备战2023年中考数学一轮复习专项训练专题07手拉手模型综合应用(解析版).docx

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1、 专题07 手拉手模型综合应用（专项训练）1已知等边AOB和COD求证：ACBD【解答】证明：AOB和COD是等边三角形，OAOB，OCOD，AOBCOD60，AOB+BOCCOD+BOC，AOCBOD，AOCBOD（SAS），ACBD2如图，等边ABC，点D为BC延长线上一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转60得到线段AE连接CE求证：BDCE【解答】证明：ABC是等边三角形，BAC60，ABAC，由旋转的性质可得：DAE60，ADAE，BACDAE，BADCAE，在ABD 和ACE中，ABDACE（SAS），BDCE3以ABC的AB，AC为边作ABD和ACE，且ADAB，AEAC，D

2、ABCAECD与BE相交于O，连结AO，如图所示（1）求证：BECD；（2）判断AOD与AOE的大小，并说明理由（3）在EB上取点F，使EFOC，如图，请直接写出AFO与的数量关系【解答】（1）证明：DABCAE，DAB+BACBAC+CAE，DACBAE，又ADAB，ACAE，ABEADC（SAS），BEDC；（2）解：AODAOE，理由如下：过点A作AMDC于点M，ANBE于点N，ABEADC，ABEADC，又ADAB，ADMABN（AAS），AMAN，AMOD，ANOE，AODAOE；（3）解：AODAEB，AEFACO，AEAC，又EFCO，AEFACO（SAS），AFEAOC，AFA

3、O，AFOAOFAOD又DABDOB，2AFO1804如图，在ABC中，ACB90，ACBC，P是ABC内一点，且PB1，PC2，PA3，过点C作CDCP，垂足为C，令CDCP，连接DP，BD，求BPC的度数【解答】解：CDCP，PCD90，PCCD2，PCD是等腰直角三角形，PDPC2，CPDCDP45，ACB90，ACP+PCB90，又PCB+BCD90，ACPBCD，在ACP和BCD中，ACPBCD（SAS），BDPA3，PB1，PB2+PD212+（2）29，PA2329，PA2PB2+PD2，BPD90，CPD45，BPCBPD+CPD1355如图，ABC和DCE都是等边三角形（1）

4、如图1，线段BD与AE是否相等？若相等，加以证明；若不相等，请说明理由（2）如图1，若 B、C、E三点在一条直线上，AE与BD交于点O，求BOE的度数（3）如图2，若 B、C、E三点不在一条直线上，ADC30，AD4，CD3，求BD的长【解答】解：（1）BDAE，理由如下：ABC和DCE都是等边三角形BCCA，CDCE，ACBDCE，BCDACE，BCDACE（SAS），BDAE；（2）由BCDACE得，BDCAEC，BOEODE+DEOCDE+DEC60+60120，BOE的度数是120；（3）ADC30，CDE60，ADE90，CDDE3，在RtADE中，由勾股定理得，AE5，由（1）同理

5、得，BCDACE，BDAE56如图，ABC是等边三角形，D为边BC的中点，BEAB交AD的延长线于点E，点F在AE上，且AFBE，连接CF、CE求证：（1）CAFCBE；（2）CEF是等边三角形【解答】证明：（1）ABC是等边三角形，CABCBA60，D为BC的中点，CADCAB30，又BEAB，ABE90，CBE90CBA30，CAFCBE；（2）ABC是等边三角形，CACB，在CAF和CBE中，CAFCBE（SAS），CECF，ACFBCE，ECFBCE+BCFACF+BCFACB60，CEF是等边三角形7（1）如图1，ABC和AMN都是等腰直角三角形，直角顶点为点A，ABC固定不动，AM

6、N可以绕着点A旋转如图2，将AMN绕点A旋转，使点M落在BC边上，连接CN直接写出图中的全等三角形： ；直接写出线段CN，CM，CB之间满足的等量关系为： ；如图2，试探索线段MA，MB，MC之间满足的等量关系，并完整地证明你的结论；（2）如图3，P是等腰直角ABC内一点，BAC90，连接PA，PB，PC，将BAP绕点A顺时针旋转90后得到CAQ，连接PQ已知PA2，PB3，若PQC90，求PC的长【解答】解：（1）BAM+MAC90，CAN+MAC90，BAMCAN，在BAM和CAN中：，BAMCAN（SAS），BMCN，BM+CMCB，CN+CMCB，故答案为：BAMCAN，CN+CMCB

7、；MB2+MC22MA2；证明如下：同理可证BAMCAN，ACNB45，即BCN90，CN2+MC2MN2，在RMAN中，MN2MA2+AN22MA2，MB2+MC22MA2；（2）由旋转知BAPCAQ，PAQA2，PAQBAC90，CQBP3，PAQ为等腰直角三角形，PQ2PA2+QA222+228，PQC90，PC2PQ2+QC28+3217，PC8如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x轴正半轴上动点（OC1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边CBD，连接DA并延长交y轴于点E（1）求证：OBCABD（2）在点C的

8、运动过程中，CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出CAD的度数；如果变化，请说明理由（3）以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，直接写出此时点C的坐标和CD的长度【解答】（1）证明：OAB和BCD是等边三角形，OBACBD60，OBAB，BCBD，OBCABD，在OBC和ABD中，OBCABD（SAS）；（2）解：点C在运动过程中，CAD的度数不会变化，理由如下，AOB是等边三角形，BOAOAB60，OBCABD，BADBOA60，CAD180OABBAD180606060，点C在运动过程中，CAD的度数一直为60（3）解：BOCBAD60，OAB60，OAE180606060，EAC1

9、20，AEO30，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC为腰，OA1，AEO30，AOE90，ACAE2OA2，OAOA+AC1+23，点C的坐标为（3，0），过点B作BHx轴于点H，则AHOAAO，ABH30，BH，CHAH+AC+2，BC，CDBC9已知：如图1，ACB和DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE（1）求证：ADBE；（2）求AEB的度数；（3）拓展探究：如图2，ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACBDCE90，点A、D、E在同一直线上，CM为DCE中DE边上的高，连接BE请你直接写出AEB的度数为多少度？探索线段CM、AE、BE之间存在怎样的

10、数量关系，并说明理由【解答】（1）证明：ACB和DCE均为等边三角形，CACB，CDCE，ACBDCE60，ACBDCBDCEDCB，ACDBCE在ACD和BCE中，ACDBCE（SAS），ADBE；（2）解：ACDBCE，ADCBEC，DCE为等边三角形，CDECED60，点A、D、E在同一直线上，ADC120，BEC120，AEBBECCED60；（3）解：ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACBC，CDCE，ACBDCE90，CDECED45，ACBDCBDCEDCB，即ACDBCE，在ACD和BCE中，ACDBCE（SAS），BEAD，BECADC，点A，D，E在同一直线上，ADC18

11、045135，BEC135，AEBBECCED1354590；AEBE+2CM理由：如图2，DCE90，CDCE，CMDE，CMDMEM，DEDM+EM2CM，ACDBCE（已证），BEAD，AEAD+DEBE+2CM10如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H（1）求证：EBGD；（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；（3）若AB3，AG，求EB的长【解答】（1）证明：四边形EFGA和四边形ABCD是正方形，AGAE，ABAD，EAGDAB90，GAD90+EAD，EAB90+EAD，GADEAB，在GAD和E

12、AB中，GADEAB（SAS），EBGD；（2）解：BEGD，理由如下：如图，设DG与AE的交点为P，GADEAB，AEBAGD，EPHAPG，EHGEAG90，EBGD；（2）解：如图2，连接BD，BD与AC交于点O，四边形ABCD是正方形，AB3，DBAB3，DOBO，AG，GOAO+AG，DG，BEDG11.点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和BCFG，连接AF、BD（1）如图，AF与BD的数量关系和位置关系分别为 ， ；（2）将正方形BCFG绕着点C顺时针旋转角（0360），如图，第（1）问的结论是否仍然成立？请说明理由；若AC4，BC，当正方形

13、BCFG绕着点C顺时针旋转到点A、B、F三点共线时，求DB的长度【解答】解：（1）AF与BD的数量关系和位置关系分别为AFBD，AFBD，理由如下：延长AF交BD于H，如图所示：四边形ACDE和四边形BCFG是正方形，ACCD，CFCB，ACFDCB90，CAF+AFC90，在ACF和DCB中，ACFDCB（SAS），AFBD，CAFCDB，DFHAFC，CDB+DFHCAF+AFC90，DHF90，AFBD；故答案为：AFBD，AFBD；（2）第（1）问的结论仍然成立，理由如下：设AF交CD于点M，如图所示：四边形ACDE和四边形BCFG是正方形，ACCD，CFCB，ACDFCB90，CAF

14、+AMC90，ACD+DCFFCB+DCF，即ACFBCD，在ACF和DCB中，ACFDCB（SAS），AFBD，CAFCDB，DMHAMC，CDB+DMHCAF+AMC90，DHM90，AFBD；分两种情况：a、如图所示：连接CG交BF于O，四边形BCFG是正方形，CBBG，BFCG，BGF90，OBOFOCOG，BFCGBC2，OBOFOCBF1，AO，AFAO+OF+1，由（2）得：AFDB，DB+1；b、如图所示：连接CG交BF于O，同上得：OBOFOCBF1，AO，AFAOOF1，由（2）得：AFDB，DB1；综上所述，当正方形BCFG绕着点C顺时针旋转到点A、B、F三点共线时，DB的长度为+1或1