2024届高考数学专项柯西中值定理在高中数学的应用含答案.pdf

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1、1柯西中值定理在高中数学的应用柯西中值定理在高中数学的应用微分中值定理是微分学中的一个重要内容，它主要包括罗尔(Rolle)定理罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Larange)中值定理拉格朗日(Larange)中值定理和柯西(Cauchy)中值定理柯西(Cauchy)中值定理.本节内容所要讲解的柯西中值定理比拉格朗日中值定理更具有一般性,我将讲解其一般证明方法,如果大家在考试时使用了,则需要先给出证明.柯西中值定理及其证明柯西中值定理:柯西中值定理及其证明柯西中值定理:若 f(x)与g(x)在(a,b)上可导,且g(x)0,则在(a,b)内至少存在一点,使f(b)-f(a)g(b)-g(a)

2、=f()g().大家不难发现，拉格朗日中值定理只是柯西中值定理的一个特例:当 g(x)=x的时候,即为拉格朗日中值定理.其证明方法的探讨与研究是一个引人注目的问题,这里会顺便引人罗尔定理及其证明,并利用罗尔定理来证明柯西中值定理.罗尔定理来证明柯西中值定理.罗尔定理:罗尔定理:设函数在闭区间 a,b 上连续,在开区间(a,b)上可导,而且在两端点处函数 f(x)的值相等(f(a)=f(b),那么在开区间(a,b)上至少有一点c,使得 f(x)在这点的导数等于零 f(c)=0.证明:证明:设M和m分别是 f(x)在区间a,b上的最大值和最小值.由于 f(x)在a,b上是连续的,f(x)的最大值和

3、最小值是存在的.如果等式M=m=f(a)成立,那么对于一切xa,b都有 f(x)=0.如果M=f(a)和m=f(a)不能同时成立,那么M和m这两个数中间至少有一个不等于数 f(a).为了确切起见,设M是这样的数.于是,在开区间(a,b)的某点c,函数 f(x)达到闭区间a,b上的最大值,因而在这个点 f(x)同时有局部极大值.因为在点c处的导数 f(c)存在且等于零.m f(a)的情况可以进行类似的讨论.下面证明柯西中值定理柯西中值定理.证明:证明:引人函数F(x)=g(b)-g(a)f(x)-f(b)-f(a)g(x).这个函数在a,b上显然是连续的,而且在开区间(a,b)上有导数.此外,F

4、(a)=F(b).因此根据罗尔定理罗尔定理可以找到这样的点c(a,b),使得,F(c)=0,即g(b)-g(a)f(c)=f(b)-f(a)g(c).(1)显然 f(c)0,否则的话,由于 f(b)-f(a)0,就应该有 g(c)=0,但是根据已知条件 f(c)和 g(c)不同时等于零,因此,f(b)-f(a)f(c)0,用它除等式(1)的右边,即得所证.2024届高考数学专项柯西中值定理在高中数学的应用含答案2柯西中值定理证明无参不等式柯西中值定理证明无参不等式1 1若0 x1x2 cosx1-cosx2ex1柯西中值定理求解一元参数范围柯西中值定理求解一元参数范围柯西中值定理柯西中值定理可

5、以解决:已知在 x (m,+)上,不等式 f(x)ag(x)恒成立,求参数 a 的取值范围问题(其中g(m)=f(m)=0),其一般步骤如下:第一步第一步:参变分离.f(x)ag(x)f(x)g(x)0,具体要讨论).第二步第二步:柯西中值定理转换.f(x)g(x)=f(x)-0g(x)-0=f(x)-f(m)g(x)-g(m)=f()g()a,其中(m,x).第三步第三步:构造函数求解.令 F()=f()g(),问题转化为 F()a 在 (m,x)恒成立问题,按一元函数求解.2 2已知函数 f(x)=a x2-1-lnx,若 f(x)0在1,+)上恒成立,求a的取值范围。33 3已知函数 f

6、(x)=x2lnx-a x2-1),aR R,若当x1时,f(x)0恒成立,求a的取值范围.4 4已知函数 f(x)=ex-1-x-ax2,当x0时,f(x)0,求实数a的取值范围.1柯西中值定理在高中数学的应用柯西中值定理在高中数学的应用微分中值定理是微分学中的一个重要内容，它主要包括罗尔罗尔(RolleRolle)定理定理、拉格朗日拉格朗日(LarangeLarange)中值定理中值定理和柯西柯西(CauchyCauchy)中值定理中值定理.本节内容所要讲解的柯西中值定理比拉格朗日中值定理更具有一般性,我将讲解其一般证明方法,如果大家在考试时使用了,则需要先给出证明.柯西中值定理及其证明柯

7、西中值定理柯西中值定理及其证明柯西中值定理:若 f(x)与g(x)在(a,b)上可导,且g(x)0,则在(a,b)内至少存在一点,使f(b)-f(a)g(b)-g(a)=f()g().大家不难发现，拉格朗日中值定理只是柯西中值定理的一个特例:当 g(x)=x的时候,即为拉格朗日中值定理.其证明方法的探讨与研究是一个引人注目的问题,这里会顺便引人罗尔定理及其证明,并利用罗尔罗尔定理来证明柯西中值定理定理来证明柯西中值定理.罗尔定理罗尔定理:设函数在闭区间 a,b 上连续,在开区间(a,b)上可导,而且在两端点处函数 f(x)的值相等(f(a)=f(b),那么在开区间(a,b)上至少有一点c,使得

8、 f(x)在这点的导数等于零 f(c)=0.证明证明:设M和m分别是 f(x)在区间a,b上的最大值和最小值.由于 f(x)在a,b上是连续的,f(x)的最大值和最小值是存在的.如果等式M=m=f(a)成立,那么对于一切xa,b都有 f(x)=0.如果M=f(a)和m=f(a)不能同时成立,那么M和m这两个数中间至少有一个不等于数 f(a).为了确切起见,设M是这样的数.于是,在开区间(a,b)的某点c,函数 f(x)达到闭区间a,b上的最大值,因而在这个点 f(x)同时有局部极大值.因为在点c处的导数 f(c)存在且等于零.m f(a)的情况可以进行类似的讨论.下面证明柯西中值定理柯西中值定

9、理.证明证明:引人函数F(x)=g(b)-g(a)f(x)-f(b)-f(a)g(x).这个函数在a,b上显然是连续的,而且在开区间(a,b)上有导数.此外,F(a)=F(b).因此根据罗尔定理罗尔定理可以找到这样的点c(a,b),使得,F(c)=0,即g(b)-g(a)f(c)=f(b)-f(a)g(c).(1)显然 f(c)0,否则的话,由于 f(b)-f(a)0,就应该有 g(c)=0,但是根据已知条件 f(c)和 g(c)不同时等于零,因此,f(b)-f(a)f(c)0,用它除等式(1)的右边,即得所证.柯西中值定理证明无参不等式柯西中值定理证明无参不等式1 1若0 x1x2 cosx

10、1-cosx2ex1【解析】证明：要证ex2-ex1 cosx1-cosx2ex1,2实际上只需证ex2-ex1cosx1-cosx2ex1.设 f(t)=et,g(t)=cost,则 f(t),g(t)在 x1,x2上,满足柯西中值定理条件,f x2-f x1g x2-g x1=f(c)g(c),c x1,x2,ex2-ex1cosx2-cosx1=ec-sinc,0 x1cx2 cosx1-cosx2ec cosx1-cosx2ex1.注意:其中用到1sinc1及ex是单调增加函数来放缩.柯西中值定理求解一元参数范围柯西中值定理求解一元参数范围柯西中值定理柯西中值定理可以解决:已知在 x

11、(m,+)上,不等式 f(x)ag(x)恒成立,求参数 a 的取值范围问题(其中g(m)=f(m)=0),其一般步骤如下:第一步第一步:参变分离.f(x)ag(x)f(x)g(x)0,具体要讨论).第二步第二步:柯西中值定理转换.f(x)g(x)=f(x)-0g(x)-0=f(x)-f(m)g(x)-g(m)=f()g()a,其中(m,x).第三步第三步:构造函数求解.令 F()=f()g(),问题转化为 F()a 在 (m,x)恒成立问题,按一元函数求解.2 2已知函数 f(x)=a x2-1-lnx,若 f(x)0在1,+)上恒成立,求a的取值范围。【解析】解：法一法一:分类讨论法分类讨论

12、法 f(x)=2ax-1x,当a0时,f(x)1时,f(x)0时,f(x)=2ax2-1x,令 f(x)0得x12a.f(x)0得0 x1,即0a12时,x 1,12a时,f(x)0,即 f(x)递减,f(x)0,即 f(x)单调递增,f(x)f(1)=0满足题意.综上,a12.3法二法二:柯西中值定理法柯西中值定理法第一步第一步:分类讨论,并参变分离.当x=1时不等式成立,当x(1,+)时,可参变分离,即 f(x)=a x2-1-lnx0参变分离lnxx2-1a.第二步第二步:分子和分母分别构造函数.h(x)=lnx,g(x)=x2-1.又h(1)=g(1)=0,得lnxx2-1=h(x)-

13、h(1)g(x)-g(1)a.第三步第三步:利用柯西中值定理简化函数.h(x)-h(1)g(x)-g(1)=h()g()=122a,其中(1,x).第四步第四步:利用极限可得函数确界.由12212时,令 f(x)=0得x=ea-12.若x 1,ea-12,则 f(x)12,可得12a.4 4已知函数 f(x)=ex-1-x-ax2,当x0时,f(x)0,求实数a的取值范围.4【解析】解：第一步第一步:分类讨论,并参变分离.当x=0时不等式成立,当x(0,+)时,可参变分离,即ex-1-x-ax20参变分离ex-1-xx2a.第二步第二步:分子和分母分别构造函数.h(x)=ex-1-x,g(x)

14、=x2.又h(0)=g(0)=0,得ex-1-xx2=h(x)-h(0)g(x)-g(0)a.第三步第三步:利用柯西中值定理简化函数.h(x)-h(0)g(x)-g(0)=h()g()=e-12a,其中(0,x).第四步第四步:再次利用柯西中值定理简化函数.h()-h(0)g()-g(0)=h()g()=e2a,其中(0,).第五步第五步:利用极限可得函数确界.由e2e02=12,可得12a,即a12.x+1),若x1时,f(x)0恒成立,求的最大值.解 f(x)=ex-ex-(xlnx-x+1),要使x1时,f(x)0恒成立.当x=1时,不等式成立.当x(1,+)时,参变分离可得g(x)h(x)=ex-exxlnx-x+1其中h(x)=xlnx-x+10,g(x)=ex-ex.由柯西中值定理可得g(x)h(x)=g(x)-g(1)h(x)-h(1)=g()h()=e-eln,其中(1,x).再次利用柯西中值定理可得g()h()=g()-g(1)h()-h(1)=g()h()=e,其中(1,).由ee,可得e.