2022年数学(百色专用)一轮复习教学案-教材知识特训4全等三角形的常见模型.docx

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1、教材知识特训四全等三角形的常见模型平移模型模型点拨：把ABC沿着某一条直线平行移动，称所得到DEF与ABC为平移型全等三角形图1、图2是常见的平移型全等三角形平移模型中，根据“两直线平行，同位角或内错角相等”，可得到两个三角形的两组对应角相等；反之，若两个三角形全等，可得对应角相等，从而得到两直线平行【例1】如图，将ABC沿直线AB向右平移后到达BDE的位置若CAB50，BDE100，则CBE的度数为_30_【解析】由平移性质知ABCBDE，则EBDCAB50，BDEABC100，根据CBE180ABCEBD可得答案翻折(轴对称)模型模型点拨：将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完

2、全重合，称其中全等的两个三角形为翻折型全等三角形此类图形中要注意其隐含条件即公共边或公共角相等翻折(轴对称)模型的图形，可以看成一个轴对称图形，对应角相等，对应边相等，对应图形全等【例2】如图，已知ABCDCB，添加下列条件中的一个：AD；ACDB；ABDC.其中不能确定ABCDCB的是_(只填序号).【解析】已知ABCDCB，且BCCB(公共边).若添加AD，则可利用“AAS”判定ABCDCB；若添加ACDB，则属于边边角的顺序，不能判定ABCDCB；若添加ABDC，则可利用“SAS”判定ABCDCB.旋转模型模型点拨：将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三

3、角形为旋转型全等三角形识别旋转型三角形时，如图1涉及对顶角相等；如图2涉及等角加(减)公共角的条件或结论在旋转图形中，若某顶点是旋转中心，则在这个顶点处根据“等量加(减)等量，和(差)相等”，可得出两个新的角相等【例3】如图，在ABC中，ACB90，ACBC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，PCQ90，则PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是_PB2PA22PC2_【解析】连接BQ.ACB90，ACBC，CABCBA45.PCQ是等腰直角三角形，PCCQ，PCQ90ACB，PQ22PC2.利用“SAS”可证ACPBCQ，可得CAPCBQ45，可得ABQ90，由勾股定

4、理可得PB2BQ2PQ2，即可得出结论【例4】如图，ABC，CDE均为等边三角形，连接BD，AE.求证：AEBD.【解析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用“边角边”证明BCD和ACE全等，可得AEBD.【解答】证明：ABC和ECD都是等边三角形，ACBC，CDCE，ACBDCE60.ACBBCEDCEBCE，即ACEBCD.在ACE和BCD中，ACEBCD(SAS).AEBD.三垂直模型模型点拨：此类图形通常给出BDAE(DE)，ABAC，CEAE(AC)，那么一定有BCAE(CDE)，常用到同(等)角的余角相等在三垂直模型的图形中，两个三角形的对应角相等，只需找出一组对应边相等，就

5、可得这两个三角形全等【例5】如图，ABAC，直线l过点A，BM直线l，CN直线l，垂足分别为M，N，且BMAN.(1)求证：AMBCNA；(2)求证：BAC90.【解析】(1)由“HL”证明AMBCNA即可；(2)先由全等三角形的性质得BAMACN，再由CANACN90，得CANBAM90，即可得出结论【解答】证明：(1)BM直线l，CN直线l，AMBCNA90.ABAC，BMAN，RtAMBRtCNA(HL)；(2)RtAMBRtCNA，BAMACN.CANACN90，CANBAM90.BAC1809090.半角模型模型点拨：过等腰三角形顶点作两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半

6、，这样的模型称为半角模型常见的图形为正方形、正三角形、等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系【例6】如图，正方形ABCD中，E，F分别在边BC，CD上，且EAF45，连接EF，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路例如，图中ADF与ABG可以看作绕点A旋转90的关系这可以证明结论“EFBEDF”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程(1)延长CB到点G，使BG_，连接AG；(2)求证：EFBEDF.【解析】(1)由于ADF与ABG可以看作绕点A旋转90的关系，根据旋转的性质知BGDF，从而得到辅助线的作法；(2)先证明ADFABG，得到AGAF，GABDAF，结合EAF45，易知GAE45，再证明AGEAFE即可得到EFBEDF.【解答】(1)DF；(2)证明：四边形ABCD为正方形，ABAD，ADFABEABG90.在ADF和ABG中，ADFABG(SAS).AFAG，DAFGAB.EAF45，DAFEAB45.GABEAB45.GAEEAF45.在AGE和AFE中，AGEAFE(SAS).GEFE.EFGEBEGBBEDF.