2022年中考数学总复习考点知识梳理2.3一元二次方程.docx

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1、2.3一元二次方程理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况.了解一元二次方程根与系数的关系(选学).能根据具体问题中的数量关系列出方程,体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.能利用一元二次方程解决实际问题,并能根据具体问题的实际意义,检验方程的解是否合理.本节考点的考查以选择题、填空题和解答题的形式出现,难度中等.其中一元二次方程根的判别式判别方程根的情况和确定字母系数的取值范围,考题以选择题、填空题为主,而一元二次方程的解法和列一元二次方程解决实际问题多以解答题为主.命题点1 解一元二次方程10年3考1.(2019安徽

2、第15题)解方程:(x1)2=4.解:直接开平方,得x1=2,即x1=3,x2=1.2.(2016安徽第16题)解方程:x22x=4.解:配方,得x22x+1=5,整理,得(x1)2=5,直接开平方,得x1=5,即x1=1+5,x2=1-5.3.(2012安徽第16题)解方程:x22x=2x+1.解:原方程x22x=2x+1化为x24x=1,配方,得x24x+4=1+4,整理,得(x2)2=5,直接开平方,得x2=5,即x1=2+5,x2=2-5.命题点2 一元二次方程根的判别式10年2考4.(2020安徽第5题)下列方程中,有两个相等实数根的是( A )A.x2+1=2xB.x2+1=0C.

3、x22x=3D.x22x=0【解析】因为x2+1=2x可化为x22x+1=0,=(2)2411=0,所以方程x2+1=2x有两个相等的实数根,A项正确.5.(2018安徽第7题)若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根,则实数a的值为( A )A.1B.1C.2或2D.3或1【解析】原方程整理为x2+(a+1)x=0,=(a+1)2410=(a+1)2,由一元二次方程有两个相等的实数根,得=0,即(a+1)2=0,解得a1=a2=1.改编题关于x的一元二次方程x(x+2a)=3有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围为a3或a0,解得a3或a100万亿元,因此国内生产总值

4、首次突破100万亿元的年份是2020年.7.(2017安徽第8题)一种药品原价每盒25元,经过两次降价后每盒16元.设两次降价的百分率都为x,则x满足( D )A.16(1+2x)=25B.25(12x)=16C.16(1+x)2=25D.25(1x)2=16【解析】原价为25元,每次降价的百分率为x,两次降价后的价格为16元,所以x满足25(1x)2=16.8.(2015安徽第6题)我省2013年的快递业务量为1.4亿件,受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素,快递业务迅猛发展,2014年增速位居全国第一.若2015年的快递业务量达到4.5亿件,设2014年与2015年这两年的年平均增长

5、率为x,则下列方程正确的是( C )A.1.4(1+x)=4.5B.1.4(1+2x)=4.5C.1.4(1+x)2=4.5D.1.4(1+x)+1.4(1+x)2=4.5【解析】由题可知2014年的业务量为1.4(1+x)亿件,2015年的业务量为1.4(1+x)2亿件,所以可列方程为1.4(1+x)2=4.5.考点1解一元二次方程典例1(2020南京)解方程:x22x3=0.【解析】通过观察方程的特点,本题可采用因式分解法、公式法或配方法求解.【答案】解法1(因式分解法):原方程可以变形为(x3)(x+1)=0,x3=0或x+1=0,解得x1=3,x2=1.解法2(公式法):a=1,b=2

6、,c=3,=(2)241(3)=16,x=-(-2)1621,x1=3,x2=1.解法3(配方法):原方程化为x22x=3,配方,得x22x+1=3+1,即(x1)2=4,x1=2,x1=3,x2=1.解一元二次方程时要根据方程的特点选用适当的方法.一般地,用因式分解法解一元二次方程时,先将方程化为一般形式,且方程的左边的二次三项式能分解因式.公式法和配方法能解所有的一元二次方程,用公式法解一元二次方程时应将方程化为一般形式;用配方法解一元二次方程时,应先将二次项系数化为1,并把常数项移到方程右边,以方便配方.提分1(2021浙江丽水)用配方法解方程x2+4x+1=0时,配方结果正确的是( D

7、 )A.(x2)2=5B.(x2)2=3C.(x+2)2=5D.(x+2)2=3考点2一元二次方程根的判别式典例2(2021云南)若一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是()A.a1B.a1C.a1且a0D.a0,解得a1,a14且k1B.k14且k1C.k14D.k14【解析】当k10,即k1时,此方程为一元二次方程.关于x的方程(k1)2x2+(2k+1)x+1=0有实数根,=(2k+1)24(k1)21=12k30,解得k14;当k-1=0,即k=1时,方程为3x+1=0,显然有解.综上所述,k的取值范围是k14.提分3(2021北京)已知关于x的一元

8、二次方程x24mx+3m2=0.(1)求证:该方程总有两个实数根;(2)若m0,且该方程的两个实数根的差为2,求m的值.解:(1)a=1,b=4m,c=3m2,=b24ac=(4m)2413m2=4m2.无论m取何值时,4m20,即0,该方程总有两个实数根.(2)x24mx+3m2=0,即(xm)(x3m)=0,x1=m,x2=3m.m0,且该方程的两个实数根的差为2,3mm=2,m=1.考点3一元二次方程的实际应用典例3(2021山东菏泽)端午节期间,某水果超市调查某种水果的销售情况,下面是调查员的对话:小王:该水果的进价是每千克22元;小李:当销售价为每千克38元时,每天可售出160千克;

9、若每千克降低3元,每天的销售量将增加120千克.根据他们的对话,解决下面所给的问题:超市每天要获得销售利润3640元,又要尽可能让顾客得到实惠,求这种水果的销售价为每千克多少元?【答案】设这种水果的销售价每千克降低x元.由题意,得(38x22)160+x3120=3640,整理得x212x+27=0,解得x=3或x=9.要尽可能让顾客得到实惠,x=9,售价为389=29(元).答:这种水果的销售价应为每千克29元.提分4(2021湖北襄阳)随着生产技术的进步,某制药厂生产成本逐年下降.两年前生产一吨药的成本是5000元,现在生产一吨药的成本是4050元.设生产成本的年平均下降率为x,下面所列方程正确的是( C )A.5000(1+x)2=4050B.4050(1+x)2=5000C.5000(1x)2=4050D.4050(1x)2=5000提分5如图,有一块宽为16 m的矩形荒地,某公园计划将其分为A,B,C三部分,分别种植不同的植物.若已知A,B地块为正方形,C地块的面积比B地块的面积少40 m2,试求该矩形荒地的长.解:设B地块的边长为x m.根据题意,得x2x(16x)=40,解得x1=10,x2=2(不符合题意,舍去),10+16=26(m).答:该矩形荒地的长为26 m.