2022年中考数学几何变形题归类辅导专题04折叠问题(解析版).docx
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1、【中考数学几何变形题归类辅导】专题4:折叠问题【典例引领】例:如图,四边形ABCD是正方形,点E在直线BC上,连接AE将ABE沿AE所在直线折叠,点B的对应点是点B,连接AB并延长交直线DC于点F(1) 当点F与点C重合时如图(1),易证:DF+BE=AF(不需证明);(2) (2)当点F在DC的延长线上时如图(2),当点F在CD的延长线上时如图(3),线段DF、BE、AF有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想,并选择一种情况给予证明【答案】(2)图(2)的结论:DF+BE=AF;图(3)的结论:BEDF=AF;证明见解答【分析】(1)由折叠可得AB=AB,BE=BE,再根据四边形ABCD是正方
2、形,易证BE=BF,即可证明DF+BE=AF;(2)图(2)的结论:DF+BE=AF;图(3)的结论:BEDF=AF;证明图(2):延长CD到点G,使DG=BE,连接AG,需证ABEADG,根据CBAD,得AEB=EAD,即可得出BAE=DAG,则GAF=DAE,则AGD=GAF,即可得出答案BE+DF=AF【解答】解:(1)由折叠可得AB=AB,BE=BE,四边形ABCD是正方形,AB=DC=DF,CBE=45,BE=BF, AF=AB+BF,即DF+BE=AF;(3) 图(2)的结论:DF+BE=AF;图(3)的结论:BEDF=AF;图(2)的证明:延长CD到点G,使DG=BE,连接AG,
3、需证ABEADG, CBAD, AEB=EAD, BAE=BAE, BAE=DAG,GAF=DAE, AGD=GAF, GF=AF,BE+DF=AF;图(3)的证明:在BC上取点M,使BM=DF,连接AM,需证ABMADF, BAM=FAD,AF=AM ABEABE BAE=EAB, MAE=DAE, ADBE,AEM=DAE, MAE=AEM,ME=MA=AF,BEDF=AF【强化训练】1、数学活动:在综合与实践活动课上,老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动,探究线段长度的有关问题.动手操作:如图 1,在直角三角形纸片 ABC 中,BAC90,AB6,AC8.将三角形纸
4、片ABC 进行以下操作:第一步:折叠三角形纸片 ABC 使点 C 与点 A 重合,然后展开铺平,得到折痕 DE;第二步:将ABC 沿折痕 DE 展开,然后将DEC 绕点 D 逆时针方向旋转得到DFG,点 E,C 的对应点分别是点 F,G,射线 GF 与边 AC 交于点 M(点 M 不与点 A 重合),与边 AB交于点 N,线段 DG 与边 AC 交于点 P.数学思考:(1)求 DC 的长;(2)在DEC 绕点 D 旋转的过程中,试判断 MF 与 ME 的数量关系,并证明你的结论;问题解决:(3)在DEC 绕点 D 旋转的过程中,探究 下列问题: 如图 2,当 GFBC 时,求 AM 的长; 如
5、图 3,当 GF 经过点 B 时,AM 的长为 当DEC 绕点 D 旋转至 DE 平分FDG 的位置时,试在图 4 中作出此时的DFG 和射线 GF,并直接写出 AM 的长(要求:尺规作图 ,不写作法,保留 作图痕迹,标记出所有相应的字母)【答案】(1) DC5;(2)相等,理由见解析;(3)AM3;AM74;AM10 - 35【分析】(1)理由勾股定理求出BC即可解决问题(2)结论:MF=ME证明RtDMFRtDME(HL),即可解决问题(3)如图2中,作AHBC于H,交FG于K由KMCH,推出AKAH=AMAC,求出AK,AH即可解决问题证明BM=MC,设BM=MC=x,在RtABM中,根
6、据BM2=AB2+AM2,构建方程即可解决问题尺规作图如图4-1所示作DR平分CDF,在DR上截取DG=DC,分别以D,G为圆心,DE,CE为半径画弧,两弧交于点F,DFG即为所求如图4-1中,连接DM,设DG交AC于T,作THCD于H,作DK平分CDG交TH于K,作KJDG于J易证DEMDHK(AAS),推出EM=HK,只要求出HK即可【解答】解:(1)如图1中,DEAC,DEC=A=90,DEAB,AE=EC,BD=DC,在RtABC中,AB=6,AC=8,BC=AB2+BC2=62+82=10,CD=12BC=5(2)结论:MF=ME理由:如图1中,连接DM,DFM=DEM=90,DM=
7、DM,DF=DE,RtDMFRtDME(HL),MF=ME(3)如图2中,作AHBC于H,交FG于K易知AH=ABACBC=245,四边形DFKH是矩形,DF=KH=3,AK=AH-KH=95,KMCH,AKAH=AMAC,95245=AM8, AM=3如图3中,DG=DB=DC,G=DBG,G=C,MBC=C,BM=MC,设BM=MC=x,在RtABM中,BM2=AB2+AM2,62+(8-x)2=x2,x=254AM=AC-CM=8-254=74故答案为74.尺规作图如图4-1所示作DR平分CDF,在DR上截取DG=DC,分别以D,G为圆心,DE,CE为半径画弧,两弧交于点F,DFG即为所
8、求如图4-1中,连接DM,设DG交AC于T,作THCD于H,作DK平分CDG交TH于K,作KJDG于J易证DEMDHK(AAS),推出EM=HK,只要求出HK即可TEDE,THDC,DG平分CDE,TE=TH,设TE=TH=x,在RtTCH中,x2+22=(4-x)2,x=32,DT=32+322=325,DK平分CDT,KJDT,KHCD,KJ=KH,设KJ=KH=y,在RtKTJ中,y2+325-32=32-y2 y=35-6,EM=35-6AM=AE-EM=4-(35-6)=10-352(2016内蒙古包头市)如图,已知一个直角三角形纸片ACB,其中ACB=90,AC=4,BC=3,E、
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- 2022 年中 数学 几何 变形 归类 辅导 专题 04 折叠 问题 解析
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