温州十校联合体2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题含答案.pdf

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1、 2023 学年第一学期温州十校联合体高一高二期中联考学年第一学期温州十校联合体高一高二期中联考 高二年级数学学科试题高二年级数学学科试题 考生须知：考生须知：1本卷共本卷共 4 页满分页满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟.2答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字字.3所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4考试结束后，只需上交答题纸考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分选择题部分 一、选择题：本题共一、选择题：本

2、题共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求符合题目要求.1.双曲线2214xy=的渐近线方程为（）A.4yx=B.2yx=C.12yx=D.14yx=2.平行六面体1111ABCDABC D中，化简1ABADBB+=（）A.1AC B.1AC C.1BD D.1DB 3.若直线23yx=+的倾斜角为，直线5ykx=的倾斜角为2，则k=（）A.43 B.34 C.43 D.34 4.若圆22:4E xy+=与圆()22:1F xya+=仅有一条公切线，则实数 a的值为（）A.3 B.1 C.3

3、D.1 5.如图，是棱长为 1 的正方体ABCDEFGH中，点 P 在正方体的内部且满足111244APABADAE=+，则 P到面ADGF的距离为（）A.28 B.36 C.38 D.24 6.细心观众发现，2023 亚运会开幕式运动员出场的地屏展示的是 8 副团扇，分别是梅兰竹菊松柳荷桂“梅兰竹菊，迎八方君子；松柳荷桂，展大国风范“团扇是中国传统文化中的一个重要组成部分，象征着团结友善花瓣型团扇，造型别致，扇作十二葵瓣形，即有 12个相同形状的弧形花瓣组成，花瓣的圆心角为120，花瓣端点也在同一圆上，12个弧形花瓣也内切于同一个大圆，圆心记为 O，若其中一片花瓣所在圆圆心记为 C，两个花瓣

4、端点记为 A、B，切点记为 D，则不正确的是（）A.,O C D在同一直线上 B.12 个弧形所在圆的圆心落在同一圆上 C.30AOB=D.弧形所在圆的半径 BC变化时，存在OCBC=7.已知()00,Pxy是直线:340lxy+=上一点，过点 P 作圆22:1O xy+=的两条切线，切点分别为A，B，当直线 AB与 l平行时，AB=（）A.3 B.152 C.302 D.4 8.已知曲线 C 的方程为221()xyaxya+=R，则下列说法不正确的是（）A.无论 a 取何值，曲线 C都关于原点成中心对称 B.无论 a 取何值，曲线 C关于直线yx=和yx=对称 C.存在唯一的实数 a使得曲线

5、 C表示两条直线 D.当1a=时，曲线 C 上任意两点间的距离的最大值为2 2 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题在每小题给出的选项中，有多项符合题的 目要求，全部选对的得目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0分分.9.已知,A B C三点不共线，对平面ABC外的任一点 O，下列条件中能确定点,M A B C共面的是（）A.OMOAOBOC=+B.111333OMOAOBOC=+C.1124OMOAOBOC=+D.3OMOAOBOC=10.已

6、知曲线221124xymm+=表示椭圆，下列说法正确的是（）A.m的取值范围为(4,12)B.若该椭圆的焦点在 y 轴上，则(8,12)m C.若6m=，则该椭圆的焦距为 4 D.若椭圆的离心率为63，则10m=11.己知过点()1,0P 的直线 l与圆22:40C xyx+=交于 A，B两点，在 A处的切线为1l，在 B处的切线为2l，直线1l与2l，交于 Q 点，则下列说法正确的是（）A.直线 l与圆 C 相交弦长最短为2 3 B.AB中点的轨迹方程为22320 xyx+=C.Q、A、B、C四点共圆 D.点 Q恒在直线2x=上 12.已知正方体1111ABCDABC D棱长为 1，H为棱1

7、AA（包含端点）上的动点，下列命题正确的是（）A.二面角11DABC的大小为3 B.CHBD C.若 O 在正方形11DCC D内部，且6|2OB=，则点 O 的轨迹长度为24 D.若CH 平面，则直线 CD与平面所成角的正弦值的取值范围为32,32 非选择题部分非选择题部分 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.过点()1,1且与直线1:3450lxy+=平行的直线记为2l，则两平行线1l，2l之间的距离为_ 14.已知椭圆2212:1,42xyCF F+=为椭圆 C的左右焦点，P为椭圆 C上的一点，且1290FPF=，延长的

8、2PF交椭圆于 Q，则1FQ=_ 15.把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成3的二面角，E、F分别是 BC、AD的中点，O是原正方形 ABCD的中心，则EOF的余弦值为_ 16.双曲线的光学性质为：如图，从双曲线的右焦点2F发出的光纤经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点1F我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图，其方程为2212221,xyF Fab=为其左右焦点，若从由焦点2F发出的光线经双曲线上的点 A 和点 B反射后，满足5,tan12DAABABC=，则该双曲线的离心率为_ 图 图 四、解答题：本题共

9、四、解答题：本题共 6小题，共小题，共 70分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知圆22:420O xyxy+=，直线 l过点(0,2)P（1）若直线l被圆O截得弦长 2，求直线l的方程；（2）若直线l被圆O截得的优弧和劣弧的弧长之比为3:1，求直线l的方程 18.如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，112ABBCAD=，90BADABC=，E是 PD中点 的的 （1）证明：/CE平面PAB；（2）当点M为棱PC中点时，求直线AM与平面PAB所成角的正弦值 19.已知点()()0,1,0,2AB，动点 P

10、 满足2PBPA=，记点 P 的轨迹为曲线 C（1）求曲线 C 方程；（2）若直线:310l mxym+=上存在点 M满足2MBMA，求实数 m的最小值 20.己知点12(1,0),(1,0)FF，动点 P 满足关系式124PFPF+=（1）求动点 P 的轨迹 C的方程；（2）l是过点1(1,0)F 且斜率为 2的直线，M是轨迹 C上（不在直线 l上）的动点，点 A 在直线 l上，且MAl，求1F A的最大值及此时点 M的坐标 21.如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点五面体中，面 CDFE 为正方形，DFAD，22ABCD=，点 C在面 ABEF 上的射影恰为ABE的重心 G （1）证

11、明：ABCD；（2）证明：AD 面 EFDC；（3）求该五面体的体积 22.已知双曲线22:13yC x=与直线:(3)l ykxm k=+有唯一的公共点（1）点(2,3)Q在直线 l上，求直线 l的方程；（2）设点12,F F分别为双曲线 C的左右焦点，E 为右顶点，过点2F的直线与双曲线 C的右支交于 A，B 两点（其中点 A 在第一象限），设 M，N 分别为1212,AFFBFF的内心 点 M 的横坐标是否为定值？若是，求出横坐标的值；若不是，请说明理由 求22MFNFkk+的取值范围 的 2023 学年第一学期温州十校联合体高一高二期中联考学年第一学期温州十校联合体高一高二期中联考 高

12、二年级数学学科试题高二年级数学学科试题 考生须知：考生须知：1本卷共本卷共 4 页满分页满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟.2答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字字.3所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4考试结束后，只需上交答题纸考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分选择题部分 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在

13、每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求符合题目要求.1.双曲线2214xy=的渐近线方程为（）A.4yx=B.2yx=C.12yx=D.14yx=【答案】C【解析】【分析】利用双曲线方程可得渐近线方程【详解】双曲线2214xy=的渐近线方程为2204xy=，即12yx=，故选：C.2.平行六面体1111ABCDABC D中，化简1ABADBB+=（）A.1AC B.1AC C.1BD D.1DB 【答案】B【解析】【分析】利用空间向量的线性运算计算即可.【详解】如图所示，111ABADBBBCCCCBAA+=+=+.故选：B.3.若直线23yx=+的倾斜角为，直线5ykx=的倾斜角为2，

14、则k=（）A.43 B.34 C.43 D.34【答案】C【解析】【分析】由已知直线斜率可以求得tan2=，再根据二倍角公式可以求得.【详解】由直线23yx=+可知，tan2=，22tan44tan21tan143=，则43k=.故选：C 4.若圆22:4E xy+=与圆()22:1F xya+=仅有一条公切线，则实数 a的值为（）A.3 B.1 C.3 D.1【答案】B【解析】【分析】利用两圆的位置关系计算即可.【详解】由题意可知两圆相内切，易得两圆圆心()()0,0,0,EFa，且两圆半径分别122,1rr=，所以1211EFarra=.故选：B 5.如图，是棱长为 1 的正方体ABCDE

15、FGH中，点 P 在正方体的内部且满足111244APABADAE=+，则 P到面ADGF的距离为（）为 A.28 B.36 C.38 D.24【答案】A【解析】【分析】建立合适的坐标系，利用空间向量求点面距离即可.【详解】如图所示建立空间直角坐标系，则()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1ABADAE=，()1,0,1AF=，所以1 1 1,2 4 4AP=，设平面ADGF的一个法向量(),nx y z=，所以0000n AFxzyn AD=+=，令10,1xyz=，即()1,0,1n=，故 P 到面ADGF的距离12482AP ndn=.故选：A 6.细心的观众发现，2023亚运会

16、开幕式运动员出场的地屏展示的是 8副团扇，分别是梅兰竹菊松柳荷桂“梅兰竹菊，迎八方君子；松柳荷桂，展大国风范“团扇是中国传统文化中的一个重要组成部分，象征着团结友善花瓣型团扇，造型别致，扇作十二葵瓣形，即有 12个相同形状的弧形花瓣组成，花瓣的 圆心角为120，花瓣端点也在同一圆上，12个弧形花瓣也内切于同一个大圆，圆心记为 O，若其中一片花瓣所在圆圆心记为 C，两个花瓣端点记为 A、B，切点记为 D，则不正确的是（）A.,O C D在同一直线上 B.12 个弧形所在圆的圆心落在同一圆上 C.30AOB=D.弧形所在圆的半径 BC变化时，存在OCBC=【答案】D【解析】【分析】根据两个圆的位置

17、关系逐个判断即可.【详解】已知外圈两个圆的圆心都为O，令最外面圆半径为R，花瓣所在圆半径为r，对于 A：因为大圆与小圆内切且切点为D，所以切点与两个圆心共线，即,O C D在同一条直线上，A正确；对于 B：由两圆内切可知OCRr=为定值，所以 12个弧形的圆心在同一圆上，B正确；对于 C：因为 12个弧形花瓣也内切于同一个大圆，所以3603012AOB=，C 正确；对于 D：由CACBOCOCOAOB=得OACOAB，所以130152COB=，又120ACB=，所以()13601201202OCB=，所以45OBCCOB=，所以OCBC恒成立，D错误，故选：D 7.已知()00,Pxy是直线:

18、340lxy+=上一点，过点 P 作圆22:1O xy+=的两条切线，切点分别为A，B，当直线 AB与 l平行时，AB=（）A.3 B.152 C.302 D.4【答案】A 【解析】【分析】根据跟定条件，利用圆的切线的性质，结合面积法求解作答.【详解】连接,OA OB OP，由,PA PB切圆O于 A，B 知，,OAPA OBPB OPAB，因为直线 AB 与 l平行，则OPl，()()224231OP=+，而圆O半径为 1，于是2213PAOP=，由四边形OAPB面积2OPASS=，得11222AB OPOA AP=，所以22 1332OA APABOP=.故选：A.8.已知曲线 C 的方程

19、为221()xyaxya+=R，则下列说法不正确的是（）A.无论 a 取何值，曲线 C都关于原点成中心对称 B.无论 a 取何值，曲线 C关于直线yx=和yx=对称 C.存在唯一的实数 a使得曲线 C表示两条直线 D.当1a=时，曲线 C 上任意两点间的距离的最大值为2 2【答案】C【解析】【分析】对于 AB选项，根据对称性即可判断，C选项可以代入2,2aa=可以验证，D选项可以判断出为椭圆，则根据椭圆的性质即可判断.【详解】A选项，在曲线 C上任取一点(,)P x y，则P关于原点的对称点为(,)xy，代入曲线方程可知，()()()()221xyaxy+=，即221()xyaxya+=R，所

20、以无论 a 取何值，曲线 C都关于原点成中心对称；故 A 选项正确；B选项，(,)P x y关于yx=的对称点为(,)y x，代入曲线方程得，221()xyaxya+=R，所以对称点在曲线上.(,)P x y关于yx=的对称点为(,)yx，代入曲线方程得，221()xyaxya+=R，故对称点也在曲线上；故 B 选项正确；C选项，当2a=时，曲线方程为2221,xyxy+=即2()1xy+=，即1xy+=或1xy+=，当2a=，曲线方程2221,xyxy+=即2()1xy=，即1xy=或1xy=；故 C 选项错误；D选项，当1a=时，曲线 C的方程为221xyxy+=，2uvx+=，2uvy=

21、，则代入曲线方程化简得，221223uv+=，方程表示焦点在v轴上的椭圆，所以曲线 C 上任意两点间的距离的最大值为2 2，故 D选项正确；故选：C 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0分分.9.已知,A B C三点不共线，对平面ABC外的任一点 O，下列条件中能确定点,M A B C共面的是（）A.OMOAOBOC=+B.111333OMOAOBOC=

22、+C.1124OMOAOBOC=+D.3OMOAOBOC=【答案】ABD【解析】【分析】利用空间向量的共面定理的推论计算即可.【详解】因为,A B C三点不共线，若,M A B C四点共面，不妨设()1MAxMByMC xy=+，则 ()()()1OAOMx OBOMy OCOMxyOMOAxOByOC=+=+，即1111xyOMOAOBOCxyxyxy=+，显然有11111xyxyxyxy+=+，反之若()1OMaOAbOBab OC=+，则有()()OMOCa OAOCb OBOCCMaCAbCB=+=+，即,CM CA CB 共面，所以,M A B C共面，对于 A，OMOAOBOC=+

23、，有1,1,11abab=，故,M A B C共面，A正确；对于 B，111333OMOAOBOC=+，有11,133abab=，故,M A B C共面，B正确；对于 C，1124OMOAOBOC=+，有1111,1224abab=，故,M A B C不共面，C错误；对于 D，3OMOAOBOC=，有3,1,11abab=，故,M A B C共面，D正确；故选：ABD 10.已知曲线221124xymm+=表示椭圆，下列说法正确的是（）A.m的取值范围为(4,12)B.若该椭圆的焦点在 y 轴上，则(8,12)m C.若6m=，则该椭圆的焦距为 4 D.若椭圆的离心率为63，则10m=【答案】

24、BC【解析】【分析】由方程表示椭圆可得(4,8)(8,12)m判断 A，再根据其它各项描述及椭圆的性质判断正误即可.【详解】由题意12040(4,8)(8,12)124mmmmm，A错；椭圆的焦点在 y 轴上，则4128mmm，即(8,12)m，B 对；若6m=，则22162xy+=，故622c=，该椭圆的焦距为 4，C 对；若椭圆的离心率为63，则421123mm=或122143mm=，可得6m=或10m=，D 错.故选：BC 11.己知过点()1,0P 的直线 l与圆22:40C xyx+=交于 A，B两点，在 A处的切线为1l，在 B处的切线为2l，直线1l与2l，交于 Q 点，则下列说

25、法正确的是（）A.直线 l与圆 C 相交弦长最短为2 3 B.AB中点的轨迹方程为22320 xyx+=C.Q、A、B、C四点共圆 D.点 Q恒在直线2x=上【答案】ACD【解析】【分析】利用弦长公式可判定 A，利用圆的性质可判定 B、C，利用两圆的公共弦方程可判定 D.【详解】由题意可知()2,0C，圆 C半径2r=，设AB的中点为D，则22222 4ABrCDCD=，而21CDCPCD，所以2 3AB，故 A正确；当、DP不重合时，易知CDPD，即D在以CP为直径的圆上，易知CP、的中点为3,02，所以 D的轨迹方程为222223132022xyxyx+=+=，显然、DP重合时()1,0D

26、 符合上方程，但当:0ABly=时，此时AB为直径，过AB的切线平行，不符合题意，即 D 的轨迹方程为22320 xyx+=()2x ，故 B错误；易知,CAAQ CBBQ，即 Q、A、B、C四点在以CQ为直径的圆上，故 C 正确；不妨设(),Q a b，则CQ为直径的圆心为2,22abE，半径为()2222ab+，故该圆方程为()22:220E xaxybya+=，易知直线AB为圆 C与圆 E的公共弦，两圆方程作差可得():220ABlaxbya+=，又直线AB过点 P，即2202aaa+=，故 D正确；故选：ACD 12.已知正方体1111ABCDABC D的棱长为 1，H 为棱1AA（包

27、含端点）上的动点，下列命题正确的是（）A.二面角11DABC的大小为3 B.CHBD C.若 O 在正方形11DCC D内部，且6|2OB=，则点 O 的轨迹长度为24 D.若CH 平面，则直线 CD与平面所成角的正弦值的取值范围为32,32【答案】BD【解析】【分析】根据几何体为正方体可建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面1ABC的法向量和平面11AB D的法向量，可利用数量积计算夹角的余弦值后可判断 A 的正误，求出,CH DB 的坐标后利用数量积可判断 B 的正误，由已知确定O轨迹图形，进而求其长度判断 C；最后利用直线CD和平面的法向量计算线面角的正弦值后可判断 D的正误.【详解】由

28、正方体可建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()()()1110,0,0,1,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,1,0,1,1,1,1,1DBCADCB，设()1,0,Hh，其中01h，对于 A：()10,1,1AB=，()()11,0,1,1,1,0ADAC=，设平面11AB D的法向量为(),mx y z=，则1100m ABm AD=，即00yzxz+=+=，取1z=，则1,1xy=，故()1,1,1m=.设平面1ABC的法向量为(),na b c=，则100n ABn AC=，即00bcab+=+=，取1b=，则1,1ac=，故()1,1,1n=.故11cos,333

29、m n=，而二面角11DABC为锐二面角，故其余弦值为13，不为12，故二面角11DABC的平面角不是3，故 A错误.对于 B：()()1,1,1,1,0CHhDB=，故0CH DB=即CHBD，故 B 正确.对于 C：由O在正方形11DCC D内部，且62OB=，若,E F分别是1,CD CC上的点，且22CECF=，此时62BEBF=，由图知：O在EF上，故以C为圆心，22为半径的四分之一圆弧上，所以点O轨迹的长度为12244=；故 C 错误.对于 D：设直线CD与平面所成的角为.因为CH 平面，故()1,1,CHh=为平面的法向量，而()0,1,0DC=，故2211sincos,22DC

30、 CHhh=+，而21320,1,322hh+，故 D 正确.故选：BD.【点睛】思路点睛：空间中位置关系的判断、角的计算或范围的判断，可结合几何体的规则性建立合适空间直角坐标系，通过向量的共线、向量的数量积等来判断位置关系，通过平面的法向量、直线的法向量等来处理相关角的计算或范围问题.非选择题部分非选择题部分 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.过点()1,1且与直线1:3450lxy+=平行的直线记为2l，则两平行线1l，2l之间的距离为_【答案】125#-2.4【解析】【分析】利用两直线的平行关系先求2l，再由平行线的距离

31、公式计算即可.【详解】由题意不妨设2:340lxym+=，则3 14 107mm+=，所以两平行线1l，2l之间的距离227512534d=+.故答案为：125 14.已知椭圆2212:1,42xyCF F+=为椭圆 C的左右焦点，P为椭圆 C上的一点，且1290FPF=，延长2PF交椭圆于 Q，则1FQ=_【答案】103【解析】【分析】根据1290FPF=，建立向量关系，求出P点坐标，然后求出2PF直线方程，联立椭圆方程，求出Q点坐标，再利用两点间距离公式求解.【详解】由椭圆22:142xyC+=，得()12,0F，()22,0F，设(),P m n，因为1290FPF=，所以120FP F

32、 P=，则()()2,2,0mnmn+=，即2220mn+=，又因为 P 为椭圆 C上的一点，所以22142mn+=联立得，220,2mn=，所以()0,2P或()0,2P，、当()0,2P时，21PFk=，PQ直线方程为()02yx=，即2yx=+，联立222142yxxy=+=得4 22,33Q，所以2214 22102333FQ=+=，当()0,2P，21PFk=，PQ直线方程为02yx=，即2yx=，联立222142yxxy=+=得4 22,33Q，所以2214 22102333FQ=+=，综上，1103FQ=,故答案为：103 15.把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成3的二面角

33、，E、F分别是 BC、AD的中点，O是原正方形 ABCD的中心，则EOF的余弦值为_【答案】14#0.25【解析】【分析】根据空间向量的夹角公式，结合数量积的运算即可求解.【详解】由于,OBCA ODCA,所以3BOD=,不妨设正方形的边长为 2，则2OAOBOCOD=,112OEOFBC=,()()11,22OEOBOCOFOAOD=+=+,所以()()11,22OEOBOCOFOAOD=+=+,故()()1144OE OFOBOCOAODOB OAOC OAOB ODOC OD=+=+111022220424=+=,所以1coscos,4OE OFEOFOE OFOEOF=,故答案为：14

34、 16.双曲线的光学性质为：如图，从双曲线的右焦点2F发出的光纤经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点1F我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图，其方程为2212221,xyF Fab=为其左右焦点，若从由焦点2F发出的光线经双曲线上的点 A 和点 B反射后，满足5,tan12DAABABC=，则该双曲线的离心率为_ 图 图【答案】293【解析】【分析】根据双曲线的光学性质结合双曲线的定义利用勾股定理计算即可.【详解】根据双曲线的光学性质可知1,F A D与1,F B C三点共线，故115,tantan12F AA

35、BABFABC=，不妨设15AFx=，则112,13ABx BFx=，由双曲线的定义可知212122132252xF BaFBF BaF AF AxF Aa=，两式相加可得()221846xF AF Bax+=，所以121042333aaaxAFAF=，由勾股定理可知2222222121210016294999aaAFAFFFce+=+=，故293e=.故答案为：293.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，共小题，共 70分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知圆22:420O xyxy+=，直线 l过点(0,2)P（1）若直线l

36、被圆O截得的弦长 2，求直线l的方程；（2）若直线l被圆O截得的优弧和劣弧的弧长之比为3:1，求直线l的方程 【答案】（1）0 x=或324yx=+（2）123=+yx或32yx=+【解析】【分析】（1）法一，分直线l斜率存在与不存在两种情况，当斜率不存在时，直线l的方程为0 x=，联立方程直接求出两个交点，从而判断出是否满足题意，当斜率存在时，再根据条件即可求出结果；法二，利用点(0,2)P在圆上，直接设出另一个交点()00,xy，联立方程()220022xy+=和220000420 xyxy+=，从而可求出另一个交点，进而可求出结果；法三，利用点(0,2)P在圆上，因为弦长为 2，则另一个

37、点在以 2 为半径的圆为222(2)2xy+=上，直接求出另一个交点，从而可求出结果；法四，分直线l斜率存在与不存在两种情况，当斜率不存在时，直线l的方程为0 x=，联立方程直接求出两个交点，从而判断出是否满足题意，当斜率存在时，联立方程，得到()221(24)0kxkx+=，再利用弦长公式即可求出结果；（2）先利用条件，求出弦长为10，再结合条件即可求出结果.【小问 1 详解】解法一：因为圆22:(2)(1)5Oxy+=，圆心为()2,1，半径为5，直线过点(0,2)P，当直线l斜率不存在时，直线l的方程为：0 x=，由22(2)(1)5xy+=和0 x=，得到0y=或2y=，满足题意，当直

38、线l斜率存在时，设直线:2l ykx=+，设圆心 O 到直线l的距离为d，又直线l被圆O截得的弦长为 2，所以2222rd，又5r=，解得2d=，又2|21|1kdk+=+，所以2|21|21kk+=+，解得34k=，此时，直线l的方程为324yx=+，综上，直线l的方程为0 x=或324yx=+.解法 2：点(0,2)在圆上，故令圆上点()00,xy，则弦长为()220022xy+=又220000420 xyxy+=-得002yx=式代入到式得2000081658055xxxy=或0000 xy=162358405k=或斜率不存在，所以，直线l的方程为0 x=或324yx=+.解法 3：以(

39、0,2)为圆心，以 2为半径的圆为222(2)2xy+=22:420O xyxy+=-得002yx=式代入到式得2000081658055xxxy=或0000 xy=162358405k=或斜率不存在，所以，直线l的方程为0 x=或324yx=+.解法 4：当直线l斜率不存在时，直线l的方程为：0 x=，由22(2)(1)5xy+=和0 x=，得到0y=或2y=，满足题意，当直线l斜率斜率存在时，设直线:2l ykx=+，222420ykxxyxy=+=22(2)42(2)0 xkxxkx+=()221(24)0kxkx+=()221(24)0kxkx+=弦长：22122421121kkxxk

40、k+=+=+，整理得到22(2)1kk=+，即340k=，解得34k=，此时，直线l的方程为324yx=+，综上，直线l的方程为0 x=或324yx=+.【小问 2 详解】易知劣弧所对圆心角为90，又5r=，故直线被圆所截弦长为210r=，由22222 510rdd=，得到圆心 O到直线 l的距离为102，所以，2|21|1021kdk+=+整理得到，2138303kkk+=或3 所以，1:23l yx=+或32yx=+18.如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，112ABBCAD=，90BADABC=，E是 PD的中点 （1）证明：/CE平面PAB；（2）当点

41、M为棱PC中点时，求直线AM与平面PAB所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析 （2）68【解析】【分析】（1）取PA中点G，连接GE，GB，即可得到四边形BCGE为平行四边形，从而得到/CE GB，即可得证；（2）取AD中点O，连接PO，OC，由面面垂直的性质得到PO面ABCD，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【小问 1 详解】取PA中点G，连接GE，GB E为PD中点，/GE AD且12GEAD=，90BADABC=，12BCAD=，/BC AD且12/BCAD，/GE BC且GEBC=，四边形BCGE为平行四边形，/CE GB，又GB 平面PAB，CE 平面PAB，所以/CE

42、平面PAB.【小问 2 详解】取AD中点O，连接PO，OC PAD正三角形，POAD，面PAD 面ABCD，面PAD面ABCDAD=，PO面ABCD，又112ABBCAD=，90BADABC=，所以ABCO为正方形，所以COAD 如图以O为原点建立空间直角坐标系，则(0,1,0)A，(1,1,0)B，(0,0,3)P，(0,1,0)D，(1,0,0)C，13,0,22M，为 所以(1,0,0)AB=，(0,1,3)AP=，13,1,22AM=，设面PAB的一个法向量为(,)nx y z=，则030AB nxAP nyz=+=，不妨取(0,3,1)n=，设AM与平面PAB所成角为，则362sin

43、cos,8|22AM nAM nAMn=，故直线AM与平面PAB所成角的正弦值为68.19.已知点()()0,1,0,2AB，动点 P 满足2PBPA=，记点 P 的轨迹为曲线 C（1）求曲线 C 方程；（2）若直线:310l mxym+=上存在点 M满足2MBMA，求实数 m的最小值【答案】（1）2240 xyy+=（2）32 65【解析】【分析】（1）利用两点距离公式化简计算即可；（2）法一，利用点与圆，直线与圆的位置关系解不等式即可；法二，联立直线方程与圆 C 方程利用判别式计算即可.【小问 1 详解】设(),P x y，则()()22222,1PBxyPAxy=+=+，2PBPA=，(

44、)()2222241xyxy+=+，2240 xyy+=；【小问 2 详解】法一、222,40MBMAxyy+（即 M在圆 C上及圆 C 的内部），21 321mdm=+，25630mm，32 632 655m+，min32 65m=；法二、由题意可知直线与圆 C 有交点，联立方程2231040mxymxyy+=+=，()()22314310 xmxmmxm+=()()22221629630mxmm xmm+=0，化简得25630mm，32 632 655m+，min?32 65m=.20.己知点12(1,0),(1,0)FF，动点 P 满足关系式124PFPF+=（1）求动点 P 的轨迹 C

45、的方程；（2）l是过点1(1,0)F 且斜率为 2的直线，M是轨迹 C上（不在直线 l上）的动点，点 A 在直线 l上，且MAl，求1F A的最大值及此时点 M的坐标 【答案】（1）22143xy+=（2）5，31,2M【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义知，动点 P的轨迹为椭圆，再根据条件即可求出结果；（2）法一，设 M 的坐标为()00,xy，根据条件求出000024 242,55xyxyA+，从而得出001215xyF A+=，计算法 1，根据条件2200143xy+=，设002cos,(3sinxy=为参数)，利用参数方程即可求出结果；计算法 2，利用不等式得出()200162xy+，

46、进而可求出结果；法二，利用1F AM为直角三角形，即22211F AMFd=，从而求出001215xyF A+=，进而可求出结果；法三，利用几何意义，转化为直线ll，当l与椭圆相切时，l与 l的交点为 A，切点为 M，此时1F A最大再根据条件，联立方程2212143yxmxy=+=，得到2230 xmxm+=，利用0=和图形，得到2m=，从而可求出结果；法四，将问题转化为过1F且垂直 l的直线为l，则1F A为 M 到l的距离，易知，:210lxy+=，再利用参数方程即可求出结果.【小问 1 详解】121242PFPFFF+=，由椭圆定义知，动点 P轨迹为椭圆 且2a=，1c=，223bac

47、=，所以，动点 P 的轨迹 C的方程为22143xy+=.【小问 2 详解】解 1：设 M的坐标为()00,xy，且满足2200143xy+=,易知，直线:2(1)l yx=+，因为MAl，设直线()001:2MA yyxx=，的 由()002(1)12yxyyxx=+=，解得000024242,55xyxyxy+=，所以000024 242,55xyxyA+，又1(1,0)F，所以001215xyF A+=，计算法 1：因为2200143xy+=，设002cos,(3sinxy=为参数)，则00212 3sin2cos14sin16xy+=+=+，当3=时，0021xy+取得最大值为5，所以

48、1max 5F A=，又002cos1333sin32xy=，所以31,2M.计算法 2：因为()22222222222220000000000000000233124316161241616124164416xyxyxxyyxxyyxx yy+=+=+=+=，得到()200162xy+，当且仅当220031612xy=，即0032xy=时，取等号，00424xy+001maxmax2155xyF A+=，由220031612xy=和2200143xy+=，解得201x=，2094y=，又0024xy+=，得到0031,2xy=，所以31,2M 解 2：设 M的坐标为()00,xy，且满足22

49、00143xy+=，又直线:2(1)l yx=+，1(1,0)F，设点 M 到直线 l的距离为 d，则()22222200222000000001100212241424(1)555xyxyxyx yxyF AMFdxy+=+=，所以001215xyF A+=，又因为2200143xy+=，设002cos,(3sinxy=为参数)，则00212 3sin2cos14sin16xy+=+=+，当3=时，0021xy+取得最大值为5，所以1max 5F A=，又002cos1333sin32xy=，所以31,2M，解 3：转化为直线ll，当l与椭圆相切时，l与 l的交点为 A，切点为 M，此时1F

50、 A最大 设l方程为：12yxm=+，由2212143yxmxy=+=，消y得到2230 xmxm+=，由0=，得到224120mm+=，所以2m=，由图知，2m=，联立，122yx=+和2(1)yx=+，得到0,2xy=，故(0,2)A，又1(1,0)F，1max5F A=，将2m=代入2230 xmxm+=，得到2210 xx+=，所以1x=，32y=，此时31,2M.解 4：将问题转化为过1F且垂直 l的直线为l，则1F A为 M 到l的距离 易知，1:(1)2lyx=+，即:210lxy+=，设00(,)M xy，因为2200143xy+=，设002cos,(3sinxy=为参数)，则