2022年中考数学总复习考点知识梳理1.2代数式与整式.docx

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1、1.2代数式与整式借助现实情境了解代数式,能分析简单问题中的数量关系,并用代数式表示,且会求代数式的值.了解整数指数幂的意义和基本性质.理解整式的概念,掌握合并同类项和去括号的法则,能进行简单的整式加法和减法运算;能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘).能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数).本节考点的考查多以选择题、填空题为主,试题难度为易.整式的化简求值和在合情推理中用代数式(或等式)表示数量关系(与数和式有关的规律题),多以解答题的形式进行考查,但难度不大.命题点1 代数式及其求值10年3考1.(2014安徽第

2、7题)已知x22x3=0,则2x24x的值为( B )A.6B.6C.2或6D.2或30【解析】代数式2x24x是已知条件中x22x的2倍,把x22x看作一个整体.x22x3=0,x22x=3,2x24x=2(x22x)=23=6.2.(2012安徽第5题)某企业今年3月份产值为a万元,4月份比3月份减少了10%,5月份比4月份增加了15%,则5月份的产值是( B )A.(a10%)(a+15%)万元B.a(110%)(1+15%)万元C.(a10%+15%)万元D.a(110%+15%)万元【解析】根据4月份比3月份减少10%,可得4月份产值是(110%)a万元,5月份比4月份增加15%,可

3、得5月份产值是a(110%)(1+15%)万元.命题点2 整式的运算必考3.(2018安徽第3题)下列运算正确的是( D )A.(a2)3=a5B.a4a2=a8C.a6a3=a2D.(ab)3=a3b3【解析】根据幂的乘方的运算性质可知(a2)3=a6,故A项错误;根据同底数幂的乘法的运算性质可知a4a2=a6,故B项错误;根据同底数幂的除法的运算性质可知a6a3=a3,故C项错误;根据积的乘方的运算性质可知(ab)3=a3b3,故D项正确.4.(2013安徽第4题)下列运算正确的是( B )A.2x+3y=5xyB.5m2m3=5m5C.(ab)2=a2b2D.m2m3=m6【解析】2x和

4、3y不是同类项,不能合并,故A项错误;单项式乘单项式,系数相乘作为系数,字母及其指数按同底数幂相乘法则进行运算,则5m2m3=5m5,故B项正确;平方差公式(ab)2=a22ab+b2,故C项错误;同底数幂相乘,底数不变,指数相加,则m2m3=m5,故D项错误.5.(2015安徽第14题)已知实数a,b,c满足a+b=ab=c,有下列结论:若c0,则1a+1b=1;若a=3,则b+c=9;若a=b=c,则abc=0;若a,b,c中只有两个数相等,则a+b+c=8.其中正确的是.(把所有正确结论的序号都选上)【解析】在a+b=ab的两边同时除以ab(ab=c0)即可得1a+1b=1,故正确.把a

5、=3代入得3+b=3b=c,可得b=32,c=92,所以b+c=6,故错误.把 a=b=c代入得2c=c2=c,所以可得c=0,故正确.当a=b且ac时,由a+b=ab可得a=b=2,再代入可得c=4,所以a+b+c=8;当a=c且ab时,由c=a+b可得b=0,再代入可得a=b=c=0,这与a,b,c中只有两个数相等相矛盾,故a=c这种情况不存在;当b=c且ba时,情况同a=c,故b=c这种情况也不存在,故正确.综上所述,本题正确的是.6.(2012安徽第15题)计算:(a+3)(a1)+a(a2).解:原式=a2a+3a3+a22a=2a23.命题点3 幂的运算性质10年7考7.(2021

6、安徽第3题)计算x2(x)3的结果是( D )A.x6B.x6C.x5D.x58.(2020安徽第2题)计算(a)6a3的结果是( C )A.a3B.a2C.a3D.a29.(2019安徽第2题)计算a3(a)的结果是( D )A.a2B.a2C.a4D.a410.(2017安徽第2题)计算(a3)2的结果是( A )A.a6B.a6C.a5D.a5命题点4 因式分解10年7考11.(2018安徽第5题)下列因式分解正确的是( C )A.x2+4x=x(x+4)B.x2+xy+x=x(x+y)C.x(xy)+y(yx)=(xy)2D.x24x+4=(x+2)(x2)【解析】x2+4x=x(x4

7、),故A项错误;x2+xy+x=x(x+y+1),故B项错误;x24x+4=(x2)2,故D项错误;x(xy)+y(yx)=x(xy)y(xy)=(xy)2,故C项正确.12.(2014安徽第4题)下列四个多项式中,能因式分解的是( B )A.a2+1B.a26a+9C.x2+5yD.x25y13.(2020安徽第12题)因式分解:ab2a=a(b+1)(b1).【解析】ab2a=a(b21)=a(b+1)(b1).改编题因式分解:xy2+x2xy=x(y1)2.【解析】原式=x(y22y+1)=x(y1)2.命题点5 数式规律探究10年5考14.(2015安徽第13题)按一定规律排列的一列数

8、:21,22,23,25,28,213,.若x,y,z表示这列数中的连续三个数,猜测x,y,z满足的关系式是xy=z(只要关系式对前六项是成立的即可).【解析】观察数列可发现2122=23,2223=25,2325=28,所以这一列数据所揭示的规律是前两个数的积等于第三个数.根据规律,若x,y,z表示这列数中的连续三个数,则x,y,z满足的关系式是xy=z.(答案不唯一)15.(2020安徽第17题)观察以下等式:第1个等式:131+21=211;第2个等式:341+22=212;第3个等式:551+23=213;第4个等式:761+24=214;第5个等式:971+25=215;按照以上规律

9、,解决下列问题:(1)写出第6个等式:1181+26=2-16;(2)写出你猜想的第n个等式:2n-1n+21+2n=2-1n(用含n的等式表示),并证明.解:(2)证明:因为左边=2n-1n+21+2n=2n-1n+2n+2n=2n-1n=2-1n=右边,所以等式成立.16.(2019安徽第18题)观察以下等式:第1个等式:21=11+11;第2个等式:23=12+16;第3个等式:25=13+115;第4个等式:27=14+128;第5个等式:29=15+145;按照以上规律,解决下列问题:(1)写出第6个等式:211=16+166;(2)写出你猜想的第n个等式:22n-1=1n+1(2n

10、-1)n(用含n的等式表示),并证明.解:(2)证明:右边=1n+1(2n-1)n=2n-1(2n-1)n+1(2n-1)n=2n(2n-1)n=22n-1=左边,所以猜想正确.教材知识网络(学用见P67)考点1根据实际问题列代数式典例1(2021浙江温州)某地居民生活用水收费标准:每月用水量不超过17立方米,每立方米a元;超过部分每立方米(a+1.2)元.该地区某用户上月用水量为20立方米,则应缴水费为()A.20a元B.(20a+24)元C.(17a+3.6)元D.(20a+3.6)元【解析】应缴水费包括两部分:一部分是17立方米的水费,另一部分是超过17立方米的水费.应缴水费是17a+(

11、2017)(a+1.2)=(20a+3.6)元.【答案】 D提分1(2021浙江金华)某超市出售一商品,有如下四种在原标价基础上调价的方案,其中调价后售价最低的是( B )A.先打九五折,再打九五折B.先提价50%,再打六折C.先提价30%,再降价30%D.先提价25%,再降价25%【解析】设商品原标价为a,然后分别计算每种调价方案后的售价,进行比较求解.设商品原标价为a元,A项的售价为0.950.95a=0.9025a;B项的售价为(1+50%)0.6a=0.9a;C项的售价为(1+30%)(130%)a=0.91a;D项的售价为(1+25%)(125%)a=0.9375a.0.9a0.90

12、25a0.91a0.9375a,B项的调价方案调价后售价最低.考点2整式的运算(化简)及求代数式的值典例2若2a3b=1,则代数式4a26ab+3b的值为()A.1B.1C.2D.3【解析】将代数式4a26ab+3b变形后,整体代入可得结论.4a26ab+3b=2a(2a3b)+3b=2a+3b=(2a3b)=1.【答案】 B整体代入思想,即先通过已知定值关系式与所求代数式的对比,找出两个式子间共同的部分,作为切入点,然后将已知定值关系式整体代入计算求值即可.(提示:有的定值关系式需通过已知等式进行转化)典例3(2021浙江金华)已知x=16,求(3x1)2+(1+3x)(13x)的值.【解析

13、】先根据乘法运算公式化简原式,得出最简结果,然后将x的值代入求值.【答案】(3x1)2+(1+3x)(13x)=9x26x+1+19x2=6x+2.当x=16时,原式=-616+2=1+2=1.利用整式的运算法则和运算公式对式子进行化简,再把字母的取值代入化简后的式子,可以使运算更加简便;同时还应注意,最后将数字替代字母化简求值的时候,需将在代数式中省略的乘号、除号显现出来.考点3幂的运算法则与乘法公式典例4(2021四川眉山)下列计算中,正确的是()A.a5a3=a15B.a5a3=aC.(-a2b3)4=a8b12D.(a+b)2=a2+b2【解析】根据同底数幂的乘法运算法则、同底数幂的除

14、法运算法则、积的乘方运算法则及完全平方公式逐一进行运算,得出正确结论.a5a3=a8,故A项错误;a5a3=a2,故B项错误;(a2b3)4=a8b12,故C项正确;(a+b)2=a2+2ab+b2,故D项错误.【答案】 C提分2下列运算结果是a5的是( D )A.a10a2B.(a2)3C.(a)5D.a3a2提分3如图1,是一个长为4a、宽为b的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形,然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图2).(1)观察图2,请你写出(a+b)2,(ab)2,ab之间的等量关系是(a+b)2(ab)2=4ab;根据(1)中的结论,解决下列问题:(2)若xy=

15、5,xy=6,则x+y=7;(3)设A=x-2y-34,B=x+2y3,求(AB)2(A+B)2的结果.解:(3)(AB)2(A+B)2=(A+B)2(AB)2=4AB,原式=4x-2y-34(x+2y3)=(x32y)(x3+2y)=(x3)2(2y)2=(x26x+94y2)=x2+6x9+4y2.考点4因式分解典例5(2021陕西)因式分解x3+6x2+9x=.【解析】先提取公因式,再利用完全平方公式分解.原式=x(x2+6x+9)=x(x+3)2.【答案】 x(x+3)2用提公因式法因式分解时,如果多项式的某项就是公因式,那么提公因式后该项为“1”而不是“0”.提分4(2020湖南益阳

16、)下列因式分解正确的是( C )A.a(ab)b(ab)=(ab)(a+b)B.a29b2=(a3b)2C.a2+4ab+4b2=(a+2b)2D.a2ab+a=a(ab)【解析】A项,a(ab)b(ab)=(ab)2,故此选项错误;B项,a29b2=(a3b)(a+3b),故此选项错误;C项,a2+4ab+4b2=(a+2b)2,故此选项正确;D项,a2ab+a=a(ab+1),故此选项错误.考点5与整式有关的规律探究问题典例6观察以下等式:第1个等式:2(121+1)1=13;第2个等式:3(222+1)1=23;第3个等式:4(323+1)1=33;第4个等式:5(424+1)1=43;

17、第5个等式:6(525+1)1=53;按照以上规律,解决下列问题:(1)写出第6个等式:;(2)写出你猜想的第n个等式:(用含n的等式表示),并证明.【答案】(1)7(626+1)1=63.(2)(n+1)(n2n+1)1=n3.证明:左边=(n+1)(n2n+1)1=n3n2+n+n2n+11=n3=右边,等式成立.解答此类问题时,应观察给出的几个等式,先找出等式内在的规律,再根据规律大胆猜想,并利用整式的运算性质验证猜想的正确性,得出一般性结论,最后利用一般性结论解决问题.杨辉三角链接教材:HK版教材七年级下册P82第8章数学史话1.我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列,如南宋数学家

18、杨辉所著的详解九章算术一书中,用下图的三角形解释二项式乘方(a+b)n展开式的系数情况,此三角形称为“杨辉三角”.(a+b)0(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5根据“杨辉三角”完成下列问题:(1)写出(a+b)6的展开式中最大的系数;(2)写出(a+b)n(n2)展开式中第三项的系数.(用含n的式子表示)【答案】(1)(a+b)6的展开式的系数分别为1,6,15,20,15,6,1,因此,最大的系数为20.(2)观察“杨辉三角”可得(a+b)n(n2)展开式中第三项的系数分别为1,3,6,10,15,即(a+b)n(n2)的展开式中第三项的系数为1+2+3+n1=n(

19、n-1)2.2.我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列,如南宋数学家杨辉所著的详解九章算术一书中,用下图的三角形解释二项式乘方(a+b)n的展开式的各项系数,此三角形称为“杨辉三角”.若“杨辉三角”中第n行的各数之和比上一行各数之和大64,则n的值为( B )11112113311464115101051A.7B.8C.9D.10【解析】由题意,第1行的各数之和为1=20;第2行的各数之和为2=21;第3行的各数之和为4=22;第4行的各数之和为8=23;第5行的各数之和为16=24可得第n行的各数之和为2n1,其上一行各数之和为2n2,由题意得2n12n2=64,即2n2=26,解得n=8.