2024届新高考数学小题微点特训19 平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理含答案.pdf

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1、 平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理 考点对点练 保分必拿 考点一平面向量的线性运算及其几何意义设a,b分别是与a,b同向的单位向量,则下列结论中正确的是()AabBabC|a|b|D|ab|已知点P点是A B C所在平面内一点,且P AP BP C,则()AP AB AB CBP AB AB CCP AB AB CDP AB AB C(多选)已知D,E,F分别为A B C的边B C,C A,A B的中点,且B Ca,C Ab,则下列命题正确的是()AA Dab;BB Eab;CC Fab;DA DB EC F如图,在平行四边形A B C D中,M是边C D的中点,N是AM的一个三等

2、分点(|AN|NM|),若存在实数和,使得BNA BA D,则()ABC D 在A B C中,已知D是A B边上一点,若ADD B,C DC A C B,则()ABC D 考点二平面向量基本定理及向量的坐标运算在平面直角坐标系x O y中,已知A(,),B(,),C为坐标平面内第一象限内的点,且A O C,|O C|,若O C O AO B,则()A B C D 我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了,勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为 周髀算经 作注时给出的,被后人称为“赵爽弦图”“赵爽弦图”是数形结合思想的体现,是中国古代数学的图腾,还被用作第 届国际数学家大会的会徽如图

3、,大正方形A B C D是由个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的,若A Ba,A Db,E为B F的中点,则A E()AabBabCabDab如图,在A B C中,N为线段A C上靠近点A的三等分点,点P在线段BN上 且A Pm()A B B C,则实数m的值为()A BC D 在A B C中,已知A B,B C,A B C,AHB C于H,M为AH的中点,若AMA BA C,则,微点特训数学(新)2024届高考数学微点特训19 平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理 设D,E分别是A B C的边A B,B C上的点,ADA B,B EB C若D EA BA C(、为实数),则的值为

4、 考点三共线向量定理及坐标表示 已知点A,(),B,(),则与向量A B同方向的单位向量是()A,()B,()C,()D,()(陕西省高一期末)已知a、b是平面向量,下列命题正确的是()A若|a|b|,则abB若|a|b|,则abC若ab,则abD零向量与任何非零向量都不共线 已知MNab,NPab,P Q(ab),则()AM,N,P三点共线BM,N,Q三点共线CN,P,Q三点共线DM,P,Q三点共线 (多选)如图所示,点A,B,C是圆O上的三点,线段O C与线段A B交于圆内一点P,若A PA B,O CO AO B,则()AP为线段O C的中点时,BP为线段O C的中点时,C无论取何值,恒

5、有D存在R,已知在平面直角坐标系x O y中,P(,),P(,),P,P,P三点共线且向量O P与向量a(,)共线,若O P O P()O P,则()A B C D 已知a(,),b(t,),若(ab)(ab),则实数t 素养提升练 高分必抢一、单项选择题给出下列四个命题:若|a|b|,则ab;若A,B,C,D是不共线的四点,则“A BD C”是“四边形A B C D为平行四边形”的充要条件;若ab,bc,则ac;ab的充要条件是|a|b|且ab其中正确命题的序号是()A B C D 在 等 腰 梯 形A B C D中,A BD C,A BD C,B A D,E为B C的中点,则()AA EA

6、 BADBA EA BA DCA EA BA DDA EA BAD著名数学家欧拉提出了如下定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半此直线被称为三角形的欧拉线,该定理则被称为欧拉线定理设点O,H分别是A B C的外心、垂心,且M为B C中点,则()AA BA CHMMOBA BA CHMMOCA BA CHMMODA BA CHMMO已知向量OM(,),ON(,),NPtNM,则当|O P|取最小值时,实数t()ABCD如图,在A B C中,AD,B E,C F分别是边B C,C A,A B上的中线,它们交于点G,则下列各等式中不正确的是()微点

7、特训数学(新)AB GB EBA BA CA GCD GA GDG AG BG C古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时,提出了分线段的“中末比”问题:将一线段A B分为两线段A C,C B,合得其中较长的一段A C是全长与另一段C B的比例中项,即满足A CA BB CA C,后人把这个数称为黄金分割数,把点C称为线段A B的黄金分割点,在A B C中,若点P,Q为线段B C的两个黄金分割 点,设A PxA ByA C,A QxA ByA C,则xxyy()AB C D设e,e是平面内两个不共线的向量,A B(a)ee,A Cb,ee(a,b),若A,B,C三点共线,则ab的最小值是()

8、A B C D 定义域为a,b 的函数yf(x)的图象的两个端点为A,B,M(x,y)是f(x)图象上任意一点,其中x a()b,(,),向量ON O A()O B,若不等式|MN|k恒成立,则称函数f(x)在a,b 上“k阶线性近似”若函数yxx在,上“k阶线性近似”,则实数k的取值范围为()A,)B,)C,)D,)二、多项选择题如图 所 示,四 边 形A B C D为梯 形,其 中A BC D,A BC D,M,N分别为A B,C D的中点,则下列结论正确的是()AA CA DA BBMCA CB CCMNA DA BDB CADA B 设点M是A B C所在平面内一点,则下列说法正确的是

9、()A若AMA BA C,则点M是边B C的中点B若AMA BA C,则点M在边B C的延长线上C若AMBMCM,则点M是A B C的重心D若AMxA ByA C,且xy,则MB C的面积是的A B C面积的三、填空题 在 平 行 四 边 形A B C D中,A Ba,A Db,ANNC,M为B C的中点,则MA,MN(用a,b表示)如图所示,已知点G是A B C的重心,过点G作直线分别交A B,A C两边于M,N两点,且AMxA B,ANyA C,则xy的最小值为 真题体验练 实战抢分(上海卷,)已知x,y,x,y,x,y同时满足:xy,xy,xy;xyxyxy;xyxyxy,以下哪个选项恒

10、成立()A xxxB xxxCxxxDxxx(全国乙卷,文科)已知向量a(,),b(,),若ab,则(全国甲卷,)已知向量a(,),b(,),cak b若ac,则k 微点特训数学(新)A C D 对于A选项,s i nAs i nBs i nC(c o sAc o sB),利用正弦定理角化边有abc(c o sAc o sB),整理得cc o sBbc o sCac o sCcc o sAc(c o sAc o sB),有(ab)c o sC,因为ab,所以c o sCC,故选项A正确,对于B选项,可知当三角形为等边三角形时,等式同样成立,故选项B错误,对于C选项,c o sBacc,根据半角

11、公式有,c o sBacccc o sBacc o sBcc o sBbc o sC,整理得bc o sCC,故选项C正确,对于D选项,ac o sBbc o sAc,因为在任意的三角形中都有ac o sBbc o sAc,所以两式相加可得ac o sBcac o sBac o sBbc o sA,整理得bc o sAA,故选项D正确 由正弦定理,B Ds i nADs i nB,D Cs i nADs i nC,即B DADs i nBs i ns i nB,D CADs i nCs i ns i nC,而B C,s i nBs i nC,A Bs i nCA Cs i nBB Cs i n

12、 B A C,即s i nC A B,s i nB A C,A CA B,即A BA Ca cA B,又由余弦定理知:A CA BA CA Bc o sB A CB C,A CA BA CA B,即(A CA B)A CA B,令xA CA B,xx,即x(x舍去),SA B CA CA Bs i n B A C 设O(,)为 坐标 原点,由A(,),B(,),C(,)知|A C|B C|,且A B C为锐角三角形,因此,费马点F在线段O C上,设F(,h),则F A B为顶角是 的等腰三角形,故h|O B|t a n,所以f(P)f(F)|F A|F B|F C|hh;在F B C中,由 正

13、 弦 定 理,得|F C|s i n B F C|B C|s i n B F C,即hs i n F B Cs i n ,解得s i nF B C ,即此时s i nP B C 真题体验练 实战抢分 AD EA BEHAH,F GB AC GC A,故EHAHC GC A,即EHA EEHC GA EE GG C,解得A EEHE GC GEH,AHA EEH,故A BD EAHEHD E(A EEH)EHD EE GC GEHD E B 过C作B B 的垂线交B B 于点M,过B作A A 的垂线交A A 于点N,设B C CMm,A B BNn,在三角形A B C 中,ms i n ns i

14、 n ,在三角形C BM中,ms i n s i n ,联立求得n ,得A,C两点到水平面A B C 的高度差A A C C 约为 ,故选B ()AMA BBMBMB Ac o sB,即 BMBM,所以BMBMBM,所以B C所以A CA BB CA BB Cc o sB ,故A C()由 余 弦 定 理 得c o s MA CA CAMMCAMA C 由SA B Ca cs i nB,得a cs i n ,即a c,得a c,所以aca c,则由余弦定理,得baca cc o s ,所以b 微点特训 平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理考点对点练 保分必拿 C 因为是单位向量,所以|

15、a|,|b|D 由题意,P AB AP B,P AA CP C,而P AP BP C,P AB AA C,又A CB CB A,即P AB AB C,P AB AB C故选:D B C DB Ca,C Ab,ADC BA Cab,故A错;B EB CC Aab,故B正确;C F(C BC A)(ab)ab,故C正确;所以ADB EC Fbaabba故D正确 C 因为N是AM的一个三等分点(|AN|NM|),所以ANAM因为M是边C D的中点,所以DMD CA B又BNANA BAMA B(ADDM)A BADA B()A BA BAD,所以故选C AADD B,C DC AC B,C DC A

16、ADC AA BC A(C BC A)C AC B,故选A A 因为|O C|,A O C,所以C(,),又因为O C O AO B,所以(,)(,)(,)(,),所以,微点特训数学(新)A 设B Em,由题意,可得A EB FB Em,在R t A B E中,可得A Bmm m,过点E作EHA B于点H,则EHB EA EA Bmm m,且EHAD,所以AH(m)m m,所以AHA B,HEAD,因 此A EAHHEA BADab DA Pm()A B B Cm()A B(A CA B)mA B A C,设B PBN(),则A PA BBNA B(ANA B)()A BAN,因为ANA C,

17、所以A P()A BA C,则m,解得 ,m AMAH(A BBH),因为AHB C,A B C,所以BH,所以BHB C,故AMA BBHA BB CA B(A CA B)A BA C,故,D ED BB EA BB CA B(B AA C)A BA C,所以,即 C 与 向 量A B,()同 方 向 的 单 位 向 量 是A B|A B|,(),(),()C 对于A,向量方向不相同则向量不相等,选项A错误;对于B向量不能比较大小,选项B错误;对于C,若ab,则ba,ba,选项C正确;对于D,零向量与任一向量共线,选项D错误 B 因为NPab,P Q(ab)所以NQNPP Qab(ab)ab

18、,因为MNab,所以MNNQ由平面向量共线定理可知,MN与NQ为共线向量,又因为MN与NQ有公共点N,所以M,N,Q三点共线 A CO PO AA PO AA BO A(O BO A)()O AO B,因为O P与O C共线,所以,解得,故C正确,D错误;当P为O C中点时,则O PO C,则,解得,故A正确,B错误;故选A C D 设O P(x,y),则由O Pa知xy,所以O P(x,x)若O P O P()O P,则(x,x)(,)()(,)(,),即 x,x,所以 ,解得 由已知求出ab(t,),ab(t,),所以有(t)(t),所以t素养提升练 高分必抢 A不正确两个向量的长度相等,

19、但它们的方向不一定相同 正确 A BD C,|A B|D C|且A BD C,又A,B,C,D是不共线的四点,四边形A B C D为平行四边形;反之,若四边形A B C D为平行四边形,则|A B|D C|,A BD C且A B,D C方向相同,因此A BD C 正确 ab,a,b的长度相等且方向相同,又bc,b,c的长度相等且方向相同,a,c的长度相等且方向相同,故ac 不正确当ab且方向相反时,即使|a|b|,也不能得到ab,故|a|b|且ab不是ab的充要条件,而是必要不充分条件综上所述,正确命题的序号是 A 依题意得A EA BB E,A EADD CC E,所以A EA BADD C

20、A BADA BA BAD,所以A EA BAD D 如图所示的R t A B C,其中角B为直角,则垂心H与B重合,O为A B C的外心,O AO C,即O为斜边A C的中点,又M为B C中点,AHOM,M为B C中点,A BA CAM(AHHM)(OMHM)OMHMHMMO C 由NPtNM知在直线MN上,当O PMN时,|O P|最 小,|MN|,又|ON|NP|NM|,|NP|NO|MN|,|NP|MM|,这时NPMN,t C 因为AD,B E,C F,分别是边B C,C A,A B上的中线,它们交于点G,所以点G是A B C的重心选项A:因为点G是A B C的重心,所以B GB E,

21、因此B GB E,所以本选项正确;选项B:因为AD是边B C上的中线,所以A BA CAD,又因为点G是A B C的重心,所以有A GADADA G,因此A BA CA G,所以本选项正确;选项C:因为点G是A B C的重心,所以A GD G,因此D GG AA G,所以本选项不正确;选项D:因为AD是边B C上的中线,点G是A B C的重心,所以有G AG BG FC GG AG BG C,因此本选项正确 C 由题意,A PA BB PA BB CA B(A CA B)A B A CA B A C,同理,微点特训数学(新)A QA BB QA B B CA B (A CA B)A B A C

22、,所以xy ,xy 所以xxyy B 因 为a,b,若A,B,C三 点 共 线,设A BA C,即(a)ee(b ee),因为e,e是平面内两个不共线向量,所以a b,解得,a b,即ab,则abab()ab()baabbaab,当且仅当baab,即ba,即a,b时取等号,故最小值为 CONO A()O B,可知点N的横坐标是x a()b,M,N两点的横坐标相等,并且点N在线段A B上,由条件可知A(,),B,(),则kA B,则直线A B的方程是y(x),不等式|MN|k恒成立,则k|MN|m a x,由以上可知|MN|yMyN|xx(x)xx(),xx,x,当且仅当x 时等号成立,|MN|

23、的最大值是,即k 故选C A B DA CADD CADA B,A正确;MCMAA CB AA C(B CA C)A CA CB C,B正确;MNMAADDNA BADA BADA B,C错 误;B CB AADD CA BADA BADA B,D正确 A C DA中:AMA BA CAMA BA C,AMA BA CAM,即:BMMC,则点M是边B C的中点 BAMA BA C,AMA BA BA CBMC B,则点M在边C B的延长线上,所以B错误C设B C中 点D,则AM BMCMMBMCMD,由重心性质可知C成立 DAMxA ByA C,且xyAMxA ByA C,xy设ADAM,所以

24、ADxA ByA C,xy,可知B,C,D三点共线,所以MB C的面积是A B C面积的 baab 如图,四边形A B C D是平行四边形,ADB C,又ANNC,A,N,C三点共线,且CNA C,则MAMBB AD AB Aba,MNMCCNB CA CADA Cb(ab)ab 根据条件:A CyAN,A BxAM,又A GA BA C,A GxAMyAN又M,G,N三点共线,yxx,y,xy(xy)xy()xyyxxyyx xy的最小值为,当且仅当xyyx时“”成立 真题体验练 实战抢分 A 令xyxyxya,由可知,xa,xa,xa,由得x(ax)x(ax)x(ax)构造函数f(x)x(

25、ax),f(x)f(x)f(x),如图所示,f(x)为上凸函数,满足fxx()f(x)f(x)f(x),f(x)在(,a)上严格递增,xxx 由已知,ab,得,故 cak b(,)k(,)(k,),由ac得ac,所以(k),解得k 微点特训 平面向量的数量积及平面向量的应用考点对点练 保分必拿 D 以A为坐标原点,建立直角坐 标系 如图 所 示则A(,),B(,),E(,),F(,),所 以A F(,),B E(,),则A FB E 故选D B 设向量a与b的夹角为,|a|,|b|,因 为|ab|(),所以 c o s,c o s,D 由等面积法可得AD,依 题 意 可 得,ADB C,则A B在AD上的投影为|AD|,所以A BAD|AD|微点特训数学(新)