黑龙江省大庆实验中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题含答案.pdf

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1、大庆实验中学大庆实验中学 20232024 学年度第一学期高三期中考试学年度第一学期高三期中考试数学试题数学试题第卷(选择题，共第卷(选择题，共 60 分)分)一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.1.已知集合221,lo|g1Ax xBxx，则AB（）A.0,3B.1,2C.,3D.0,22.已知平面向量a，b满足2ab b，且1a，2b，则ab（）A.3B.2C.2 3D.13.南宋数学家杨辉在 详解九章算术 中提出了高阶等

2、差数列的问题，即一个数列 na本身不是等差数列，但从 na数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列 nb（则称数列 na为一阶等差数列），或者 nb仍旧不是等差数列，但从 nb数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列 nc（则称数列 na为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1,1,2,8,64,是一阶等比数列，则该数列的第8项是（）A.52B.2C.212D.2824.已知4sincos65，则cos3（）A.35B.45C.35-D.455.已知函数22log(1),13()1022,3xxf xxxx若

3、方程()yf xm有 4 个不同的零点1234,x x x x，且1234xxxx，则341211()()xxxx（）A.10B.8C.6D.46.设1110sin0.1,cos,20sin2020abc，则（）A.cbaB.bacC acbD.abc7.如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边2AC，M为线段AB上动点（包含端点），D为AC的中点将线段AC绕着点D旋转得到线段EF，则ME MF 的最小值为（）A.2B.32C 1D.128.已知函数 f x的定义域为 R，且 28f xf xf，21fx为奇函数，1122f，则22112kkfk（）A.11B.12C.0D.212二、多项选择题：

4、本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，至少有一个符合题目要求，每道题全对得分，在每小题给出的四个选项中，至少有一个符合题目要求，每道题全对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 分分.9.已知复数122i,2izz，则（）A.2z是纯虚数B.12zz对应的点位于第二象限C.123zzD.122 5z z10.已知等差数列 na的公差为d，前n项和为nS，70a，80a，6890aaa，则（）A.10a，0d B.79aaC.S0n，n的最大值为 14D.当7n 时，nS有最大值11.已知函数 sin4f xAxB

5、，0A，0，()A.若 f x在区间4,34上单调递减，则103.的.B.将函数 yf x的图像向左平移2个单位得到曲线C，若曲线C对应的函数为偶函数，则的最小值为 12C.若方程sin14x在区间0,上恰有三个解，则91344 D.关于x的方程 22f xAB在0,上有两个不同的解，则52212.已知函数 e,lnxf xx g xxx，则下列说法正确的是()A.(ln)fx在1,上是增函数B.若不等式 2eln0 xmmg x恒成立，则正数 m 的取值范围是1e,C.若 g xt有两个根12,x x，则121xxD.若12(2)f xg xt t，且210 xx，则21lntxx的最大值为

6、18第卷(非选择题，共第卷(非选择题，共 90 分)分)三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每空小题，每空 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡的相应位置把答案填在答题卡的相应位置.13.已知球O的表面积为20，平面截球O所得的截面面积为3，则以O为顶点，截面为底面的圆锥的体积为_14.已知0a，0b，且41ab，则22ab的最小值是_15.已知数列 na和 nb，其中na是21.41421356237的小数点后的第n位数字，(例如164,3aa)，若11ba，且对任意的*Nn，均有1nnbba，则满足2019nbn的所有n的值为_16.在ABC中，内角 A，B，C 所对

7、的边分别为 a，b，c，已知角 A 为最小角且tan,tan,tanABC均为整数，则cos A_，设BC，AB的中点为 D，则CDCB_.四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，其中小题，其中 17 题满分题满分 10 分，其余各题满分分，其余各题满分 12 分，共分，共 70 分分.把答案填在答题卡的相应位置把答案填在答题卡的相应位置.17.已知函数 xf xmex，Rm.（1）当2m 时，求曲线 yf x在点 0,0f处切线方程；（2）试讨论函数 f x的单调性.18.已知等差数列 na满足212aa，且1a，32a，4a成等比数列.（1）求 na的通项公式；（2）设 na，

8、nb的前 n 项和分别为nS，nT.若 na的公差为整数，且111nnnnSbS，求2nT.19.在ABC中，60BAC，ABC面积为10 3，D为BC的中点，DEAC于点,E DFAB于点F.（1）求DEF的面积；（2）若1292AD，求sinsinABCACB的值.20.已知数列 na的前 n 项和为nS，且111122 3nnnSa.（1）证明：3nna是等差数列；（2）对任意正整数 n，都有(1,N)nkaa kk，且存在常数 m，使得441loglog1nnnmaam S为定值 t，求kt的值.21.如图，某城市有一条从正西方MO通过市中心O后转向东偏北60方向ON的公路，为了缓解城

9、市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路L，并在,OM ON上分别设置两个出口,A B B在A 的东偏北的方向（,A B两点之间的高速公路可近似看成直线段），由于,A B之间相距较远，计划在,A B之间设置一个服务区P的的 （1）若P在O的正北方向且2kmOP，求,A B到市中心O的距离和最小时tan的值；（2）若B在市中心O的距离为10km，此时P在AOB的平分线与AB的交点位置，且满足2211OPBPOP BP ，求A 到市中心O的最大距离22.已知函数 lnf xx x（1）若2a ，证明：3ef xax在0,上恒成立；（2）若方程 f xb有两个实数根12,x x且12xx，证明：213

10、e2e 123bxxb.大庆实验中学大庆实验中学 20232024 学年度第一学期高三期中考试学年度第一学期高三期中考试数学试题数学试题第卷(选择题，共第卷(选择题，共 60 分)分)一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.1.已知集合221,lo|g1Ax xBxx，则AB（）A.0,3B.1,2C.,3D.0,2【答案】A【解析】【分析】化简集合,A B,即可由并运算求解.【详解】由21|Ax x得13Axx，2|log102

11、Bxxxx，所以AB03xx，故选：A2.已知平面向量a，b满足2ab b，且1a，2b，则ab（）A.3B.2C.2 3D.1【答案】D【解析】【分析】根据向量数量积可得2a b ，再由21ab即可得出1ab.【详解】由2ab b可得22a bb，又2b 可得24b，所以2a b ；即22221441ababa b，所以1ab.故选：D3.南宋数学家杨辉在 详解九章算术 中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列 na本身不是等差数列，但从 na数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列 nb（则称数列 na为一阶等差数列），或者 nb仍旧不是等差数列，但从 nb数列中的第二项开始，每一

12、项与前一项的差构成等差数列 nc（则称数列 na为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1,1,2,8,64,是一阶等比数列，则该数列的第8项是（）A.52B.2C.212D.282【答案】C【解析】【分析】根据数列特征可知数列 nb为等比数列，进而得到nb，利用累乘法可求得na，代入8n 即可.【详解】记数列1,1,2,8,64,为 na，设1nnnaba，则11b，22b，34b，48b，数列 nb是以1为首项，2为公比的等比数列，12nnb，121 2 3221231122nnnnnnnabbbb a ，7 6212822a

13、.故选：C.4.已知4sincos65，则cos3（）A.35B.45C.35-D.45【答案】D【解析】【分析】根据三角恒等变换得到4sin65，再利用诱导公式求出答案.【详解】因31314sincossincoscossincos622225，即4sin65，所以4coscossin36265 故选：D5.已知函数22log(1),13()1022,3xxf xxxx若方程()yf xm有 4 个不同的零点1234,x x x x，且为1234xxxx，则341211()()xxxx（）A.10B.8C.6D.4【答案】A【解析】【分析】利用函数图象、对数的运算性质和二次函数的图象与性质分

14、析运算即可得解.【详解】解：由题意，方程()yf xm有 4 个不同的零点，即曲线()yf x与直线ym有 4 个不同的交点，如下图 因为1234xxxx，所以由图知3410 xx，且2122log(1)log(1)xx，可得：2122log(1)log(1)0 xx，12(1)(1)1xx，解得：1212x xxx，则12111xx，34341211(01)()xxxxxx.故选：A.6 设1110sin0.1,cos,20sin2020abc，则（）A.cbaB.bacC.acbD.abc【答案】D【解析】【分析】构造函数，根据三角函数的性质、利用导数判断单调性，作商比较大小即可得解.【详

15、解】解：由题意11110sin0.110sin20sincos102020a，10202，10cos120，11120sincos20sin202020，即有ac.又因为120sin12020tan120cos20cb，设 tanfxxx，02x，则 22222222sincossin11 cossin1110coscoscoscoscosxxxxxfxxxxxx ，当且仅当0 x 时等号成立；函数 tanfxxx在0,2上单调递增，当02x时 00f xf，即有tan xx，当且仅当0 x 时等号成立；.1120tan2012020cb，即有bc.又因为1120sincos1202020si

16、n120cos20ab，设 sinf xxx，02x，则 sin1cos10fxxx ，当且仅当0 x 时等号成立；函数 sinf xxx在0,2上单调递减，当02x时 00f xf，即有sin xx，当且仅当0 x 时等号成立；.1120sin2012020ab，即有ab.综上知，abc.故选：D.7.如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边2AC，M为线段AB上的动点（包含端点），D为AC的中点将线段AC绕着点D旋转得到线段EF，则ME MF 的最小值为（）A.2B.32C.1D.12【答案】D【解析】【分析】利用转化法，将ME MF 转化为22MDDE 或2214MDFE ，进而求得ME M

17、F 的最小值.【详解】解法一：连接MD，则 ME MFMDDEMDDF 22MDDEMDDEMDDE ，当MDAB时，MD 最小，即min22MD，结合21DE，得ME MF 的最小值为12解法二（极化恒等式法）：依题意2BC，D为线段EF的中点，则2212,4MEMFMD ME MFMEMFMEMF 2214MDFE ,由于min22MD，24FE ，所以ME MF 的最小值为12故选:D 8.已知函数 f x的定义域为 R，且 28f xf xf，21fx为奇函数，1122f，则22112kkfk（）A.11B.12C.0D.212【答案】B【解析】【分析】根据 28f xf xf即可得出

18、 f x周期为 4，赋值可求出 20f.进而由21fx为奇函数，可推得函数 yf x关于点1,0对称，由已知可求出3122f，00f，80f，然后即可求得5122f，2721f.进而即可根据周期性得出函数值，求出135741442443444402222mfmmfmmfmmfm，即可得出2211132122222kkfkff，代入数值，即可得出答案.【详解】由 28f xf xf，则 428f xf xf，所以，4f xf x，f x周期为 4，所以 840fff.由 28f xf xf，令0 x，则有 2080ffff，所以，20f.因为21fx为奇函数，所以2121fxfx，所以，11fx

19、f x ，所以函数 yf x关于点1,0对称，所以，2fxf x.令12x，则311222ff .令0 x 可得，200ff，所以 00f，所以 80f，所以，有 280f xf xf，即有 2f xf x.令12x，则有511222ff ；令32x，则731222ff.综上，1114222fmf，3314222fmf，5514222fmf，7714222fmf.所以，13574144244344442222mfmmfmmfmmfm11114142434402222mmmm ，所以，2211111321212222212222222kkfkffff1112122222 .故选：B.【点睛】方法

20、点睛：抽象函数求解函数值，常用赋值法.根据已知关系，推得函数的周期以及对称性，根据已知函数值，赋值求出其他函数值.二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，至少有一个符合题目要求，每道题全对得分，在每小题给出的四个选项中，至少有一个符合题目要求，每道题全对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 分分.9.已知复数122i,2izz，则（）A.2z是纯虚数B.12zz对应的点位于第二象限C.123zzD.122 5z z【答案】AD【解析】【分析】根据复数的运算规则和几何意义逐项分析.【详解】对于 A，

21、22iz，实部为 0，是纯虚数，正确；对于 B，1223izz，在复平面上对应点2,3，在第四象限，错误；对 C，2212122i,215zzzz，错误；对于 D，221 21 224i,242 5z zz z，正确；故选：AD.10.已知等差数列 na的公差为d，前n项和为nS，70a，80a，6890aaa，则（）A.10a，0d B.79aaC.S0n，n最大值为 14D.当7n 时，nS有最大值【答案】ACD【解析】【分析】根据70a，80a，得出100,da，再逐一对各个选项分析判断，即可求出结果.【详解】因为7160aad，870ada，故100,da，故选项 A 正确；选项 B，

22、因为70a，90a，又6897920aaaaa，即7920aa，故选项 B 错误；选项 C，因为1()2Snnn aa，115820aaa，又由6890aaa，得到1146980aaaaa，所以14150,0SS，故选项 C 正确；选项 D，因为100,da，70a，80a，故选项 D 正确.故选：ACD.11.已知函数 sin4f xAxB，0A，0，()A.若 f x在区间4,34上单调递减，则103B.将函数 yf x的图像向左平移2个单位得到曲线C，若曲线C对应的函数为偶函数，则的最小值为 12C.若方程sin14x在区间0,上恰有三个解，则91344 D.关于x的方程 22f xAB

23、在0,上有两个不同的解，则522【答案】BC【解析】的【分析】选项 A：求出 f x单调递减满足的关系与选项比较即可；选项 B：平移后初相应为2的奇数倍；选项 CD：求出相位满足的范围，卡右端点的范围即可.【详解】选项 A：44,3x时，,344444x，若 f x在区间4,34上单调递减，则2+442332+442kk，Zk，解得858133kk，因Zk，858133kk ，所以0k，进而得513，故 A 错误；选项 B：函数 yf x的图像向左平移2个单位得到 sin24xg xAxB，若 g x为偶函数，则有+242xk，Zk，解得12+2k，Zk，因为0，所以的最小值为 12，故 B

24、正确；选项 C：0 x,，,444x，则57242，解得91344，则 C 正确；选项 D：s242infBxAAxB，即2si42nx，0 x,，,444x，则911444，解得522，故 D 错误，故选：BC.12.已知函数 e,lnxf xx g xxx，则下列说法正确的是()A.(ln)fx在1,上是增函数B.若不等式 2eln0 xmmg x恒成立，则正数 m 的取值范围是1e,C.若 g xt有两个根12,x x，则121xxD.若12(2)f xg xt t，且210 xx，则21lntxx的最大值为18【答案】A【解析】【分析】A 选项，由题 lnlnfxxxg x，1,x，判

25、断 g x在1,上的单调性即可；B 选项，由 2eln0 xmmg x，得22eln(e)lnxxmmxx，构造函数()lnxxx，求出其单调性，得22e,exxxmxm，再次构造函数()()exxxx20，求出其最大值即可;C 选项，由 g xt有两个零点12,x x，可得1t，设12xx，则1201xx，又1222111111xxxg xg xgxx，后研究 1Fxg xgx在0,1上的单调性即可；D 选项，因 1232，fg，及 f xg x，在1,上单调递增，可得2131xx.又12ln1212222elnelnlnxxf xg xxxxxfx，则12exx，故1211lnlnlnex

26、tttxxxt，再次构造函数ln()th tt，求出最大值可判断选项.【详解】对于 A 选项，lnlnfxxxg x，1,x.又当1,x时，1110 xgxxx，则lnfx在1,上是增函数，故 A 正确；对于 B 选项，2eln0 xmmg x，即222elnln0eln(e)lnxxxmmxxmmxx，令()lnxxx，则()xxxx 1110()x在(0,)单调递增，由(e)()xmx2得22e,exxxmxm令()()exxxx20，则()exxx21 2，当10,2x时，()x 0，当1,2x时，()x 0，所以()x在10,2上单调递增，在1,2上单调递减，则max111(),22e

27、2exm，B 错误；对于 C 选项，g xt有两个根12,x x，等价于函数 g xt有两个零点12,x x，注意到 111xg xtxx，则 g xt在0,1上单调递减，在1,上单调递增，因函数有零点，则 1101m i ng xtgttt.设12xx，又01et，010ttgtgtee,，则101etx.令 21xn xx xe,.则 20exnx，得1x 时，2120ee-xxn.又e1t，则 20eettgtt，10gt.得21etx.若121xx，则等价于2111xx，因 g x在1,上单调递增，则2111xx等价于211g xgx，又 21g xg x，则211g xgx等价于11

28、1g xgx.令 112lnF xg xgxxxx，0,1x，22121110Fxxxx，即 F x在0,1x上递增，所以 10F xF，则10,1x 时，111g xgx，所以121xx不成立，故C 错误；对于 D 选项，由 A 选项分析可知，g x在1,上单调递增，exf xx，()e1xfx，当0 x 时()0fx，则 f x在(0,)单调递增，又122f xg xt t，11233ln32fg e,，则2131xx.由 12f xg x，即12ln1222elnelnxxxxxx，即有 12lnf xfx，又121 ln1xx,，f x在1,上单调递增，所以12lnxx，即12exx，

29、所以1211lnlnlnextttxxxt，其中2t.令ln()th tt，2t，则21 ln()th tt，令()0h t，得et，当et 2时，()0h t，当te时，()0h t，所以()h t在(2,e)单调递增，在(e,)单调递减，所以maxln(e)ethxx211，故 D 错误.故选：A【点睛】本题涉及求函数单调区间，恒成立问题及双变量问题，难度较大.对于复杂函数，常利用导数求单调区间.对于恒成立问题，求解的关键是能够利用同构法,将恒成立的不等式转化为同一函数不同函数值的大小关系比较问题,进而通过构造函数,利用函数单调性得到自变量的大小关系,从而化简恒成立的不等式，常利用分离参数

30、法将问题转化为求最值.对于双变量问题，常结合题目条件寻找变量间关系，将双变量转化为单变量.第卷(非选择题，共第卷(非选择题，共 90 分)分)三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每空小题，每空 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡的相应位置把答案填在答题卡的相应位置.13.已知球O的表面积为20，平面截球O所得的截面面积为3，则以O为顶点，截面为底面的圆锥的体积为_【答案】2【解析】【分析】根据球的表面积和截面圆面积可求得22,Rr，利用勾股定理可求得球心O到截面的距离，代入圆锥体积公式即可.【详解】设球O的半径为R，截面圆1O的半径为r，球心O到平面的距离为d，2420

31、R，23r，25R，23r，222dRr，以O为顶点，截面为底面的圆锥的体积为2123Vr d.故答案为：2.14.已知0a，0b，且41ab，则22ab的最小值是_【答案】18【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【详解】由题意可得24282221018babababaab，当且仅当13a，6b 时，等号成立故答案为：1815.已知数列 na和 nb，其中na是21.41421356237的小数点后的第n位数字，(例如164,3aa)，若11ba，且对任意的*Nn，均有1nnbba，则满足2019nbn的所有n的值为_【答案】2021或2023#2023或2021【解析】【分

32、析】据题意可推导出 nb为周期数列，再分析可知20202023n，然后利用周期逐一验证数列 nb的各项与2019nbn计算结果是否一致，即可找到所有符合题意的n的值.【详解】naQ是21.41421356237的小数点后的第n位数字，且1nnbba.121124324,2,1,bbbabaabaa3454154624,2,1,bbbbaabaabaa nb是以 3 为周期的数列，且各项为4,2,1依次循环出现.201920202021202220231,4,2,1,4,bbbbb又2019nbn,当2019n 时，20190nbn，与数列 nb各项均为正数相矛盾；当2024n 时，20195n

33、bn不符合题意，与数列 nb中最大项为4相矛盾；20202023n且*Nn，2019nbn，2020202020191b与20204b相矛盾，故舍去；20212021 20192b，符合题意；2022202220193b与20221b相矛盾，故舍去；202320232019=4b，符合题意；综上所述：对任意的*Nn，均有1nnbba，则满足2019nbn的所有n的值为2021或2023.故答案为：2021或202316.在ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知角 A 为最小角且tan,tan,tanABC均为整数，则cos A_，设BC，AB的中点为 D，则CDCB_.【

34、答案】.22 .8510【解析】【分析】对于第一空，因为 A 为最小角且tan,tan,tanABC均为整数，可确定tan1A，故可得答案；第二空，结合第一空的结果，根据135BC，tan,tan,tanABC均为整数，可确定tan2,tan3BC，进而求得2 553 1010sin,cos,sin,cos551010BBCC，然后利用正弦定理即可表示边 b,c，在ADC中由余弦定理表示出CD,即可求得答案.【详解】第一空：在ABC 中，A 为最小角且tan,tan,tanABC均为整数，则tan0A,若tan2A，因为tan603，且tanyx 在0,)2上单调递增，故60A，又因为 A 为

35、最小角，则 B,C 都大于60，与180ABC 矛盾，所以tan1A，即245,cos2AA；第二空：由第一空可知45A o，故135BC，则tantantan()11tantanBCBCBC ，即tantantantan1BCBC，因为BC且tan,tan,tanABC均为整数，故tan2,tan3BC,B C为锐角，故2 553 1010sin,cos,sin,cos551010BBCC,由正弦定理得：sin45sinsinabcBC，即2 53 102 103 5510,552222aaba ca，所以在ADC中，AB的中点为 D，故3 510ADa 2222cosCDACADAC AD

36、A 2222 103 52 103 5217()()2510510220aaaaa ，则8510CDa，故85851010CDCBaa；故答案为：22；8510四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，其中小题，其中 17 题满分题满分 10 分，其余各题满分分，其余各题满分 12 分，共分，共 70 分分.把答案填在答题卡的相应位置把答案填在答题卡的相应位置.17.已知函数 xf xmex，Rm.（1）当2m 时，求曲线 yf x在点 0,0f处的切线方程；（2）试讨论函数 f x的单调性.【答案】（1）2yx （2）答案见解析【解析】【分析】（1）先求函数的导函数得出斜率，再根据

37、点斜式求出切线方程即可；（2）分0m 和0m 两种情况求导函数，分导数正负讨论函数的单调性.【小问 1 详解】因为2m，所以 2exf xx，则 02f，切点为0,2又因为 2e1xfx所以 0211f ，即1k 所以曲线 yf x在点 0,0f处的切线方程是210yx，即2yx.【小问 2 详解】因为 xf xmex，Rm，所以 e1xfxm，当0m 时，e10 xfxm，则 f x在,上单调递减；当0m 时，令 0fx，得lnxm，当lnxm 时，0fx，当lnxm 时，()0fx，所以 f x在,lnm 上单调递减，在ln,m上单调递增，综上，当0m 时，f x在,上单调递减；当0m 时

38、，f x在,lnm 上单调递减，在ln,m上单调递增18.已知等差数列 na满足212aa，且1a，32a，4a成等比数列.（1）求 na的通项公式；（2）设 na，nb的前 n 项和分别为nS，nT.若 na的公差为整数，且111nnnnSbS，求2nT.【答案】（1）25nan或2nan （2）2221nnTn【解析】【分析】（1）根据题意，利用等差数列的通项公式和等比中项的应用求出1da、，即可求出na；（2）根据题意，由（1）可得2nan，根据等差数列前 n 项求和公式计算可得1nSn n，则11111nnbnn，利用裂项相消求和法计算即可求解.【小问 1 详解】设等差数列 na的公差

39、为 d，2112aaad，1ad，1a，32a，4a成等比，21432a aa，即2111322a adad，得22432dd，解得25d 或2d，当125da时，25nan；当12da时，2nan；25nan或2nan.【小问 2 详解】因为等差数列na的公差为整数，由（1）得2nan，所以2212nn nSn n，则112nSnn，12121111111111nnnnnnnbn nnn nnn .21234212nnnTbbbbbb11111111111111111112233445212221nnnn 11111111111111111112233445212221nnnn 111111

40、13352121nn 11121n 221nn.19.在ABC中，60BAC，ABC的面积为10 3，D为BC的中点，DEAC于点,E DFAB于点F.（1）求DEF的面积；（2）若1292AD，求sinsinABCACB的值.【答案】（1）15 38 （2）13 3sinsin14ABCACB【解析】【分析】（1）由题意，可得120FDE，o13sin12024DEFSDE DFDE DF，作BMAC于点M，CNAB于点N，可得1324DEBMAB，1324DFCNAC，代入上式得解；（2）延长AD到点Q，使ADDQ，连接CQ，在AQC中，利用余弦定理可得BC，在ABC中由正弦定理可求得结果

41、.【小问 1 详解】在四边形AFDE中，60BAC，o90DFADEA，故120FDE，故o13sin12024DEFSDE DFDE DF，作BMAC于点M，CNAB于点N，又D为BC的中点，则o113sin60224DEBMABAB，o113sin60224DFCNACAC，故3333315 310 344416168DEFABCSABACS.【小问 2 详解】设ABC的三条边BC，AC，AB分别为a，b，c，由1sin10 32ABCSbcBAC，知40bc，延长AD到点Q，使ADDQ，连接CQ，则129AQ，ABCBCQ，则在AQC中，o120ACQ，CQABc，故由22129bcbc

42、与40bc 可得，22249bcbca，则7a，222169bcbc，则13bc，由正弦定理得14sinsinsin3bcaABCACBBAC，则13 3sinsin14ABCACB.20.已知数列 na的前 n 项和为nS，且111122 3nnnSa.（1）证明：3nna是等差数列；（2）对任意正整数 n，都有(1,N)nkaa kk，且存在常数 m，使得441loglog1nnnmaam S为定值 t，求kt的值.【答案】（1）证明见解析 （2）3【解析】【分析】（1）利用11nnnaSS，将已知转化为111233nnnaa，即可变形为11332nnnnaa，从而证明3nna是等差数列.

43、（2）根据分析数列 na的性质确定k的值，再根据441loglog1nnnmaam S是定值，化简确定 m 的值，进而求出 t 的值，从而即可求解.【小问 1 详解】因为111122 3nnnSa，所以1111122 3nnnSa，两式相减得11111223nnnnaaa，整理得111233nnnaa，所以11332nnnnaa，即11332nnnnaa，所以3nna是等差数列.【小问 2 详解】由题意111122 3nnnSa，所以1111 11111122 32aaSa，解得113a.由（1）可知3nna是以131a 为首项、2 为公差的等差数列，即3321nnan，所以213nnna，而

44、*1112121440,N333nnnnnnnnaan，所以12345aaaaa，由题意对任意正整数 n，都有(1,N)nkaa kk，所以2k，要使44141loglog1log1nnnnnnmamaam SaS S定值，则11nnnmaam S也为定值.2112133nnnnan，1231111135213333nnSn ，23411111111352321 333333nnnSnn ，为两式相减得：1231211111122221333333nnnSn ,则122121333nnSn，即1113nnSn，则11213631321 31231 3nnnnnmnmamnmam Snm nm

45、nm，因为定值与n的大小无关，所以63231 3mmmm，显然0m，解得49m，经检验，符合题意，所以4log 41t，所以2 13kt .21.如图，某城市有一条从正西方MO通过市中心O后转向东偏北60方向ON的公路，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路L，并在,OM ON上分别设置两个出口,A B B在A 的东偏北的方向（,A B两点之间的高速公路可近似看成直线段），由于,A B之间相距较远，计划在,A B之间设置一个服务区P （1）若P在O的正北方向且2kmOP，求,A B到市中心O的距离和最小时tan的值；（2）若B在市中心O的距离为10km，此时P在AOB的平分线与AB的

46、交点位置，且满足2211OPBPOP BP ，求A 到市中心O的最大距离【答案】（1）6 34 63，tan63 （2）20【解析】【分析】（1）利用正弦定理，将OAOB、分别用tan表示，再利用基本不等式求OAOB的最小值；（2）先由2211OPBPOP BP 化简得到2003OP，再根据三角形面积公式列方程得到|OA与OP 的函数关系，由函数单调性求得|OA的最大值.【小问 1 详解】设OAB，在RtAOP中，2tanOA,32OBPOPB在OPB中，由正弦定理得sinsinOPOBOBPOPB2sin2cos42313tansincossin322OB22242tan2 32tan3ta

47、ntan3tan(tan3)3 3 tan36tan3OAOB当且仅当6tan3tan3，即tan63时取到等号,A B到市中心O的距离和最小时，tan63【小问 2 详解】2211OPBPOP BP ，2229OPBPOP BPOP BP 2()9OPBPOP BP ，即29OBOPOPOB 2100945OPOP ，2003OP 又AOBAOPBOPSSS1211sinsinsin232323OA OBOA OPOB OP即1010OAOA OPOP1010101010101OPOAOPOPOPOP当203OP 时，max|20OA22.已知函数 lnf xx x（1）若2a ，证明：3e

48、f xax在0,上恒成立；（2）若方程 f xb有两个实数根12,x x且12xx，证明：213e2e 123bxxb.【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）即证 33e22eg aaxgx，构造3()ln2eh xxxx，即可证明32elnxxx；（2）分别利用切线放缩进行证明即可.【小问 1 详解】因为2a ，0 x，令 3eg aax所以 33e22eg aaxgx，下证32elnxxx，令3()ln2eh xxxx，则()ln3h xx，当30ex时,()0h x，当3e,()0 xh x，所以()h x在3(0,e)上单调递减，在3(e),上单调递增，所以3

49、3()ln2e(e)0h xxxxh，所以 3ef xax在0，上恒成立【小问 2 详解】证明：先证右半部分不等式：213e232xbx；因为()lnf xxx，()ln1fxx，所以333(1)0,(e)3e,(1)1,(e)2ffff ；可求曲线()yf x在3xe和1x 处切线分别为31:2elyx 和2:1lyx；的设直线yb与直线1l，函数()f x的图象和直线2l交点的横坐标分别为1122,xx xx则312e,1,2bxxb 则332121ee23(1)()22bbxxxxb；因此213e232xbx.再证左半部分不等式：21e 1xxb.设取曲线上两点11(,),(1,0)eeAB，用割线:OA yx，1:(1)e 1AB yx来限制21xx，设直线yb与直线1(1)e 1,yx yx的交点的横坐标分别为34,x x，则1342xxxx，且3xb，4(e 1)1,xb所以2143(e 1)1()e 1xxxxbbb .综上可得213e2e 123bxxb 成立【点睛】方法点睛：导数证明不等式的方法常有：（1）最值法：移项构造函数，通过求解最值来证明；（2）放缩法：通过构造切线或割线，利用切线放缩或者割线放缩来证明.