2024届新高考数学小题微点特训10 函数与方程含答案.pdf

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1、 函数与方程 考点对点练 保分必拿 考点一判断函数零点个数若函数f(x)xa xb的两个零点是和,则函数g(x)b xa x的零点是()A 和B 和C和D 和已知f(x)xx,xa,b,且f(a)f(b),则f(x)在a,b 内()A至少有一个实根B至多有一个实根C没有实根D有唯一实根已知函数f(x)()xc o sx,则f(x)在,上的零点个数为()A B C D 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)f(x),且x,时f(x)l o g(x),甲,乙,丙,丁四位同学有下列结论:甲:f();乙:函数f(x)在,上是增函数;丙:函数f(x)关于直线x对称;丁:若m(,),则关于x的方程f(

2、x)m在,上所有根之和为其中正确的是()A甲,乙,丁B乙,丙C甲,乙,丙D甲,丁(多选)已知函数f(x)|x|b的两个零点分别为x,x(xx),则下列结论正确的是()A x,xx B x,xxCx,xxDx,xx已知f(x)|l gx|,x,|x|,x,则函数yf(x)f(x)的零点个数是 考点二判断函数零点所在区间利用计算器,列出自变量的函数值的对应值如下表:x y x yx 那么方程xx的一个根位于下列区间()A(,)B(,)C(,)D(,)设函数yx与y()x的图象交点为P(x,y),则x所在的区间是()A(,)B(,)C(,)D(,)已知x是函数f(x)xx的一个零点,若x(,x),x

3、(x),则()Af(x),f(x)Bf(x),f(x)Cf(x),f(x)Df(x),f(x)设函数yx与y()x的图象的交点为(x,y),若x(n,n),nN,则x所在的区间是 考点三已知函数零点求参数的取值范围 若函数f(x)l nxxa在区间(,e)上存在零点,则常数a的取值范围为()A aBeaCeaDea 已知函数f(x)|x|,xx,x,函数g(x)m x,若函数yf(x)g(x)恰有三个零点,则实数m的取值范围是()A,()B,()C,()D,()已 知a为 正 常 数,f(x)xa x,x,xa,x,若x,xR,使f(x)f(x),则实数a的取值范围是 已知f(x)是定义在R上

4、且周期为的周期函数,当x,(时,f(x)|x|若函数yf(x)l o gax(a)在(,)上恰有个互不相同的零点,则实数a的值为微点特训数学(新)微 点 特 训 1 0 函 数 与 方 程 素养提升练 高分必抢一、单项选择题若函数f(x)xx的零点所在的区间为(k,k)(kZ),则k()A B C D 已知函数f(x)x,xax,xa若函数f(x)存在零点,则实数a的取值范围是()A(,)B(,)C(,)D(,)函数f(x)|l nx|xe的零点个数为()A B C D 函数f(x)的定义域为,图象如图所示:函数g(x)的 定 义域 为,图象 如 图所示,方 程fg(x)有m个实数根,方程gf

5、(x)有n个实数根,则mn()A B C D 设f(x)是定义在R上的偶函数,对任意的xR,都有f(x)f(x),且当x,时,f(x)()x,若关于x的方程f(x)l o ga(x)(a)在区间(,内恰有三个不同实根,则实数a的取值范围是()A(,)B(,)C(,D(,已知函数f(x)xex(x)与g(x)x l n(xa)的图象上存在关于y轴对称的点,则实数a的取值范围是()A(,e)B(,e)C(e,e)D(e,e)已知函数f(x)exex,g(x)l n(a xe),若存在x(,),使得f(x)g(x)成立,则a的取值范围为()A e,e()B e,e()C,e()D(e,)已知函数f(

6、x)k x,xs i nx,x,若方程f(x)f(x)有且只有五个根,分别为x,x,x,x,x(设xxxxx),以下说法:xxxxx;存在k使得x,x,x,x,x成等差数列;当k时,k;当k时,x t a nx其中正确的个数是()A B C D 二、多项选择题已知函数f(x)x x,则下列对于f(x)的性质表述正确的是()Af(x)为偶函数Bfx()f(x)Cf(x)在,上的最大值为Dg(x)f(x)x在区间(,)上至少有一个零点 已知函数f(x)|l o g(x)|,xxx,x,若方程f(x)m有四个不同的实根x,x,x,x满足xxxx,则下列说法正确的是()AxxBxxCxx Dxx(,)

7、三、填空题 若函数f(x)xa,xax,xa只有一个零点,则实数a的取值范围为 已知函数f(x)a|x|,x(xa),x,函数g(x)f(x),若函数yf(x)g(x)恰有个不同的零点,则实数a的取值范围为 真题体验练 实战抢分(天津卷,)已知函数f(x)x,x,x,x 若函数g(x)f(x)|k xx|(kR)恰有个零点,则k的取值范围是()A,()(,)B,()(,)C(,)(,)D(,)(,)(北京卷,)已知函数f(x)|l gx|k x,给出下列四个结论:若k,则f(x)有两个零点;k,使得f(x)有一个零点;k,使得f(x)有三个零点;k,使得f(x)有三个零点以上正确结论的序号是

8、微点特训数学(新)A选项,由图象及题意可得,该函数为偶函数,故A错;B选项,因为函数的周期为,所以f(x)f(x),因此f(x)f(x);故B正确;C选项,由图象可得,该函数的值域为,故C正确;D选项,因为该函数是以为周期的函数,因此函数yf(x)在区间,的图象与在区间,图象形状相同,因此,单调递增;故D正确 依题意知函数yf(x)的图象是双曲线xy的一部分由函数的定义,函数的图象可能是以下情况:从以上情况可以看出:表示偶函数,表示奇函数,错对;由图可知函数yf(x)在(,)单调递减,故错;由图可知函数是偶函数时,其值域也为(,),故错 作出函数f(x)xx的图象如图所示:函数f(x)xx在(

9、,),(,)上单调递增,在(,),(,)上单调递减,且f(),f(),所以f(x)的值域为(,)(,),若yt(t)与f(x)的图象有两个交点,则t,正确;取x,x,有f()f(),满足条件,但l n l n,故错误;由题意知xxtxt x,同理xt x,即x、x是方程xt x的两根,所以xxt,正确;由知xx,|xx|(xx)xxt,因为t,所以t,即|xx|,正确 真题体验练 实战抢分 A 由题意首先确定函数的奇偶性,由函数的解析式可得:f(x)xxf(x),则函数f(x)为奇函数,其图象关于坐标原点对称,选项C D错误;当x时,y,选项B错误 Df(x)x为偶函数,g(x)s i nx为

10、奇函数,图中函数为奇函数,yf(x)g(x)与yf(x)g(x)均不是奇函数,故排除A,B项;f(x)g(x)x()s i nx,f(x)g(x)x()c o sxxs i nx,则f()g(),与图不符,故排除C项;故选择:D微点特训 函数与方程考点对点练 保分必拿 B 因为f(x)xa xb有两个零点和,所以和是方程xa xb的两个根,a,b,所以g(x)xx,令g(x)xxx或x D 设x,xa,b,且xx,则f(x)f(x)xxxx(xx)(xx),因为xx,所以(xx)(xx),即f(x)f(x),所以f(x)xx在a,b 上单调递减,因为f(a)f(b),所以f(x)在a,b 内有

11、唯一解 C 作出g(x)()x与h(x)c o sx的图象,可以看出函数g(x)与h(x)在,上的图象的交点个数为,所以函数f(x)在,上的零点个数为 D 取x,得f()f()l o g(),所以f()f(),故甲的结论正确;定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)f(x),则f(x)f(x),f(x)f(x),函数f(x)关于直线x对称,故丙不正确;奇函数f(x),x,时,f(x)l o g(x),x,时,函数为单调增函数,函数f(x)关于直线x对称,函数f(x)在,上是减函数,故乙不正确;若m(,),则关于x的方程f(x)m在,上有个根,其中两根的和为,另两根的和为,所以所有根之和为故丁正确

12、 A C 函数f(x)|x|b有两个零点,即y|x|与yb的图象有两个交点,交点的横坐标就是x,x(xx),在同一坐标系中画出y|x|与yb的图象(如下),可知x,x当yb时,x,两个函数图象只有一个交点,当yb时,由图可知xx故选A C微点特训数学(新)由f(x)f(x)得f(x)或f(x),作 出 函 数yf(x)的图象由图 象 知y与yf(x)的图象有个交点,y与yf(x)的图象有个 交 点因 此 函 数yf(x)f(x)的零点有个 C 构造f(x)xx,则f(),f(),故在(,)内存在一点使f(x)xx,所以方程xx的一个根就位于区间(,)上选C B 构造函数f(x)x()x,则x即

13、为函数f(x)的零点因为f(),f(),所以f()f()且f(x)x()x在(,)上的图象是一条连续不断的曲线,所以零点所在的区间为(,)故选B B 因为x是函数f(x)xx的一个零点,则x是函数yx与yx的交点的横坐标,画出函数图象,如图所示,则当x(,x)时,yx在yx下方,即f(x);当x(x,)时,yx在yx上方,即f(x)(,)设f(x)x()x,则x是函数f(x)的零点,在同一平面直角坐标系下作出函数yx与y()x的图象如图所示因为f()(),f()(),所以f()f(),所以x(,)C 函数f(x)l nxxa在区间(,e)上为增函数,f()l na,f(e)l ne ea,可得

14、ea A 由题意,画出函数f(x)|x|,xx,x的图象如下图所示:yf(x)g(x)恰有三个零点即f(x)g(x)有三个不同交点,即f(x)m x有三个不同交点,由图象可 知,当 直 线 斜 率 在kO A,kO B之 间 时,有 三 个交点即kO AmkO B,所以m,可得m(,)由于a,函数yxa x在,)上单调递增,当x时有最小值为在x时,函数为增函数,要使x,x存在,使得f(x)f(x),则需a,解得a 当x,(时,f(x)|x|x,xx,x,且f(x)是定义在R上且周期为的周期函数,因为函数yf(x)l o gax(a)在(,)上 恰 有个 互 不 相 同 的 零 点,所 以 函

15、数yf(x)与y l o gax(a)在(,)上恰有个不同的交点,分别画出两函数图象如图所示,由图可知,当x时,有l o ga,所以a素养提升练 高分必抢 Df(),f(),且f(x)单调递增,f(x)的零点所在的区间为(,),k B 指数函数yx,没有零点,yx有唯一的零点x,所以若函数f(x)存在零点,须f(x)x(xa)有零点,即(,a),则a 微点特训数学(新)C 因为函数f(x)|l nx|xe的零点个数即方程f(x)|l nx|xe的根的个数,故可化为y|l nx|与yxe图象的交点的个数,当x时,y|l nx|l nx,y x,令y xe,可解得xe,所以直线yxe与y|l nx

16、|(x)相切于点(e,),作出函数y|l nx|与函数yxe图象如图:由图象可知,函数y|l nx|与函数yxe图象有个交点,故函数f(x)|l nx|xe的零点个数为个 A 由方程fg(x)可知g(x),此时x有个实根,即m;由方程gf(x)可知n,所以mn,故选A B 因为f(x)为偶函数,所以f(x)f(x),所以f(x)f(x),故函数f(x)的周期为,当x,时,f(x)()x,故f(x)在(,上的图象如图所示:因为f(x)l o ga(x)在区间(,内恰有三个不同实根,即在区间(,内有个不同的解,所以f(x)的图象与yl o ga(x)的图象有个不同的交点,故f()l o ga()f

17、()l o ga(),即 l o ga l o ga,解 得a A 若函数f(x)xex(x),与g(x)x l n(xa)图象上存在关于y轴对称的点,则等价为f(x)g(x),在x时,方程有解,即ex l n(xa)在(,)上有解,令m(x)ex l n(xa),则m(x)ex l n(xa)在其定义域上是增函数,且x时,m(x),若a时,xa时,m(x),故ex l n(xa)在(,)上有解,当a时,则ex l n(xa)在(,)上有解可化为,el n(a),即l na,故ae,综上所述,a(,e),故选A A 因为f(x)exex,所以f(x)exe,当x(,)时,f(x),所以f(x)

18、exe x在(,)上单调递减,且f(),f(),则f(x)(,)又g()l n(e),当a时,g(x)的图象与f(x)的图象没有交点,不符合题意;当a时,g(x)l n(a xe)单调递增,则g(x)g()l n(e),则此时,g(x)的图象与f(x)exex(x)的图象没有交点,也不符合题意;当a时,g(x)l n(a xe)单调递减,因为g()l n(e),所以g(x)的图象与f(x)的图象在(,)有交点,则g()l n(ae),即ae ae,解得e ae综上,a的取值范围为e,e()B 设F(x)f(x)f(x),则F(x)f(x)f(x)F(x),函数F(x)为偶函数,故x,xx,xx

19、,所以正确;原题可化为yk x与ys i nx在(,)上有且只有两个公共点,如图,当k时,x,x,显然xxx,当k时,x,x,显然xxx,所以错误;当k时,结合图象可得错误;当k时,yk x与ys i nx在xx处相切,所以kc o sx,又k xs i nx,所以xt a nx,所以正确 A B C D 因为f(x)xx,所以其的定义域为R,A选项,f(x)(x)(x)xxf(x),所以函数f(x)为偶函数,故A正确;B选项,fx()x()x()xx f(x),故B正 确;C选 项,因 为f(x)xxx,当x,yx单调递增,所以f(x)x单调递减,因此f(x)m a xf(),故C正确;D选

20、项,因为g(x)f(x)x,所以g()f(),g()f(),即g()g(),由零点存在性定理可得:g(x)f(x)x在区间(,)上存在零点,故D正确 B C D 作出函数f(x)的图象,方程f(x)m有四个不同的实根,即函数yf(x)与ym有四个不同的交点,如图所示:依题意|l o g(x)|l o g(x)|,且xx,所以l o g(x)l o g(x),即l o g(x)l o g(x),所以l o g(x)(x),即(x)(x),所以xxxx,所以xx,故选项A错误,选项B正确;又x,x是方程xx m(m)的两根,即x,x是方程x x m的两根,所以xx,xx m,因为方程f(x)m有四

21、个不同的实根,所以由图可知m(,),所以xx m(,),故选项C,选项D均正确微点特训数学(新)(,(,函数yx的零点为 当a时,函数yf(x)在区间(,a)上无零点,则函数yf(x)在区间a,)上有零点a,可得aa,解得a,此时a;当a时,函数yf(x)在区间(,a)上有零点,则函数yf(x)在区间a,)上无零点,则aa,解得a,此时a;当a时,函数yf(x)在区间(,a)上的零点为,不合乎题意综上所述,实数a的取值范围是(,(,(,由题意,函数g(x)f(x),且函数yf(x)g(x)恰有个不同的零点,即f(x)恰有个实数根,当x 时,由a|x|,即|x|a ,解得xa或xa,所以aaaa

22、,解得a;当x时,由(xa),解得xa或xa,所以aa,解得a,综上可得:实数a的取值范围为(,真题体验练 实战抢分 D 本题主要考查函数与方程的应用,考查数形结合思想,转化与化归思想,注意到g(),所以要使g(x)恰有个零点,只需方程|k x|f(x)|x|恰有个实根即可,令h(x)f(x)|x|,即y|k x|与h(x)f(x)|x|的图象有个不同交点因为h(x)f(x)|x|x,x,x,当k时,此时y,如图,y与h(x)f(x)|x|有个交点,不满足题意;当k时,如图,此时y|k x|与h(x)f(x)|x|恒有个不同交点,满足题意;当k时,如图,当yk x与yx相切时,联立方程得xk

23、x,令得k,解得k(负值舍去),所以k 综上,k的取值范围为(,)(,)零点问题,转化成两个函数的交点来分析令f(x)|l gx|k x,可 转 化 成 两 个 函 数y|l gx|,yk x的交点问题对于,当k时,|l gx|,两个交点,正确;对于,存在k,使y|l gx|与yk x相切,正确;对于,若k,y|l gx|与yk x最多有个交点,错误;对于,当k时,过点(,)存在函数g(x)l gx(x)的切线,此时共有两个交点,当直线斜率稍微小于相切 时 的 斜 率 时,就 会 有个 交 点,故正 确填微点特训 函数模型及其应用考点对点练 保分必拿 A 要使得被加工为罐头的新芒果最少,尽量使

24、用库存芒果,即当mnm,nm时,f,当nm时,fnmmnm,对照图象舍去C,D;要使得被加工为罐头的新芒果最多,则尽量使用新芒果,即当mnn,nm时fmn,当mnn,nm时fn,因为mm,所以A符合题意 B 水位由高变低,排除C、D半缸前下降速度先快后慢,半缸后下降速度先慢后快,故选B C列 车 匀 速 前 进列 车 行 驶 速 度v k m/h,列车 h h后到达C地,此时距离C地 k m,即函数图象经过点(,)由此可排除A,B,D,知C正确故选C D 当t时,函数为一次函数,单调递增,当t时取得最大值,即 当t 时,函数为开口向下的二次函数,其对称轴为t,由于t为整数,故当t 时取得最大值

25、,即 ,故选D B 由题意,l gI普 (),l gI高 (),则 l gI普 ()l gI高 ()l gI普I高,即 l gI普I高,所以I普I高,即 普 通 列 车 的 声 强 是 高 速 列 车 声 强 的 倍 A 由题意可知:()ek t,当,t时,代入公式得:()ek即ek ,则k l n l n l n 故选:A 根据条件:a r ,a r ;所以a ,r;所以M(t)()t;所以M()();由 ()t 得:()t();所以l g()t l g();所以tl g();所以tl g(l g);所 以t(l g),将l g 代入得:t,解得t ;所以最小的整数t的值是 C 由表知,根据需先修复好的阀门的要求,可确定A,D顺序无要求,其中三个阀门的先后顺序必须是C,B,E,要使泄露的有害气体总量最小,修复时间长的因尽量靠后,故修复顺序为C,B,E,D,A,则C,B,E,D,A各阀门泄露有害气体的时间分别为,小时,泄露有害气体的时间共 小时,故泄露的有害气体总量最小为 立方米 D 设废水中最原始的该重金属含量为a,则经过x次该装置过滤后,该重金属含量为a()xa()x,根据 题 意 知a()x a,即()x ,两边取常用对数得xl g l g l gl g l g 所以x取最小整数为 故选D 微点特训数学(新)