自考04183概率论与数理统计（经管类）考点讲义汇总.pdf

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1、1目 录目 录第一章 随机事件与概率第一章 随机事件与概率.4第一节 随机事件.5第二节 概率.8第三节 条件概率.10第四节 事件的独立性.11附录 排列与组合.13第二章 随机变量及其概率分布第二章 随机变量及其概率分布.14第一节 离散型随机变量.15第二节 随机变量的分布函数.17第三节 连续型随机变量及其概率密度.17第四节 随机变量函数的概率分布.21第三章 多维随机变量及其概率分布第三章 多维随机变量及其概率分布.23第一节 多维随机变量的概念.24第二节 随机变量的独立性.29第三节 两个随机变量的函数的分布.30第四章 随机变量的数字特征第四章 随机变量的数字特征.32第一节

2、 随机变量的期望.33第二节 方差.35第三节 协方差与相关系数.37第五章 大数定律及中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理.40第一节 切比雪夫Chebyshev不等式.412第二节 大数定律.41第三节 中心极限定理.42第六章第六章 统计统计量及其抽量及其抽样样分布分布.44第一节 总体与样本.45第二节 统计量及其分布.46第七章第七章 参数估参数估计计.51第一节 点估计的几种方法.52第二节 点估计的评价标准.53第三节 参数的区间估计.54第八章第八章 假假设检验设检验.56第一节 假设检验的基本思想和概念.57第二节 总体均值的假设检验.60第三节 正态总体方差的假设检验

3、.62第四节 单边检验.63第九章第九章 回回归归分析分析.65第一节 回归直线方程的建立.66第二节 回归方程的显著性检验.671第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率框架框架图图 1第1 1第 随机事件 随机事件1.随机现象1.随机现象随机现象：随机现象：在一定的条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，我们预先无法断言，这类现象称为随机现象随机现象.2.随机试验和样本空间2.随机试验和样本空间随机试验：随机试验：若把科学实验或观察都称为试验，则满足下列条件的试验称为随机试验随机试验（简称试验）：1试验的可重复性在相同条件下可重复进行.2一次试验结果的随机性每次试验前不能确定哪

4、个结果会出现.3全部试验结果的可知性每次试验的可能结果不止一个，且在试验开始前能明确所有可能的结果.样本空间：样本空间：随机试验的每一个可能出现的不可分解的结果称为样本点，全体样本点的集合称为样本空间样本空间，用（或）来表示.注：样本空间的元素可以是数，S也可以不是数，样本空间所含有的样本点可以是有限多个也可以是无限多个.样本点是随机试验最基本并且不可再分的结果.当随机试验的内容确定后，样本空间也将确定.3.随机事件的概念3.随机事件的概念随机事件：随机事件：样本空间的子集合称为试验的随机事件随机事件，简称事件事件，以大写E字母来表示.俗话说：在一次试验中可能出现也可能不出现的事件，统称,BA

5、为随机事件随机事件.随机事件可以分为：2（1）基本事件只含一个样本点的子集合.（2）复合事件含若干个样本点的子集合.（3）不可能事件不含样本点的子集合（空集），即它在每次试验中都不会发生，记为.（4）必然事件样本空间本身，即它在每次试验中必然发生，记为.注意：（3）和（4）具有确定性，不是随机事件，但作随机事件处理.4.4.随机事件的关系与运算随机事件的关系与运算设为试验的样本空间，为的子集，事件的关系及其运算可以与ECBA,集合的关系和运算相对应：符号概率论样本空间，必然事件不可能事件样本点（基本事件）A事件A对立（逆或余）事件：的对立事件A若事件与事件中至少有一个发生，且AB与互不相容，即

6、，ABBAAB则称与互为对立事件.ABAA,ABAABBABA事件的包含：事件发生必有事件发生ABABA 事件的相等：事件与事件等价（同一事AB件的不同描述）若且，BAAB 则BA 或BABA和事件：事件与事件至少有一个发生.AB推广：表示事件，中至niiA11A2AnA少发生一个.BABBAA,若，则BABBABA或AB积事件：事件与事件同时发生.ABBABAAB,若，则BAAAB 3推广：表示事件，都发niiA11A2AnA生.BA差事件：事件发生而事件不发生ABABA若，则BA BAAB互不相容（互斥）：事件与事件不能同AB时发生.推广：个事件，两n1A2AnA两之间互不相容，即jiAA

7、njiji,2,1,设为事件，事件之间的关系与运算直观图：CBA,事件文氏图（韦恩图）运算律事件的包含BA交换律：ABBAABBA,和事件BA结合律：，CBACBA CBACBA积事件BA分配律：，CABACBA CABACBA差事件BA对偶律（德摩根律）：，BABA BAAB互不相容ABA AB AB BABA AB 4对立事件A，AAAA必然事件，AAAAAA注意：（1）事件的运算顺序一般是：先逆后积，再和差.（2）有包含关系的事件的和事件，“谁大要谁”；有包含关系的事件的积事件，“谁小要谁”.（3）讨论事件的关系时，借助“文氏图”.第2 2第 概率概率1.1.频频率与概率率与概率频频率：

8、率：在相同条件下进行次试验，在这次试验中，事件发生的次数nnAAn称为事件发生的频数，而比值称为事件发生的频率，并记作.频率AnnAA Afn具有如下性质：1.10Afn2,.0nf 1nf3若与互不相容，则.AB BfAfBAfnnn推广：当，（或，）互不相容时，1A2AmA1A2AmA（或）.mkknmkknAfAf11 11kknkknAfAf其中是正整数.随着试验重复次数的大量增加，频率逐渐稳定于某一常mn Afn数，称这个常数为事件的概率.A APAAB 52.2.古典概型古典概型古典概型：古典概型：具有下面两个特点的随机试验的概率模型，称为古典概型古典概型：1基本事件的总数是有限的

9、，换句话说样本空间仅含有有限个样本点；2每个基本事件发生的可能性相同.设为随机试验的样本空间，其中所含样本点总数为为一随机事件，EAn,其中所含样本点数为，则古典概型事件概率计算公式为：r.中基本事件总数所包含的基本事件数中样本点总数中样本点数AAnrAP古典概型中事件概率具有如下性质：1；10AP2，；0P 1P3当与互不相容时，有.AB BPAPBAP推广：当，（或，）互不相容时，1A2AmA1A2AmA（或）.mkkmkkAPAP11 11kkkkAPAP3.3.概率的定概率的定义义与性与性质质概率：概率：设是随机试验，是它的样本空间.对于的每一事件赋予一个EEA实数，若满足：AP1非负

10、性：；（2）规范性：；（3）可列可加性：设，0AP 1P1A2AnA互不相容，则，称是事件的概率.11iiiiAPAP APA概率的性概率的性质质有界性.特别地，.10AP 0P 1P 6注意，由不能推出.同样，由不能推得 0APA 1APA有限可加性若，是两两互不相容事件，则其中为正整数.1A2AnA niiniiAPAP11n单调性设是两个事件，若，则有；.BA,BA APBPABP APBP逆事件对任一事件，有，.（求逆公式）A APAP1 1APAP加法公式对任意两个事件有BA,ABPBPAPBAP推广：对任意个事件，有n1A2AnA nkjikjinjijiniinAAAPAAPAP

11、AAAP11121 nnAAAP2111减法公式.ABPAPABPBAP特别地，当时，.AB BPAPBAP第3 3第 条件概率条件概率1.1.条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式条件概率：条件概率：设是两个事件且，称为在事件发BA,0AP APABPABP|A生的条件下事件发生的概率.B定理（乘法公式）定理（乘法公式）设，则.同样地，若，则 0AP ABPAPABP|0BP.BAPBPABP|推广到个事件的情况：n1设，则.0ABP ABCPABPAPABCP|2设，则0121nAAAP.121121121|nnnnAAAAPAAPAPAAAAP2.2.全概率公式与全概率公式与贝贝叶斯（叶斯

12、（BayesBayes）公式）公式完完备备事件事件组组：设事件，满足如下两个条件：1A2AnA 71，互不相容（即），且,；1A2AnAjiAAji 0iAPni,2,1（2），即，至少有一个发生，则称，nAAA211A2AnA1A2A为样本空间的一个划分（完划分（完备备事件事件组组）.当，是的一个划分时nA1A2AnA，每次试验有且只有其中的一个事件发生.全概率公式全概率公式：设随机试验对应的样本空间为，设，是样本空1A2AnA间的一个划分，是任意一个事件，则.B niiiABPAPBP1|贝贝叶斯公式叶斯公式：设，是样本空间的一个划分，是任一事件，且1A2AnAB，则 0BP，.nkkki

13、iiiiABPAPABPAPBPABPAPBAP1|ni,2,1第4 4第 事件的独立性事件的独立性1.1.事件的独立性事件的独立性事件的独立性：事件的独立性：设是两事件，若满足等式，则称事件BA,BPAPABP相互独立，简称独立.BA,BA,注：若，则相互独立与互不相容不能同时成立.0,0BPAPBA,BA,事件独立性有下列性质：1设是两事件，且，则相互独立的充要条件是BA,0APBA,ABPBP|.设，则相互独立的充要条件是.0BPBA,BAPAP|2若事件与相互独立，则下列各对事件也相互独立：与，与，ABABABA与.B三事件相互独立：三事件相互独立：设是三个事件，若满足等式CBA,8，

14、BPAPABP CPBPBCP CPAPACP，CPBPAPABCP则称事件相互独立.CBA,注：事件相互独立的充要条件是两两独立，且CBA,CBA,.CPBPAPABCP推广个事件的独立性：nnAAA,21定定义义3 3 设为个事件，若对于任意整数和任意个整数nAAA,21nnkk1k，有，则称相niiik211 kkiiiiiiAPAPAPAAAP2121nAAA,21互独立，简称独立.注：个事件相互独立必两两独立，但反之不然.nAAA,21n2.2.重重贝贝努利事件努利事件n贝贝努利概型：努利概型：具有下面两个特点的随机试验的概率模型，称为贝贝努利概型努利概型：（1）次独立重复试验；n（

15、2）每次试验只有两个可能结果和，且，.AA pAP10 p注：只有两种可能结果的独立重复试验称为贝努利试验.定理定理1 1 在重贝努利试验中，设每次试验中事件的概率为（），则事件恰nAp10 pA好发生次的概率k，.knkknnppCkP1nk,2,1,0在指定的次试验中发生，而在其余次试验中不发生的概率为.Akknkkpp1常见重贝努利试验：抛掷硬币时注意的是正面是否朝上；产品抽样检验时，n注意抽出的产生是否是次品；射手向目标射击时，注意目标是否被命中.9本章基本概型及其概率计算概型随机试验特征概率计算公式古典概型1基本事件等可能；2样本空间有限.中基本事件总数中基本事件数AAP全概模型试验

16、分两次进行，第一次所有可能结果为样本空间nAAA,21的一个划分，为第二B次试验后的某随机事件.全概率公式：niiiABPAPBP1|贝叶斯公式（逆概率公式）：nkkkiiiiiABPAPABPAPBPABPAPBAP1|ni,2,1贝努利概型次独立重复试验，且每n次试验只有两个可能结果：和，不变.AA pAP次试验中恰好发生次的概率为：nAk，.knkknnppCkP1nk,2,1,0注意：利用基本公式计算概率的一般步骤：1写出欲求概率的事件；A2分析与哪些事件有关，用字母（如）将这些事件表示出来；BnAAA,213分析与是什么关系，写出事件的关系式；BnAAA,214选择适当的公式计算事件

17、的概率.A附录 排列与组合附录 排列与组合1.两个基本原理1.两个基本原理（1）乘法原理：若某件事需经步才能完成，做第一步有种方法，做第二步k1m有种方法做第步有种方法，则完成这件事共有种方法.2mkkmkmmm21（2）加法原理：若某件事可由类不同途径之一去完成，在第一类途径中有k种完成方法，在第二类途径中有种完成方法在第类途径中有种完成1m2mkkm方法，那么完成这件事共有种方法.kmmm212.排列2.排列（1）排列从个不同元素中任取个元素排成一列（考虑元素次序）称此为一个排列nnrr，此种排列的总数记为.rnA（2）可重复排列从个不同元素中每次取出一个，放回后再取下一个，如此连续取 次

18、所得的排nr列称为可重复排列，此种排列总数共有个.注意这里的 允许大于.rnrn3.组合3.组合（1）组合从个不同的元素中任取（）个元素并成一组（不考虑元素间的次序），称此nrnr 为一个组合，此种组合的总数为或，计算公式为.rnCrn!rnrnCrn注意：，.1!0 100nCn（2）性质；.rnnrnCC10nnnCC章2 2章 随机随机变变量及其概率分布量及其概率分布框架框架图图第1 1第 离散型随机离散型随机变变量量1.1.随机随机变变量的概念量的概念随机随机变变量：量：设是随机试验的样本空间，若对每一个样本点，有一E个实数与之对应，这样得到的一个定义在样本空间上的实值函数 XX，称为

19、随机随机变变量量.随机变量一般用大写字母或 XX,ZYX,321XXX来表示.随机变量可分为：离散型、连续型、非离散且非连续型随机变量.2.2.离散型分布离散型分布变变量及其分布律量及其分布律离散型随机离散型随机变变量：量：若随机变量只能取有限多个或可列无限多个值，则称XX为离散型随机变量.对应的随机试验样本空间的样本点为有限多个或可列无限多个.分布律：分布律：设为离散型随机变量，可能取值为，且X,21kxxx，则称为的分布律（或分布列，或概率分布）.kkpxXP,3,2,1k kpX分布律用表格表示如下：分布律的性质：（1（非负性：；,3,2,1,0kpk（2（规范性：.注意：正数列为离散型

20、随机变量的分布律（1）（2）11kkpipX同时成立.（3（利用分布律计算概率：，其中为任一实数集合.IxiixXPIXPI（4（利用分布律求分布函数，其图形是右连续的阶梯函数.xxiipxFRxX1x2xkxP1p2pkp分布律或分布函数均可完整描述离散型随机变量.三种重要的离散随机变量及其分布 0-1分布、二项分布与泊松分布.3.3.分布与二分布与二项项分布分布104.4.泊松分布泊松分布0-0-1 1分布：分布：若随机变量只取两个可能值0，1，且，其中pXP1qXP 0，则称服从分布分布.的分布律为10 ppq1X10XX01Pqp二二项项分布：分布：若随机变量的可能取值为，而的分布律为

21、Xn,2,1,0X，knkknkqpCkXPpnn,2,1,0其中，则称服从参数为二二项项分布分布，简记为.10 p1qpXpn,pnBX,显然，当时，服从分布，即分布实际上是二项分布的特例.1nX1010常见二项分布：如一批产品的不合格率为，检查件产品，件产品中不合pnn格品数服从二项分布；调查个人，个人中色盲人数服从参数为的二XnnYpn,项分布，其中为色盲率；部机器独立运转，每台机器出故障的概率为，则pnpn部机器中出故障的机器服从二项分布.Z泊松定理泊松定理 设是常数，是任意正整数，且，则对于任意取定的非负整数，有0nnnpk.ekppCkknnknknn!1lim注意：当很大很小时，

22、有近似公式，其中.npekqpCkknkkn!np泊松分布：泊松分布：设随机变量的可能取值为，而的分布律为X,2,1,0nX，ekkXPpkk!,2,1,0k其中，则称服从参数为的泊松分布泊松分布，简记为.0X PX 常见泊松分布：如某一时段进入某商店的顾客数，某一地区一个时间间隔内发生交通事故的次数，一天内110报警台接到报警的次数，在一个时间间隔内某种放射性物质发生的粒子数.第二第二节节 随机随机变变量的分布函数量的分布函数1.1.分布函数的概念分布函数的概念分布函数：分布函数：设为随机变量，是任意实数，则称函数，Xx xXPxF，为的分布函数分布函数（也称为累积概率函数）.,xX注意：（

23、1）分布函数是普通的一元函数，它在任意一点处的值表示随 xF0 x 0 xF机变量在区间内取值的概率.（2）分布函数的定义域为，值域X0,x,为.1,02.2.分布函数的性分布函数的性质质分布函数的性质非负性 10 xF规范性，0limxFFx 1limxFFx不减性单调不减，即对任意，当时，xF,21xx21xx 21xFxF右连续性右连续，即.xF xFxxFxFx0lim0利用分布函数计算概率，1221xFxFxXxP 0 xFxFxXP注意：为某个随机变量的分布函数非负性、规范性、不减性、右连续性 xFX同时成立.第3 3第 连续连续型随机型随机变变量及其概率密度量及其概率密度1.1.

24、连续连续型随机型随机变变量及其概率密度量及其概率密度连续连续型随机型随机变变量及概率密度函数：量及概率密度函数：设是随机变量的分布函数，若存在 xFX非负可积函数，使其对任意实数，都有，则称 xf,x xdttfxFX为连续连续型随机型随机变变量量，并称为的概率密度函数概率密度函数，简称概率密度（或密度函数 xfX）.其几何意义如图所示，其中图中阴影部分的面积为（随机变量落在区间 xF上的概率）.x,连续型随机变量的概率分布的性质：（1（概率密度（）.0 xfRx（2（.注意：非负函数为连续型随机变量的概率密度.1dxxf xfX（3（设为概率密度的连续点，则存在，且.x xf xF xfxF

25、（4（连续型随机变量的分布函数是连续函数.xF（5（对于连续型随机变量，任意，有.,0 x00 xXP（6（.badxxfbXaPbXaPbXaP三种重要的连续型概率分布均匀分布、指数分布和正态分布.txOytfy 2.2.均匀分布与指数分布均匀分布与指数分布均匀分布：均匀分布：若随机变量的概率密度为则称服从X.,0,1其他baxabxfX区间上的均匀分布均匀分布，简记为.ba,baUX,均匀分布的概率密度与分布函数的图形为 xf xF均匀分布的均匀性是指随机变量落在区间内长度相等的子区间上的概率Xba,都是相等同的.均匀分布的概率计算概率公式：设，即，则.baUX,bdca dcba,abc

26、ddXcP常用均匀分布：计算结果保留到小数点后第位，则舍入误差通常假定服nX从上的均匀分布；从刻度器上读数时把零头数化为最靠近nn105.0,105.0的整分度时发生的误差也服从均匀分布.指数分布：指数分布：若随机变量的概率密度为其中为常X,xxexfx0数，则称服从参数为的指数分布指数分布，简记为，其中分布函数为X EX.0,0,0,1xxexFx指数分布的概率密度与分布函数的图形为 xf xFxbaO xfab1xbaO xF1xO xfxO xF1指数分布常被用作各种“寿命”分布：如电子元件的使用寿命、动物的寿命、电话的通话时间、顾客在某一服务系统接受服务的时间等都可假定服从指数分布.3

27、.3.正正态态分布分布正正态态分布：分布：若随机变量的概率密度为X，其中为常 22221xexfx2,数，则称服从参数为0X2,的正正态态分布分布，简记为.习惯上称服从正2,NX态分布的随机变量为正态随机变量，又称正态分布的概率密度曲线为正态分布曲线.正态分布曲线的性质：（1）曲线关于直线对称，对任意的，有x0h.hXPXhP（2）当时取得最大值，在处曲线有拐点，曲线以轴x 21fxx为渐近线.（3）当取定，时，21 2212121xexf 2222221xexf与的图形可互相沿着轴平行移动而得.xf xfx)(xf21Ox注：正态分布曲线的位置完全由决定，是正态分布的中心.（固定，改变，图形

28、沿轴平移而不改变其形状.）x（4）当给定，且时，21，xexf，xexf注意：正态分布曲线中的值刻画了正态随机变量取值的分散程度.越小，取值分散程度越小；越大，取值分散程度越大.（固定，改变，当很小时，形状与尖塔相似；当增大时，曲线趋于平坦）.正态分布的分布函数2,NX.特别地，当 dtexFtx22221的正态分布称为标准正1,0 1,0N态分布.标准正态分布的概率密度和分布函数分别记为和，即 x x，2221xex，.dtextx2221x标准正态分布函数的性质：x（1（；xx1)(xfOx15.135.7)(xF5.0Ox1（2（；210（3（对一般正态分布，其分布函数；2,NX xxX

29、PxF（4（abbxaPbxaPbxaPbxaP即.abaFbF（5）.aaXPaXP1标标准正准正态态分布的上分布的上侧侧分位数：分位数：设，若满足条件 1,0 NXauauXP，则称点为标标准正准正态态分布的上分布的上侧侧分位数分位数.10au第四第四节节 随机随机变变量函数的概率分布量函数的概率分布1.1.离散型随机离散型随机变变量函数的概率分布量函数的概率分布设离散型随机变量的分布律为XX1x2xkxP1p2pkp则的函数（一般是连续函数或分段连续函数）也是离散型随机变X XgY xg量，且的分布律为YY 1xg 2xg kxgP1p2pkp注意：若某些的值相等，则对应的分布律中只写一

30、项，并将相应的概 kxgY kxg率求和作为随机变量取值的概率.Y kxg2.2.连续连续型随机型随机变变量函数的概率分布量函数的概率分布连续连续型随机型随机变变量函数的概率分布：量函数的概率分布：设为连续型随机变量，其概率密度为X.设是一严格单调的可导函数，其值域为，且.记 xfX xg,xg为的反函数，则的概率密度 yhx xgy XgY .,0,其他yyhyhfyfXY特别地，当，时,.yhyhfyfXYy章3 3章 多维随机变量及其概率分布 多维随机变量及其概率分布框架图框架图第1 1第 多多维维随机随机变变量的概念量的概念1.1.二二维维随机随机变变量及其分布函数量及其分布函数二二维

31、维随机随机变变量：量：设是定义在同一样本空间上的随机变量，构nXXX,21成向量称为一个维随机变量或维随机向量，当时，nXXXX,nn2n称为二维随机变量，记为或.当时，称为一维随机变量，即第二YX,1n章中的随机变量.分布函数：分布函数：设为一个二维随机变量，记YX,，yYxXPyxF,xy称二元函数为与的联联合分布函数，合分布函数，或称为的分布函数分布函数.yxF,XYYX,边缘边缘分布函数：分布函数：的两个分量与各自的分布函数分别称为二维随机YX,XY变量关于与关于的边缘边缘分布函数分布函数，记为与.YX,XY xFX yFY边缘分布函数可由联合分布函数确定：,yxFxFYxXPxXPx

32、FyX,lim,.yxFyFyYXPyYPyFxY,lim,几何意几何意义义：分布函数在处的函数值就是随机点落在以yxF,yx,YX,为顶点、位于该点左下方的无穷矩形内的概率,如图.yx,D利用分布函数及其几何意义，随机点落在矩形域YX,内（如图）的概率为：2121,yYyxXx.112112222121,yxFyxFyxFyxFyYyxXxP分布函数的性质：yxF,规范性：0limxFFx，1limxFFx，且1,0yxF对任意固定的，；y0,yF对任意固定的，；x0,xF，.0,F1,F不减性：单调不减，即对 xF是变量（或）的不减函数，即对于任yxF,xyyx(x,y)ODyxOy2y1

33、x2x1(x1,y2)(x2,y2)(x1,y1)(x2,y1)任意，当,21xx时，21xx 21xFxF意固定的，当时；y12xx yxFyxF,12对于任意固定的，当时，x12yy.12,yxFyxF右连续性：右连续，即 xF关于和关于均右连续，即yxF,xy；.yxFyxF,0,0,yxFyxF利用分布函数计算概率：，1221xFxFxXxP.0 xFxFxXP随机点落在矩形域YX,内的概率为：2121,yYyxXx2121,yYyxXxP.11211222,yxFyxFyxFyxF2.2.二二维维离散型随机离散型随机变变量量二二维维离散型随机离散型随机变变量：量：若二维随机变量只能取

34、有限多对或可列无穷多对，则称为二二维维离散型随机离散型随机变变量量.设二维随机变量jiyx,2,1,jiYX,YX,的所有可能取值为，在各个可能取值的概率为：jiyx,2,1,jiYX,，则称 为ijjipyYxXP,2,1,jiijjipyYxXP,2,1,ji的分布律，分布律，其表格形式为：YX,YXy1y2yjpix1p11p12p1jp1x2p21p22p2jp2xipi1pipjp1p2pj1满足：；（，称为的分布律的性质）.0ijp,2,1,ji1ijijpYX,xFxxFxFx0lim0注意：若数集 ijp具有以上两条性质，则它必可作为二维离散型随机变量的分布律.,2,1,ji边

35、缘边缘分布律：分布律：对于离散型随机变量，分量（或）的分布律称为YX,XY关于（或）的边缘分布律，记为（或 YX,XY ip,2,1ijp），它可由的分布律求出.,2,1jYX,jiiiiiyYxXPyYxXPyYxXPxXPp,21 ，（类似地，可计算）.jijjjipyYxXP,jp的边缘分布律为：YX,关于的边缘分布律为：，或记为YX,XjijiipxXPp,2,1iX1x2xixp 1p 2p ip关于的边缘分布律为：，或记为YX,YiijjjpyYPp,2,1jY1y2yiyp1 p2 pjp注意：，（，称为的边0 ip0jp,2,1,ji1iip1jjpYX,缘分布律的性质）.3.

36、3.二二维连续维连续型随机型随机变变量的概率密度和量的概率密度和边缘边缘概率密度概率密度二二维连续维连续型随机型随机变变量：量：设二维随机变量的分布函数为，若存在YX,yxF,非负可积函数，使得对任意的实数，有yxf,yx,，xydudvvufyxF,则称为二二维连续维连续型随机型随机变变量量，并称为的概率密度或与的YX,yxf,YX,XY联合密度函数.概率密度的性质：yxf,（1（；0,yxf（2（.注：该性质为判定一个二元函数是否为概率密度函数1,dxdyyxf的依据.（3（若在处连续，则有.yxf,yx,yxfyxyxF,2（4（若的概率密度为，则在平面区域（即）内取YX,yxf,YX,

37、DDYX,值的概率为.DdxdyyxfDYXP,注：随机点落在平面区域上的概率等于以平面区域为底、以曲面YX,DD为顶的曲顶柱体的体积.yxfz,连续连续型随机型随机变变量量的的边缘边缘分布分布YX,边缘边缘概率密度：概率密度：设连续型随机变量的概率密度为，分量（或YX,yxf,XY）的概率密度称为关于（或）的边缘边缘概率密度概率密度，简称边缘密度，记为YX,XY（或），即 xfX yfY，；，.dyyxfxfX,x dxyxfxfY,y下面介绍两种重要的二维连续型随机变量的分布：均匀分布与二维正态分布.均匀分布：均匀分布：设为平面上的有界区域，其面积为且，若二维随机变量DS0S的概率密度为则

38、称服从区域上的均匀分YX,0,1,其他DyxSyxfYX,D布（或称在上服从均匀分布），记作.YX,DDUYX,特殊情形：（1（为矩形区域，.此时,Dbxadyc.,0,1,其他dycbxacdabyxf（2）为圆形区域，若在以原点为圆心、为半径的圆域上服从均匀分布，DYX,R则的概率密度为YX,.,0,1,2222其他RyxRyxf正正态态分布：分布：若二维随机变量概率密度为YX,，22222121212122121221121,yxxxeyxf，yx,其中都是常数，且，.记二维正态分布为,22212101021.,222121N第二第二节节 随机随机变变量的独立性量的独立性1.1.两个随机

39、两个随机变变量的独立性量的独立性二二维维随机随机变变量的独立性：量的独立性：设，和分别是二维随机变量yxF,xFX xFY的分布函数和两个边缘分布函数.若对任意实数，有YX,yx,，则称与相对独立.xFxFyxFYX,XY注：（1）等价于对任意实数，有 xFxFyxFYX,yx,.yYPxXPyYxXP,（2）随机变量与相互独立，即对任意实数，事件与相XYyx,xX yY 互独立.2.2.二二维维离散型随机离散型随机变变量的独立性量的独立性设为离散型随机变量，则与独立YX,XY对一切，有，.ji,jijiyYPxXPyYxXP,jiijPPP注意：只要有一对值使得上式不成立，则不独立.ji,Y

40、X,3.3.二二维连续维连续型随机型随机变变量的独立性量的独立性设二维连续型随机变量的概率密度为，分别为YX,yxf,xfX yfY关于和的边缘概率密度，则与相互独立的充要条件是：等式YX,XYXY，几乎处处成立（即，在平面上除去“面积为零”的集合外，处 yfxfyxfYX,处成立）.联合分布与边缘分布的关系联合分布可确定边缘分布，但一般情况下，边缘分布不能确定联合分布.只有当与相互独立时，的分布可由它的两个边缘分布完全确定.XYYX,4.4.维维随机随机变变量量n边缘边缘概率分布函数和概率分布函数和边缘边缘概率密度：概率密度：设的分布函数为nXXX,21，nnnxXxXxXPxxXF,221

41、121其概率密度为，则函数nxxxf,21 niiiXXxXXXPxFi,21和分别称为 niiniiiiXdxdxdxdxxxxxxfxfi111111,关于的边缘边缘概率分布函数和概率分布函数和边缘边缘概率密度概率密度，.,21XXnX,iXni,2,1相互独立：相互独立：若对一切有nxxx,21niiinnxXPxXxXxXP12211,即，则称是相互独立相互独立的.nXXXnxFxFxFxxxFn212121,nXXX,21第三第三节节 两个随机两个随机变变量的函数的分布量的函数的分布二二维维随机随机变变量量的分布的分布YXgZ,1.1.离散型随机离散型随机变变量的函数的分布量的函数的

42、分布设是二维离散型随机变量，其分布律为，YX,ijjipyYxXP,，,2,1,ji则也是离散型随机变量，其分布律为，YXgZ,ijjipyxgZP,.若不同的有相同的，则相应的概率应相加合并.,2,1,jijiyx,jiyxg,2.2.两个独立两个独立连续连续型随机型随机变变量之和的概率分布量之和的概率分布设是二维连续型随机变量，其概率密度为，当是二维连YX,yxf,yxg,续可微函数时，的分布函数为YXgZ,，zyxgZdxdyyxfzYXgPzZPzF,概率密度为.zFzfZZ（1）的分布：的概率密度为YXZYXZ.dyyyzfdxxzxfzfZ,特别地，当与独立时，则.XY dxxzf

43、xfdyyfyzfzfYXYXZ（2）若相互独立，且服从正态分布 nXXX,212,iiiNX，则个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即ni,2,1n.niiiniiinnaaNXaXaXaX12212211,1章4 4章 随机随机变变量的数字特征量的数字特征框架框架图图第一第一节节 随机随机变变量的期望量的期望1.1.离散型随机离散型随机变变量的期望量的期望离散型随机离散型随机变变量的期望：量的期望：设离散型随机变量的分布律为X，.kkpxXP,2,1k若绝对收敛（即收敛），则定义的数学期望（简称均值或期望）为iiipxiiipxX.iiipxXE注意：（1）当的可能取值为有限多个时

44、，Xnxxx,21 niiipxXE1（2）当的可能取值为可列多个时，.X,21nxxx 1iiipxXE（3）绝对收敛，数学期望才存在，否则数学期望不存在.iiipx定理定理1 1 设离散型随机变量的分布律为，.令XkkpxXP,2,1k，若绝对收敛，则随机变量的数学期望为 XgY 1kkkpxgY.1kkkpxgXgEYE2.2.连续连续型随机型随机变变量的期望量的期望连续连续型随机型随机变变量的数学期望：量的数学期望：设连续型随机变量的概率密度为，若反X xf常积分绝对收敛，则称该积分为随机变量的数学期望数学期望（简称期望或 dxxxfX均值），记为，即.XE dxxxfXE注：反常积分

45、绝对收敛，数学期望才存在，否则数学期望不存在.dxxxf定理定理2 2 设为连续型随机变量，其概率密度为，又随机变量，则当X xfX XgY 收敛时，有.dxxfxgX dxxfxgXgEYEX注意：随机变量的数学期望反映了随机变量取值的集中位置.3.3.二二维维随机随机变变量函数的期望量函数的期望定理定理3 3 （1）若为离散型随机变量，若其分布律为，边缘分布YX,jiijyYxXPp,律为，iijjjijipppp,则，.ijijiiiipxpxXE ijijjjjjpypyYE（2（若为二维连续型随机变量，分别为的概YX,yxf,xfX yfYYX,率密度与边缘概率密度，则，.dxdyy

46、xxfdxxxfXEX,dxdyyxyfdyyyfYEY,定理定理4 4 设为连续函数，对于二维随机变量的函数，YXg,YX,YXg,（1（若为离散型随机变量，收敛，则YX,ijijjipyxg,.ijijjipyxgYXgE,（2（若为连续型随机变量，且积分收敛，则YX,dxdyyxfyxg,.dxdyyxfyxgYXgE,4.4.期望的性期望的性质质（1）常数的期望等于这个常数，即，其中为常数.CCEC（2）常数与随机变量乘积的期望等于该常数与随机变量的期望的乘积，即CXX.XECCXE（3（随机变量和的期望等于随机变量期望之和，即.YEXEYXE一般地，设为个随机变量，则有；nXXX,2

47、1n niiniiXEXE11，其中是常数.niiiniiiXECXCE11,2,1iCi（4（两个相互独立的随机变量乘积的期望等于期望的乘积，即若是相互独YX,立的随机变量，则.一般地，若相互独立，则 YEXEXYEnXXX,21.nnXEXEXEXXXE2121（5（.222YEXEXYE第2 2第 方差方差1.1.方差的概念方差的概念离差：离差：对任一随机变量，设期望为，记，称为随机变量X XE XEXY的离差离差.离差代表随机变量与期望之间的随机误差，其值可正可负.XYX方差：方差：设随机变量的期望存在，则称为随机变量 2XEX 2XEXEX的方差方差，记作，即 XD.2XEXEXD称

48、为的标标准差准差（或均方差）.XDX注意：方差反映了随机变量偏离其中心期望的平均偏离程度.离散型：设的分布律为，则X,2,1,kpxXPkk.niiipXExXD12连续型：设的概率密度为，则.X xf dxxfXExXD22.2.方差的性方差的性质质（1（常数的方差等于零，随机变量与常数之和的方差等于随机变量的方差，即，.0CD XDCXD（2（常数与随机变量乘积的方差等于这个常数的平方与随机变量方差的乘积.即，其中为常数.XDCCXD2C（3（设是两个随机变量，则有YX,.YEYXEXEYDXDYXD2特别地，若相互独立，则有.YX,YDXDYXD推广：个相互独立的随机变量情况若相互独立，

49、则nnXXX,21 nnnnXDkXDkXDkXkXkXkD221122113.3.常常见见随机随机变变量的方差量的方差几种重要的随机变量的分布及其数字特征.随机变量的分布及其数字特征分布分布律或概率密度期望 XE方差 XD服从参数为X的0-1分布p，qXP 0pq1，pXP110 pppp1服从二项分X布pnBX,设，即pnBX,（iniiniqpCiXPp），ni,2,1,0pq1npnpq离散型服从泊松分X布 PX 设其分布律为 PX（）!ieiXPi,2,1,0i服从均匀分X布baUX,设随机变量在上服从均Xba,匀分布，概率密度为,0,1其他bxaabxf2ba122ab服从指数分X

50、布 EX 设随机变量服从参数为X0的指数分布，概率密度为,0,0,0,xxexfx121连续型服从正态分X布2,NX设概率密度为2,NX，22221xexfx2第3 3第 协协方差与相关系数方差与相关系数1.1.协协方差方差协协方差：方差：设有二维随机变量，且，存在，若YX,XE YE存在，则称此值为与的协协方差方差，记为，即 YEYXEXEXYYXCov,.YEYXEXEYXCov,当为二维离散型随机变量时，其分布律为（YX,iiijyYxXPp,，），则.,2,1i,2,1j ijijiipYEyXExYXCov,当为二维连续型随机变量时，为的概率密度，则YX,yxf,YX,.dxdyyx