2024届新高考数学小题微点特训35 圆锥曲线的综合问题含答案.pdf

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1、 圆锥曲线的综合问题 考点对点练 保分必拿 考点一直线与圆锥曲线的位置关系已知直线l:yx被椭圆C:xayb(ab)截得的弦长为,则下列直线:yx;yx;yx;yx其中被椭圆C截得的弦长一定为的有()A 条B 条C 条D 条(多选)过抛物线yx的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,M为线段A B的中点,则()A以线段A B为直径的圆与直线x相离B以线段BM为直径的圆与y轴相切C当A FF B时,|A B|D|A B|的最小值为已知椭圆C:xayb(ab)的左、右焦点分别为F,F,且F也是抛物线E:yp x(p)的焦点,点A为C与E的一个交点,且直线A F的倾斜角为,则C的离心率为()AB C D

2、已知过双曲线C:xy的左焦点F的直线l与双曲线左支交于点A,B,过原点与弦A B中点D的直线交直线x 于点E,若A E F为等腰直角三角形,则直线l的方程可以为()Ax()y Bx()y Cx()y Dx()y(多选)已知抛物线xy焦点为F,经过F的直线交抛物线于A(x,y),B(x,y),点A,B在抛物线准线上的射影分别为A,B,以下四个结论:xx,|A B|yy,AF B,A B的中点到抛物线的准线的距离的最小值为其中正确的是()A B C D 在平面直角坐标系x O y中,双曲线yaxb(a,b)的上支与焦点为F的抛物线yp x(p)交于A,B两点若|A F|B F|O F|,则该双曲线

3、的渐近线方程为 考点二综合问题已知圆xyr(r)与抛物线yx交于A,B两点,与抛物线的准线交于C,D两点,若四边形A B C D是矩形,则r等于()AB CD 已知点A是抛物线C:xp y(p)上任意一点,点O为坐标原点,若点B(,)满足A B O,则p的最大值为()A B C D 抛物线yx的焦点F是双曲线xayb(a,b)的一个焦点,A(m,n)(n)为抛物线上一点,直线A F与双曲线有且只有一个交点,若|A F|,则该双曲线的离心率为()A B C D 双纽线最早于 年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的 曲 线在 平 面直 角 坐 标 系x O y中,把到定点F(a,),F(a,

4、)距离之积等于a(a)的点的轨迹称为双纽线C已知点P(x,y)是双纽线C上一点,下列说法中正确的有()双纽线经过原点O;双纽线C关于原点O中心对称;aya;双纽线C上满足|P F|P F|的点P有两个A B C D (多选)函数f(x)图象上不同两点A(x,y),B(x,y)处的切斜的斜率分别是kA,kB,|A B|为A,B两点间距离,定义(A,B)|kAkB|A B|为曲线f(x)微点特训数学(新)在点A与B之间的“曲率”,给出以下命题:存在这样的函数,该函数图象上任意两点之间的“曲率”为常数;函数f(x)xx图象上两点A与B的横坐标分别为,则“曲率”(A,B);函数f(x)a xb(a,b

5、R)图象上任意两点A、B之间的“曲率”(A,B)a;设A(x,y),B(x,y)是曲线f(x)ex上不同两点,且xx,若t(A,B)恒成立,则实数t的取值范围是(,)其中真命题为()A B C D 设F,F分别是椭圆xy的左、右焦点,若椭圆上存在一点P,使(O PO F)P F(O为坐标原点),则FP F的面积是()A B C D 已知双曲线xayb(a,b)的左,右焦点分别为F,F,过右焦点F的直线l交该双曲线的右支于M,N两点(M点位于第一象限),MFF的内切圆半径为R,NFF的内切圆半径为R,且满足RR,则直线l的斜率为 在平面直角坐标系x O y中,椭圆xay(a)与为双曲线xmy(m

6、)有公共焦点F,F设P是椭圆与双曲线的一个交点,则P FF的面积是 素养提升练 高分必抢一、单项选择题抛物线C:yp x(p)的焦点F是双曲线C:xmym(m)的右焦点,点P是曲线C,C的交点,点Q在抛物线的准线上,F P Q是以点P为直角顶点的等腰直角三角形,则双曲线C的离心率为()AB C D 已知圆C:(x)y和抛物线C:yx,过C的圆心作直线l,与曲线C,C交于点A,B,C,D(如图所示),则下列说法正确的是()A|A B|C D|B|A B|C D|C|A B|C D|的最小值为D|A B|C D|的最大值为已知椭圆C与双曲线xy有相同的左焦点F、右焦点F,点P是两曲线的一个交点,且

7、P FP F 过F作倾斜角为 的直线交C于A,B两点(点A在x轴的上方),且A BA F,则的值为()A B C D 过抛物线C:yx焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,过A,B两点分别作抛物线C准线的垂线,垂足分别为M,N,若线段MN的中点为P,且线段F P的长为,则直线l的方程为()Ax y Bx yCx y或x yD xy 或xy 已知过椭圆xy的右焦点的直线l,斜率存在且与椭圆交于A,B两点,若A B的垂直平分线与x轴交于点M,则点M横坐标的取值范围为()A,B,(C,)D,)已知椭圆C与双曲线C的焦点相同,离心率分别为e,e,且满足e e,F,F是它们的公共焦点,P是椭圆和双曲线在

8、第一象限的交点,若FP F ,则双曲线C的离心率为()A B C D微点特训数学(新)点P(x,y)(x,y)是抛物线xy上的点,过点P作圆Ex(y)的两条切线分别交x轴于B,C两点,切点分别为M,N,则P B C面积的最小值为()A B C D 二、多项选择题发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣像笛卡尔卵形线一样,笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改,从而产生更多的卵形曲线卡西尼卵形线是由下列条件所定义的:曲线上所有点到两定点(焦点)的距离之积为常数已知曲线C是平面内与两个定点F(,)和F(,)的距离的积等于常数a(a)的点的轨迹,则下列命题中正确的是()

9、A曲线C过坐标原点B曲线C关于坐标原点对称C曲线C关于坐标轴对称D若点P在曲线C上,则FP F的面积不大于a阿基米德(公元前 年公元前 年是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家,他研究抛物线的求积法,得出一个著名的阿基米德定理,并享有“数学之神”的称号抛物线的弦与过弦的端点的两切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”,如图所示,在抛物线xp y(p)上有两个不同的点A,B,坐标分别为A(x,y),B(x,y),以A,B为切点的切线P A,P B相交于点P,给出以下结论,其中正确的为()A点P的坐标是xx,xxpB P A B的边A B所在的直线方程为:(xx)xp yxxC P A B的面

10、积为SP A B(xx)pD P A B的边A B上的中线平行(或重合)于y轴三、填空题 已知抛物线C:yp x(p)的焦点为F,点H(x,)xp()是抛物线C上的一点,以H为圆心的圆交直线xp于A、B两点(点A在点B的上方),若s i nHF A,则抛物线C的方程是 数学中有许多寓意美好的曲线,曲线C:(xy)xy被称为“四叶玫瑰线”(如图所示)给出下列三个结论:曲线C关于直线yx对称;曲线C上任意一点到原点的距离都不超过;存在一个以原点为中心、边长为的正方形,使得曲线C在此正方形区域内(含边界)其中,正确结论的序号是 真题体验练 实战抢分(全国甲卷,)已知F,F为椭圆C:x y的两个焦点,

11、P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|P Q|FF|,则四边形P FQ F的面积为(浙江卷,)已知a,bR,a b,函数f(x)a xb(xR),若f(st),f(s),f(st)成等比数列,则平面上的点(s,t)的轨迹是()A直线和圆B直线和椭圆C直线和双曲线D直线和抛物线(上海卷,)已知抛物线:yp x(p),若第一象限的A,B两点在抛物线上,焦点为F,|A F|,|B F|,|A B|,求 直 线A B的 斜 率为 微点特训数学(新)知,A到准线的距离为|A F|,设A(x,y),则xp,所以xp,因为A在抛物线上,所以yp xpp()pp由A做x轴的垂线,垂足为C,则|B C|p,在

12、A B C中,由勾股定理可知,|A C|B C|A B|,即yp()(pp)p()(),整理得,p p ,解得p或 又因为当p 时,xp,不符合题意,所以p ()由题意知,点Ep,(),点Fp,(),设直线l与抛物线相切于第一象限,则xm yp(m),代入抛物线方程并整理得:ym p yp,则mpp,解得m,直线l:yxp此时yp yp,解得yp,将yp代入直线方程,解得xp,所以点Mp,p(),则MFx轴,又直线l斜率为,所以ME F,所以EMF;()由已知,p,则抛物线y x,则点E(,),点F(,),设直线l方程为yk(x),代入抛物线方程并整理得,kx(k)xk,设点A(x,y),点B

13、(x,y),由韦达定理xxkk,由A BB F,得E BB F,所以kE BkB F,即yxyx,整理得,xy,又y x,所以x x,解得x,或x(舍去),由xx,解得x,|A F|xp ,|B F|xp ,所 以|A F|B F|()真题体验练 实战抢分 B 考查抛物线焦点坐标和点到直线的距离,属于基础题dp px 由已知可设Pp,p(),所以kO P,kP Q因此直线P Q的方程为:ypxp(),令y,得xp,因此|F Q|pp p,所以C的准线方程为xp 抛物线的定义xM;故M(,),N(,),S FMN()微点特训 圆锥曲线的综合问题考点对点练 保分必拿 C 易知直线yx与直线l关于原

14、点对称,直线yx与直线l关于x轴对称,直线yx与直线l关于y轴对称,故由椭圆的对称性可知,有条直线被椭圆C截得的弦长一定为故选C A C D 对于选项A,点M到 准线x 的 距离 为|A F|B F|()|A B|,于是以线段A B为直径的圆与直线x一定相切,进而与直线x一定相离:对于选项B,显然A B中点的横坐标与|BM|不一定相等,因此命题错误对于选项C,D,设A(x,y),B(x,y),直线A B方程为xm y,联立直线与抛物线方程可得ym y,yym,yy,xx,若设A(a,a),则Ba,a(),于是|A B|xxpaa,|A B|最小值为;当A FF B可得yy,aa(),所a,|A

15、 B|故选A C D B 由题意可得:cpab,直线A F的方程为yxc联立yxcyc x,解得xc,yc A(c,c),代入椭圆方程可得:cacb,cacac,化为:eee,化为:ee,解得e,解得e A 由C:xy得其左焦点为F(,),则由题意可设l:xm y(m),代入双曲线C的方程,消去x,整理得(m)y m y设A(x,y),B(x,y),由根与系数的关系,得yy mm,yy mm,xxm(yy)m,即D m,mm直线O D的方程为ymx令x,得ym,即E,m,直线E F的斜率为 m m,E Fl,则必有|E F|A F|,即m(x)y(m)y,解得y 又xy,x,m(),从而直线l

16、的方程为x()y 或x()y 微点特训数学(新)A C D 抛物线xy焦点为F(,),易知直线A B的斜率存在,设直线A B为yk x由yk xxy,得xk x则xxk,xx,正确;|A B|A F|B F|yyyy,不正确;F A(x,),F B(x,),F AF Bxx,F AF B,AF B,正确;A B的中点到抛物线的准线的距离d(|A A|B B|)(yy)(k xk x)(k)当k时取得最小值 正确y x 由双曲线的方程yaxb(a,b)和抛物线的方程yp x联立得yaxbyp x,消元化简得axp bxab,设A(x,y),B(x,y),则xxp ba,由抛物线的定义得|A F|

17、B F|xpxpxxp,又因为|A F|B F|O F|,所以xxpp,所以p bapp,化简得ba,所 以ab,所 以 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为y x C 由题意可得,抛物线的准线方程为x画出图形如图所示在xyr(r)中,当x时,则 有yr 由yx得xy,代入xyr消去x整理得yyr 结合题 意 可 得 点A,D的 纵 坐 标 相 等,故 中 的y相等,由两式消去y得r()r()r,整理得 rr,解得r或r(舍去),r A 过点B作抛物线的一条切线,设切线方程为yk x,切点坐标为M(x,y),由yxp得y px,则xp y,yk x,xpk,解得kp,A B O,|k|t a

18、 n,即p,解得p,p的最大值为 CA(m,n)(n),直线A F与双曲线有且只有一个交点,所以直线A F与双曲线的渐近线平行|A F|,F为抛物线的焦点,所以m,代入nm,则n,即A(,),kA F ,所以ba,所以该双曲线的离心率为e ba B 设动点C(x,y),由已知得到动点C的轨迹方程(xa)y(xa)ya化简得(xy)a(xy),原点O(,)代入轨迹方程,显然成立;把(x,y)关于原点对称的点(x,y)代入轨迹方程,显然成立;因为双纽线最高(低)点是轨迹方程与圆xya相交位置,两方程联立解得ya成立,aya,成立;由图知双纽线C上满足|P F|P F|的点P有一个,不成立 A C

19、因当f(x)x时,kAkB,曲率为,是常数,故是正确的;又因当x,x时,A(,),B(,),kA,kB,故(A,B)|kAkB|A B|,所以是错误的;因f(x)a x,故A(x,f(x),B(x,f(x),kAa x,kB a x,所 以(A,B)|kAkB|A Ba|xx|xx|a(xx)a a(xx)a,故正确成立;因|A B|(exex),kAex,kBex,故(A,B)|kAkB|A B|exex|(exex),所以t,所以是错误的,故选A C D 因为(O PO F)P F(O PFO)P FFPP F,所 以P FP F,FP F 设|P F|m,|P F|n,则mn,mn,m

20、n,m n,所以SFP Fm n 设圆O与MFF的三边的切点分别为A,B,C,如图令MAMCm,A FB Fn,B FC Ft,根据双曲线的定义可得(mn)(mt)a,ntc,可得nac,由此可知,在FFM中,OBx轴于B,同理OBx轴于B,OOx轴过圆心O作C O的垂线,垂足为D易知直线l的倾斜角与OOD大小相等不妨设R,R,则OO,OD,所以根据勾股定理,OD,所以t a n 根据对称性,不妨设P在第一象限由题设可知|FF|(a)(m)c即am,ac,cm根据椭圆与双曲线的定义得|P F|P F|a|P F|P F|m|P F|am|P F|am,在P FF中,由余弦定理得c o s FP

21、 F|P F|P F|FF|P F|P F|(am)(am)c(am)(am)amcam(ac)(cm)am 所 以,s i nFP F ,SP FF|P F|P F|s i nFP F(am)微点特训数学(新)素养提升练 高分必抢 A 由题意知,抛物线焦点F(,),准线与x轴交点F(,),双曲线半焦距c,设点Q(,y),F P Q是以点P为直角顶点的等腰直角三角形,即|P F|P Q|,结合P点在抛物线上,所以P Q抛物线的准线,从而P Fx轴,所以P(,),a|P F|P F|,即a 故双曲线的离心率为e A 设A(x,y),D(x,y)直线l:xt y,代入抛物线方程,得yt y所以yy

22、,易知圆C的圆心即为抛物线焦点F根据抛物线的定义知,|A F|x,|D F|x,故|A B|x,|C D|x,所以|A B|C D|xxyy(yy)因为yy,所以|A B|C D A 不妨设P为椭圆与双曲线在第一象限内的交点,椭圆方程为xayb(ab),F(,),F(,),由双曲线定义可知:|P F|P F|,又因为P FP F,所以P FP F,|FF|c,所以|P F|(|P F|)|FF|,所以|P F|,|P F|,所以a|P F|P F|,所以a,所以bac,所以椭圆方程为xy,又因为lA B:yx,所以yx xy,所以y y,所以y ,所以yA,yB,又因为A BA F,所以yBy

23、A yA,所以yByA ,解得,故选A C 由yx得p,所以F(,),准线为x,设直线l的方程为xt y,联立xt yyx,消去x并整理得yt y,t 恒 成 立,设A(x,y)、B(x,y),则yyt,所以yyt,依题意得M(,y)、N(,y),则线段MN的中点P(,t),因为|P F|,所以t,解得t,所以直线l的方程为:x y或x y故选:C C 若直线A B的斜率k时,即A B为x轴,则垂直平分线为y轴,所以,xM;若直线A B的斜率k时,又斜率 存 在,则 设 直 线 方 程 为yk(x),联 立xyyk(x),得(k)x kx k,由韦达定理得xx kk,xx kk,设N为线段A

24、B的中点,所以xN kk,代入直线方程可得yNkk,则A B的 垂 直 平 分 线MN的 方 程 为ykkkx kk(),当y时,xkkk,因 为k,所 以x,(),综 上 所 述,x,)C 设|P F|r,|P F|r,在椭圆C:xayb中,(c)rrrrc o s (rr)rr(a)rr,rracb,在双曲线C:xayb中,(c)rrrrc o s (rr)rr(a)rrrrcabrrb,bb即bb,则ac(ca),所以aacacacee,又因为e e,所以e e,解得e D 因为圆E与x轴相切,所以圆E是P B C的内切圆,所以SP B Cr(|P B|P C|B C|),因为|PM|P

25、N|,|BM|B O|,|C O|CN|,由|B C|yr(|P B|P C|B C|)得:|B C|y(|PM|B O|C O|)(|PM|B C|),因为,|PM|P E|x(y),又因为xy,所以|PM|y,|B C|y(y|B C|),故|B C|yy,所以S|B C|yyyyy,当且仅当y,即y时,等号成立 B C D 由题意设动点坐标为(x,y),则(x)y(x)ya,即(x)y (x)ya,若曲线C过坐标原点(,),将点(,)代入曲线C的方程中可得a与已知a矛盾,故曲线C不过坐标原点,故A错误;把方程中的x被x代换,y被y代换,方程不变,故曲线C关于坐标原点对称,故B正确;因为把

26、方程中的x被x代换,方程不变,故此曲线关于y轴对称,把方程中的y被y代换,方程不变,故此曲线关于x轴对称,故曲线C关于坐标轴对称,故C正确;若点P在曲线C上,则|P F|P F|a,SFP F|P F|P F|s i nFP Fa,当 且 仅 当FP F 时等号成立,故FP F的面积不大于a,故D正确 A B D 由ypx,得y xp,由题意,点A处的切线方程为yxpxp(xx),点B处的切线方程为yxpxp(xx),联立两个方程并消去y得xxx,代入点A处的切线方程得yxpxpxxx()xxp,所以点P坐标为xx,xxp(),故A D正确,设直线A B的 斜 率 为kA B,则kA Byyx

27、xxpxpxxxxp,故直线A B的方程为yxpxxp(xx),化简得(xx)xp yxx,故B正确,由A B得微点特训数学(新)点P到直线A B的距离,d(xx)xxpxxpxx(xx)p(xx)(xx)p,|A B|xxp()|xx|(xx)pp|xx|,故SA B C|A B|d(xx)pp|xx|(xx)(xx)p|xx|p,故C错误 yx 画出图形如下图所示,作HDA B,垂足为D,由题意得点H(x,)xp()在抛物线C上,则p x,由抛物线的定义,可知|DH|xp,因为s i nHF A,所 以,|DH|HF|xp(),所以xpxp(),解得xp,由解得xp(舍去)或xp,故抛物线

28、C的方程为yx 对于,将(y,x)代入C:(xy)xy得(yx)yx成立,故曲线C关于直线yx对称,故正确;对于,因为(xy)xy(xy),所以xy,所以xy,所以曲线C上任意一点到原点的距离都不超过,故正确;对于,联立yx(xy)xy得xy,从而可得四个交点A,B,C,D,依题意满足条件的最小正方形是各边以A,B,C,D为中点,边长为的正方形,故不存在一个以原点为中心、边长为的正方形,使得 曲 线C在 此 正 方 形 区 域 内(含 边 界),故不正确 真题体验练 实战抢分 可设P(c o s,s i n),依题知|O P|c|O P|c c o s s i n ,c o ss i n(s

29、i n)s i ns i n,所以S四边形P FQ FS P FF|FF|yP|,故答案为 C 由题意得f(st)f(st)f(s),即a(st)b a(st)b(a sb),即(a sa ta s tb)(a sa ta s tb)(a sb),即(a sa tb)(a s t)(a sb),即(a sa tb)a tast,即astata b t,所以a sa tb或t,所以sbatba为双曲线,t为直线 设A(x,y),B(x,y),|A F|xp,|B F|xp,|xx|,由|A B|k|xx|且k,k微点特训 排列、组合、二项式定理考点对点练 保分必拿 C 根据题意有两个人是分到同一

30、个地方的,先选出两人作伴,之后再进行全排,则由分步计数原理有CA(种),故选C C()先从 平凡的世界、红岩、老人与海 三本书中选择本,共有C(种)选法;()将选出的本书与 红楼梦 共计本书进行全排列,对应分给三名同学,有A(种)排法,根据分步乘法计数原理,不同的分配方法有(种)故选C D()若甲选 春秋,则有CA 种情况;()若甲不选 春秋,则有AA 种情况所以名同学所有可能的选择有 种故选D C个人坐四个座位,共有A 种坐法,当孩子坐在一起并且坐在最边上时,有一个孩子没有大人陪伴,共 AA种,所以每个孩子旁边必须有大人陪着共有 种坐法 D 对A,若甲乙有个对应位置不同,不妨设前个对应位置不

31、同,则后个对应位置相同,若丙和甲、丙和乙都要有个对应位置不同,则只能在后个对应位置中有个和甲乙不同,若丙和甲在后个对应位置中有个对应位置不同,则丙和乙有个位置不同,故A错误;对B,若甲和乙前个对应位置不同,乙和丙后个对应位置不同,则甲和丙后个对应位置也不同,故甲乙丙存在个对应位置互不相同,所以B错误;对C,若甲乙第个位置不同,后个位置相同,甲丙在后个位置中有个位置不同,此时乙丙最多有个位置不同,故C错误;对D,若甲乙前个位置不同,甲丙第个到第个位置不同,则成立,故D正确 C 先从个奇数中选个奇数捆绑看成一个整体,然后将它们分别安置在个位置上,分别记为,其中这个整体与剩下的一个奇数不相邻,以及不在号位置,也不在号位置()若奇数排在号位置,则排法总数为AACA;()若奇数排在号位置,则排法总数为AACA;()若 奇 数 排 在 号 位 置,则 排 法 总 数 为AAA;()若 奇 数 排 在 号 位 置,则 排 法 总 数 为AAA;微点特训数学(新)