备战2023年中考数学一轮复习知识解读专题01角平分线四大模型在三角形中的应用.docx

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1、专题01 角平分线四大模型在三角形中的应用（知识解读）【专题说明】 角平分线在几何中占有重要地位，是解决许多问题的桥梁和纽带，角平分线把一个角分成相等的两个部分，其“轴承对称功能”衍生出“角平分线上的点到角两边的距离相等”以及“等腰三角形三线合一”、“三角形的内心到三边的距离相等”等性质，而角平分线与平行线相结合构造出等腰三角形，也常在解题中给我们带来帮助，本专题介绍四种常考解题方法。【方法技巧】模型1 角平分线上的点向两边作垂线 如图，P是MON的平分线上一点，过点P作PAOM于点A，PBON于点B。 结论：PB=PA。 【模型分析】 利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构

2、造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。模型2 截取构造对称全等 如图，P是MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB。 结论：OPBOPA。【模型分析】利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形 如图，P是MO的平分线上一点，APOP于P点，延长AP于点B。 结论：AOB是等腰三角形。【模型分析】构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而

3、得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。模型4 角平分线+平行线如图，P是MO的平分线上一点，过点P作PQON，交OM于点Q。 结论：POQ是等腰三角形。【模型分析】有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。【典例分析】【模型1 角平分线上的点向两边作垂线】【典例1】（2019秋江北区期末）如图，D是EAF平分线上的一点，若ACD+ABD180，请说明CDDB的理由【变式1-1】（2020秋西城区校级期中）如图，在四边形ABCD中，BCBA，ADCD，BD平分ABC，求证

4、：A+C180【变式1-2】已知，如图，AB90，M是AB的中点，DM平分ADC，求证：CM平分BCD（提示：需过点M作CD的垂线段）【典例2】如图，ABC的外角ACD的平分线CP与内角ABC平分线BP交于点P，若BPC40，求CAB和CAP的度数【变式2】如图，ABC的外角ACD的平分线CP与内角ABC的平分线BP交于点P，若BPC40，则CAP（）A40B45C50D60【模型2 截取构造对称全等】【典例3】在ABC中，AD是BAC的外角平分线，P是AD上的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由【变式3-1】已知：如图，在ABC中，A2B，CD平分ACB，且AC6，AD2

5、求BC的长【变式3-2】已知，如图ABAC，A108，BD平分ABC交AC于D，求证：BCAB+CD【变式3-3】如图，在ABC中，A100，ABC40，BD是ABC的角平分线延长BD至E，使DEAD，连接EC（1）直接写出CDE的度数：CDE ；（2）猜想线段BC与AB+CE的数量关系为 ，并给出证明【模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形】【典例4】如图所示，已知等腰直角三角形ABC中，A90，ABAC，BD平分ABC，CEBD，垂足为点E，求证：BD2CE【变式4-2】如图，ABC中，ACB90，ACBC，BD平分ABC，AEBD，垂足为E（1）求EAC的度数；（2）用等式表示线段AE与B

6、D的数量关系，并证明【变式4-3】如图在ABC中，BE是角平分线，ADBE，垂足为D，求证：21+C【模型4 角平分线+平行线】【典例5】如图1，ABC中，ABAC，B、C的平分线交于O点，过O点作EFBC交AB、AC于E、F（1）猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系（2）如图2，若ABAC，其他条件不变，在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？并说明理由（3）如图3，若ABC中B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OEBC交AB于E，交AC于F这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由【变式5-1】如图，在ABC中，ABC和ACB的角平分线交于

7、点E，过点E作MNBC交AB于点M，交AC于点N若BM+CN7，则MN的长为（）A6B7C8D9【变式5-2】如图，在ABC中，ABC和ACB的平分线交于点E，过点E作MNBC交AB于M，交AC于N，（1）请判断BME与ECN的形状，并说明理由？（2）若BM+CN9，求线段MN的长【变式5-3】如图，在ABC，AD平分BAC，E、F分别在BD、AD上，且DECD，EFAC，求证：EFAB【变式5-4】如图，在梯形ABCD中，ADBC，AE平分BAD，BE平分ABC，且AE、BE交CD于点E试说明ADABBC的理由专题01 角平分线四大模型在三角形中的应用（知识解读）【专题说明】 角平分线在几何

8、中占有重要地位，是解决许多问题的桥梁和纽带，角平分线把一个角分成相等的两个部分，其“轴承对称功能”衍生出“角平分线上的点到角两边的距离相等”以及“等腰三角形三线合一”、“三角形的内心到三边的距离相等”等性质，而角平分线与平行线相结合构造出等腰三角形，也常在解题中给我们带来帮助，本专题介绍四种常考解题方法。【方法技巧】模型1 角平分线上的点向两边作垂线 如图，P是MON的平分线上一点，过点P作PAOM于点A，PBON于点B。 结论：PB=PA。【模型分析】 利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。模

9、型2 截取构造对称全等 如图，P是MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB。 结论：OPBOPA。【模型分析】利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形 如图，P是MO的平分线上一点，APOP于P点，延长AP于点B。 结论：AOB是等腰三角形。【模型分析】构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。模型4 角平分

10、线+平行线如图，P是MO的平分线上一点，过点P作PQON，交OM于点Q。 结论：POQ是等腰三角形。【模型分析】有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。【典例分析】【模型1 角平分线上的点向两边作垂线】【典例1】（2019秋江北区期末）如图，D是EAF平分线上的一点，若ACD+ABD180，请说明CDDB的理由【解答】解：过点D分别作AE，AF的垂线，交AE于M，交AF于N则CMDBND90，AD是EAF的平分线，DMDN，ACD+ABD180，ACD+MCD180，MCDNBD，在CDM和BDN中

11、，CMDBND90，MCDNBD，DMDN，CDMBDN，CDDB【变式1-1】（2020秋西城区校级期中）如图，在四边形ABCD中，BCBA，ADCD，BD平分ABC，求证：A+C180【解答】证明：过点D作DEBC于E，过点D作DFAB交BA的延长线于F，BD平分ABC，DEDF，DECF90，在RtCDE和RtADF中，RtCDERtADF（HL），FADC，BAD+CBAD+FAD180【变式1-2】已知，如图，AB90，M是AB的中点，DM平分ADC，求证：CM平分BCD（提示：需过点M作CD的垂线段）【解答】证明：作MNCD于N，如图所示：DM平分ADC，A90，MNCD，MAMN

12、，M是AB的中点，MAMB，MBMN，B90，MNCD，CM是BCD的平分线，即CM平分BCD【典例2】如图，ABC的外角ACD的平分线CP与内角ABC平分线BP交于点P，若BPC40，求CAB和CAP的度数【解答】解：在ABC中，ACDBAC+ABC，在PBC中，PCDBPC+PBC，PB、PC分别是ABC和ACD的平分线，PCDACD，PBCABC，PCDBPC+PBC40+ABC，ACDABC+40，ACDABC80，BACACDABC80，即CAB80作PEBA于E，PFAC于F，PGBC于G，PEBA，PFAC，PEPF，CAPCAE50【变式2】如图，ABC的外角ACD的平分线CP

13、与内角ABC的平分线BP交于点P，若BPC40，则CAP（）A40B45C50D60【解答】解：延长BA，作PNBD，PFBA，PMAC，设PCDx，CP平分ACD，ACPPCDx，PMPN，BP平分ABC，ABPPBC，PFPN，PFPM，BPC40，ABPPBCPCDBPC（x40），BACACDABC2x（x40）（x40）80，CAF100，在RtPFA和RtPMA中，RtPFARtPMA（HL），FAPPAC50故选：C【模型2 截取构造对称全等】【典例3】在ABC中，AD是BAC的外角平分线，P是AD上的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由【解答】解：PB+PC

14、AB+AC（2分）如图，在BA的延长线上取一点E，使AEAC，连接EP（4分）由AD是BAC的外角平分线，可知CAPEAP，又AP是公共边，AEAC，故ACPAEP（6分）从而有PCPE，在BPE中，PB+PEBE（7分）而BEAB+AEAB+AC，（8分）故PB+PEAB+AC，所以PB+PCAB+AC（10分）【变式3-1】已知：如图，在ABC中，A2B，CD平分ACB，且AC6，AD2求BC的长【解答】解：如图，在BC上截取CECA，连接DE，CD平分ACB，12，在ACD和ECD中，ACDECD（SAS），ADED，ACED，A2B，CED2B，CEDB+BDE，BDEB，BEED，A

15、C6，AD2，ADBE2，ACCE6，BCBE+CE2+68【变式3-2】已知，如图ABAC，A108，BD平分ABC交AC于D，求证：BCAB+CD【解答】证明：在线段BC上截取BEBA，连接DEBD平分ABC，ABDEBDABC在ABD和EBD中，ABDEBD（SAS）BEDA108，ADBEDB又ABAC，A108，ACBABC（180108）36，ABDEBD18ADBEDB1801810854CDE180ADBEDB180545472DEC180DEB18010872CDEDECCDCEBCBE+ECAB+CD【变式3-3】如图，在ABC中，A100，ABC40，BD是ABC的角平分

16、线延长BD至E，使DEAD，连接EC（1）直接写出CDE的度数：CDE ；（2）猜想线段BC与AB+CE的数量关系为 ，并给出证明【解答】解：（1）ABC40，BD平分ABC，ABD20ADB180AABD60CDE，故答案为：60（2）BCAB+CE理由如下：如图，在BC上截取BFAB，BD平分ABC，ABDCBD，且BDBD，ABBF，ABDFBD（SAS）ADDF，ADBBDF60FDC180ADBBDF60EDC，且DEDF，CDCDCDFCDE（SAS）CECF，BCBF+CFAB+CE故答案为：BCAB+CE【模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形】【典例4】如图所示，已知等腰直角三

17、角形ABC中，A90，ABAC，BD平分ABC，CEBD，垂足为点E，求证：BD2CE【解答】证明：如图所示，延长BA，CE交于点F，ABD+ADB90，CDE+ACF90，ABDACF，又ABAC，在RtABD和RtACF中，RtABDRtACF（ASA），BDCF，在RtFBE和RtCBE中，BD平分ABC，FBECBE，在RtFBE和RtCBE中，RtFBERtCBE（ASA），EFEC，CF2CE，BD2CE【变式4-2】如图，ABC中，ACB90，ACBC，BD平分ABC，AEBD，垂足为E（1）求EAC的度数；（2）用等式表示线段AE与BD的数量关系，并证明【解答】解：（1）ACB

18、90，ACBC，CABCBA45，BD平分ABC，ABDCBD22.5，AEBD，EC90，ADBE+EACC+CBD，EACCBD22.5；（2）BD2AE，理由如下：延长AE、BC交于点F，AEDACB90，EDACDB，FACDBC，在AFC与DBC中，AFCDBC（ASA），AFBD，在ABE与FBE中，ABEFBE（ASA），AEEF，BDAF2AE，【变式4-3】如图在ABC中，BE是角平分线，ADBE，垂足为D，求证：21+C【解答】证明：如图，延长AD交BC于点F，BE是角平分线，ADBE，ABF是等腰三角形，且2AFB，又AFB1+C，21+C【模型4 角平分线+平行线】【典

19、例5】如图1，ABC中，ABAC，B、C的平分线交于O点，过O点作EFBC交AB、AC于E、F（1）猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系（2）如图2，若ABAC，其他条件不变，在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？并说明理由（3）如图3，若ABC中B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OEBC交AB于E，交AC于F这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由【解答】解：（1）EF与BE、CF之间的关系为：EFBE+CF理由：BO是ABC的平分线，EBOCBOEFBC，EOBOBCEBOEOBBEEO同理：CFFOEFOE+OFBE+CF（2）第（

20、1）问中EF与BE、CF间的关系还存在，即EFBE+CF理由：BO是ABC的平分线，EBOCBOEFBC，EOBOBCEBOEOBBEEO同理：CFFOEFOE+OFBE+CF第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在（3）图中还存在等腰三角形BEO和CFO，此时EFBECF，理由：BO是ABC的平分线，EBOCBOEFBC，EOBOBCEBOEOBBEEOBEO是等腰三角形，同理可证CFO是等腰三角形，BEEO，OFFCBEEF+FOEF+CF，EFBECF【变式5-1】如图，在ABC中，ABC和ACB的角平分线交于点E，过点E作MNBC交AB于点M，交AC于点N若BM+CN7，则MN的长为

21、（）A6B7C8D9【解答】解：ABC、ACB的平分线相交于点E，MBEEBC，ECNECB，MNBC，EBCMEB，NECECB，MBEMEB，NECECN，BMME，ENCN，MNME+EN，即MNBM+CN，BM+CN7，MN7，故选：B【变式5-2】如图，在ABC中，ABC和ACB的平分线交于点E，过点E作MNBC交AB于M，交AC于N，（1）请判断BME与ECN的形状，并说明理由？（2）若BM+CN9，求线段MN的长【解答】解：（1）BME与ECN都是等腰三角形；理由如下：ABC、ACB的平分线相交于点E，MBEEBC，ECNECB，MNBC，EBCMEB，NECECB，MBEMEB

22、，NECECN，BMME，ENCN，BME与ECN都是等腰三角形；（2）MNME+EN，BMME，ENCN，MNBM+CNBM+CN9，MN9【变式5-3】如图，在ABC，AD平分BAC，E、F分别在BD、AD上，且DECD，EFAC，求证：EFAB【解答】解：过E作AC的平行线于AD延长线交于G点，EGAC，DEGC，在DEG和DCA中，DEGDCA（ASA），EGEF，GCAD，又EFAC故EGACAD平分BAC，BADCAD，EGEF，GEFD，EFDBAD，EFAB【变式5-4】如图，在梯形ABCD中，ADBC，AE平分BAD，BE平分ABC，且AE、BE交CD于点E试说明ADABBC的理由【解答】证明：在AB上找到F使得AFAD，AE平分BAD，EADEAF，在AEF和AED中，AEFAED，（SAS）AFAD，AFED，ADBC，D+C180，AFE+BFE180CBFE，BE平分BAD，FBEC，在BEC和BEF中，BECBEF，（AAS）BFBC，ABAF+BF，ABAD+BC，即ADABBC