中考数学二轮复习二次函数压轴题(三角形相似问题).docx

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1、类型六 三角形相似问题1.如图，已知抛物线经过A(1，0)，B(4，0)，C(0，2)三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m，0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M.(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；(2)已知点F(0，)，当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？(3)点P在线段AB上运动的过程中，是否存在点Q，使得以点B，Q，M为顶点的三角形与BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由第1题图2.如图，经过原点O的抛物线yax2bx(a0)与x轴交于另一点A(，0)，在第一象限内与直线yx交

2、于点B(2，t)(1)求该抛物线的表达式；(2)在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；(3)如图，若点M在该抛物线上，且MBOABO，在(2)的条件下，是否存在点P，使得POCMOB？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由第2题图3如图，抛物线yax2bxc与x轴交于A(1，0)，B(4，0)两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，与直线yxn交于B，C两点(1)求抛物线的解析式；(2)如图，若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P.过点P作PHAD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求P

3、HM周长的最大值；在直线EP的右侧、x轴下方的抛物线上是否存在点N，过点N作NGx轴交x轴于点G，使得以点E、N、G为顶点的三角形与AOC相似？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由第3题图类型六三角形相似问题1. 解：(1)抛物线过点A(1，0)，B(4，0)，设抛物线的表达式为ya(x1)(x4)(a0)，将点C(0，2)代入，得4a2，解得：a，抛物线的表达式为y(x1)(x4)x2x2；(2)点D与点C关于x轴对称，由抛物线的解析式，可知点C的坐标为(0，2)，点D的坐标为(0，2)由点B，D的坐标，可求得直线BD的表达式为yx2.F(0，)，D(0，2)DF.QMx轴，P

4、(m，0)，Q(m，m2m2)，M(m，m2)，QMm2m2(m2)m2m4，四边形DMQF是平行四边形，DFQM，即m2m4，解得m3或m1.当m3或m1时，四边形DMQF是平行四边形；(3)存在如解图第1题解图由B，D的坐标，可得OB4，OD2QMDF，ODBQMB.当以点B，Q，M为顶点的三角形与BOD相似时，有QBMBOD和BQMBOD两种情况：当QBMBOD时，DOBMBQ90，则，MBQ90，MBPPBQ90.MPBBPQ90，MBPBMP90.BMPPBQ.MBQBPQ.P(m，0)Q(m，m2m2)，则PB4m，PQm2m2.解得m4或m3.当m4时，点P、Q、M均与点B重合，

5、不能构成三角形，舍去，m3，点Q的坐标为(3，2)；当BQMBOD时，BQM90，此时点Q与点A重合，m1，点Q的坐标为(1，0)综上所述，存在点Q，使得以点B，Q，M为顶点的三角形与BOD相似，点Q的坐标为(3，2)或(1，0)2. 解：(1)B(2，t)在直线yx上，B(2，2)，把A(，0)和B(2，2)分别代入yax2bx中，得，解得该抛物线的表达式y2x23x；(2)过点C作直线CDx轴，交直线OB于点D，交x轴于点F，过点B作BECD于点E，如解图所示第2题解图设C(c，2c23c)，则D(c，c)CDc(2c23c)2c24c，BE2c，OFC，BE2C，SOBCSOCDSBCD

6、OFCDBECDCD(OFBE)2(2c24c)2.解得c1.点C的坐标为(1，1)；(3)存在连接AB、OM，设MB交y轴于点N，如解图所示第2题解图B(2，2)AOBNOB45，在AOB和NOB中，AOBNOB(ASA)，ONOA，N(0，)，由点B，N的坐标，可求得直线BN的解析式为yx.联立直线BN和抛物线的解析式，可得解得(舍去)，或.M(，)C(1，1)，COAAOB45，且B(2，2)OB2，OC，POCMOB，2，POCMOB.当点P在第一象限时，如解图所示，过点M作MGy轴于点G，过点P作PHx轴于点H.COABOG45，MOGPOH.且PHOMGO，MOGPOH，2.M(，

7、)，MG，OG，PHMG，OHOG.点P的坐标为(，)；第2题解图当点P在第三象限时，如解图所示，过点M作MGy轴于点G，过点P作PHy轴于点H.同理，可求出PHMG，OHOG.点P的坐标为(，)综上所述，存在点P，使得POCMOB，点P的坐标为(，)或(，)第2题解图3. 解：(1)把 B(4，0)代入直线yxn，得4n0，解得n4，直线BC的解析式为yx4.令x0，则y4，C(0，4)，设抛物线的解析式为ya(x1)(x4)(a0)，把C(0，4)代入得：4a4，解得a1，抛物线的解析式为yx23x4；(2)抛物线的解析式为yx23x4，抛物线的对称轴为直线x，C(0，4)，点D和点C关于

8、抛物线的对称轴对称，D(3，4)，设直线AD的解析式为ykxm(k0)将A(1，0)、D(3，4)代入，得，解得，直线AD的解析式为yx1.直线AD的一次项系数k1，BAD45.PM平行于y轴，AEP90，PMHAME45.MPH的周长PMMHPHPMMPPM(1)PM.设P(a，a23a4)，则M(a，a1)，则PMa1(a23a4)a22a3(a1)24(1a3)10，1a3，当a1时，PM有最大值，最大值为4.MPH周长的最大值4(1)44；存在，点G的坐标为(，0)或(，0)【解法提示】设点G的坐标为(m，0)，则N(m，m23m4)如解图，若 时，AOCEGN.则，整理得：m2m80.解得m1，m2(负值舍去)，点G的坐标为(，0)；如解图，若时，AOCNGE.则4，整理得：4m211m170.解得m3，m4(负值舍去)，点G的坐标为(，0)综上所述，点G的坐标为(，0)或(，0)图图第3题解图