2022年中考数学总复习习题-3.4第2课时二次函数性质的综合应用.docx

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1、第2课时二次函数性质的综合应用1.已知二次函数y=3ax2-6ax+c(a0)的图象上有两个不重合的点A(m,y1),B(n,y2).若y1=y2,则点P(m,n)可能在下列哪个一次函数图象上(B)【解析】若y1=y2,则3am2-6am+c=3an2-6an+c,整理得a(m+n)(m-n)=2a(m-n).a0,且点A,B不重合,mn,m+n=2,即n=-m+2,点P(m,n)可能在第一、二、四象限.2.(2021合肥蜀山区三模)下列关于二次函数y=ax2-2ax+1(a1)的图象与x轴交点的判断,正确的是(D)A.只有一个交点,且它位于y轴的右侧B.只有一个交点,且它位于y轴的左侧C.有

2、两个交点,且它们位于y轴的两侧D.有两个交点,且它们位于y轴的右侧3.(2021合肥蜀山区二模)在平面直角坐标系中,直线y=mx+n与x轴、y轴分别相交于点A(-10,0),B(0,5),已知抛物线y=ax2+bx经过点A,且顶点C在直线y=mx+n的上方,则a的取值范围是(A)A.a-0.1且a0C.a0.1【解析】将点A(-10,0),B(0,5)代入y=mx+n,可得直线为y=12x+5.抛物线y=ax2+bx经过点A和原点,抛物线的对称轴为直线x=-5,-b2a=-5,b=10a,抛物线为y=ax2+10ax.把x=-5代入y=ax2+10ax,得y=25a-50a=-25a.把x=-

3、5代入y=12x+5,得y=52.抛物线顶点C在直线y=mx+n的上方,-25a52,a-0.1.4.已知二次函数y=x2与一次函数y=2x+1相交于A,B两点,C是线段AB上的一个动点,D是抛物线上的一个动点,且CD平行于y轴.在移动过程中,CD的最大值为2.5.已知二次函数y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3的图象与函数y=-x2+6x的图象相交于y轴上一点,则m=-1或3.6.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a0)图象的一部分,x=-1是对称轴,有下列判断:b-2a=0;4a-2b+cy2.其中正确的判断是(B)A.B.C.D.7.如图,直线y=kx+b(k0)与抛物线y=ax2

4、(a0)交于A,B两点,且点A的横坐标是-2,点B的横坐标是3,则以下结论:抛物线y=ax2(a0)的图象的顶点一定是原点;当x0时,直线y=kx+b(k0)与抛物线y=ax2(a0)的函数值都随着x的增大而增大;AB的长度可以等于5;OAB有可能成为等边三角形;当-3x2时,ax2+kxb.其中正确的结论是(B)A.B.C.D.8.如图,抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,过点B,C作一条直线l.(1)ABC的度数是45;(2)点P在线段OB上,且点P的坐标为(2,0),过点P作PMx轴,交直线l于点N,交抛物线于点M,则线段MN的长为2.【解析

5、】(1)当y=0时,x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3,点A在点B的左侧,点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(3,0),当x=0时,y=-3,点C的坐标为(0,-3),OB=OC,ABC=45;(2)设直线l的函数表达式为y=kx+b,根据题意得3k+b=0,b=-3,解得k=1,b=-3,直线l的函数表达式为y=x-3.当x=2时,y=x-3=-1,点N的坐标为(2,-1);当x=2时,y=x2-2x-3=22-4-3=-3,点M的坐标为(2,-3),MN=|-1-(-3)|=2.9.如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C

6、,P是抛物线上在第一象限内的一个动点,且点P的横坐标为t.(1)求抛物线的表达式;(2)连接BC,PB,PC,设PBC的面积为S,求S关于t的函数表达式,并求当S最大时点P的坐标.解:(1)将点A(-1,0),B(3,0)代入y=-x2+bx+c,得0=-1-b+c,0=-9+3b+c,解得b=2,c=3,抛物线的表达式为y=-x2+2x+3.(2)连接OP.点P的横坐标为t,点P的纵坐标为-t2+2t+3,由(1)知点C的坐标为(0,3),OC=3.点B的坐标为(3,0),OB=3,S=SBOP+SOCP-SOBC=123(-t2+2t+3)+123t-1233=-32t2+92t=-32t

7、-322+278,当t=32时,S有最大值,此时点P的纵坐标为y=-t2+2t+3=154,当S最大值,点P的坐标为32,154.10.在平面直角坐标系中,抛物线y=tx2-(2t+1)x+t-5与x轴有交点.(1)求t的取值范围.(2)若t为取值范围内的最小的整数,直接写出该抛物线的表达式;将此抛物线平移,使平移后的图象经过点(0,0),设平移后的抛物线对应的表达式为y=a(x-h)2+k,当x3时,y随x的增大而减小,求k的取值范围.解:(1)抛物线y=tx2-(2t+1)x+t-5与x轴有交点,关于x的方程tx2-(2t+1)x+t-5=0有实数根,t0,=-(2t+1)2-4t(t-5

8、)0,解得t-124且t0.(2)由题意得t=1.该抛物线的表达式为y=x2-3x-4.由题意得a=1.当x0)的对称轴为直线l,抛物线的顶点为A.(1)判断抛物线y=(x-k)2-2(k-1)2(k0)与x轴的交点情况;(2)直线y=k2x与抛物线交于P,Q两点,与抛物线的对称轴l交于点D,D恰好是OQ的中点,M为直线y=k2x下方抛物线上一点,求PQM面积的最大值.解:(1)y=(x-k)2-2(k-1)2=x2-2kx-k2+4k-2,=8(k-1)2,当k=1时,=0,抛物线与x轴有一个交点;当k1时,0,抛物线与x轴有两个交点.(2)抛物线的表达式为y=(x-k)2-2(k-1)2(

9、k0),点D的横坐标为k.D是OQ的中点,点Q的横坐标为2k.点Q在直线y=k2x上,点Q的坐标为(2k,k2).把点Q(2k,k2)代入y=(x-k)2-2(k-1)2,得k2=(2k-k)2-2(k-1)2,解得k1=k2=1,y=x2-2x+1,则x2-2x+1=12x,解得x1=2,x2=12.如图,过点M作MNx轴,交PQ于N,设点M的坐标为(m,m2-2m+1)12m2,则点N的坐标为m,12m,MN=12m-(m2-2m+1)=-m2+52m-1,SPQM=12MN(xQ-xP)=12-m2+52m-12-12=-34m-542+2764.-340)平移到顶点P恰好落在直线y=-

10、x-3上,得到抛物线C2,且抛物线C2过直线与y轴的交点A.设此时抛物线顶点的横坐标为h(h0).(1)用含h的代数式表示a.(2)如图,矩形OBCD的顶点D,B分别在x轴和y轴上,与抛物线交于E,F,G三点.若GE=2,CF=2EC=2t,连接FG得到EFG的面积为2,求抛物线C2的表达式.解:(1)设点P的坐标为(h,-h-3),抛物线C2的表达式为y=a(x-h)2-h-3.抛物线C2过直线y=-x-3与y轴的交点A(0,-3),a(0-h)2-h-3=-3,a=1h.(2)解法1:GE=2,CF=2EC=2t,EFG的面积为2,12GEFC=1222t=2,解得t=1.抛物线C2的对称

11、轴为直线x=h,可设点E的坐标为(h+1,y0),则点C的坐标为(h+2,y0),点F的坐标为(h+2,y0+2).由(1)知抛物线C2的表达式为y=a(x-h)2-h-3,将点E,F代入,得y0=a-h-3,y0+2=4a-h-3,解得a=23,h=1a=32,抛物线C2的表达式为y=23x-322-92.解法2:由(1)可知a=1h,可设抛物线的表达式为y=1h(x-h)2-h-3.抛物线C2的对称轴为直线x=h,可设点E的坐标为(h+1,y0),则点C的坐标为(h+1+t,y0),点F的坐标为(h+1+t,y0+2t),将点E,F代入,得y0=1h-h-3,y0+2t=1h(1+t)2-h-3,解得t=2h-2.GE=2,CF=2EC=2t,EFG的面积为2,12GEFC=1222t=2,解得t=1,t=2h-2=1,解得h=32,a=1h=23,抛物线C2的表达式为y=23x-322-92.