2024届深圳中学高三上学期第一次阶段考试数学试卷含答案.pdf

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1、数学试题 A第 1页 共 4页绝密启用前试卷类型：A2024 届高三年级第一次阶段考试数 学2024 届高三年级第一次阶段考试数 学本试卷共本试卷共 4 页，页，22 小题，满分小题，满分 150 分，考试用时分，考试用时 120 分钟。分钟。注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须

2、写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 若集合 2,1,0,1,2A ，集合2|log(1)Bx yx，则AB A.2B.1,2C.2,1,0D.2,1,0,12.已知命题:px R，12xxee，则p为Ax R，12xxeeBx R，12xxeeCx R，12xxeeDx R，12xxee3.已知

3、函数()2sin()f xx，则2是()f x的最小正周期是的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4.若函数2()sinln(14)f xxaxx的图象关于 y 轴对称，则实数a的值为A2B4C2D45.在一幢 20 m 高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为 60，塔基的俯角为 45，那么这座塔吊的高是A320 13mB20 13mC10(62)mD20(62)m6若定义在R上的奇函数 f x在,0单调递减，且 20f，则满足10 xf x的x的取值#QQABRYYEogiAABBAAAhCUwHwCACQkBAACAoOQBAAsAABwQNABAA=#2024届深圳

4、中学高三上学期第一次阶段考试数学试卷数学试题 A第 2页 共 4页范围是A1,13,B3,10,1 C1,01,D 1,01,37已知3cos,0,1252，则cos3（）A.34 310B.45C.210D.7 2108已知函数 exf xx，21()ln2g xxxa，若1x，21,2x，使得12fxg x，则实数a的取值范围是()A.2112,ln222e eB.211 2,ln222e eC.2211ln22,ee2D.2211ln22,ee2二、二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分。在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合

5、题目要求有多项符合题目要求。全部选对得全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 分，有选错得分，有选错得 0 分。分。9.下列选项中正确的有（）A.不等式2abab恒成立B.存在实数a，使得不等式12aa成立C.若,a b为正实数，则2baabD.若正实数xy，满足21xy，则218xy10.对于函数1()sinsin22f xxx，则下列结论正确的是（）A.2是()f x的一个周期B()f x在0,2上有 3 个零点C.()f x的最大值为3 34D()f x在0,2上是增函数11.函数()f x定义域为R，且(1)(1)f xfx，()(4)0f xfx，(2023)2023f，则

6、A.(0)0fB()f x是偶函数C.()f x的一个周期为 4D20231()2023kf k 12.已知ABC的三个内角 A，B，C 满足sin2sincos0BAC，则下列结论正确的是()A.ABC是钝角三角形B.202320232023sinsinsinABCC.角 B 的最大值为6D.角 C 的最大值为23#QQABRYYEogiAABBAAAhCUwHwCACQkBAACAoOQBAAsAABwQNABAA=#数学试题 A第 3页 共 4页二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案填在答题卡相应横线上。分，把答案填在答

7、题卡相应横线上。13已知2,0()22,0 xxxf xx则(2)f f _14.若函数 212020 xf xxx的零点为0 x，且0,1xa a，aZ，则a的值为_15.已知(,)2 2，且2cos215sin20，则tan=_16 已知函数 sinfxx（0，02）的部分图象如图所示，则 f的值为_三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17.(本小题满分 10 分)已知ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，3c，而且22()3abcab（1）求C；

8、（2）求ABC周长的最大值.18.(本小题满分 12 分)已知函数2()sin sin()sin1,R3f xxxxx.（1）求函数 f x的对称轴；（2）求函数 f x在区间,4 3 上的最大值和最小值.19.(本小题满分 12 分)设函数 2lnf xxax（1）当32a 时，求 f x的极大值；（2）若 f x存在极值，求a的取值范围#QQABRYYEogiAABBAAAhCUwHwCACQkBAACAoOQBAAsAABwQNABAA=#数学试题 A第 4页 共 4页20.(本小题满分 12 分)已知函数()()lnf xxmxn，其中,Rm n（1）若1mn，求()f x在1x 处的

9、切线方程；（2）已知不等式()f xx恒成立，当nm取最大值时，求m的值.21.(本小题满分 12 分)在,A B均为锐角的ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c，R是ABC的外接圆半径，且22222coscos2sinbAaBRC.（1）求BA；（2）若224 33abab，求ca的值.22.(本小题满分 12 分)已知函数22()(22)exf xxaxa.（1）若0a，求()f x的单调区间；（2）若()f x有两个极值点，分别为1x和2x12()xx，求1212()()eexxf xf x的最小值.#QQABRYYEogiAABBAAAhCUwHwCACQkBAACAoO

10、QBAAsAABwQNABAA=#1/82024 届高三年级届高三年级第一次阶段第一次阶段考试考试数学参考答案数学参考答案选择题（A A 卷卷）123456789101112CBACBDCDBCDABCACAC选择题（B B 卷卷）123456789101112CDACDDCDBCDABCACAC填空题填空题13 1414.315151516126.解析：因为定义在R上的奇函数 f x在,0上单调递减，且 20f，所以 f x在0,上也是单调递减，且20f，00f，所以当,20,2x 时，0f x，当2,02,x 时，0f x，所以由10 xf x，可得0,21012xxx 或或0,01212

11、xxx 或或0 x，解得10 x 或13x，所以满足10 xf x的x的取值范围是 1,01,3，故选 D7.解析：因为0,2，所以7,1212 12，又3cos125，所以2sin1 cos121254，所以coscos3412coscossinsin42412132422525210。#QQABRYYEogiAABBAAAhCUwHwCACQkBAACAoOQBAAsAABwQNABAA=#2/88.解析：因为函数 xf xxe，21ln2g xxxa，当1,2x时，10 xfxex，f x在区间1,2上是单调减函数，所以 22 1,f xee，当1,2x时，1gxxx210 xx，g x

12、在区间1,2上是单调增函数，所以 1,2ln22g xaa，由于1x，21,2x，使得12()f xg x，所以22 11,2ln22aaee，当22 11,2ln22aaee时，得222ln2ae或112ae，所以22ln22ae或112ae，所以由22 11,2ln22aaee，得2211ln22,.2aee11解析：由()(4)0f xfx，可知函数()f x的对称中心为(2 0)，由(1)(1)f xfx，可知函数()f x的对称轴为1x，故函数()f x的周期4T，(0 0)，也是()f x的对称中心，()f x是奇函数 将2x 代入()(4)0f xfx，得(2)0f，将1x 代入

13、(1)(1)f xfx，得(0)0f，将0 x 代 入()(4)0f xfx，得(4)0f，而(2023)(5061)(1)2023ffTf，将2x 代 入(1)(1)f xfx，得(3)(1)2023ff，将3x 代入()(4)0f xfx，得(1)(3)2023ff，所以20231()505(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(1)(2)(3)0kf kffffffffff，故选 AC12.解析：因为sin2sincos0BAC，由正弦定理得：2 cos0baC，再由余弦定理得：222202abcbaab，即2222.cabA.由222222cabab知：cos0C，角 C 为钝角，

14、故ABC是钝角三角形，故选项 A 正确；B.由222cab知01,01abcc且221()()0abcc，构造函数(),2xxxf xcabx，则202320232023202320232023202322(2023)1()()1()()0ababfcabcccccc，即202320232023cab，由正弦定理得202320232023sinsinsinCAB，故选项 B 错误；C.由余弦定理得222222232 33cos2442acbaca cBacacac，#QQABRYYEogiAABBAAAhCUwHwCACQkBAACAoOQBAAsAABwQNABAA=#3/8等号当且仅当33

15、cab时取得，由 B 为三角形内角且3cos2B得 B 的最大值为6，故选项 C 正确；D.由余弦定理得2222222(2)cos222abcababbCababa，取3,7ba ca，此时3cos2C ，由 C 为三角形内角得：5263C，由此反例得选项 D 错误.故选：AC14.解析：函数 f x是(,0)上的增函数，且11(2)045f，19(3)0820f，故3a .15.解析：由2cos215sin20，得22(1 2sin)15sin20，即24sin15sin40，所以(4sin1)(sin4)0，因为sin40，解得1sin4，又(,)2 2，所以215cos1 sin4，所以

16、sin15tancos15 16.解析：由 30sin2f，02，得3，由4,Z153kk，又0，得155,N44kk，观察图象知，1 244151 24215，解得151584，则51,2k，因此，5sin()32f xx，所以 51sin()sin()23232f#QQABRYYEogiAABBAAAhCUwHwCACQkBAACAoOQBAAsAABwQNABAA=#4/8解答题：解答题：17.(本小题满分 10 分)已知ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，3c，而且22()3abcab（1）求C；（2）求ABC周长的最大值.解：（1）把22()3abcab，整理得222a

17、bcab，由余弦定理得2221cos222abcabCabab，因为(0,)C，所以3C.（2）由（1）可知，3C，在ABC中，由余弦定理得222cos3ababC，即223abab，所以223()()334ababab，当且仅当ab时取等号，所以2 3ab，所以3 3abc，即ABC周长的最大值为3 3.18.(本小题满分 12 分)已知函数2()sin sin()sin1,R3f xxxxx.（1）求函数 f x的对称轴；（2）求函数 f x在区间,4 3 上的最大值和最小值.解：(1)213()sin(sincos)cos22f xxxxx2213sinsin coscos22xxxx1

18、 cos231 cos2sin2442xxx31313sin2cos2sin 2)444264(xxx，由2,Z62xkk，得,Z62kxk，所以函数 f x的对称轴为(Z)62kxk;(2)当43x时，52366x，而函数sinyx在,3 2 上递增，在5,26上递减，则 当262x，即6x时，max54f x；当263x，即4x 时，min334f x，所以函数 f x在区间,4 3 上的最大值和最小值分别为54，334.#QQABRYYEogiAABBAAAhCUwHwCACQkBAACAoOQBAAsAABwQNABAA=#5/819.(本小题满分 12 分)19.设函数 2lnf x

19、xax（1）当32a 时，求 f x的极大值；（2）若 f x存在极值，求a的取值范围解析：（1）f x的定义域为32，22112313322xxxxfxxx，当312x 时，0fx；当112x 时，0fx；当12x 时，0fx所以 f x在区间312，单调递增，在区间112，单调递减，极大值为 ln11 ln2f x .（2）f x的定义域为a，2221xaxfxxa方程22210 xax 的判别式248a 若0，即22a，在 f x的定义域内 0fx，故 f x无极值若0，则2a 或2a 当2a，22102xfxx，所以()f x无极值;当2a ，22102xfxx，()f x也无极值若0

20、，即2a 或2a ，则22210 xax 有两个不同的实根2122aax，2222aax 当2a 时，12xaxa ，从而 fx有 f x的定义域内没有零点，故 f x无极值当2a 时，1xa，2xa，fx在 f x的定义域内有两个不同的变号零点，可知 f x在12xxxx，取得极值综上，f x存在极值时，a的取值范围为2，#QQABRYYEogiAABBAAAhCUwHwCACQkBAACAoOQBAAsAABwQNABAA=#6/820.(本小题满分 12 分)已知函数()()lnf xxmxn，其中,Rm n（1）若1mn，求()f x在1x 处的切线方程；（2）已知不等式()f xx恒

21、成立，当nm取最大值时，求m的值.解析：（1）当1mn时，()(1)ln1f xxx，因为1()lnxfxxx，所以(1)0f，又(1)1f，故()f x在1x 处的切线方程为1y ；（2）显然0m，若0m，当0 x时，()lnxmxn，而0 x，矛盾，所以0m，令()()()lng xf xxxmxxn，则()0g x 恒成立，即min()0.g x由于()lnmg xxx，21()0mgxxx，则()lnmg xxx在正实数集上是增函数，(1)0,gmx 时 g x，故存在01x，使得0()0g x，且在0(0,)x上()0g x，()g x单减，在0(,)x 上()0g x，()g x单

22、增，且00lnmxx，故min00000()()lnln0g xg xxxmxxn，所以2000000000lnlnln(ln)n xxmxxxxxxx，所以2000000000ln(ln)11(ln)1lnlnxxxxxnxmxxx，等号当且仅当0ln1x 即0 xe时取得，此时00lnln.mxxeee故当nm取最大值时，.me21.(本小题满分 12 分)在,A B均为锐角的ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c，R是ABC的外接圆半径，且22222coscos2sinbAaBRC.（1）求BA；#QQABRYYEogiAABBAAAhCUwHwCACQkBAACAoOQB

23、AAsAABwQNABAA=#7/8（2）若224 33abab，求ca的值.解：（1）由正弦定理得22222(2sin)cos(2sin)cos2sin,RBARABRC即22221sincossincossin2BAABC,1sin()sin()sin2BABAC,sin()sin,ABCABC1sin(),2BA0,0,2222BABA，.6BA（2）由224 33abab得24 3103aabb，令atb，由24 3103tt 解得3t 或33t，由（1）知6BAA，故ba，所以33ab.由正弦定理得sin3sin3AaBb，所以sin33sin6AA，化简得3tan3A，又因为A为锐

24、角，所以6A，63BA，2CAB.由正弦定理得：sin2sincCaA.22.(本小题满分 12 分)已知函数22()(22)exf xxaxa.（1）若0a，求()f x的单调区间；（2）若()f x有两个极值点，分别为1x和2x12()xx，求1212()()eexxf xf x的最小值.解：（1）若0a，则2()exf xx.从而2()(2)e(2)exxfxxxx x.令()0fx，得2x 或0 x.当2x 或0 x 时，()0fx，()f x单调递增；当20 x 时，()0fx，()f x单调递减.#QQABRYYEogiAABBAAAhCUwHwCACQkBAACAoOQBAAsA

25、ABwQNABAA=#8/8综上所述，()f x在(,2)和(0,)上单调递增，在(2,0)上单调递减.（2）22()2(1)(22)exfxxaxaa.令()0fx，得222(1)(22)0 xaxaa.由题意，12,x x是关于x的方程222(1)(22)0 xaxaa的两个实根.所以122(1)xxa，21222x xaa.由222(1)(22)0 xaxaa得2212(1)(22)xaxaa.所 以11221111()(22)e(22)exxf xxaxaxa，将1222axx代 入，得1121()(2)exf xxx，同理可得：2212()(2)exf xxx.所以212121212

26、12112212121()()(2)e(2)e(2)e(2)eeeee1xxxxxxxxxxf xf xxxxxxxxx.令21(t0)xxt，上式为(e1)2e1ttt.设(e1)()2(0)e1tttg tt，则22e2 e1()(e1)ttttg t.记2()e2 e1tth tt，则()2e(e1)tth tt.记()e1ttt，0t 时，()e10tt，()t单调递增，所以()(0)0t.所以()0h t，()h t单调递增，()(0)0h th.所以()0g t，()g t在(0,)单调递减.又222221212 1()()4444txxxxx xa.当且仅当0a 时，2t取到最大值4，即t得最大值为2.所以1212()()eexxf xf x的最小值为24e1.#QQABRYYEogiAABBAAAhCUwHwCACQkBAACAoOQBAAsAABwQNABAA=#