中考数学二轮复习二次函数压轴题(等腰三角形及菱形问题).docx

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1、类型三 等腰三角形及菱形问题1. 如图，抛物线yax2bx4与x轴交于点A(3，0)，B(4，0)，与y轴交于点C，连接AC，BC.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PMx轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PEAC交x轴于点E，交BC于点F.请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值；试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由第1题图2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2bxc经过点A(5，0)和点B(1，

2、0)(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PEx轴于点E，PGy轴，交抛物线于点G，过点G作GFx轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；(3)如图，连接AD、BD，点M在线段AB上(不与A、B重合)，作DMNDBA，MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由第2题图3. 如图，已知二次函数yx2bxc(c0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且OBOC3，顶点为M.(1)求二次函数的解析式；(2)点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂

3、线PQ，垂足为Q.若OQm，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；探索：线段BM上存在点N，使NMC为等腰三角形时，请直接写出点N的坐标第3题图4. 如图，以x1为对称轴的抛物线yax2bxc的图象与x轴交于点A，点B(1，0)，与y轴交于点C(0，4)，作直线AC.(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线的对称轴上，且到直线AC和x轴的距离相等，设点P的纵坐标为m，求m的值；(3)点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线AC上，点Q为第一象限内抛物线上一点，若以点C、M、N、Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出点Q的坐标第4题图备用图类型三等腰三角形及菱形问题1

4、. 解：(1)将点A(3，0)，B(4，0)分别代入yax2bx4，得解得故抛物线的解析式为yx2x4；(2)如解图，过点F作FGPQ于点G，第1题解图则FGx轴由B(4，0)，C(0，4)得OBC为等腰直角三角形，OBCQFG45，GQFGFQ.PEAC，12.FGx轴，23，13.FGPAOC90，FGPAOC，即，GPFGFQFQ，QPGQGPFQFQFQ，FQQP.PMx轴，点P的横坐标为m，MBQ45，QMMB4m，PMm2m4，QPPMQMm2m4(4m)m2m，QFQP(m2m)m2m(0m4)0，m40，0m4.A(3，0)，C(0，4)，Q(m，m4)AC20(3)2(40)

5、225，CQ2(m0)2m4(4)22m2，AQ2m(3)2(m4)22m22m25，要使以A，C，Q为顶点的三角形为等腰三角形，可分三种情况讨论，当ACCQ时，即AC2CQ2，252m2，解得m1，m2(舍去)，点Q的坐标为(，4)；当ACAQ时，即AC2AQ2，252m22m25，解得m30(舍去)，m41，点Q的坐标为(1，3)；当AQCQ时，即AQ2CQ2，2m22m252m2，解得m5(舍去)综上所述，点Q的坐标为(，4)或(1，3)2. 解：(1)将点A(5，0)、B(1，0)代入抛物线解析式得，解得抛物线解析式为yx2x.yx2x(x2)24，顶点D的坐标为(2，4)；(2)令点

6、P的坐标为(x，x2x)(5x2)，又抛物线对称轴为x2，矩形PEFG的周长为2(PEPG)2(x2x)4(2x)x2x(x2x4)(x)2(5x2)0，52，即当x时，周长有最大值，此时点P的横坐标为；(3)存在点D为抛物线顶点，故ADBD，根据题意可知，DMN为等腰三角形时，有如下3种情况：当DNMN时，DMNADM.DMNDBADAB，ADMDAB，MDADAB, .根据点A、B、D坐标可得BDAD5，AB6，DM，DMNDBADABADM，DBANMD.，NDAD.则ANADDN5；当DMMN时，则有MDNDNM，由可知DMNDBADAB，DABANMAMN180，AMNDMNBMD1

7、80，ANMBMD，ANMBMD，AMBD5 ，ANBMABAM651；显然DMN中， DN和DM相等时，M点与B点重合，N点与A点重合，不符合题意综上所述，存在DMN为等腰三角形，此时，AN的长是或1.3. 解：(1)点B，C分别是抛物线与x轴，y轴的交点，OBOC3，B(3，0)，C(0，3)，将点B、C的坐标分别代入二次函数yx2bxc得，解得，二次函数的解析式为yx22x3；(2)yx22x3(x1)24，则顶点M(1，4)，点A，B关于直线x1对称，B(3，0)，A(1，0)设直线MB的解析式为ykxn(k0)，则有解得直线MB的解析式为y2x6.PQx轴，OQm，点P的坐标为(m，

8、2m6)点P为线段BM上的一个动点，1m3.SSRtAOCS四边形PQOCAOCO(PQCO)OQ13(2m63)mm2m(1m3)；(3)点N的坐标为(，)或(1，4)或(2，2)【解法提示】由于N是直线BM上一点，由(2)知，直线BM的解析式为y2x6，因此设点N(x，2x6)且1x3，由勾股定理可得：CM2(10)2(43)22，CN2x2(2x3)2，MN2(x1)2(2x2)2，根据题意可知NMC为等腰三角形时，有如下3种情况：当CMCN时，x2(2x3)22，解得x1，x21(舍去)，此时点N(，)；当CMMN时，(x1)2(2x2)22，解得x11，x21(舍去)，此时点N(1，

9、4)；当CNMN时，x2(2x3)2(x1)2(2x2)2，解得x2，此时点N(2，2)综上所述，点N的坐标为(，)或(1，4)或(2，2)4. 解：(1)点A与点B(1，0)关于直线x1对称，点A(3，0)，设抛物线解析式为ya(x1)(x3)，把C(0，4)代入得a1(3)4，解得a，抛物线的解析式为y(x1)(x3)，即yx2x4；(2)设直线AC的解析式为ykxp(k0)，把A(3，0)，C(0，4)代入得，解得，直线AC的解析式为yx4；令对称轴与直线AC交于点D，与x轴交于点E，作PHAD于点H，如解图，当x1时，y14，则点D(1，)，DE.在RtADE中，AD，设点P(1，m)

10、，则PD|m|，PHPE|m|，PDHADE，RtDPHRtDAE，即，解得m1或m4，即m的值为1或4；第4题解图(3)点Q的坐标为(1，)或(，)【解法提示】设点Q(t，t2t4)(0t3)，当CM为对角线时，四边形CQMN为菱形，如解图，则点N和点Q关于y轴对称，点N(t，t2t4)，把点N(t，t2t4)代入yx4得t4t2t4，解得t10(舍去)，t21，此时Q点坐标为(1，)；当CM为菱形的边时，四边形CNQM为菱形，如解图，则NQy轴，NQNC，点N(t，t4)NQt2t4(t4)t24t.而CN2t2(t44)2t2，即CNt，t24tt，解得t30(舍去)，t4，此时Q点坐标为(，)综上所述，点Q的坐标为(1，)或(，)图图第4题解图