河北省2022年中考数学人教版总复习教学案-第三章第6节二次函数的应用.docx

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1、第六节二次函数的应用【课标要求】通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义能根据ya(xh)2k的形式，解决简单实际问题【教材对接】人教：九上第二十二章P4953；冀教：九下第三十章P4149；北师：九下第二章P4650.二次函数的实际应用1解二次函数应用题的步骤及关键点步骤关键点(1)分析问题明确题中的常量与变量及它们之间的关系，确定自变量及函数(2)建立模型，确定函数表达式根据题意确定合适的表达式或建立恰当的坐标系(3)求函数表达式表示变量间的数量关系及自变量的取值范围(4)应用函数性质，解决问题熟记顶点坐标公式或配方法，注意a的正负及自变量的取值范围2.利用二次函数解决实际生活中的利润问题

2、，应理清变量所表示的实际意义，注意隐含条件的使用，同时考虑问题要周全，此类问题一般是运用“总利润总售价总成本”或“总利润每件商品所获利润销售数量”，建立利润与价格之间的函数关系式3利用二次函数解决抛物线型问题时，要恰当地把这些问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式解决一些测量问题或其他问题4运用二次函数的性质求实际问题中的最大值和最小值的一般方法是：列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；配方或利用公式求顶点；检查顶点是否在自变量的取值范围内或检查所求最值是不是符合要求a若函数的对称轴在自变量的取值范围内，顶点坐标即为其最值

3、，若顶点坐标不是其最值，那么最值可能为自变量的两端时的函数值；b若函数的对称轴不在自变量的取值范围内，可根据函数的增减性求解，再结合自变量在两端时函数值的对比，从而求解出最值【易错警示】二次函数的实际应用题中求最值时不能忽视自变量的取值范围和生活实际当自变量必须满足是整数时，抛物线顶点的横坐标是分数时，顶点的纵坐标一定不是所求的最值；当自变量的取值范围在对称轴的同侧时，抛物线顶点的纵坐标一定不是所求的最值【基础练】小强在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系大致满足二次函数yx2x，则小强此次成绩为(B)A8 m B10 m C12 m D14 m【例1】某公司生

4、产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品每千克的成本是30元，生产乙种产品每千克的成本是20元物价部门规定，这两种产品的销售单价(每千克的售价)之和为80元经市场调研发现，甲种产品的销售单价为x(元)，在公司规定30x60的范围内，甲种产品的月销售量y1(kg)符合y12x150；乙种产品的月销售量y2(kg)与它的销售单价成正比例，当乙产品销售单价为30元(即80x30)时，它的月销售量是30 kg.(1)求y2与x之间的函数关系式；(2)公司怎样定价，可使月销售利润最大？最大月销售利润是多少？(销售利润销售额生产成本)(3)是否月销售额越大月销售利润也越大？请说明理由【解题思路】(1)根据题意可

5、以得到y2与x之间的函数关系式；(2)根据题意可以得到月销售利润与x之间的函数关系式，然后化为顶点式即可得出结果；(3)根据题意可以得到月销售额与x的函数关系式，再根据(2)中的函数关系式即可得出结果【解答】解：(1)甲种产品的销售单价为x元，乙种产品的销售单价为(80x)元，设y2与x之间的函数关系式为y2k(80x).当80x30时，y230，3030k.k1.y2与x之间的函数关系式为y280x；(2)设月销售利润为w元，则w(x30)(2x150)(80x20)(80x)(x35)21 525.10，当x35时，w取得最大值，此时w1 525，80x45.甲种产品的销售单价定为35元，

6、乙种产品的销售单价定为45元时，月销售利润最大，最大月销售利润是1 525元；(3)不是月销售额越大月销售利润也越大理由：设月销售额为z，则zx(2x150)(80x)(80x)(x5)26 425.10，当x5时，z随x的增大而减小在公司规定30x60的范围内，当x30时，月销售额最大由(2)知，当x35时，月销售利润最大，不是月销售额越大月销售利润也越大1某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩QW100，而W的大小与运输次数n及平均速度x(km/h)有关(不考虑其他因素)，W是两部分的和：一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比试行中得到了表中的数据次数n21

7、速度x4060指数Q420100(1)用含x和n的式子表示Q；(2)当x70，Q450时，求n的值；(3)若n3，要使Q最大，确定x的值解：(1)设Wk1x2k2nx，则Qk1x2k2nx100.由表中数据，得解得Qx26nx100；(2)将x70，Q450代入Qx26nx100，得450702670n100.解得n2；(3)当n3时，Qx218x100(x90)2910.0，函数图象开口向下，有最大值要使Q最大，x90.2(2021石家庄模拟)某公司购进一批受环境影响较大的商品，需要在特定的环境中才能保存已知该商品成本y(元/件)与保存的时间第x天之间的关系满足yx24x100，该商品售价p

8、(元/件)与保存的时间第x天之间满足一次函数关系，其对应数据如下表：x/天57p/(元/件)248264(1)求商品的售价p(元/件)与保存的时间第x天之间的函数关系式；(2)求保存第几天时，该商品不赚也不亏；(3)请你帮该公司确定该商品在哪一天卖出，每件商品能获得最大利润？此时每件商品的售价是多少？解：(1)设pkxb，将x5，p248和x7，p264分别代入表达式，得解得p8x208；(2)由题意，得8x208x24x100.整理，得 x212x1080.解得x118，x26(不合题意，舍去).答：该商品保存第18天时，不赚也不亏；(3)设每件商品所获利润为w元由题意，得w8x208(x2

9、4x100)x212x108(x6)2144.a10，当x6时，w最大144.p8x20886208256(元).答：该商品在第6天卖出时，每件商品能获得最大利润，此时每件商品的售价为256元【例2】如图，在ABC中，B90，AB5 cm，BC7 cm，点P从点A开始沿AB边以1 cm/s的速度向点B移动，点Q从点B开始沿BC边以2 cm/s的速度向点C移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动(1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PBQ的面积等于4 cm2?(2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5 cm?(3)在问题(1)中，当运动时间为

10、多少秒时，PBQ的面积最大？【解题思路】(1)设运动时间为x s，用含x的代数式分别表示出PB和BQ，再利用三角形面积计算公式即可求解；(2)依然是用含x的代数式先表示出PB和BQ，再利用勾股定理列方程即可求解；(3)求最值，对代数式配方即可求解【解答】解：(1)设x s后，PBQ的面积等于4 cm2.由题意，得2x(5x)4.解得x11，x24.当x4时，2x87，不合题意，舍去，1 s后，PBQ的面积等于4 cm2；(2)设x s后，PQ的长度等于5 cm.由题意，得(5x)2(2x)252.解得x10(舍去)，x22.2 s后，PQ的长度等于5 cm；(3)设x s后，PBQ的面积等于y

11、 cm2.由题意，得y2x(5x)x25x(0x3.5).10，当x时，y有最大值即当运动时间为2.5 s时，PBQ的面积最大3(2021邯郸模拟)如图，矩形ABCD的边AB4，BC8，点P从A出发，以每秒2个单位长度沿ABCD运动，同时点Q也从A出发，以每秒1个单位长度沿AD运动，APQ的面积为y，运动的时间为x s，则y关于x的函数图象为(A)4如图，在边长为6 cm的正方形ABCD中，点E，F，G，H分别从点A，B，C，D同时出发，均以1 cm/s的速度向点B，C，D，A匀速运动当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为3s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是1

12、8cm2.【例3】如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6 m，在长度为8 m的两支柱OC和AB之间，还安装着三根支柱，相邻两支柱间的距离为5 m(1)建立如图所示的直角坐标系，求拱桥抛物线的函数表达式；(2)求支柱EF的长度；(3)拱桥下面拟铺设行车道，要保证高3 m的汽车能够通过(车顶与拱桥的距离不小于0.3 m)，行车道最宽可以铺设多少米？【解题思路】(1)根据抛物线在坐标系内的位置和形状设定抛物线的表达式，计算出OA的长，进而求得点A的坐标，根据拱高得顶点坐标，利用待定系数法求出抛物线的表达式，也可设为顶点式来求解；(2)先根据抛物线的表达式求出点F的纵坐标，结合OC的长度可求出EF的长

13、度；(3)先确定能保证汽车通过拱桥的最大高度，再根据抛物线表达式列出方程，求解后将两根相减即为行车道的最大宽度【解答】解：(1)由图可设拱桥抛物线的函数表达式为yax2bx.相邻两支柱间的距离均为5 m，OA4520(m).(20，0)，(10，6)两点都在抛物线上解得拱桥抛物线的函数表达式为yx2x；(2)当x3515时，y15215，F.EF8(m)；(3)当y30.33.3时，有x2x3.3.化简，得x220x550.解得x1103，x2103.x2x16.答：行车道最宽可以铺设6 m5(2021石家庄模拟)如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线图2是喷灌架为一坡地草坪喷

14、水的平面示意图，喷水头的高度(喷水头距喷灌架底部的距离)是1 m当喷射出的水流距离喷水头20 m时，达到最大高度11 m，现将喷灌架置于坡度为110的坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为30 m处有一棵高度约为2.3 m的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌下列说法正确的是(C) 图1图2A水流运行轨迹满足函数yx2x1B水流喷射的最远水平距离是40 mC喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1 mD若将喷灌架向后移动7 m，可以避开对这棵石榴树的喷灌6某幢建筑物，从5 m高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线，抛物线所在平面与墙面垂直(如图)，如果抛物线的最高点M

15、离墙1 m，离地面 m，则水流下落点B离墙距离OB是3m.7九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高 m，与篮圈中心的水平距离为7 m，当球出手后水平距离为4 m时到达最大高度4 m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3 m.(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中；(2)此时，若对方队员乙在甲前面1 m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1 m，那么他能否获得成功？解：(1)由题意可知，抛物线经过点，顶点坐标是(4，4)，篮圈中心的坐标是(7，3).设抛物线的解析式为ya(x4)24，抛物线经过点，16a4.解得a.抛物线解析式为

16、y(x4)24.当x7时，y(74)243，篮圈的中心点在抛物线上能够投中；(2)当x1时，y(14)2433.1，能够盖帽拦截成功【例4】有一块缺角矩形地皮ABCDE(如图)，其中AB110 m，BC80 m，CD90 m，EDC135，现准备用此地建一座地基为长方形(图中用阴影部分表示)的教学大楼，建筑公司在接受任务后，设计了A，B，C，D四种方案，请你研究探索应选用哪一种方案，才能使地基面积最大？(1)求出A，B两种方案的面积；(2)若设地基的面积为S(m2)，宽为x(m)，写出方案C(或D)中S与x的关系式；(3)根据(2)完成下表；地基的宽x/m607075787980地基的面积S/

17、m2(4)根据上表提出你的猜测；(5)用配方法对(2)中的S与x之间的关系式进行分析，并检验你的猜测是否正确；(6)你认为A，B，C，D中哪一种方案合理？【解题思路】作辅助线，根据等腰直角三角形的性质、矩形的面积公式列出S与x之间的关系式，利用二次函数的性质进行合理的猜测并验证【解答】解：(1)根据题意，方案A的面积为80907 200(m2)；方案B的面积为110(8020)6 600(m2)；(2)选择方案C计算设CD的延长线与NM的延长线交于点F，如图MF(80x) m，EDC135，DF(80x) mNBCDDF90(80x)(170x) m.S(170x)x, 即Sx2170x(60

18、x80)；(3)6 600，7 000，7 125，7 176，7 189，7 200；(4)猜想：当x80时，S随x的增大而增大；(5)Sx2170x(x85)27 225，当x85时，S随x的增大而增大当x80时，S取得最大值为7 200 m2；(6)根据当x80时，S取得最大值，故选A种方案8为了节省材料，某农场主利用围墙(围墙足够长)为一边，用总长为60 m的篱笆围成了如图所示的三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则BC长为15 m时，能围成的矩形区域ABCD的面积最大9如图，要建一个矩形仓库ABCD，一边靠墙(墙长22 m)，并在BC边上开一道2 m宽的门，现在可用的材料为3

19、8 m长的木挡板(1)若仓库的面积为150 m2，求AB的长；(2)当仓库的面积最大时，求AB的长，并指出仓库的最大面积解：(1)设AB的长为x m，则AD(3822x) m.根据题意，得(3822x)x150.解得x115，x25.当x115时，AD10 m；当x25时，AD30 m22 m(不合题意，舍去).AB15 m；(2)设仓库的面积为y m2，根据题意，得y(3822x)x2x240x2(x10)2200.20，3822102022，当x10时，ymax200.答：当AB为10 m时，仓库的最大面积为200 m2.二次函数的实际应用(5年3考)(2018河北中考)如图是轮滑场地的截

20、面示意图，平台AB距x轴(水平)18 m，与y轴交于点B，与滑道y(x1)交于点A，且AB1 m运动员(看成点)在BA方向获得速度v m/s后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离h(m)与飞出时间t(s)的平方成正比，且t1时h5；M，A的水平距离是vt m.(1)求k，并用t表示h；(2)设v5.用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式(不写x的取值范围)，及y13时运动员与正下方滑道的竖直距离；(3)若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5 m/s，v乙 m/s.当甲距x轴1.8 m，且乙位于甲右侧超过4.5 m的位置时，直接写出t的值及v乙的范围解：(1)由题意，得点A(1，18)，代入y，得18，k18.设hat2，由t1时，h5，得a5.h5t2；(2)v5，AB1，x5t1.h5t2，OB18，y5t218.由x5t1，得t(x1).y(x1)218.当y13时，13(x1)218，x6或4.x1，只取x6.把x6代入y，得y3.运动员与正下方滑道的竖直距离是13310(m)；(3)t1.8；v乙7.5.把y1.8代入y5t218，得t2.t1.8(舍去负值).x10.甲为(10，1.8)，恰好落在滑道y上此时乙为(11.8v乙，1.8).由题意，得11.8v乙(151.8)4.5，v乙7.5.