【2024高考数学专项微专题】数列中的奇偶项问题含答案.pdf

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1、1数列中的奇偶项问题(微专题)数列中的奇偶项问题(微专题)题型选讲题型选讲题型一、分段函数的奇偶项求和题型一、分段函数的奇偶项求和1 1(深圳市罗湖区期末试题)已知数列 an中，a1=2，nan+1-n+1an=1 nN N*.(1)求数列 an的通项公式；(2)设bn=an+1,n为奇数,2an+1,n为偶数，求数列 bn的前100项和.1(2023黑龙江大庆统考三模)已知数列 an满足a1+3a2+2n-1an=n(1)证明：1an 是一个等差数列；(2)已知cn=119an,n为奇数anan+2,n为偶数，求数列 cn的前2n项和S2n【2024高考数学专项微专题】数列中的奇偶项问题22

2、(2023吉林统考三模)已知数列 an满足an=2n-2,n为奇数3n-2,n为偶数 an的前n项和为Sn(1)求a1，a2，并判断1024是数列中的第几项；(2)求S2n-13(2023安徽蚌埠统考三模)已知数列 an满足a1=1，a2n+1=a2n+1，a2n=2a2n-1.(1)求数列 an的通项公式；(2)设Tn=1a1+1a2+1an，求证：T2n3.34(2023湖南邵阳统考三模)记Sn为等差数列an的前n项和，已知a3=5,S9=81，数列bn满足a1b1+a2b2+a3b3+anbn=n-13n+1+3.(1)求数列an与数列bn的通项公式；(2)数列cn满足cn=bn,n为奇

3、数1anan+2,n为偶数，n为偶数，求cn前2n项和T2n.5(2023湖南岳阳统考三模)已知等比数列 an的前n项和为Sn，其公比q-1，a4+a5a7+a8=127，且S4=a3+93(1)求数列 an的通项公式；(2)已知bn=log13an,n为奇数an,n为偶数，求数列 bn的前n项和Tn4题型二、题型二、含有(-1)n类型类型2 2【2020年新课标1卷文科】数列an满足an+2+(-1)nan=3n-1，前16项和为540，则a1=1(2021山东济宁市高三二模)已知数列an是正项等比数列，满足a3是2a1、3a2的等差中项，a4=16(1)求数列an的通项公式；(2)若bn=

4、-1n2a2n+1log，求数列bn的前n项和Tn2【20222022 广东省深圳市福田中学1010月月考】已知等差数列an前n项和为Sn，a5=9，S5=25.(1)求数列an的通项公式及前n项和Sn；(2)设bn=(-1)nSn，求bn前n项和Tn.5题型三、题型三、an+an+1类型类型3 3(2023广东深圳统考一模)记Sn，为数列 an的前n项和，已知Sn=an2+n2+1，nN N*(1)求a1+a2，并证明 an+an+1是等差数列；(2)求Sn1(2022湖北省鄂州高中高三期末)已知数列 an满足a1=1，an+an+1=2n；数列 bn前n项和为Sn，且b1=1，2Sn=bn

5、+1-1.(1)求数列 an和数列 bn的通项公式；(2)设cn=anbn，求 cn前2n项和T2n.62(2022湖北省鄂州高中高三期末)已知数列 an满足a1=1，an+an+1=2n；数列 bn前n项和为Sn，且b1=1，2Sn=bn+1-1.(1)求数列 an和数列 bn的通项公式；(2)设cn=anbn，求 cn前2n项和T2n.1数列中的奇偶项问题数列中的奇偶项问题(微专题微专题)题型选讲题型选讲题型一、分段函数的奇偶项求和题型一、分段函数的奇偶项求和1 1(深圳市罗湖区期末试题)已知数列 an中，a1=2，nan+1-n+1an=1 nN N*.(1)求数列 an的通项公式；(2

6、)设bn=an+1,n为奇数,2an+1,n为偶数，求数列 bn的前100项和.【解析】【小问1详解】nan+1-n+1an=1,an+1n+1-ann=1n-1n+1,an+1+1n+1=an+1n，所以an+1n 是常数列，即an+1n=a1+11=3,an=3n-1；【小问2详解】由(1)知，an是首项为2，公差为3等差数列，由题意得b2n-1=a2n-1=6n-4，b2n=2a2n+1=12n+4，设数列 b2n-1，b2n的前50项和分别为T1，T2，所以T1=50 b1+b992=25298=7450，T2=50 b2+b1002=25620=15500，所以 bn的前100项和为

7、T1+T2=7450+15500=22950；综上，an=3n-1，bn的前100项和为T1+T2=7450+15500=22950.1(2023黑龙江大庆统考三模)已知数列 an满足a1+3a2+2n-1an=n(1)证明：1an 是一个等差数列；(2)已知cn=119an,n为奇数anan+2,n为偶数，求数列 cn的前2n项和S2n【答案】(1)证明见详解(2)S2n=2n-1n19+n3 4n+3【详解】(1)当n=1时，可得a1=1，2当n2时，由a1+3a2+2n-1an=n，则a1+3a2+2n-3an-1=n-1 n2，上述两式作差可得an=12n-1n2，因为a1=1满足an

8、=12n-1，所以 an的通项公式为an=12n-1，所以1an=2n-1，因为1an-1an-1=2n-1-2n-3=2(常数)，所以1an 是一个等差数列(2)cn=2n-119,n为奇数12n-12n+3,n为偶数，所以C1+C3+C2n-1=1+5+9+4n-319=2n-1n19，C2+C4+C2n=1413-17+17-111+14n-1-14n+3=n3 4n+3所以数列 cn的前2n项和S2n=2n-1n19+n3 4n+32(2023吉林统考三模)已知数列 an满足an=2n-2,n为奇数3n-2,n为偶数 an的前n项和为Sn(1)求a1，a2，并判断1024是数列中的第几

9、项；(2)求S2n-1【答案】(1)a1=12，a2=4；1024是数列 an的第342项(2)S2n-1=4n6+3n2-5n+116【详解】(1)由an=2n-2,n为奇数3n-2,n为偶数 可得a1=12，a2=4令2n-2=1024=210，解得：n=12为偶数，不符合题意，舍去；令3n-2=1024，解得：n=342，符合题意因此，1024是数列 an的第342项(2)S2n-1=a1+a2+a3+a4+a2n-2+a2n-1=12+4+2+10+6n-8+22n-3=12+2+22n-3+4+10+6n-8=121-4n1-4+n-14+6n-82=164n-1+n-13n-2=4

10、n6+3n2-5n+1163另解：由题意得a2n-1=22n-3，又a2n+1a2n-1=4，所以数列 a2n-1是以12为首项，4为公比的等比数列a2n=6n-2，又a2n+2-a2n=6，所以数列 a2n是以4为首项，6为公差的等差数列S2n-1为数列 a2n-1的前n项和与数列 a2n的前n-1项和的总和故S2n-1=121-4n1-4+n-14+6n-82=164n-1+n-13n-2=4n6+3n2-5n+116.3(2023安徽蚌埠统考三模)已知数列 an满足a1=1，a2n+1=a2n+1，a2n=2a2n-1.(1)求数列 an的通项公式；(2)设Tn=1a1+1a2+1an，

11、求证：T2n3.【答案】(1)an=2n+12-1,n为奇数,2n2+1-2,n为偶数.(2)证明见解析.【详解】(1)由题意a2n+1=a2n+1=2a2n-1+1,所以a2n+1+1=2 a2n-1+1,因为a1+1=20,所以数列 a2n-1+1是首项为2,公比为2的等比数列,所以a2n-1+1=2n,即a2n-1=2n-1,而a2n=2a2n-1=2n+1-2,所以an=2n+12-1,n为奇数,2n2+1-2,n为偶数.(2)方法一：由(1)得T2n=ni=11a2i-1+1a2i=32ni=112i-1=32ni=12i+1-12i-12i+1-132ni=12i+12i-12i+

12、1-1=3ni=12i2i-12i+1-1=3ni=112i-1-12i+1-1=3 1-12n+1-13方法二：因为2n-12n-1nN*,所以T2n=ni=11a2i-1+1a2i=32ni=112i-132ni=112i-1=3 1-12n34(2023湖南邵阳统考三模)记Sn为等差数列an的前n项和，已知a3=5,S9=81，数列bn满4足a1b1+a2b2+a3b3+anbn=n-13n+1+3.(1)求数列an与数列bn的通项公式；(2)数列cn满足cn=bn,n为奇数1anan+2,n为偶数，n为偶数，求cn前2n项和T2n.【答案】(1)an=2n-1,bn=3n(2)T2n=

13、39n8-116n+12-724【详解】(1)设等差数列an的公差为d，a3=5S9=81，即a1+2d=59a1+982d=81，a1=1,d=2，an=2n-1.a1b1+a2b2+a3b3+anbn=n-13n+1+3，a1b1+a2b2+an-1bn-1=n-23n+3 n2，所以-得，anbn=2n-13n，bn=3nn2.当n=1时，a1b1=3,b1=3，符合bn=3n.bn=3n.(2)T2n=c1+c2+c3+c2n，依题有：T2n=b1+b3+b2n-1+1a2a4+1a4a6+1a2na2n+2.记T奇=b1+b3+b2n-1，则T奇=3(1-32n)1-32=32n+1

14、-38.记T偶=1a2a4+1a4a6+1a2na2n+2，则T偶=12d1a2-1a4+1a4-1a6+1a2n-1a2n+2=12d1a2-1a2n+2=1413-14n+3.所以T2n=32n+1-38+1413-14n+3=39n8-116n+12-7245(2023湖南岳阳统考三模)已知等比数列 an的前n项和为Sn，其公比q-1，a4+a5a7+a8=127，且S4=a3+93(1)求数列 an的通项公式；(2)已知bn=log13an,n为奇数an,n为偶数，求数列 bn的前n项和Tn5【答案】(1)an=3n(2)Tn=183n+1-98-n+124,n为奇数983n-1-n2

15、4,n为偶数【详解】(1)因为 an是等比数列，公比为q-1，则a4=a1q3,a5=a1q4，a7=a1q6,a8=a1q7，所以a4+a5a7+a8=a1q3+a1q4a1q6+a1q7=1q3=127，解得q=3，由S4=a3+93，可得a11-341-3=9a1+93，解得a1=3，所以数列 an的通项公式为an=3n(2)由(1)得bn=-n,n为奇数3n,n为偶数，当n为偶数时，Tn=b1+b2+bn=b1+b3+bn-1+b2+b4+bn=-1+3+n-1+32+34+3n=-n2 1+n-12+9 1-9n21-9=983n-1-n24；当n为奇数时Tn=Tn+1-bn+1=9

16、83n+1-1-n+124-3n+1=183n+1-98-n+124；综上所述：Tn=183n+1-98-n+124,n为奇数983n-1-n24,n为偶数.题型二、题型二、含有(-1)n类型类型2 2【2020年新课标1卷文科】数列an满足an+2+(-1)nan=3n-1，前16项和为540，则a1=【答案】7【解析】an+2+(-1)nan=3n-1，当n为奇数时，an+2=an+3n-1；当n为偶数时，an+2+an=3n-1.设数列 an的前n项和为Sn，S16=a1+a2+a3+a4+a16=a1+a3+a5+a15+(a2+a4)+(a14+a16)=a1+(a1+2)+(a1+

17、10)+(a1+24)+(a1+44)+(a1+70)+(a1+102)+(a1+140)+(5+17+29+41)=8a1+392+92=8a1+484=540，6a1=7.故答案为：7.1(2021山东济宁市高三二模)已知数列an是正项等比数列，满足a3是2a1、3a2的等差中项，a4=16(1)求数列an的通项公式；(2)若bn=-1n2a2n+1log，求数列bn的前n项和Tn【解析】(1)设等比数列an的公比为q，因为a3是2a1、3a2的等差中项，所以2a3=2a1+3a2，即2a1q2=2a1+3a1q，因为a10，所以2q2-3q-2=0，解得q=2或q=-12，因为数列an是

18、正项等比数列，所以q=2因为a4=16，即a4=a1q3=8a1=16，解得a1=2，所以an=22n-1=2n；(2)解法一：(分奇偶、并项求和)由(1)可知，a2n+1=22n+1，所以，bn=-1n2a2n+1log=-1n222n+1log=-1n 2n+1，若n为偶数，Tn=-3+5-7+9-2n-1+2n+1=-3+5+-7+9+-2n-1+2n+1=2n2=n；若n为奇数，当n3时，Tn=Tn-1+bn=n-1-2n+1=-n-2，当n=1时，T1=-3适合上式，综上得Tn=n,n为偶数-n-2,n为奇数(或Tn=n+1-1n-1，nN N*)；解法二：(错位相减法)由(1)可知

19、，a2n+1=22n+1，所以，bn=-1n2a2n+1log=-1n222n+1log=-1n 2n+1，Tn=-113+-125+-137+-1n 2n+1，所以-Tn=-123+-135+-147+-1n+1 2n+1所以2Tn=3+2-12+-13+-1n-1n+12n+1，=-3+21-1n-12+-1n2n+1=-3+1-1n-1+-1n2n+1=-2+2n+2-1n，7所以Tn=n+1-1n-1，nN N*2【20222022 广东省深圳市福田中学1010月月考】已知等差数列an前n项和为Sn，a5=9，S5=25.(1)求数列an的通项公式及前n项和Sn；(2)设bn=(-1)

20、nSn，求bn前n项和Tn.【答案】(1)an=2n-1，Sn=n2；(2)Tn=(-1)nn(n+1)2.【解析】【分析】(1)利用等差数列的基本量，列方程即可求得首项和公差，再利用公式求通项公式和前 n项和即可；(2)根据(1)中所求即可求得bn，对n分类讨论，结合等差数列的前n项和公式，即可容易求得结果.【详解】(1)由S5=5(a1+a5)2=52a32=5a3=25得a3=5.又因为a5=9，所以d=a5-a32=2，则a3=a1+2d=a1+4=5，解得a1=1；故an=2n-1，Sn=n(1+2n-1)2=n2.(2)bn=(-1)nn2.当n为偶数时：Tn=b1+b2+b3+b

21、4+bn-1+bn=-12+22+-32+42+-(n-1)2+n2=(2-1)(2+1)+(4-3)(4+3)+n-(n-1)n+(n-1)=1+2+3+(n-1)+n=n(n+1)2.当n为奇数时：Tn=b1+b2+b3+b4+bn-2+bn-1+bn=-12+22+-32+42+-(n-2)2+(n-1)2-n2=(2-1)(2+1)+(4-3)(4+3)+(n-1)-(n-2)(n-1)+(n-2)-n2=1+2+3+(n-2)+(n-1)-n2=(n-1)(1+n-1)2-n28=-n(n+1)2.综上得Tn=(-1)nn(n+1)2题型三、题型三、an+an+1类型类型3 3(20

22、23广东深圳统考一模)记Sn，为数列 an的前n项和，已知Sn=an2+n2+1，nN N*(1)求a1+a2，并证明 an+an+1是等差数列；(2)求Sn【解析】(1)已知Sn=an2+n2+1，nN N*当n=1时，a1=a12+2，a1=4；当n=2时，a1+a2=a22+5，a2=2，所以a1+a2=6因为Sn=an2+n2+1，所以Sn+1=an+12+n+12+1-得，an+1=an+12-an2+n+12-n2，整理得an+an+1=4n+2，nN N*，所以 an+1+an+2-an+an+1=4 n+1+2-4n+2=4(常数)，nN N*，所以 an+an+1是首项为6，

23、公差为4的等差数列(2)由(1)知，an-1+an=4 n-1+2=4n-2，nN N*，n2当n为偶数时，Sn=a1+a2+a3+a4+an-1+an=n26+4n-22=n2+n；当n为奇数时，Sn=a1+a2+a3+a4+a5+an-1+an=4+n-1210+4n-22=n2+n+2综上所述，Sn=n2+n,当n为偶数时n2+n+2,当n为奇数时 1(2022湖北省鄂州高中高三期末)已知数列 an满足a1=1，an+an+1=2n；数列 bn前n项和为Sn，且b1=1，2Sn=bn+1-1.(1)求数列 an和数列 bn的通项公式；(2)设cn=anbn，求 cn前2n项和T2n.【答

24、案】(1)an=n,n=2k-1,kZn-1,n=2k,kZ，bn=3n-1；(2)5 8n-59n8.9【解析】【分析】(1)根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行求解即可；(2)利用错位相减法进行求解即可.(1)n2，an-1+an=2 n-1，an+1-an-1=2，又a1=1，a2=1，n=2k-1(k为正整数)时，a2k-1是首项为1，公差为2的等差数列,a2k-1=2k-1，an=n，n=2k(k为正整数)时，a2k是首项为1，公差为2的等差数列.a2k=2k-1，an=n-1，an=n,n=2k-1,kZn-1,n=2k,kZ，2Sn=bn+1-1，n2时，2Sn-

25、1=bn-1，2bn=bn+1-bn，又b2=3，n2时，bn=3n-1，b1=1=30，bn=3n-1；(2)由(1)得cn=n3n-1,n=2k-1,kZn-13n-1,n=2k,kZ，T2n=130+332+534+2n-132n-2+131+333+535+2n-132n-1=4 130+332+534+2n-132n-2设Kn=130+332+534+2n-132n-2 则9Kn=132+334+536+2n-132n-得-8Kn=1+2 32+34+32n-2-2n-132n=5+8n-59n-4，Kn=5+8n-59n32，T2n=5 8n-59n82(2022湖北省鄂州高中高三

26、期末)已知数列 an满足a1=1，an+an+1=2n；数列 bn前n项和为Sn，且b1=1，2Sn=bn+1-1.(1)求数列 an和数列 bn的通项公式；(2)设cn=anbn，求 cn前2n项和T2n.【答案】(1)an=n,n=2k-1,kZn-1,n=2k,kZ，bn=3n-1；(2)5 8n-59n8.【解析】10【分析】(1)根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行求解即可；(2)利用错位相减法进行求解即可.(1)n2，an-1+an=2 n-1，an+1-an-1=2，又a1=1，a2=1，n=2k-1(k为正整数)时，a2k-1是首项为1，公差为2的等差数列,a2

27、k-1=2k-1，an=n，n=2k(k为正整数)时，a2k是首项为1，公差为2的等差数列.a2k=2k-1，an=n-1，an=n,n=2k-1,kZn-1,n=2k,kZ，2Sn=bn+1-1，n2时，2Sn-1=bn-1，2bn=bn+1-bn，又b2=3，n2时，bn=3n-1，b1=1=30，bn=3n-1；(2)由(1)得cn=n3n-1,n=2k-1,kZn-13n-1,n=2k,kZ，T2n=130+332+534+2n-132n-2+131+333+535+2n-132n-1=4 130+332+534+2n-132n-2设Kn=130+332+534+2n-132n-2 则9Kn=132+334+536+2n-132n-得-8Kn=1+2 32+34+32n-2-2n-132n=5+8n-59n-4，Kn=5+8n-59n32，T2n=5 8n-59n8