2024届高考数学专项泰勒展开解密放缩法和高考命题方法含答案.pdf

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1、1泰勒展开解密放缩法和高考命题方法泰勒展开解密放缩法和高考命题方法为何高考中总是考ex和lnx这些超越函数呢?因为高考命题专家很多是大学老师,他们俯视高中数学,一览无遗.超越函数本质上就是高等数学中的泰勒公式,即从某个点处,我们可以构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值.如果这个点是0,就是形式比较简单的麦克劳林公式.简而言之,它的功能就是把超越式近似表示为幂函数.这也是放缩法的理论依据,也是出题老师的出题角度,后面将在泰勒展开中专门讲解如何命题,大家可先理解放缩法.泰勒展开公式及其应用泰勒展开公式及其应用一、泰勒展开公式一、泰勒展开公式设函数 f(x)在点x0处的某邻域内具有n+1阶导

2、数,则对该邻域内异于x0的任意点x,在x0与x之间至少存在一点,使得f(x)=f x0+f x0 x-x0+f x02!x-x02+f(n)x0n!x-x0n+Rn(x)，Rn(x)=f(n+1)()(n+1)!x-x0n+1余项,上式称为n阶泰勒公式.若x0=0,则泰勒公式称为麦克劳林公式,其中o xn为n阶无穷小,相当于余项Rn(x)=f(n+1)()(n+1)!xn+1,即 f(x)=f(0)+f(0)x+f(0)2!x2+f(n)(0)n!xn+o xn.二、常用的初等函数的麦克劳林公式二、常用的初等函数的麦克劳林公式(1)ex=1+x+x22!+xnn!+o xn(2)sinx=x-

3、x33!+x55!-+(-1)nx2n+1(2n+1)!+o x2n+2(3)cosx=1-x22!+x44!-x66!+(-1)nx2n(2n)!+o x2n+1(4)ln(1+x)=x-x22+x33-+(-1)nxn+1n+1+o xn+1(5)11-x=1+x+x2+xn+o xn(6)(1+x)m=1+mx+m(m-1)2!x2+m(m-1)(m-n+1)n!xn+o xn2024届高考数学专项泰勒展开解密放缩法和高考命题方法含答案21 1按(x-1)的三展开多项式 f(x)=x4+3x2+4.思路:直接展开法,求 f(x)按 x-x0的展开的 n 阶泰勒公式,则依次求 f(x)直到

4、 n+1 阶的导数在 x=x0处的值,然后代入公式即可.2 2求函数y=xex的带有皮亚诺型余项的n阶麦克劳林展开式.3 3求函数 f(x)=lnx按(x-2)的幂展开的带有皮亚诺型余项的n阶泰勒公式.3利用泰勒公式证明无参不等式利用泰勒公式证明无参不等式泰勒展开证明无参不等式的一般步骤:第一步:构造函数,并按泰勒公式展开函数,即如果函数 f(x)在定义域I上有定义,且有n+1阶导数存在,x,x0I,则f(x)=f x0+f x01!x-x0+f x02!x-x02+f(n)x0n!x-x0n+Rn+1,其中Rn+1=f(n+1)()(n+1)!x-x0n+1,介于x和x0间第二步:判定余项R

5、n+1的正负号,并去掉余项,得不等式.在上述泰勒公式中,若余项Rn+10,则去掉余项可得f(x)f x0+f x01!x-x0+f x02!x-x02+f(n)x0n!x-x0(n).若Rn+10,则去掉余项可得f(x)f x0+f x01!x-x0+f x02!x-x02+f(n)x0n!x-x0(n).4 4当x0时,1+12x1+x.5 5设x0,证明:x-x22ln(1+x).46 6证明:ln(1+x)x-x22+x33(-1x1)7 7证明不等式:1+x2-x280).泰勒探究放缩法本质泰勒探究放缩法本质经过对泰勒证明不等式的学习,应该体会到了泰勒公式的强大.我们在放缩法那一节的所

6、有不等式都是在泰勒展开的基础上变形而来的,所以泰勒公式才是放缩法的核心，为什么这么说呢?泰勒展开式的本质上是将一个复杂的函数 f(x)近似表示为一个多项式函数,是一种函数逼近的思想,也就是我们所说的放缩,下面我将用一个例子来探讨这一近似逼近的思想,以及相关不等式的变形.8 8比较ln(x+1),x和x-x22的大小.5利用泰勒放缩证明含参不等式利用泰勒放缩证明含参不等式在不等式恒成立中,我们通过泰勒展开放缩来大大简化计算,但前面也说过,泰勒展开放缩是一种近似计算,所求的范围只能是必要性范围,一般来说,会比直接求解的范围要大,所以需要进一步用常规方法验证,但这里也可以简化了讨论的范围,方便计算,

7、一般也可以得到最终的范围.9 9已知函数 f(x)=aex-lnx-1,证明:当a1e时,f(x)0.1010设函数 f(x)=ex-1-x-cx2,若当x0时 f(x)0,求a的取值范围.1111设函数 f(x)=ln(1+x),g(x)=xf(x),x0.其中 f(x)是 f(x)的导函数,若 f(x)ag(x)恒成立,求实数a的取值范围.1212已知函数 f(x)=ln(1+x)-x(1+x)1+x,若x0时 f(x)0,求的最小值.1泰勒展开解密放缩法和高考命题方法泰勒展开解密放缩法和高考命题方法为何高考中总是考ex和lnx这些超越函数呢?因为高考命题专家很多是大学老师,他们俯视高中数

8、学,一览无遗.超越函数本质上就是高等数学中的泰勒公式,即从某个点处,我们可以构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值.如果这个点是0,就是形式比较简单的麦克劳林公式.简而言之,它的功能就是把超越式近似表示为幂函数.这也是放缩法的理论依据,也是出题老师的出题角度,后面将在泰勒展开中专门讲解如何命题,大家可先理解放缩法.泰勒展开公式及其应用泰勒展开公式及其应用一、泰勒展开公式一、泰勒展开公式设函数 f(x)在点x0处的某邻域内具有n+1阶导数,则对该邻域内异于x0的任意点x,在x0与x之间至少存在一点,使得f(x)=f x0+f x0 x-x0+f x02!x-x02+f(n)x0n!x-x0

9、n+Rn(x)，Rn(x)=f(n+1)()(n+1)!x-x0n+1余项,上式称为n阶泰勒公式.若x0=0,则泰勒公式称为麦克劳林公式,其中o xn为n阶无穷小,相当于余项Rn(x)=f(n+1)()(n+1)!xn+1,即 f(x)=f(0)+f(0)x+f(0)2!x2+f(n)(0)n!xn+o xn.二、常用的初等函数的麦克劳林公式二、常用的初等函数的麦克劳林公式(1)ex=1+x+x22!+xnn!+o xn(2)sinx=x-x33!+x55!-+(-1)nx2n+1(2n+1)!+o x2n+2(3)cosx=1-x22!+x44!-x66!+(-1)nx2n(2n)!+o x

10、2n+1(4)ln(1+x)=x-x22+x33-+(-1)nxn+1n+1+o xn+1(5)11-x=1+x+x2+xn+o xn(6)(1+x)m=1+mx+m(m-1)2!x2+m(m-1)(m-n+1)n!xn+o xn1 1按(x-1)的三展开多项式 f(x)=x4+3x2+4.思路:直接展开法,求 f(x)按 x-x0的展开的 n 阶泰勒公式,则依次求 f(x)直到 n+1 阶的导数在 x=x0处的值,然后代入公式即可.2【解析】f(x)=4x3+6x,f(1)=10;f(x)=12x2+6,f(1)=18;f(x)=24x,f(1)=24;f(4)(x)=24.f(1)(1)=

11、24,f(5)(x)=0f(x)=f(1)+f(1)1!(x-1)+f(1)2!(x-1)2+f(1)3!(x-1)3+f(4)(1)4!(x-1)4=8+10(x-1)+9(x-1)2+4(x-1)3+(x-1)42 2求函数y=xex的带有皮亚诺型余项的n阶麦克劳林展开式.【解析】解法一:y=(x+1)ex,y(0)=1;y=(x+2)ex,y(0)=2;y(n)=(x+n)ex,y(n)(0)=n,将以上结果代入麦克劳林公式得xex=f(0)+f(0)1!x+f(0)2!x2+f(0)3!x3+f(n)(0)n!xn+o xn=x+x2+x32!+xn(n-1)!+o xn法二:f(x)

12、中含有ex时,通常利用已知结论.ex=1+x+x22!+xnn!+o xn.xex=x 1+x+x22!+xn-1(n-1)!+o xn-1=x+x2+x32!+xn(n-1)!+o xn3 3求函数 f(x)=lnx按(x-2)的幂展开的带有皮亚诺型余项的n阶泰勒公式.【解析】解法一:直接展开.f(x)=1x,f(2)=12;f(x)=-1x2,f(2)=-14;f(x)=2x3,f(2)=14;f(n)(x)=(-1)n-1(n-1)!xn,f(n)(2)=(-1)n-1(n-1)!2n.将以上结果代入泰勒公式得lnx=f(2)+f(2)1!(x-2)+f(2)2!(x-2)2+f(2)3

13、!(x-2)3+f(4)(2)4!(x-2)4+f(n)(2)n!(x-2)n+o(x-2)n=ln2+12(x-2)-123(x-2)2+1323(x-2)3-+(-1)n-11n2n(x-2)n+o(x-2)n.法二:f(x)为对数函数时利用已知的结论.ln(1+x)=x-x22+x33-+(-1)nxn+1n+1+o xn+1,然后变形可得f(x)=lnx=ln(2+x-2)=ln2+ln 1+x-22=ln2+x-22-12x-222+13x-223-+(-1)n-11nx-22n+ox-22n=ln2+12(x-2)-123(x-2)2+1323(x-2)3-+(-1)n-11n2n

14、(x-2)n+o(x-2)n利用泰勒公式证明无参不等式利用泰勒公式证明无参不等式3泰勒展开证明无参不等式的一般步骤:第一步:构造函数,并按泰勒公式展开函数,即如果函数 f(x)在定义域I上有定义,且有n+1阶导数存在,x,x0I,则f(x)=f x0+f x01!x-x0+f x02!x-x02+f(n)x0n!x-x0n+Rn+1,其中Rn+1=f(n+1)()(n+1)!x-x0n+1,介于x和x0间第二步:判定余项Rn+1的正负号,并去掉余项,得不等式.在上述泰勒公式中,若余项Rn+10,则去掉余项可得f(x)f x0+f x01!x-x0+f x02!x-x02+f(n)x0n!x-x

15、0(n).若Rn+10,则去掉余项可得f(x)f x0+f x01!x-x0+f x02!x-x02+f(n)x0n!x-x0(n).4 4当x0时,1+12x1+x.【解析】解法一:令 f(x)=1+12x-1+x,则当x0时,f(x)=12-12 1+x=121-11+x0,f(x)=1+12x-1+x，x0,+)单调递增,从而 f(x)f(0)=0,即1+12x1+x,结论成立.法二:由泰勒公式得f(x)=1+12x-1+x=1+12x-(1+12x-x28(1+)32=x28(1+)32(00,1+12x1+x,结论成立.5 5设x0,证明:x-x22ln(1+x).【解析】证明法一:

16、设h(x)=x-x22-ln(x+1),h(x)=1-x-1x+1=-x2x+10),则h(x)在(0,+)上单调递减,h(x)h(0)=0,即有x-x220,x33(1+)30则ln(1+x)=x-x22+x33(1+)3x-x22,结论成立.46 6证明:ln(1+x)x-x22+x33(-1x1)【解析】证明：设 f(x)=ln(1+x)(-1x1),则 f(x)在x=0处有带有拉格朗日余项。三阶泰勒公式ln(1+x)=x-x22+x33-x44(1+)4(-11)-x44(1+)40,ln(1+x)x-x22+x337 7证明不等式:1+x2-x280).【解析】证明：设 f(x)=1

17、+x,则 f(0)=1,f(x)=12(1+x)-12,f(0)=12f(x)=-14(1+x)-32,f(0)=-14,f(x)=38(1+x)-52代入x0=0的二阶泰勒公式,有1+x=1+x2-x28+x316(1+)53(00,x316(1+)530,1+x2-x280)泰勒探究放缩法本质泰勒探究放缩法本质经过对泰勒证明不等式的学习,应该体会到了泰勒公式的强大.我们在放缩法那一节的所有不等式都是在泰勒展开的基础上变形而来的,所以泰勒公式才是放缩法的核心，为什么这么说呢?泰勒展开式的本质上是将一个复杂的函数 f(x)近似表示为一个多项式函数,是一种函数逼近的思想,也就是我们所说的放缩,下

18、面我将用一个例子来探讨这一近似逼近的思想,以及相关不等式的变形.8 8比较ln(x+1),x和x-x22的大小.【解析】令 f(x)=ln(x+1),x0=0,按泰勒展开有ln(x+1)=x-x22+x33-+(-1)n-1xnn+Rn+1.去掉余项可以得到不等式:x-x22ln(x+1)x,(x0).下面利用一般方法证明该不等式.证明:(1)设h(x)=x-x22-ln(x+1),h(x)=1-x-1x+1=-x2x+10,(x0),则h(x)在0,+)上单调递减.h(x)h(0)=0,x-x22ln(x+1),当x=0时取等号.(2)设 f(x)=ln(x+1)-x,f(x)=1x+1-1

19、=-xx+10,(x0),则 f(x)在0,+)上单调递减,f(x)f(0)=0,即有ln(x+1)x,当x=0时取等号.综上所述,有不等式:x-x22ln(x+1)x(x0),当x=0时取等号.5上述常用对数不等式描述的函数位置关系如下图所示.同理,我们可以从指数函数的麦克劳林展开人手,通过去余项变形的方式得到我们常用的不等式:对于函数 f(x)=ex在x=0处的展开式如下:ex=1+x+x22!+xnn!+o xn.(1)从此式出发,可以变形演绎出一些十分重要的不等式.(1)式等号右边取两项,则有exx+1(xR R).(2)(2)式两边取自然对数得xln(x+1)(x-1).(3)(2)

20、式中用-x替换x得e-x1-xex11-x(x1)(4)式两边取自然对数得x-ln(1-x)(x-1).结合(3)式和(6)式得x1+xln(1+x)x(x-1).(7)对(1)式等号右边分别取三项、四项,则有exx22+x+1(x0)exx36+x22+x+1(x0).上述不等式(2)到(9)式,当且仅当x=0时取等号.读者可以翻到前面关于“放缩法”的章节,试试看利用泰勒展开得到其他常用的不等式.利用泰勒放缩证明含参不等式利用泰勒放缩证明含参不等式在不等式恒成立中,我们通过泰勒展开放缩来大大简化计算,但前面也说过,泰勒展开放缩是一种近似计算,所求的范围只能是必要性范围,一般来说,会比直接求解

21、的范围要大,所以需要进一步用常规方法验证,但这里也可以简化了讨论的范围,方便计算,一般也可以得到最终的范围.9 9已知函数 f(x)=aex-lnx-1,证明:当a1e时,f(x)0.【解析】解法一:去参放缩法当 a 1e时,f(x)exe-lnx-1.构造函数 g(x)=exe-lnx-1,则 g(x)=exe-1x，当0 x1时,g(x)1时,g(x)0.x=1是g(x)的最小值点.6故当x0时,g(x)g(1)=0.因此,当a1e时,f(x)0.法二:泰勒展开法由法一知,证明exe-lnx-10即可.由泰勒公式的变形可得exx+1.用x-1代替x可得ex-1x.(1)对exx+1两边取自

22、然对数,可得xln(x+1),用x-1代替x,可得x-1lnx,即xlnx+1由(1)(2)可得lnx+1xex-1,故exe-lnx-10因此,当a1e时,f(x)0.1010设函数 f(x)=ex-1-x-cx2,若当x0时 f(x)0,求a的取值范围.【解析】f(x)=ex-1-2ax,由指数不等式ex1+x,当且仅当x=0时,等号成立.得 f(x)x-2ax=(1-2a)x,从从而当1-2a0,即a12时,f(x)0(x0),而 f(0)=0,于是当x0时,f(x)0.由ex1+x(x0)可得e-x1-x(x0)从而当a12时,f(x)ex-1+2a e-x-1=e-xex-1ex-2

23、a,故当x(0,ln2a)时,f(x)0,而 f(0)=0,当x(0,ln2a)时,f(x)0时,上式化简为1ax+1,即ax+1,则有a1.第二步:常规讨论验证略.综上所述,有a的取值范围是(-,1.1212已知函数 f(x)=ln(1+x)-x(1+x)1+x,若x0时 f(x)0,求的最小值.【解析】第一步:泰勒展开放缩得必要性范围.7要 f(x)=ln(1+x)-x(1+x)1+x0在x0时恒成立,利用不等式x-x22ln(x+1),有x-x22ln(x+1)x(1+x)1+x,该不等式在x=0时取等号,对上式进行放缩,利用x-x22x(1+x)1+x,x0求的最小值.当x=0时,上式化简为00,此时R R.当x0时,上式化简为1-x2,则有12.第二步:常规讨论验证略.综上所述,当x0时,若 f(x)0,则12,+,其最小值为12.