辽宁省实验中学2023-2024学年高三上学期期中数学试题含答案.pdf

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1、第 1 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司辽宁省实验中学辽宁省实验中学 20232024 学年度上学期期中阶段测试高三年级数学试卷学年度上学期期中阶段测试高三年级数学试卷考试时间考试时间 120 分钟分钟 试题满分试题满分 150 分第分第卷（选择题）一、单选题本题共卷（选择题）一、单选题本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合1,2,3,4,5U，1,2,3A，2,5B，则UAB（）A.2B.2,3C.3D.1,32.若2:(1)30,:2pxxx

2、q x，则 p 是 q 的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.幂函数 f（x）的图象过点124，则 f（x）的一个单调递减区间是（）A （0，+）B.0，+）C.（，0D.（，0）4.欧拉公式iecosisinxxx（其中i为虚数单位，xR），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，i3e的共轭复数为（）A.13i22B.13i22C.13i22D.13i225.已知角终边与单位圆的交点为3 4,5 5P，则1 sin222c

3、os2的值为（）A.1B.75C.95D.1356.在平行四边形 ABCD 中，23BAD，2AB，1AD，E 为 AB 的中点，若BFBC ，且AFDE，则（）.第 2 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司A.1B.12C.1D.27.已知函数 e1e1xxf x，若对任意的正数a、b，满足 220f afb，则21ab的最小值为（）A.2B.4C.6D.88.在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足2ba ac，则bca的取值范围为（）A.1,5B.21,5C.1,32D.21,32二、多选题本大题共二、多选题本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，甚分，

4、甚 20 分，在每小题的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分，在每小题的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分9.m、n是两条不同的直线，、是两个不重合的平面，下列说法正确的是（）A.m、n是异面直线，若/m，/m，/n，/n，则/B.若/，/m，则/mC.若mn，m，n，则D.若m，/m n，/n，则10.关于函数 32sin 34f xx，下列说法正确的是（）A.由120f xf x，可得12xx必是23的整数倍B.2cos 34f xx C.f x图像可由2sin3yx向右平移34个单位得到D.f

5、x在5,12 12上为增函数11.九章算术是我国古代数学中经典，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑在阳马PABCD中，侧棱PD 底面ABCD，且PDCDa，点E是PC的中点，连接DE，BD，BE以下结论正确的有（）的第 3 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司A.DE平面PABB.四面体EBCD是鳖臑C.若阳马PABCD的体积为1V，四面体EBCD的体积为2V，则124VVD.若四面体EBCD的外接球的体积为332a，则2CDAD12.定义在R上的函数 f x满足：21fx为奇函数，且 448f xfxx，则（）A.f x的

6、图象关于1,0对称B.4 是 f x的一个周期C.20234048fD.10132024f第第卷（非选择题）卷（非选择题）三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填写在答题纸相应位置上分把答案填写在答题纸相应位置上13.函数 3ln2xf x 导函数 fx_14.已知动点P在正方体1111ABCDABC D的对角线1BD（不含端点）上设11D PD B，若APC为钝角，则实数的值为_15.如图是两个直角三角形板拼成平面图形，其中90BADBCD，45ABDADB，30BDC，1BC，则AC BD _16.在正三棱锥PABC中，E、

7、F分别是PA、AB的中点，90CEF若1AB，则三棱锥EABC的外接球的表面积为_四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知数列 na的前n项的和为nS，且113a，113nnnaan.（1）证明数列nan是等比数列，并求 na的通项公式；的的第 4 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司（2）求数列 na前n项的和nS.18.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sincosacBCb，（1）求角B的大小；（2）若3a，2c，求sinC的值.19.某职称考试

8、有 A，B 两门课程，每年每门课程均分别有一次考试机会，若某门课程上一年通过，则下一年不再参加该科考试，只要在连续两年内两门课程均通过就能获得该职称.某考生准备今年两门课程全部参加考试，预测每门课程今年通过的概率均为12；若两门均没有通过，则明年每门课程通过的概率均为23；若只有一门没过，则明年这门课程通过的概率为34（1）求该考生两年内可获得该职称的概率；（2）设该考生两年内参加考试的次数为随机变量 X，求 X 的分布列与数学期望.20.直三棱柱111ABCABC-中，底面ABC是等腰直角三角形,90ACB，2ACBC，,D E分别为11,CC AB中点且E在平面ABD上的射影是ABD的重心

9、G.（1）求证：/DE平面ABC；（2）求二面角BADE的平面角的余弦值21.已知函数 e22xf xaxx（1）若曲线 f x在点 1,1f处的切线与直线yx平行，求该切线方程；（2）当0 x 时，0f x 恒成立，求 a 的取值范围22.已知函数 1exf xax，0,1x，fx为其导函数函数 f x在其定义域0,1内有零点0 x（1）求实数 a 的取值范围；（2）设函数 0g xfxmxf m，求证：对任意的0,1m且0mx，00g mg x的第 5 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司（3）求证：0111xa 第 1 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司辽宁省实验中学辽宁省实

10、验中学 20232024 学年度上学期期中阶段测试学年度上学期期中阶段测试高三年级数学试卷高三年级数学试卷考试时间考试时间 120 分钟分钟 试题满分试题满分 150 分分命题人：高三数学组命题人：高三数学组 校对人：高三数学组校对人：高三数学组第第卷（选择题）卷（选择题）一、单选题本题共一、单选题本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合1,2,3,4,5U，1,2,3A，2,5B，则UAB（）A.2B.2,3C.3D.1,3【答案】D【解析】【分析】先求

11、UC B，再求交集即可.【详解】由题意可知：1,3,4UC B，()1,3UAC B故选：D.【点睛】本题考查集合的补运算、交运算，属基础题.2.若2:(1)30,:2pxxxq x，则 p 是 q 的 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先根据不等式成立条件求出x的取值范围，然后根据充分必要条件的判断原则即可选出答案.【详解】解：由题意得：由2(1)303xxxx，所以2(1)30 xxx的定义域为3,，显然2,是3,的真子集，所以 p 是 q 的必要而不充分条件.故选：B的第 2 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司3

12、.幂函数 f（x）的图象过点124，则 f（x）的一个单调递减区间是（）A.（0，+）B.0，+）C.（，0D.（，0）【答案】A【解析】【分析】设()f xx,根据1(2)4f,解出2,根据幂函数的单调性可得答案.【详解】设()f xx,则1(2)4f,即124,所以2,所以2()f xx,所以2()f xx的递减区间为(0,),故选:A【点睛】本题考查了求幂函数的解析式,考查了幂函数的单调性,属于基础题.4.欧拉公式iecosisinxxx（其中i为虚数单位，xR），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要

13、的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，i3e的共轭复数为（）A.13i22B.13i22C.13i22D.13i22【答案】A【解析】【分析】直接计算得到13i22z，再计算共轭复数得到答案.【详解】i313cosisini332e2z，故13i22z.故选：A.5.已知角终边与单位圆的交点为3 4,5 5P，则1 sin222cos2的值为（）A.1B.75C.95D.135【答案】C第 3 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】先根据终边上的点求正弦值和余弦值，再根据二倍角正弦和余弦公式计算即可.【详解】角终边与单位圆的交点为3 4,5 5P,43sin,cos,5

14、5 2224sin2=2sin cos,cos2cossin,25257 2471891 sin222cos2=1222525555.故选:C.6.在平行四边形 ABCD 中，23BAD，2AB，1AD，E 为 AB 的中点，若BFBC ，且AFDE，则（）A.1B.12C.1D.2【答案】D【解析】【分析】设向量,ABa ADb ，根据题意得到12DEab和AFab，结合AFDE，列出方程组，即可求解.【详解】如图所示，设向量,ABa ADb ，则2,1ab，且2,3a b ，所以12 1()12a b 由E为AB的中点，可得12DEAEADab，又由BFBC ，可得AFABBFab ，因为

15、AFDE，可得22111()()(1)222AF DEababaa bb 114(1)(1)1022 ，解得2.故选：D.第 4 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司7.已知函数 e1e1xxf x，若对任意的正数a、b，满足 220f afb，则21ab的最小值为（）A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】【分析】分析函数 f x的单调性和奇偶性，可得出22ab，将代数式21ab与122ab相乘，展开后利用基本不等式可求得21ab的最小值.【详解】对任意的xR，e10 x，所以，函数 e1e1xxf x的定义域为R，因为 ee1e11 ee11 eee1xxxxxxxxfxf x，即

16、函数 f x为奇函数，又因为 e1 221e1e1xxxf x ，且函数e1xy 在R上为增函数，所以，函数 e1e1xxf x在R上为增函数，对任意的正数a、b，满足 220f afb，则 2222f afbfb，所以，22ab，即22ab，所以，21121141424424222abababababbaba，当且仅当4220,0abbaabab时，即当112ab时，等号成立，故21ab的最小值为4.故选：B.8.在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足2ba ac，则bca的取值范围为（）A.1,5B.21,5C.1,32D.21,32第 5 页/共 21 页学科网（

17、北京）股份有限公司【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理、正弦定理以及三角恒等变换化简得出2BA，利用ABC为锐角三角形求出角A的取值范围，由正弦定理结合三角恒等变换可得出22cos2cos1bcAAa，利用二次函数的基本性质可求得bca的取值范围.【详解】由余弦定理可得22222cosaacbacacB，整理可得2 cosacaB，由正弦定理可得sinsin2sincossin2sincosACABABABsincoscossin2cossinsincoscossinsinABABBABABABA，因为B、0,2A，则22BA，因为正弦函数sinyx在,2 2上单调递增，所以，ABA，所以，

18、2BA，则3CBAA，因为ABC为锐角三角形，则02022032AAA，解得64A，则22cos3A，所以，sinsinsin2sin32sincossincos2cossin2sinsinsinbcBCAAAAAAAAaAAA222sin2cos2cos12cos2cos2cos1sinAAAAAAA，令2cos2,3tA，则函数21ytt 在2,3上为增函数，故22cos2cos121,32bcAAa，故选：D.二、多选题本大题共二、多选题本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，甚分，甚 20 分，在每小题的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分，在每小题的选项中，有多项符合题

19、目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分第 6 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司9.m、n是两条不同的直线，、是两个不重合的平面，下列说法正确的是（）A.m、n是异面直线，若/m，/m，/n，/n，则/B.若/，/m，则/mC.若mn，m，n，则D.若m，/m n，/n，则【答案】AD【解析】【分析】利用线面平行的性质、面面平行的性质可判断 A 选项；利用线面、面面的位置关系可直接判断 BC选项；利用线面平行的性质、面面垂直的判定定理可判断 D 选项.【详解】对于 A 选项，在直线m上取一点O，过点O作直线n，使得/nn，

20、过直线n作平面，使得a，如下图所示：因为/n，n，a，则/a n，又因为/nn，则/a n，因为n，a，则/n，设直线m、n确定平面，因为/m，mnO，m、n，所以，/，同理可证/，故/，A 对；对于 B 选项，若/，/m，则/m或m，B 错；对于 C 选项，若mn，m，n，则、相交（不一定垂直）或平行，C 错；对于 D 选项，因为m，/m n，则n，过直线n作平面，使得b，如下图所示：第 7 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司 因为/n，n，b，则/b n，因为n，则b，又因为b，所以，D 对.故选：AD.10.关于函数 32sin 34f xx，下列说法正确的是（）A.由120f

21、xf x，可得12xx必是23的整数倍B.2cos 34f xx C.f x图像可由2sin3yx向右平移34个单位得到D.f x在5,12 12上为增函数【答案】BD【解析】【分析】根据题意，结合正弦型函数的图象与性质，结合三角函数的诱导公式和图象变换，逐项判定，即可求解.【详解】对于 A 中，由120f xf x，即1233sin(3)sin(3)044xx，解得12333,3,Z,Z44xkxmkm，则1233(),Z,Zxxkmkm，所以12(),Z,Z3kmxxkm，所以 A 不正确；对于 B 中，由函数 332sin(3)2cos(3)2cos(3)4424f xxxx ，所以 B

22、 正确；对于 C 中，将函数2sin3yx的图象向右平移34个单位，第 8 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司得到 392sin3()2sin(3)2sin(3)444f xxxx，所以 C 不正确；对于 D 中，由5,12 12x，可得 53,44x，所以3 3,42 2x，根据正弦函数的性质，可得函数 f x在5,12 12x为单调递增函数，所以 D 正确.故选：BD.11.九章算术是我国古代数学中的经典，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑在阳马PABCD中，侧棱PD 底面ABCD，且PDCDa，点E是PC的中点，连

23、接DE，BD，BE 以下结论正确的有（）A.DE平面PABB.四面体EBCD是鳖臑C.若阳马PABCD的体积为1V，四面体EBCD的体积为2V，则124VVD.若四面体EBCD的外接球的体积为332a，则2CDAD【答案】BC【解析】【分析】根据线面平行的判定定理，可判断 A 选项；由线面垂直的判定定理得BC平面PCD，DE平面PBC，可判断 B 选项；根据锥体体积公式可判断 C 选项；由题可知四面体EBCD外接球的半径为BM，再由球体的体积公式即可判断.【详解】如图，取PB中点F，连接EF，AF，因为E是PC的中点，所以/EFBC，12EFBC，因为底面ABCD为长方形，所以/ADBC，AD

24、BC，所以/EFAD，12EFAB，所以四边形ADEF为梯形，所以直线DE与AF相交，因为AF 平面PAB，所以直线DE与平面PAB相交，所以 A 错误；因为PD 底面ABCD，所以PDBC，因为ABCD为长方形，所以DCBC，因为PDPCD,DCPCD且PDDCD，所以BC平面PCD，因为DE平面PCD，所以BCDE，因为PDCDa，所以DEPC，又BC平面PBC，PC 平面PBC，且BCPCC，所以DE平面PBC，所以四面体EBCD四个面都是直角三角形，所以四面体EBCD是鳖臑，所以 B 正确；第 9 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司由题意可知PD是阳马PABCD的高，所以113

25、ABCDSPDV，因为E是PC的中点，所以12111111323224BCDABCDVSVPDSPD，所以 C 正确；连接AC，则AC与BD相交与点M，连接EM，则M为四面体EBCD外接球的球心，所以半径为BM，若2CDAD，则22ADa，所以222622BDaaa，所以四面体EBCD的体积334 16632464Vaa，所以 D错误.故选：BC12.定义在R上的函数 f x满足：21fx为奇函数，且 448f xfxx，则（）A.f x的图象关于1,0对称B.4 是 f x的一个周期C.20234048fD.10132024f【答案】AD【解析】【分 析】根 据 奇 函 数 得 到11f x

26、fx ，A 正 确，计 算 40ff，B 错 误，构 造 2g xf xx，确定函数周期为4，且 12g，计算20234044f，10132024f，得到答案.【详解】对选项 A：21fx为奇函数，2121fxfx，11f xfx ，函数图象关于1,0对称，正确；对选项 B：448f xfxx，408ff，即 40ff，错误；对选项 C：448f xfxx，则 42 42ffxxxx，第 10 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司设 2g xf xx，故 4g xgx，122112241xg xgxf xfxx ，则 42g xgx ，故 24g xgx，244g xgx，则 4g xg

27、x，g x为周期为4的周期函数，10f，则 12g，2023312ggg，故202320234046220464044fg ，错误；对选项 D：101321gg，41013202620101302622 2fg，正确；故选：AD【点睛】关键点睛：本题考查了函数的性质，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中构造新函数，确定新函数的周期再计算函数值是解题的关系，此技巧需要熟练掌握.第第卷（非选择题）卷（非选择题）三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填写在答题纸相应位置上分把答案填写在答题纸相应位置上13.函数 3ln

28、2xf x 的导函数 fx_【答案】3 ln3x【解析】【分析】直接求导得到答案.【详解】3ln2xf x，3 ln3xfx.故答案为：3 ln3x14.已知动点P在正方体1111ABCDABC D的对角线1BD（不含端点）上设11D PD B，若APC为钝角，则实数的值为_【答案】1(,1)3【解析】【分析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCDABC D的棱长为 1，点第 11 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司(,)P x y z，根据11D PD B，得到(,1)P，结合0PA PC ，即可求解.【详解】以D为坐标原点，以1,DA DC DD所在的直线分别

29、为,x y和z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体1111ABCDABC D的棱长为 1，点(,)P x y z，则1(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)ABCD，所以11(1,1,1),(,1)D BD Px y z ，因为11D PD B，可得11D PD Buuu ruuu r，可得(,1)(1,1,1)x y z，所以,1xyz，即(,1)P，因为点P与点B不重合，所以180APC，所以APC为钝角，等价于cos0APC，所以2(1,1)(,1,1)3410PA PC ，解得113，即实数的取值范围为1(,1)3.故答案为：1(,1)3.15.如图是两个

30、直角三角形板拼成的平面图形，其中90BADBCD，45ABDADB，30BDC，1BC，则AC BD _第 12 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司【答案】1【解析】【分析】先根据四点共圆得出同弧对的圆周角相等，再根据正弦定理得出边长，最后应用数量积公式及运算律计算即可.【详解】90BADBCD，A,B,C,D 四点共圆得出同弧对的圆周角相等360,003CADDBCBDCCAB 1,2,3,BCBDDC,42,2,5 BDABABDA DADB62,=,sin105sin302ACBCABCAC,AC BDACADAB 2cos60262622cos302AC ADAC AB 626

31、222132+2 362 322=1224 故答案为:1.16.在正三棱锥PABC中，E、F分别是PA、AB的中点，90CEF若1AB，则三棱锥EABC的外接球的表面积为_【答案】198【解析】【分析】取AC的中点O，连接OP、OB，推导出PA、PB、PC两两垂直，以点P为坐标点，PA、PB、PC所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，三棱锥EABC的球心为,M x y z，利用第 13 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司空间中两点间的距离公式可得出关于x、y、z的方程组，解出这三个未知数的值，可得出球心M的坐标，可求出三棱锥EABC的外接球的半径，再结合球体表面积公式可求得结果

32、.【详解】取AC的中点O，连接OP、OB，如下图所示：因三棱锥PABC为正三棱锥，则PAPCPB，ABC为等边三角形，又因为O为AC的中点，所以，OPAC，OBAC，因OPOBO，OP、OB平面OPB，所以，AC 平面OPB，因为PB 平面OPB，所以，ACPB，因为E、F分别是PA、AB的中点，则/EF PB，因为90CEF，即EFCE，所以，PBCE，因为ACCEC，AC、CE 平面PAC，所以，PB 平面PAC，因为PA、PC 平面PAC，所以，PAPB，PBPC，因为三棱锥PABC为正三棱锥，则PAPC，即PA、PB、PC两两垂直，以点P为坐标点，PA、PB、PC所在直线分别为x、y、

33、z轴建立如下图所示空间直角坐标系，则2,0,04E、2,0,02A、20,02B、20,0,2C，为为的第 14 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司设球心为,M x y z，则MAMEMAMBMAMC，可得222222222222222222222422222222xyzxyzxyzxyzxyzxyz，解得3 283 283 28xyz，所以，三棱锥EABC的外接球半径为223 223 23828288RMA，因此，三棱锥EABC的外接球的表面积为2238194488R.故答案：198.四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过

34、程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知数列 na的前n项的和为nS，且113a，113nnnaan.（1）证明数列nan是等比数列，并求 na的通项公式；（2）求数列 na前n项的和nS.【答案】（1）证明见解析，3nnna （2）32344 3nnnS【解析】【分析】（1）利用等比数列的定义可证得结论成立，确定等比数列nan的首项和公比，可求得数列 na的通项公式；（2）利用错位相减法可求得nS.【小问 1 详解】解：因为数列 na满足113a，113nnnaan，则1113nnaann，且1113a，为第 15 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司所以，数列

35、nan是首项和公比均为13的等比数列，则1111333nnnan，故3nnna.【小问 2 详解】解：1231233333nnnS，则231112133333nnnnnS，得2311111121111123331333333322 313nnnnnnnnnS，所以，32344 3nnnS.18.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sincosacBCb，（1）求角B的大小；（2）若3a，2c，求sinC的值.【答案】（1）4B （2）5sin5C【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出tan B的值，结合角B的取值范围可得出角B的值；（2）利用余弦定理求出

36、b的值，再利用正弦定理可求得sinC的值.【小问 1 详解】解：因为sincosacBCb，由正弦定理可得sinsinsincossinACBCB，所以，sinsinsinsincossinsincosCBABCBCBCsincoscossinsincoscossinBCBCBCBC，因为B、0,C，所以，cossin0BB，则tan1B，故4B.【小问 2 详解】解：因为3a，2c，4B，第 16 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司由余弦定理可得22222cos922 3252bacacB ，则5b，由正弦定理可得sinsinbcBC，所以，22sin52sin55cBCb.19.某

37、职称考试有 A，B 两门课程，每年每门课程均分别有一次考试机会，若某门课程上一年通过，则下一年不再参加该科考试，只要在连续两年内两门课程均通过就能获得该职称.某考生准备今年两门课程全部参加考试，预测每门课程今年通过的概率均为12；若两门均没有通过，则明年每门课程通过的概率均为23；若只有一门没过，则明年这门课程通过的概率为34（1）求该考生两年内可获得该职称的概率；（2）设该考生两年内参加考试的次数为随机变量 X，求 X 的分布列与数学期望.【答案】（1）5372 （2）答案见解析【解析】【分析】（1）设该考生两年内可获得该职称的事件为A，计算概率得到答案.（2）X的可能取值为2，3，4，计算

38、概率得到分布列，再计算数学期望即可.【小问 1 详解】设该考生两年内可获得该职称的事件为A，11112211353112122223322472P A ；【小问 2 详解】X的可能取值为2，3，4.1112224P X；111312222P X；111411224P X ；X的分布列为：第 17 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司X234p141214数学期望为1112343424E X .20.直三棱柱111ABCABC-中，底面ABC是等腰直角三角形,90ACB，2ACBC，,D E分别为11,CC AB的中点且E在平面ABD上的射影是ABD的重心G.（1）求证：/DE平面ABC；

39、（2）求二面角BADE的平面角的余弦值【答案】（1）证明见解析 （2）23【解析】【分析】（1）取AB的中点M，证得/EMCD，且EMCD，得到四边形CDEM为平行四边形，得出/DECM，结合线面平行的判定定理，即可证得/DE平面ABC；（2）因为90ACB，以C为原点，建立空间直角坐标系，设12(0)CCa a，根据点E在平面ABD上的射影是ABD的重心，列出方程求得1a，再求得平面ADE和平面ABD的一个法向量1(1,1,2)n 和2(1,1,2)n ，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问 1 详解】证明：取AB的中点M，分别连接,EM CM，因为,E M分别为1,AB AB的中点，所以1

40、/EMAA，且112EMAA，又因为1111/,AACC AACC，且D为1CC的中点，所以/EMCD，且EMCD，所以四边形CDEM为平行四边形，所以/DECM，第 18 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司因为DE 平面ABC，且CM 平面ABC，所以/DE平面ABC.【小问 2 详解】解：因为90ACB，以C为原点，以1,CA CB CC所在的直线分别为,x y和z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设12(0)CCa a，且2ACBC，则(2,0,0),(0,2,0),(0,0,),(1,1,)ABDa Ea，因为G为ABD的重心，所以2 2(,)3 3 3aG，可得1 1 2(,

41、)3 33aGE ，且(0,2,)BDa 又因为点E在平面ABD上的射影是ABD的重心，则21 1 222(,)(0,2,)03 3333aaGE BDa ，解得1a，所以12CC，可得(0,0,1),(1,1,1)DE，又由向量(1,1,1),(1,1,0)AEDE ，设平面ADE的法向量为1(,)nx y z，则1100nAExyzn DExy ，取1x，可得1,2yz，所以1(1,1,2)n，因为EG 平面ABD，且1 1 2(,)3 3 3EG ，所以平面ABD的一个法向量2(1,1,2)n ，可得1212122cos,3n nn nn n ，所以二面角BADE的平面角的余弦值23.2

42、1.已知函数 e22xf xaxx（1）若曲线 f x在点 1,1f处的切线与直线yx平行，求该切线方程；第 19 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司（2）当0 x 时，0f x 恒成立，求 a 的取值范围【答案】（1）e20 xy （2）1,【解析】【分析】（1）求导得到导函数，根据平行得到 11f，计算得到答案.（2）根据 00f得到 010fa，再计算导函数，构造 11exxh x，证明函数单调递增，计算最值得到证明.【小问 1 详解】e22xf xaxx，则 e21xfxaxa，切线与直线yx平行，则 e2111faa，解得1a，又 31ef ，则直线方程为：e2yx，即e20

43、 xy.【小问 2 详解】e22xf xaxx，e21xfxaxa，00f，故 010fa，故1a，若1a，则 010fa，则存在00t 使00,t上 0fx，函数 f x单调递减，故 000f tf，不成立；现证明1a 时，0f x 在0,上恒成立，e21e1 2ee1 2ee1111xxxxxxfxaxxaxax，设 11exxh x，则 e0 xh xx在0,上恒成立，故 h x单调递增，即 00h xh，故 0fx在0,上恒成立，函数 f x单调递增，故 00f xf，故1,a.【点睛】关键点睛：本题考查了切线方程，利用导数解决不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应

44、用能力，其中利用必要性探路得到1a，再放缩求导得到函数的单调性再计算最值，第 20 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司可以简化运算是解题的关键.22.已知函数 1exf xax，0,1x，fx为其导函数函数 f x在其定义域0,1内有零点0 x（1）求实数 a 的取值范围；（2）设函数 0g xfxmxf m，求证：对任意的0,1m且0mx，00g mg x（3）求证：0111xa【答案】（1）1,（2）证明见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）取 0f x，变换1exax，构造新函数，求导得到的单调区间，计算最值得到答案.（2）构造函数 110exxfxfaxx，求导得到单调

45、区间，计算最值得到 0g m，构造函数 0201exxfxfaxx，求导得到单调区间，计算最值得到00g x，得到答案.（3）根据001exax变换得到0102e10 xx，构造函数 12e1xF xx，求导得到单调区间，计算最值得到证明.【小问 1 详解】1e0 xf xax，则1exax，0,1x，设 1exh xx，121 e0 xxh xx在0,1上恒成立，函数 h x单调递减，故 min11h xh，故1a，即1,a；【小问 2 详解】1exf xax，1exfxa，10exmag xmxf，01emmmagmxf，0100exg xmxf ma，设 110exxfxfaxx，则 1

46、10exfxxx，当01xx时，10fx，1fx单调递增；第 21 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司当00 xx时，10fx，1fx单调递减；当0 xx时，1100fxfx恒成立，即 10fm，故 0g m；设 0201exxfxfaxx，则 0112eexxfx，当01xx时，20fx，2fx单调递减；当00 xx时，20fx，2fx单调递增；当0 xx时，2200fxfx恒成立，即 20fm，即00g x，故 00g mg x，得证；【小问 3 详解】001exax，要证0111xa，即0111xa，00,1x，故20111xa，即2001112xax，即0020012exxxx，整理得到：0102e10 xx，设 12e1,0,1xF xxx，则 11exFxx，0Fx在0,1上恒成立，故函数 F x单调递增，故 10F xF，即0102e10 xx，即0111xa.【点睛】关键点睛：本题考查了根据零点求参数范围，利用导数证明不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，构造新函数，将题目转化为函数的最值问题是解题的关键，此方法是常考方法，需要熟练掌握.