江苏省常州市教育学会2023-2024学年高三上学期期中数学试题含答案.pdf

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1、学科网（北京）股份有限公司常州市教育学会学业水平监测常州市教育学会学业水平监测高三数学高三数学 2023 年年 11 月月注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上2回答选择题时，选出每小题答案后，用回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷

2、上无效3考试结束后，将答题卡交回考试结束后，将答题卡交回一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合310,1Ax xBxx，则RAB （）A1,3 B1,3 C1,3 D1,32i 是虚数单位，复数i1i在复平面内的对应点位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3函数 22 ln1f xxx的部分图象为（）A BC D4某学生社团举办数学史知识竞赛，经海选，甲、乙、丙、丁四位同学参加最后一轮的现场决赛，角逐唯一

3、的冠军有四位观赛同学对冠军的预测如下：“甲或乙是冠军”、“甲是冠军”、“丁是冠军”、“乙、丙两人都不是冠军”学科网（北京）股份有限公司若赛后发现，这四位同学中有且只有两位预测正确，则冠军是（）A甲 B乙 C丙 D丁5已知0,2，且3cos2sin1，则（）A2sin3 B2cos3 C5sin23 D5cos23 6 已 知 四 棱 台1111ABCDABC D的 两 底 面 均 为 长 方 形，且 上 下 底 面 中 心 的 连 线 与 底 面 垂 直 若119,6,3ABADAB，棱台的体积为26 3，则该棱台的表面积是（）A60 B16 312 7 C8 36 760 D16 317 7

4、607已知函数 cos(0)fxx，点,A B分别为 fx图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O为坐标原点，若OAB为锐角三角形，则的取值范围为（）A20,2 2,22 C0,2 D2,28.居民的某疾病发病率为1%，现进行普查化验，医学研究表明，化验结果是可能存有误差的已知患有该疾病的人其化验结果99%呈阳性，而没有患该疾病的人其化验结果1%呈阳性现有某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是（）A0.99 B0.9 C0.5 D0.1二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部

5、选对的得分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分9已知函数 32fxxaxbxc，且 31120fff，则（）A2a B1b C03c D12c 10某高校有在校学生 9000 人，其中男生 4000 人，女生 5000 人，为了解学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机调查了 40 名男生和 50 名女生，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过 3 小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如下表，则（）古文迷非古文迷男生2020女生4010参考公式：22()n adbcKabcdac

6、bd，其中nabcd参考数据：学科网（北京）股份有限公司20P Kk0.500.400.250.050.0250.0100k0.4550.7081.3213.8415.0246.635A该校某位学生为古文迷的概率的估计值为 0.6B随机调查的男女生人数符合分层抽样的抽样方法C有99%的把握认为学生是否为“古文迷”与性别有关系D没有99%的把握认为学生是否为“古文迷”与性别有关系11设ABC内角,A B C所对的边为,a b c，则下列说法正确的有（）A若2sinsinsinABC，则3C B若sinsin2sinABC，则3CC若2C，则可能有444abc D若2C，则可能有112abc12已

7、知AB为圆柱的母线，BD为圆柱底面圆的直径，且4ABBDO,为AD的中点，点C在底面圆周上运动（不与点,B D重合），则（）A平面ABC 平面OCDB当BCCD时，点A沿圆柱表面到点C的最短距离是216C三棱锥DOBC的体积最大值是163DAC与平面ABD所成角的正切值的最大值是212三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13将 5 本不同的书分发给 4 位同学，其中甲、乙两本书不能同时发给某一位同学，每位同学都发到书，每本书只能给一位同学，则不同的分配方案数为_（用数字作答）14在提醒ABCD中，已知,2,1,60ABDC ABADB

8、CABC，点,E F分别在线段BC和CD上，则AE AF 的最大值为_15若关于x的方程ln2xtx有两个不相等的实数根，则实数t的取值范围是_16在平面凸四边形ABCD中，2,CBCDABAD，且60,90BADBCD，将四边形ABCD沿对角线BD折起，使点A到达点E的位置若二面角EBDC的大小范围是5,36，则三棱锥EBCD的外接球表面积的取值范围是_四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10 分）某校数学建模学生社团进行了一项实验研究，采集了xy、的一组数据如下表所示：学科网

9、（北京）股份有限公司x234567y52.54540302517.5该社团对上述数据进行了分析，发现y与x之间具有线性相关关系附：在线性回归方程yabx中，1221,()niiiniix ynxybaybxxn x，其中,x y为样本平均值（1）画出表中数据的散点图，并指出y与x之间的相关系数r是正还是负；（2）求出y关于x的线性回归方程，并写出当9x 时，预测数据y的值18（12 分）已知ABC中，90BAC，点,M N在边BC上，,AM AN三等分BAC，M靠近,B N靠近C（1）若2ANMN，且4AB，求BM；（2）若11BCBM，求BNBM19（12 分）已知函数 2212ln,2af

10、 xxaxx aR（1）讨论 fx的单调性；（2）对于1,e,2,xb ，使得 fxb，求实数a的取值范围20（12 分）盒子里放着三张卡片，一张卡片两面都是红色，一张卡片两面都是黑色，剩下的一张卡片一面是红色一面是黑色（1）随机抽出一张卡片并随机展示它一面的颜色假设展示的这一面的颜色是红色，那么剩下一面的颜色也是红色的概率是多少？（2）随机抽出一张卡片并随机展示它一面的颜色，放回后，再随机抽出一张卡片并随机展示它一面的颜色 两次展示的颜色中，黑色的次数记为 X，求随机变量 X 的分布和数学期望21（12 分）已知三棱柱111ABCABC，2ABAC，111360AAA ABA ACBAC ，

11、,M N为线段11,AC BA上的点，且满足11(01)AMBNttACBA 学科网（北京）股份有限公司（1）求证：MN平面ABC；（2）求证：1BBBC；（3）设平面MNA平面ABCl，已知二面角MlC 的正弦值为33，求t的值22（12 分）已知函数 sin0,02f xAx的部分图象如图所示将函数 fx的图象向左平移6个单位长度得到函数 g x的图象，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数 h x的图象（1）求函数 fx的解析式，并直接写出函数 ,g xh x的解析式；（2）若 2F xg xah x在*0,nnN内恰有 2023 个零点，求实数a与正整数n

12、的值常州市教育学会常州市教育学会 学业水平监测学业水平监测高三数学高三数学参考答案参考答案学科网（北京）股份有限公司一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1【答案】C【解析】R1,03,03Ax xBx xxBxx或，R13ABxx，选 C2【答案】A【解析】2i 1iiii1i1i222位于第一象限，选 A3【答案】D【解析】fx为奇函数关于原点对称，排除 BC，12x时，0fx，排除 A，选 D4【答案】D【解析】若甲是冠

13、军，则三位预测正确，A 错若乙是冠军，则一位预测正确，B 错若丙是冠军，则没人预测正确，C 错若丁是冠军，则两人预测正确，D 对，选 D5【答案】A【解析】3cos2sin1，则23 12sinsin1，则22sinsin33，A 对5coscos3 ，错5sincos23，C 错，2cossin23 ，D 错，选 A6【答案】D【解析】54S上，3 26S下，154654626 33Vh，3h，侧棱11334AA，1 11 113976 73ABB ACDD CSS，1 11 11622 38 32ADD ABCC BSS，6012 716 3S底，选 D7【答案】B【解析】2,1,1,AB

14、AOB为锐角三角形，2220,10OA OB ，学科网（北京）股份有限公司220,202AO AB 恒成立；0BO BA ，2220，22，选 B8【答案】C【解 析】记“阳 性”为A，记“患 病”为B，99%P A B，1%P B A，1%99%1%P ABP ABP BP B，99%1%P AB，1%99%1%P APAP ABB，99%1%0.51%99%1%P ABP B AP A，选 C二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求题目要求.全部选对的得

15、全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分9【答案】AD【解析】112fxxxxm，30m，2cm，12c，D 对，C 错1 12,2aa ，A 对1 1121 2,1bb ，B 错本题考查知识点：三次函数韦达定理：32fxaxbxcxd有三个零点123,x x x，则123bxxxa，121323123,cdx xx xx xx x xaa 10【答案】BC【解析】6010.69000150，A 错4000:500040:50，B 对2290(20 102040)96.63560304050K，C 对，D 错，选 BC11【答案】ABD【解

16、析】2sin sinsinABC，则2abc，2222221cos,22223abcababababCCababab，A学科网（北京）股份有限公司对sinsin2sin,2,2abABCabc c，2222222222()4424cos228abababaabbabcCababab22332621,8823ababababCabab，B 对2C，则2220abc，即222abc，则442242aba bc与444abc矛盾，C 错2C，则222abc，不妨设2,3,1abc，则11223，D 对选 ABD12【答案】AB【解析】C在以BD为直径的圆上，CDCB，又,ABCDCD面ABC，面AB

17、C 面OCD，A 对BCCD时，C为半圆中点，展开后BC，2min16AC，B 对O到面BCD的距离为 2，14242BCDS，184233O BCDV，C 错BD为直径作EFBD为另一条直径，EF为面ABD的直径，以BD中点建系，面ABD的法向量的1,0,0n，0,2,4A，4cos,4sin,0C，4cos,4sin2,4AC设AC与面ABD所成的角为，学科网（北京）股份有限公司224 cos4 cossincos,16sin3616cos16sin16sin416AC n 22cos1sin224sin94sin9，2186514sin9,5,13,sin20,182 65162ttt

18、tt，max1sin13152，tan最大值不是212，D 错，选 AB三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13【答案】216【解析】5 本书送 4 人共有2454C A240，甲，乙送一人有44A24个结果，2402421614【答案】3【解析】如图建系，12,0,2BBMAN，33,2 12C，学科网（北京）股份有限公司设31 3,22 2E mm，令BFBC ，32,0,122F，3333322224424224mmAE AFmmmm 9334415【答案】0,【解析】22122ln1lnln,2(2)(2)xxxxxxfxfx

19、xxx，2222121ln,0,2xg xx gxxxxxx，g x在0,2，2,，max()21 1ln20g xg ，0fx fx在0,2，2,，01x时，0fx；2x 时，0fx；12x，0fx，fxt有两个根0t 16【答案】1628,33【解析】2,90,2CBCDBCDBDABAD，学科网（北京）股份有限公司利用双距离单交线公式，EBD外心1O到BD的距离3132233m ，BCD的外心2O到BD的距离0,nEBDC交线2lBD，设二面角EBDC平面角为，外接球半径为R，22222212cos531,sin4sin36mnmnlR，22147sin1,433R，三棱锥EBCD外接球

20、的表面积216284,33SR表应填：1628,33注：第 16 题考得是进阶班第二讲外接球的公式，双距离单交线公式的运用四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17【解析】（1）r是负（2）23456752.545403025 17.54.5,3566xy66211882.5,139iiiiix yx61622216822.564.5 35713964.56iiiiix yxybxx 35(7)4.566.5aybx，关于x线性回归方程为66.57yx学科网（北京）股份有限公司当9x 时

21、，3.5y 18【解析】（1）30BAMMANNAC，在AMN中，,2sinsin30ANMNANMNAMN，sin1,90,4sin302AMNAMNBM （2）设BMt，1111BCBMt，故10CMt，在ACM中，由正弦定理sin 90sin60AMCMB22010 coscos33tAMtBB，在ABM中，由正弦定理2 sinsinsin30AMBMAMtBB，20 cos102 sin,tan33tBtBB在AMN中，sinsin30sin 120sin30AMMNAMMNANMBsin201331cossin22tBtMNBB，20331313ttBNBMt19【解析】（1）221

22、212221axaxaxxfxaxaxxx，当0a 时，0fxfx，在0,上；学科网（北京）股份有限公司当0a 时，令 10fxxa且当10 xa时，0,fxfx；当1xa时，0,fxfx（2）min2fxb对1,ex 恒成立当1a 时，51122af，舍去当1a 时，0fxfx，在1,e上，故只需 5611225afa 符合综上：65a 20【解析】（1）记事件A为展示的一面颜色是红色，事件B为剩下一面的颜色也是红色 11111,33223P ABP B AP AP ABP A，123132P B A（2）随机抽出一张卡片，颜色是黑色的概率为 112P A，12,2XB的二项分布X的所有可能

23、取值为 0，1，2211024P X，212111C22P X，124P X，X的分布列如下：X012P14121411122E X 或由1212E XnP21【解析】学科网（北京）股份有限公司（1）过,M N分别作1MECC交AC于点1,E NFA A交AB于点F，11MEAMCCAC且111111,NFBNAMBNMENFAABAACBACCAA，MENF，四边形MEFN为平行四边形，MNEFMN，平面ABC（2）11113,2,BBBCBCACABACABAA ，2111144922222322313222BC ，113BC，22211BBBCBC，1BBBC（3）取BC中点D，连接1,

24、AD ADABC为等边三角形且2AB，3AD在1A AB中，114922372AB ，由111,7A ABA ACAC在1AAC中，D为BC中点，1ADBC，1716AD，222111,ADADAAADAD如图，分别以1,DA DB DA 为,x y z轴建立空间直角坐标系113,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,6,3,1,6ABCAC132 3,6AMtACMttt，又1BNtBA，0,1,6Ntt，2 33,1,0,2 3,6MNtAMttt ，设平面AMN的一个法向量,nx y z，学科网（北京）股份有限公司12 3303 21,32 3,222 360txyntttxtytz而

25、平面ABC的一个法向量12221223 2220,0,13 21(32 3)22tnnnn ntt ，23263283617ttt，12t 或72222【解析】（1）由图象知 fx周期2,2T，且52,12kkZ5,0,626k再由 01sin12,2sin 26fAAf xx ，2sin 22sin 22cos2,2cos662g xxxx h xx（2）22cos22cos2 12sin2 sin02F xxaxxax22sinsin10 xax 令2sin,210 xttat 两根记为12,t t，其中120tt，作出sinyx在0,xn上的大致图象如下：学科网（北京）股份有限公司显然12,t t中有一个为1或 1当11t 时1a，此时212t，当n为偶数时，1sin2t 有n个交点，sin1t 有2n个交点，此时2023,2nnnZ舍去当n为奇数时，1sin2t 有1n 个解，sin1t 有12n 个解，有3120232nnZ，舍去当21t 时，1a ，此时112t 当n为偶数时，sin1t 有2n个交点，1sin2t 有n个交点，此时32023,2nnZ舍去当n为奇数时，sin1t 有12n 个解，1sin2t 有1n 个解11202313492nnn，故1,1349an