解析】【分析】(1)根据题意求出直线 BC 的方程并求出点C的坐标，根据直角三角项外接圆的圆心为斜边的中

29、点，半径为斜边长的一半即可求解；18 学科网（北京）股份有限公司(2)结合（1）的结论和双曲线的定义，求出点 P 的轨迹方程为224141()32xyx=，设(),G x y，根据题意进行等量代换即可求解.【小问 1 详解】由题意知：直线 AB的斜率为2ABk=，ABBC，直线 BC的斜率为22BCk=，直线 BC 的方程为：22 22yx=令0y=，则4x=，C（4，0）由于三角形是以 B 为直角顶点的直角三角形，所以其外接圆的直径为 AC，从而外接圆的圆心为（1，0），半径为 3 三角形 ABC外接圆的方程为：()2219xy+=，其一般方程为：22280 xyx+=【小问 2 详解】由（

30、1）知：三角形 ABC的外接圆的圆心 E（1，0），M为 OA的中点，()1,0M 12PMPEME=则21a=，22c=，从而12a=，1c=，22234bca=点 P的轨迹方程为：224141()32xyx=设(),G x y，00(,)P xy，G 为 OP的中点，则有0022xxyy=，从而0022xxyy=，()2,2Pxy 19 学科网（北京）股份有限公司 代入得点 G 的轨迹方程为：22161161()34yxx=20.在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1(0)xyEabab+=的左顶点到右焦点的距离是 3，离心率为12（1）求椭圆E的标准方程；（2）斜率为2的直线l经过椭

31、圆E的右焦点，且与椭圆E相交于A，B两点已知点(3,0)P，求PA PB 的值【分析】（1）由已知列关于a，b，c的方程组，求得a与b的值，则椭圆方程可求；（2）写出直线l的方程，与椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程，再由根与系数的关系结合数量积运算求解PA PB 的值【解答】解：（1）由题意，222123caacabc=+=+，解得2,1,3acb=椭圆E的标准方程为22143xy+=；（2）椭圆E的右焦点为(1,0)F，则直线l的方程为2(1)yx=，联立222(1)143yxxy=+=，得2111640 xx=设1(A x，1)y，2(B x，2)y，则121611xx+=，1241

32、1x x=12126 22(2)11yyxx+=+=，1212182(1)(1)11y yxx=11(3,)PAxy=+，22(3,)PBxy=+，1212121212(3)(3)3()9PA PBxxy yx xxxy y=+=+416181253911111111=+=【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题 20 学科网（北京）股份有限公司 21.已知椭圆2222:1xyWab+=(0)ab的左右两个焦点为12,F F,且122FF=,椭圆上一动点P满足122 3PFPF+=.（1）求椭圆W的标准方程及离心率;（2）如图,过点1F作直线1l

33、与椭圆W交于点,A C,过点2F作直线21ll,且2l与椭圆W交于点,B D,1l与2l交于点E,试求四边形ABCD面积的最大值.【答案】椭圆方程为22132xy+=,离心率为33；4.【解析】由题意3,1ac=,又因为222bac=所以2b=,椭圆方程为22132xy+=,离心率为33.（）当直线AC斜率不存在或者为0时 易得4 32 383ACBD=,从而四边形ABCD的面积为 4.当直线AC斜率存在且不为0时,设1122(,),(,)A x yC x y,直线:(1)AC yk x=+联立22(1)132yk xxy=+=2222(32)6360kxk xk+=由韦达定理得21226+=

34、32kxxk+,21223632kx xk=+2212121()4ACkxxx x=+22222 3232=132kkkk+2214 332kk+=+同理2214 323kBDk+=+所以12ABCDSAC BD=四边形2222(1)24(23)(32)kkk+=+4242424221212424461366(21)kkkkkkkk+=的离心率为33，椭圆 E的长轴长为 26 （1）求椭圆E的标准方程；（2）设()0,1A，()0,2B，过A且斜率为1k的动直线l与椭圆E交于M，N两点，直线BM，BN分别交C：()2211xy+=于异于点B的点P，Q，设直线PQ的斜率为2k，直线BM，BN的斜

35、率分别为34,k k 求证：34kk为定值；求证：直线PQ过定点.【答案】（1）22164xy+=（2）证明见解析；证明见解析【解析】【分析】（1）由已知条件列出关于,a b c的方程组，解之可得；（2）设 MN 的方程为11yk x=，设11(,)M x y，22(,)N xy，直线方程代入椭圆方程，整理后由韦达定理得1212,xx x x+，然后计算34kk可得结论；设 PQ 的方程为2yk xt=+，设33(,)P x y，44()Q xy，直线方程代入圆方程，整理后应用韦达定理得3434,xx x x+，由点的坐标求得BPBQkk，利用它等于34kk可求得t值，从而由直线方程得定点【小

36、问 1 详解】23 学科网（北京）股份有限公司 由题意22222 633acabca=+=解得262bac=所以椭圆的标准方程为：22164xy+=；【小问 2 详解】设 MN的方程为11yk x=，与22164xy+=联立得：2211(32)690kxk x+=，设11(,)M x y，22(,)N xy，则11221222211163293272(21)0kxxkx xkk+=+=+=+，121 11234121222(3)(3)yyk xk xkkxxx x=2112112123()92k x xk xxx x+=设 PQ 的方程为2,2yk xt t=+，与22(1)1yx+=联立2222(1)2(1)(2)0kxk txt t+=，设33(,)P x y，44()Q xy，则23422342222222(1)1(2)14(2)0k txxkt tx xkktt=+=+=+222232324422234342(2)(2)2(2)2(2)(1)(1)(2)(2)BPBQyk xtk xtyk t tkttktkkxxx xt t+=2222222(1)(1)(2)2k tktktttt+=由34BPBQkkkk=，即222,3ttt=此时22284()09k=+，所以PQ的方程为223yk x=+，故直线PQ恒过定点2(0,)3.