2022年中考数学总复习热点专题突破专题七函数应用.docx

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1、专题七函数应用初中阶段学习的函数只有三种:一次函数、二次函数和反比例函数(包括由这三种函数组合的分段函数).所谓函数应用,指的是建立这些函数模型解决实际问题.其实应用函数解决实际问题在本书前面已有涉及,这里再设专版复习,其目的是从建立三种函数模型的角度再做强化.这类问题是安徽中考的必考题,经常一年多考,如2018年第10题、第22题,2019年第14题、第22题,2020年第10题、第13题、第22题,2021年第6题、第19题、第22题等.值得一提的是一次函数和反比例函数的应用变化较少,而二次函数应用的变化相对灵活,近十年来,考查二次函数的题型多达5个种类,都应研究到位.目录类型1函数图象分

2、析与判断(10年1考)类型2一次方程(不等式)与一次函数(10年2考)类型3几何图形与反比例函数(10年2考)类型4反比例函数图象与一次(二次)函数图象结合(10年9考)类型5最大利润与二次函数(10年3考)类型6图形面积与二次函数(10年3考)类型7抛物线型与二次函数(10年1考)类型8无图象类的二次函数(10年3考)典例精析类型1函数图象分析与判断典例1如图,在ABC中,AC=BC=5 cm,AB=8 cm,直线l经过点A,且与AB垂直.直线l从点A出发,以1 cm/s的速度向右运动,运动过程中与AB交于点M,与AC或CB交于点N,直到经过点B方才停止运动.若MN的长为y cm,直线l的运

3、动时间为x s,则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是()【解析】过点C作CDAB,交AB于点D.AC=BC,AD=BD=4,由勾股定理得CD=3.分两种情况:当0x4时,如图1,由MNCD易证AMNADC,AMAD=MNCD,即x4=y3,y=34x,函数图象是一条线段,且y随x的增大而增大;当4x8时,如图2,由MNCD易证BMNBDC,BMBD=MNCD,即8-x4=y3,y=-34x+6,函数图象是一条线段,且y随x的增大而减小.综上所述,A项正确.【答案】 A类型2一次方程(不等式)与一次函数典例2(2012安徽第21题)甲、乙两家商场进行促销活动.甲商场采用“满200减100”的

4、促销方式,即购买商品的总金额满200元但不足400元,少付100元;满400元但不足600元,少付200元;乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销.(1)若顾客在甲商场购买了510元的商品,付款时应付多少钱?(2)若顾客在甲商场购买商品的总金额为x(400x600)元,优惠后得到商家的优惠率为pp=优惠金额购买商品的总金额,写出p与x之间的函数关系式,并说明p随x的变化情况;(3)品牌、质量、规格等都相同的某种商品,在甲、乙两商场的标价都是x(200x400)元,你认为选择哪家商场购买该商品花钱较少?请说明理由.【解析】(1)顾客在甲商场消费510元,因为400510600,所以可以少付200

5、元,付款时应付310元;(2)结合题意得到p=200x,利用反比例函数性质可知,当400x600时,p随x的变化情况;(3)分别计算出顾客消费x(200x400)元时,甲、乙商场的优惠金额,进行比较即可.【答案】(1)顾客在甲商场应付款510200=310(元).(2)由题意知,优惠率p=200x,当400x600时,p随x的增大而减小.(3)购买x(200x400)元的商品在甲商场的优惠金额是100元,在乙商场的优惠金额是x0.6x=0.4x,当0.4x100,即200x100,即250x400时,选乙商场花钱较少.命题拓展考向在二次函数中分类讨论本题第(3)题这种类型在安徽中考中已经有几年

6、没出现了,但这种形式完全可以与二次函数相结合.例如:1.农民王大伯销售一种进价为20元/箱的蔬菜,设年销量为x箱.若直接销售,销售价y(元/箱)与x的函数关系式为y=1100x+150,且无论销售多少,每年还需上缴各种管理费共62500元,年利润为w1元(年利润=年销售额成本管理费).若做净菜处理后再销售,成本(含进价)为a元/箱(a为常数,30a40),销售价为150元/箱,每年不用缴管理费,但需缴纳1100x2元的附加费,年利润为w2元(年利润=年销售额成本附加费).(1)分别求出w1,w2与x之间的函数关系式;(不必写x的取值范围)(2)如果明年要将5000箱产品全部销售完,请你帮王大伯

7、分析应采用哪种形式销售,才能使获得的年利润较多?【答案】(1)w1=x(y20)62500=1100x2+130x-62500,w2=-1100x2+(150a)x.(2)当x=5000时,w1=337500,w2=5000a+500000,当w1w2时,则aw2时,则a32.5.所以当30a32.5时,应选择做净菜处理后再销售,所获得的年利润较多;当a=32.5时,直接销售和做净菜处理后再销售所获得的年利润一样;当32.50,x0)的图象上有A,B两点,它们的横坐标分别为2和4,ABO的面积为6,则k的值为()A.4B.8C.10D.12【解析】过点A,B分别作x轴的垂线,垂足为M,N.由题

8、可知点A的坐标为2,k2,点B的坐标为4,k4,SAOM=12OMAM=12k.同理,SBON=12ONBN=12k.SABO=6,6+SBON=SAOM+S四边形AMNB,S四边形AMNB=6,即12k2+k4(42)=6,解得k=8.【答案】 B类型4反比例函数图象与一次(二次)函数图象结合典例4(2016安徽第20题)如图,一次函数y=kx+b的图象分别与反比例函数y=ax的图象在第一象限交于点A(4,3),与y轴的负半轴交于点B,且OA=OB.(1)求函数y=kx+b和y=ax的表达式;(2)已知点C(0,5),试在该一次函数图象上确定一点M,使得MB=MC.求此时点M的坐标.【解析】

9、(1)利用待定系数法即可解答;(2)分析可知点M在线段BC的中垂线上,即在x轴上,又由题知点M在一次函数的图象上,即可求解.【答案】(1)将点A(4,3)代入y=ax,解得a=12.由勾股定理,得OA=43+32=5.由于OA=OB且点B在y轴的负半轴上,所以点B的坐标为(0,5),将点A(4,3),B(0,5)代入y=kx+b,得3=4k+b,-5=b,解得k=2,b=-5,则所求函数表达式分别为y=2x5和y=12x.(2)因为MB=MC,所以点M在线段BC的中垂线上,即x轴上.又因为点M在一次函数的图象上,所以M为一次函数图象与x轴的交点.令2x5=0,解得x=52,所以此时点M的坐标为

10、52,0.命题拓展考向反比例函数图象与二次函数图象结合反比例函数图象不仅可以与一次函数图象相结合,还可以与二次函数图象乃至与另一个反比例函数图象相结合.类型5最大利润与二次函数典例5(2017安徽第22题)某超市销售一种商品,成本为每千克40元,规定每千克售价不低于成本,且不高于80元.经市场调查,每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表:售价x/(元千克1)506070销售量y/千克1008060(1)求y与x之间的函数表达式;(2)设商品每天的总利润为W(元),求W与x之间的函数表达式(利润=收入成本);(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情

11、况,并指出每千克售价为多少元时获得最大利润,最大利润是多少?【解析】(1)利用待定系数法,即可求得y与x之间的函数表达式;(2)根据总利润=每件利润件数,即可写出W与x之间的函数表达式;(3)根据(2)中的函数表达式,将其化为顶点式,结合40x80,即可求解.【答案】(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b.将点(50,100)和(60,80)代入,得50k+b=100,60k+b=80,解得k=-2,b=200,即y与x之间的函数表达式是y=2x+200.(2)由题意可得W=(x40)(2x+200)=2x2+280x8000,即W与x之间的函数表达式是W=2x2+280x8000.(3

12、)W=2x2+280x8000=2(x70)2+1800,由题意得40x80,当40x70时,W随x的增大而增大,当70x80时,W随x的增大而减小,当x=70时,W取得最大值,此时W=1800.答:当40x70时,W随x的增大而增大,当70x80时,W随x的增大而减小.每千克售价为70元时获得最大利润,最大利润是1800元.最大利润与二次函数这类问题变式较多,近十年安徽中考数学考查的也较多,它的规律是:从实际意义考虑,总利润=销售量单位销售利润;从算式考虑,总利润=两个代数式的乘积(得到二次项).对应这两个关系得出二次函数模型,从而用二次函数知识解答.命题拓展考向一次函数中的最值问题其实应用

13、一次函数的增减性也能求解实际问题中的最大值或最小值问题,注意两者的区别.例如:2.某农户销售自家的山货,为了让利于民,夫妻二人都采取了优惠方案.丈夫的优惠方案是所有山货“打八五折”销售,即付款额等于标价的85%,妻子的优惠方案是购物价格大于或等于100元,且小于200元时,减20元;购物价格大于或等于200元,且小于300元时,减40元,以此类推.(1)某顾客在丈夫处购买金额为x元的山货,他付款为w元,试求出w与x之间的函数关系式,并说明w随x的变化情况.(2)某顾客购买总金额(优惠前)为240元的山货,他选择何处购买付款更少?(3)某顾客购买山货金额(优惠前)为x(100x200)元,你认为

14、选择何处购买付款较少?请说明理由.【答案】(1)由题可得w=0.85x,w随着x的增大而增大.(2)该顾客购买总金额为240元的山货,若在丈夫处购买需要付款为w=0.85240=204(元);若在妻子处购买需要付款为24040=200(元),所以选择在妻子处购买付款更少.(3)若购买山货金额为x(100x200)元,则在丈夫处购买需花0.85x元,在妻子处购买需花(x20)元.由x200.85x,得100x0.85x,得4003x200,在丈夫处购买花钱较少;由x20=0.85x,得x=4003,两处花钱一样多.类型6图形面积与二次函数典例6已知二次函数y=ax24x+c(a0)的图象经过点(

15、2,6)和(3,24).(1)求这个二次函数的表达式.(2)若该二次函数的图象与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点D.试确定直线AD的函数表达式;若P是落在第二象限内抛物线上的一个动点,连接PA,PD,求PAD的面积S的最大值.【答案】(1)由二次函数y=ax24x+c的图象经过点(2,6)和(3,24),得4a+8+c=6,9a-12+c=-24,解得a=-2,c=6,这个二次函数的表达式为y=2x24x+6.(2)当y=0,即2x24x+6=0时,解得x=3或x=1.点A在点B的左侧,点A的坐标为(3,0),点B的坐标为(1,0),当x=0时,y=6,点D的坐标为(0,6)

16、.设直线AD的函数表达式为y=kx+b.把点A,D的坐标代入,得b=6,-3k+b=0,解得k=2,b=6,直线AD的函数表达式是y=2x+6.(3)设点P的坐标为(m,2m24m+6)(3m2.1,足球能越过人墙.当x=18时y=148(1812)2+3=2.252.1;由足球能直接射进球门,得036a+h2.1,解得h2.24;把代入得036-h144+h2.43,解得0h3.24.h的取值范围是2.24h3.24.(1)这种类型考查二次函数的应用,主要是求范围的问题,可以利用临界点法求出自变量的值,再根据题意确定范围.(2)此类试题变化较少,已经有9年没有在安徽中考中出现了,但我们也要适

17、当关注.类型8无图象类的二次函数典例8二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C,且抛物线的对称轴为直线x=1.(1)求二次函数的表达式;(2)P为抛物线在第一象限上一点,D为线段OC上一点(不与点O,C重合),过点P作PQx轴,垂足为Q.当四边形PDQB的面积最大时,求点P的坐标.【答案】(1)抛物线的对称轴为直线x=1,b2a=1,b=2a.二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交于点A(1,0),ab+3=0,b=-2a,a-b+3=0,解得a=-1,b=2,二次函数的表达式为y=x2+2x+3.(2)如图,过点D作DHPQ,垂足为H.设点P的坐标

18、为(k,k2+2k+3)(0k3).由(1)可得点B的坐标为(3,0),DH+BQ=OB=3.由图可知S四边形PDQB=SPDQ+SPBQ=12PQDH+12PQBQ=12PQ(DH+BQ)=32PQ=32(-k2+2k+3)=-32(k1)2+6(0k0时,y=kx+k过第一、二、四象限,y=kx过第一、三象限;当k0,x0)相交于点D,且OBOD=53,则k的值为12.【解析】设点D的坐标是(3m,3n),则点B的坐标是(5m,5n).矩形OABC的面积为1003,5m5n=1003,mn=43.把点D的坐标代入双曲线,得3n=k3m,k=9mn=943=12.5.某商场购进一批单价为20

19、元的日用商品,如果以单价30元销售,那么半个月内可销售400件,根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件,则当销售单价是35元时,才能在半个月内获得最大利润.【解析】设销售单价为x元,则半个月内获得利润w=40020(x30)(x20)=20x2+1400x20000,即w=20(x35)2+4500.故当x=35时,w最大.6.某商户在网上投资销售A,B两种商品,已知销售A种商品可获得的利润y1(万元)是该商品投资额的40%,销售B种商品可获得的利润y2(万元)与该商品投资额x(万元)满足一次函数关系,部分数据如下表:投资x/万元12345获利

20、y2/万元0.50.70.91.11.3(1)分别求销售A,B两种商品获利y1(万元),y2(万元)与该商品的投资额x(万元)之间的函数关系式;(2)若只选择一种商品投资销售,则销售哪种商品获利更高?解:(1)根据题意,得y1=0.4x.因为y2与x满足一次函数关系,所以设y2=kx+b.把x=1,y=0.5;x=2,y=0.7分别代入y2=kx+b中,得k=0.2,b=0.3,所以y2=0.2x+0.3.(2)令y1y2,得x1.5;令y1=y2,得x=1.5;令y1y2,得x1.5.故当投资额小于1.5万元时,销售B种商品获利更高;当投资额等于1.5万元时,销售两种商品获利一样高;当投资额

21、大于1.5万元时,销售A种商品获利更高.7.如图,现有一块钢板余料ABCED,它是矩形缺了一角.已知A=B=D=90,AB=6 dm,AD=10 dm,BC=4 dm,ED=2 dm.王师傅准备从这块余料中裁出一个矩形AFPQ(P为线段CE上一个动点).设AF=x dm,矩形AFPQ的面积为y dm2.(1)求y与x之间的函数关系式,并注明x的取值范围.(2)x为何值时,y取最大值?最大值是多少?解:(1)分别延长DE,FP,与BC的延长线相交于点G,H.AF=x,CH=x4.设AQ=z,则PH=BQ=6z.PHEG,CHCG=PHGE,即x-46=6-z4,化简得z=26-2x3,y=26-

22、2x3x=-23x2+263x(4x10).(2)y=23x2+263x=-23x-1322+1696(4x10),当x为132时,y取最大值,且最大值是1696.8.(2021四川广安节选)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A,B,C三点,其中A点坐标为(3,0),B点坐标为(1,0),连接AC,BC.动点P从点A出发,在线段AC上以每秒2个单位长度向点C做匀速运动;同时,动点Q从点B出发,在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,连接PQ,设运动时间为t秒.(1)求b,c的值.(2)在点P,Q运动的过程中,

23、当t为何值时,四边形BCPQ的面积最小,最小值为多少?解:(1)抛物线y=x2+bx+c经过点A(3,0),B(1,0),0=-9+3b+c,0=-1-b+c,解得b=2,c=3.(2)由(1)得抛物线的表达式为y=x2+2x+3,点C的坐标为(0,3),OAC是等腰直角三角形,在RtAOC中,AC=OA2+OC2=32.由题知AP=2t.过点P作PEx轴,垂足为E,则AE=PE=2t2=t,即点E的坐标为(3t,0),点Q的坐标为(1+t,0),S四边形BCPQ=SABCSAPQ=1243-123-(-1+t)t=12t2-2t+6=12(t2)2+4.结合题意知0t3,当t=2时,四边形B

24、CPQ的面积最小,且最小值为4.9.在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(4,0)两点,对称轴为直线x=b.(1)求a,b,c的值;(2)若抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C,P为线段BC上的动点,设点P的横坐标为m,过点P分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为D,E,DP的延长线与抛物线y=ax2+bx+c交于点F,记W=PD+PE+PF.求W关于m的函数表达式,并求W的最大值.解:(1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(4,0)两点,对称轴为x=32,即b=32.把点A(1,0),B(4,0),b=32代入y=ax2+bx+c,得a

25、-32+c=0,16a+432+c=0,解得a=-12,c=2.(2)由题意得抛物线的表达式为y=12x2+32x+2,直线BC的函数表达式为y=-12x+2.点P在线段BC上,0m4,点P的坐标为m,-12m+2,点F的坐标为m,-12m2+32m+2,PD=-12m+2,PE=m,PD+PF=-12m2+32m+2,W=m+-12m2+32m+2=-12m2+52m+2,W关于m的函数表达式为W=12m2+52m+2=-12m-522+418(0m4),当m=52时,W取得最大值,且最大值为418.10.(2020合肥四十五中一模)合肥市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下,大力开展科技扶

26、贫工作,帮助农民组建农副产品销售公司.某农副产品的年产量不超过100万件,该产品的生产费用y(万元)与年产量x(万件)之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分(如图1所示);该产品的销售价z(元/件)与年销售量x(万件)之间的函数图象是如图2所示的一条线段,生产出的产品都能在当年销售完,达到产销平衡,所获毛利润为W万元.(毛利润=销售额生产费用)(1)请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式.(写出自变量x的取值范围)(2)求W与x之间的函数关系式(写出自变量x的取值范围);并求当年产多少万件时,所获毛利润最大?(3)由于受资金的影响,今年投入生产的费用不会超过360万元,今年最多可获得多

27、少万元的毛利润?解:(1)y与x之间的函数关系式为y=110x2(0x100);z与x之间的函数关系式为z=-110x+30(0x100).(2)W=zxy=15(x75)2+1125(0x100).150)上.(1)若m=3,n=15,求该抛物线的对称轴.(2)已知点(1,y1),(2,y2),(4,y3)在该抛物线上.若mn0),得a+b=3,9a+3b=15,解得a=1,b=2,抛物线表达式为y=x2+2x,抛物线的对称轴为直线x=1.(2)y2y10)始终过定点(0,0).mn0,n0时,抛物线开口向下,即a0矛盾;当m0时,此时抛物线与x轴有两个交点,x1=0,1x23,抛物线的对称

28、轴的范围为12x32.点(1,y1),(2,y2),(4,y3)在该抛物线上,它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为32x-(-1)52,122-x32,524-x0,开口向上,由抛物线的性质可知离对称轴越近函数值越小,y2y1y3.12.某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图所示,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立平面直角坐标系.(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式.(2)王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高

29、1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内?(3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度.解:(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=a(x3)2+5(a0).将点(8,0)代入,得25a+5=0,解得a=15,水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=15(x3)2+5(0x8).(2)当y=1.8时,解得x1=1(舍去),x2=7,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内.(3)当x=0时,y=15(x-3)2+5=165.设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=15x2+bx+165.把点(16,0)代入,得b=3,改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=15x2+3x+165=-15x-1522+28920,当x=152时,y有最大值为28920.答:扩建改造后喷水池水柱的最大高度为28920米.