广东深圳宝安区2023-2024学年高二上学期11月调研测试数学试卷含答案.pdf

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1、 答案第 1 页，共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 广东省深圳市宝安区广东省深圳市宝安区20232023-20242024学年高二上学期学年高二上学期1 11 1月调研测试卷月调研测试卷高二数学高二数学试题试题 一、单选题一、单选题 1已知空间向量()()0,1,2,1,2,2ab=，则向量a在向量b上的投影向量是（）A1 2 2,3 3 3 B2 4 4,3 3 3 C()2,4,4 D4 2 2,3 3 3 2三棱锥OABC中，D为 BC 的中点，E为 AD 的中点，若OAa,OBb,OCc=，则OE=（）A1122abc+B1122+abc C111244abc+D111244ab

2、c+3经过()()1,3,1,9AB两点的直线的一个方向向量为()1,k，则k=（）A13 B13 C3 D3 4已知直线1l的倾斜角是直线2l的倾斜角的 2 倍，且1l的斜率为34，则2l的斜率为（）A3 或13 B3 C13或3 D13 5设R，则“直线()311xy+=与直线()12xy+=平行”是“1=”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6过点()3,2P且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（）A10 xy=或0y=B50 xy+=或230 xy=C50 xy+=或0y=D10 xy=或230 xy=7直线1l，2l分别过点(2,2)P，()

3、1,3Q它们分别绕点 P和 Q 旋转，但保持平行，那么，它们之间的距离d 的取值范围是（）A(0,34 B()0,+C()34,+D)34,+8两定点 A，B的距离为 3，动点 M满足2MAMB=，则 M 点的轨迹长为（）A4 B2 3 C2 2 D2 二、多选题二、多选题 9直线l过点()1,2A，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l在y轴上的截距可能是（）答案第 2 页，共 4 页 A3 B0 C13 D1 10已知Rm，直线12:10,:10lmxylxmy+=+=，1l与2l交于点M，则下列说法正确的是（）A当1m=时，直线1l在x轴上的截距为 1 B不论m为何值，直线1l一定过

4、点(0,1)C点M在一个定圆上运动 D直线1l与直线2l关于直线yx=对称 11已知直线:(2)(21)10lm xmym+=，圆22:(1)(2)4Oxy+=，则下列命题正确的是（）Aa R，点(4,)Aa在圆外 BmR，使得直线l与圆O相切 C当直线l与圆O相交于 PQ时，交点弦PQ的最小值为2 3 D若在圆O上仅存在三个点到直线l的距离为 1，m的值为2 12下列关于空间向量的命题中，正确的有（）A直线l的方向向量()0.3,0a=，平面的法向量是()0,5,0u=，则/l B若,a b c是空间的一组基底，则向量,ab bc c+也是空间一组基底 C若非零向量,a b c满足,ab b

5、c，则有/a c D若,OA OB OC 是空间的一组基底，且111333ODOAOBOC=+，则,A B C D四点共面 三、填空题三、填空题 13若 a，b为正实数，直线()2110axy+=与直线10 xby+=互相垂直，则ab的最大值为 .14平行线250 xy+=与2450 xy+=间的距离为 15若圆22:2410C xyaxy+=关于直线10 xy+=对称，则此圆的半径为 16直线:10l xmym+=被圆()22:15C xy+=截得的最短弦长为 .四、解答题四、解答题 17已知ABC的三个顶点分别为()0,2A、()4,3B、()3,1C求：(1)边AC上的高所在直线2l的方

6、程；(2)边AC上的中线所在直线3l的方程 答案第 3 页，共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 18在直三棱柱111ABCABC中，D，E分别是1AA，BC的中点，1ACBC=，12AA=，90BCA=.(1)求证：/AE平面1C BD；(2)求二面角1DBCC的余弦值.19在平面直角坐标系中，圆 C过点()()4,0,2,2AB，且圆心 C在20 xy+=上(1)求圆 C的方程；(2)若点 D为所求圆上任意一点，定点 E 的坐标为()5,0，求直线 DE的中点 M 的轨迹方程 20如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA 底面ABCD，3PAAD=，点F是棱PD的中点，点E

7、是棱DC上一点(1)证明：AFEF；(2)若E是棱DC上靠近点D的三等分点，求点B到平面AEF的距离 21已知两圆221:2610Cxyxy+=和222:6120Cxyxym+=，求：答案第 4 页，共 4 页(1)当m取何值时两圆外切？(2)当9m=时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.22已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，/AB DC，90DAB=，PD 底面ABCD，且22PDDACDAB=，M点为PC的中点(1)求证：/BM平面PAD；(2)平面PAD内是否存在点N，使MN 平面PBD？若存在，求出点N坐标；若不存在，说明理由.答案第 1 页，共 12 页 学科网（北京）股

8、份有限公司 参考答案：参考答案：1B【分析】根据已知求出,a b b ，进而即可根据投影向量求出答案.【详解】由已知可得，6a b=，3b=，所以，向量a在向量b上的投影向量是2 4 4,2333 3a b bbbb=.故选：B.2D【分析】利用给定的空间向量的基底，结合空间向量的线性运算表示OE 作答.【详解】三棱锥OABC中，D为 BC 的中点，E 为 AD 的中点，且OAa,OBb,OCc=，如图，1111 1111()2222 2244OEOAODOAOBOCabc=+=+=+.故选：D 3D【分析】根据斜率公式求得3ABk=，结合直线的方向向量的定义，即可求解.【详解】由点()()1

9、,3,1,9AB，可得直线AB的斜率为9331 1ABk=+，因为经过,A B两点的直线的一个方向向量为()1,k，所以3k=.故选：D.4B【分析】利用倾斜角与斜率的关系求解.【详解】设2l的倾斜角为，由22tan3tan21tan4=，即23tan8tan30=，解得tan3=或13，答案第 2 页，共 12 页 因为3tan204=，且 d 可以无限接近于 0.【详解】如图所示：答案第 3 页，共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 当直线PQ与直线1l，2l均不垂直的时候，它们之间的距离即为QR，当直线PQ与直线1l，2l均垂直的时候，它们之间的距离即为QP，所以当且仅当QR与QP重

10、合时，d 有最大值()()22max2 12334d=+=，可以发现旋转到一定程度时直线PQ与直线1l，2l均无限接近的时候，d 无限趋于 0，但注意到直线1l，2l平行，且直线是连续旋转的，因此直线1l，2l之间的距离 d的取值范围是(0,34.故选：A.8A【分析】由题意建立坐标系，由题意可得点 M 的轨迹方程，进而可得 M 点的轨迹长【详解】以点 A为坐标原点，直线 AB 为 x 轴，建立直角坐标系，如图，则()0,0,(3,0)AB，设点(,)M x y，由2MAMB=，得22222(3)xyxy+=+，化简并整理得：22(4)4xy+=，于是得点 M 的轨迹是以点(4,0)为圆心，2

11、 为半径的圆，其周长为4，所以 M 点的轨迹长为4.故选：A.9ABD【分析】通过讨论直线截距是否为0的情况，即可得出结论 答案第 4 页，共 12 页【详解】由题意，直线l过点()1,2A，在两坐标轴上的截距的绝对值相等，当直线l的截距为 0 时，显然满足题意，为：:2l yx=；当直线l的截距不为 0 时，设横、纵截距分别为,a b，则直线方程为：1xyab+=，121abab+=，解得：1b=或3，直线l的纵截距可取0,1,3.故选：ABD.10BC【分析】A 由解析式确定 x 轴上的截距判断；由方程确定1l与2l相互垂直及所过定点坐标判断 B、C；根据对称轴为yx=，互换其中一条直线的

12、,x y判断是否与另一直线方程相同判断 D.【详解】当1m=时，直线1:10lxy+=在 x轴上的截距为1，故 A 错误；直线1:10lmxy+=，当0 x=时1y=恒成立，所以1l恒过定点(0,1)，故 B 正确；因为不论m取何值，直线1l与2l都互相垂直，且1l恒过定点(0,1)，2l恒过定点(1,0)，所以点M在以(0,1)和(1,0)为直径的端点的圆上运动，故 C 正确；将方程10mxy+=中的,x y互换得到10myx+=，与直线2l的方程不一致，故 D 错误.故选：BC 11ACD【分析】根据点与圆的位置关系判断 A，由直线系所过定点在圆内判断 B，根据交点弦的性质求解可判断 C，

13、根据圆与直线的位置关系判断 D.【详解】将点A的坐标代入圆O的方程，得2223(2)9(2)4aa+=+，所以点(4)Aa，在圆外，故 A 正确；整理直线l的方程为l：(21)210m xyxy+=，由210210 xyxy+=+=解得11xy=，可知直线过定点(1,1)，将定点代入圆O的方程，可得22(1 1)(12)14+=，所以定点(11)，在圆内，则直线l与圆O一定相交，故 B 错误；当圆心(1,2)与直线所过定点(1,1)的连线垂直于直线时，交点弦长最小，此时圆心到直线的距离为1d=，由勾股定理知|2 4 12 3PQ=，故 C 正确；答案第 5 页，共 12 页 学科网（北京）股份

14、有限公司 当圆心到直线的距离为 1 时，在圆O上仅存在三个点到直线l的距离为 1，即22|2421|1(2)(21)mmmdmm+=+，解得2m=，故 D 正确.故选：ACD.12BD【分析】根据空间向量基本定理，以及直线方向向量与平面法向量的关系判断即可.【详解】对于 A，直线l的方向向量()0.3,0a=，平面的法向量是()0,5,0u=，此时35au=，所以l，故 A 错误；对于 B，因为,a b c是空间的一组基底，所以对于空间中的任意一个向量m，存在唯一的实数组(),x y z，使得()()()222xyzyzxxzymxaybzcabbcac+=+=+，由空间向量的基本定理可知，向

15、量,ab bc c+也是空间一组基底，故 B 正确；对于 C，若非零向量,a b c满足,ab bc，则a与c关系不定，有可能平行，故 C 错误；对于 D，若,OA OB OC 是空间的一组基底，且111333ODOAOBOC=+，1111333+=，由空间向量的基本定理可得，,A B C D四点共面，故 D 正确.故选：BD.1318/0.125【分析】由直线垂直的条件求得,a b关系，再由基本不等式得最大值【详解】由题意210ab+=，即21ab+=，由基本不等式得122 2abab=+，所以18ab，当且仅当2ab=，即11,42ab时等号成立 故答案为：18 1452/152【分析】利

16、用平行线间的距离公式计算可得答案.【详解】将方程250 xy+=两边乘以 2，得24100 xy+=，所以两平行线间的距离为()221055224=+故答案为：52 答案第 6 页，共 12 页 152 3【分析】即圆心在直线上，代入解出即可求.【详解】因为圆22:2410C xyaxy+=关于直线10 xy+=对称，所以圆心(),2C a 在直线10 xy+=上，得3a=，得()()223212xy+=，所以212r=，半径为2 3 故答案为：2 3 164【分析】求出直线过定点()1,1P，当PCl时直线l被圆()22:15C xy+=截得的最短弦长，从而求出最短弦长.【详解】直线:10l

17、 xmym+=，即()()110ymx+=，令1010 xy=+=，解得11xy=，所以直线l恒过点()1,1P，又圆()22:15C xy+=的圆心为()0,1C，半径5r=，因为1PC=，当PCl时直线l被圆()22:15C xy+=截得的最短弦长，最短弦长为()222222514rPC=.故答案为：4 17(1)10 xy+=(2)10 xy+=答案第 7 页，共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 【分析】（1）求解边 AC所在直线的方程，再根据直线垂直斜率关系求解即可；（2）求解AC中点，结合直线垂直的斜率关系求解.【详解】（1）因为()0,2A、()3,1C，故112130lAC

18、kk+=，边 AC所在直线的方程为：2yx，即1l为：20 xy=，由11lk=，故121llk k=所以 AC 边上的高所在直线2l的斜率为21lk=，又()4,3B，故2l为：()34yx+=，即10 xy+=；（2）设 AC边上的中点为 D，则032 1,22D+，即31,22D，故 AC边上的中线 BD所在直线的方程3l的斜率为31321342lk+=，故3l为：()34yx+=，即10 xy+=.18(1)证明见解析(2)66 【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可证明线面平行；（2）根据题意，利用空间向量的距离求法，即可得到结果；（3）根据题意，利用

19、空间向量的夹角的余弦表示，即可得到结果.【详解】（1）因为111ABCABC为直三棱柱，则1C C 平面ABC，且90BCA=，以C的原点，1,CA CB CC分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，答案第 8 页，共 12 页 因为1ACBC=，12AA=，且D，E分别是1AA，BC的中点，则()()()()()110,0,0,1,0,0,0,0,2,0,1,0,1,0,1,0,02CACBDE，所以11,02AE=,()()110,1,2,1,0,1C BC D=，设平面1C BD的法向量为(),nx y z=，则11200n C Byzn C Dxz=，则2xzyz

20、=，取1z=，则1,2xy=，则平面1C BD的一个法向量为()1,2,1n=，因为AE 平面1C BD，且0AE n=，则/AE平面1C BD.（2）（3）由（1）可知，平面1C BD的一个法向量为()1,2,1n=，显然x轴垂直于平面1CC B，不妨取其法向量为()1,0,0m=，设二面角1DBCC所对应的平面角为，则16coscos,616m nm nmn=，显然二面角1DBCC为锐二面角，则6cos6=，即二面角1DBCC的余弦值为66.19(1)22(2)4xy+=(2)2245704xxy+=【分析】（1）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而

21、确定 答案第 9 页，共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 其方程；（2）首先设出点 M的坐标，利用中点得到点 D 坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点 M 的轨迹方程.【详解】（1）由已知可设圆心(,2)C aa，又由已知得CACB=，从而有()()()()2222420222aaaa+=+，解得：2a=于是圆 C 的圆心(2,0)C，半径()()222420raa+=所以，圆 C的方程为22(2)4xy+=,（2）设()11(,),M x y D x y，则由 M 为线段 ED的中点得：115202xxyy+=+=，解得11252xxyy=，又点 D在圆 C：22(2)4xy+=上，所

22、以有22(2)()4252xy+=，化简得：2245704xxy+=故所求的轨迹方程为2245704xxy+=20(1)证明见解析(2)9 1111 【分析】（1）先证明CD 平面PAD，则有AFCD，再证明AF 平面PCD，根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）因为PA 底面ABCD，CD 底面ABCD，所以PACD，又,ADCD PAADA PA AD=平面PAD，所以CD 平面PAD，又AF 平面PAD，所以AFCD，因为PAAD=，点F是棱PD的中点，所以AFPD，又,PDCDD PD CD=平面PCD，答案第 10 页，共

23、 12 页 所以AF 平面PCD，又EF 平面PCD，所以AFEF；（2）如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，则()()()3 30,0,0,3,0,0,1,3,0,0,2 2ABEF，故()()3 33,0,0,1,3,0,0,2 2ABAEAF=，设平面AEF的法向量为(),nx y z=，则3033022n AExyn AFyz=+=+=，令3x=，则1,1yz=，所以()3,1,1n=，所以点B到平面AEF的距离为99 111111n ABn=21(1)41(2)4350 xy+=；2 5 【分析】（1）利用配方法，结合两圆外切的性质进行求解即可；（2）根据两圆公共弦的性质，结合点到

24、直线距离公式、圆的垂径定理进行求解即可.【详解】（1）由已知化简两圆的方程为标准方程分别为：()()222122:(1)(3)9,(3)64545CxyxCym m+=+=，所以()()11221,3,3,3,6,45CrCrm=，因为两圆外切，所以221212(1 3)(36)C Crr=+=+，即3455m+=，答案第 11 页，共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 所以41m=；（2）当9m=时，222212:2610,:61290CxyxyCxyxy+=+=，两圆相减得：86100 xy+=，所以两圆的公共弦所在直线的方程为4350 xy+=，圆心()11,3C到直线4350 xy

25、+=的距离为22495243d+=+，所以公共弦长为22122 942 5rd=.22(1)证明见解析(2)存在，1,12N0 【分析】（1）以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，利用空间向量法可证明出/BM平面PAD；（2）设(),0,N xz是平面PAD内一点，由MN 平面PBD得出00MN DPMN DB=，可求得x、z的值，进而可确定点N的坐标.【详解】（1）PD 底面ABCD，/CD AB，CDAD 以D为原点，DA、DC、DP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，由于22PDCDDAAB=所以()0,0,0D，()2,0,0A，()2,1,0B，()0,2,0C，()0 0 2P,，()0,1,1M，易知，平面PAD的一个法向量为()0,2,0DC=，答案第 12 页，共 12 页 又()2,0,1BM=，0DC BM=，则DCBM.又BM 平面PAD，/BM平面PAD；（2）存在1,12N0满足要求，理由如下：设(),0,N xz是平面PAD内一点，则(),1,1MNxz=，()0,0,2DP=，()2,1,0DB=，若MN 平面PBD，则00MN DPMN DB=，()210210zx=，即121xz=.因此，在平面PAD内存在点1,12N0，使MN 平面PBD