【高中数学】2023-2024学年北师大版必修第二册 平面向量基本定理课件（25张）.pptx

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1、基础落实必备知识全过关重难探究能力素养全提升目录索引 成果验收课堂达标检测课程标准1.掌握共线向量基本定理,并会简单应用.2.理解平面向量基本定理,会用基底表示平面内任一向量.3.能够灵活应用向量基本定理解决平面几何问题.基础落实必备知识全过关知识点1共线向量基本定理1.共线向量基本定理如果a0且ba,则存在的实数,使得.在共线向量基本定理中:(1)b=a时,通常称为b能用a表示.(2)其中的“唯一”指的是,如果还有b=a,则有=.这是因为:由a=a可知(-)a=0,如果-0,则a=0,与已知矛盾,所以-=0,即=.唯一 b=a 名师点睛对共线向量基本定理的理解(1)共线向量基本定理中条件“a

2、0”必不可少,这是因为如果a=0,则一定有b与a共线(零向量与任意向量共线),此时b有两种情况:b=0;b0.若b=0,此时b=a中的有无数个;若b0,此时不存在使得b=a成立.这两种情况违背“存在且唯一”的特点.(2)由共线向量基本定理还能得到一个重要的结论:若两个向量a,b不共线,而a=b,则说明=0.2.三点共线的充要条件如果A,B,C是三个不同的点,则它们共线的充要条件是:存在实数,使得过关自诊1.判断正误.(正确的画,错误的画)(1)若向量b与a共线,则存在唯一的实数使b=a.()(2)若b=a,则a与b共线(其中为实数).()2.若|a|=5,b与a方向相反,且|b|=7,则a=b

3、.3.人教A版教材习题判断下列各小题中的向量a与b是否共线:(1)a=-2e,b=2e;(2)a=e1-e2,b=-2e1+2e2.解(1)因为a=-b,所以a与b共线.(2)因为b=-2a,所以a与b共线.知识点2平面向量基本定理1.平面向量基本定理如果平面内两个向量a与b,则对该平面内任意一个向量c,存在的实数对(x,y),使得c=xa+yb.不共线唯一名师点睛对平面向量基本定理的理解(1)由共线向量基本定理可知,任意向量都可以用一个与它共线的非零向量线性表示,而且这种表示是唯一的.因此,平面向量基本定理是共线向量基本定理从一维到二维的推广.(2)平面向量基本定理包括两个方面的内容,一是存

4、在性,二是唯一性.唯一性是指如果c=xa+yb=a+vb,那么x=且y=v.2.基底平面内不共线的两个向量a与b组成的集合a,b,常称为该平面上向量的一组基底,此时如果c=xa+yb,则称xa+yb为c在基底a,b下的分解式.名师点睛对基底的理解(1)由平面向量基本定理知,平面内的任一向量都可用基底表示出来.因而可以“统一”各向量,便于研究向量问题.(2)基底不唯一,同一平面可以有不同的基底,且组成基底的向量不能共线(零向量不可以作为基底中的向量).同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的.过关自诊1.若e1,e2是平面内的一组基底,则下列四组向量能作为平面向量的基底的是()A.e1-e2,e

5、2-e1C.2e2-3e1,6e1-4e2D.e1+e2,e1-e2D 解析e1+e2与e1-e2不共线,可以作为平面向量的基底,另外三组向量都共线,不能作为基底.2.北师大版教材习题已知基底a,b,实数x,y满足:3xa+(10-y)b=(4y+4)a+2xb,求x,y的值.重难探究能力素养全提升探究点一向量共线问题探究点一向量共线问题【例1】已知非零向量e1,e2不共线,欲使ke1+e2和 e1+ke2共线,试确定实数k的值.规律方法规律方法利用向量共线求参数的方法判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数,使得a=b(b0).而已知向量共线求,常根据向量共线的条件转化为

6、相应向量系数相等求解.若两向量不共线,必有向量的系数为零,利用待定系数法建立方程,从而解方程求得的值.变式训练12023广西高一已知非零向量e1和e2不共线.欲使向量ke1+e2与e1+ke2平行,试确定实数k的值.解因为ke1+e2与e1+ke2平行,且两向量都为非零向量,所以存在实数使得ke1+e2=(e1+ke2)成立,即(k-)e1=(k-1)e2.探究点二用基底表示向量探究点二用基底表示向量规律方法规律方法用基底来表示向量主要有以下两种类型:(1)直接利用基底,结合向量的线性运算,灵活应用三角形法则与平行四边形法则求解.(2)若直接利用基底表示比较困难,可采用方程思想求解.探究点三平面向量基本定理的应用探究点三平面向量基本定理的应用【例3】如图所示,在平行四边形ABCD中,F是CD的中点,AF与BD交于点E.求证:E为线段BD的一个三等分点.规律方法规律方法用向量解决平面几何问题的一般步骤(1)选取不共线的两个平面向量作为基底;(2)将相关的向量用基底表示,将几何问题转化为向量问题;(3)利用向量知识进行向量运算,得到向量问题的解;(4)将向量问题的解转化为平面几何问题的解.变式训练3设平面内不在同一条直线上的三个点为O,A,B,求证:当p,q满足