2024届新高考数学小题微点特训14 导数的综合应用含答案.pdf

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1、 导数的综合应用 考点对点练 保分必拿 考点一导数与函数的零点方程xxx 的实根个数是()A B C D 已知函数f(x)a xx,若f(x)存在唯一的零点x,且x则a的取值范围是()A(,)B(,)C(,)D(,)函数f(x)exaexax的零点个数是()A B C D与a有关若函数f(x)xxal nx(a)有唯一的零点x,且mxn(n为相邻整数),则mn的值为()A B C D 若函数f(x)xa xa恰有两个零点,则f(x)在,上的最大值为()AB CD若函数f(x)a xaex(a)没有零点,则实数a的取值范围为 考点二导数与不等式恒成立问题若存在正数x使x(xa)成立,则a的取值范

2、围是()A(,)B(,)C(,)D(,)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,设函数f(x)的导函数为f(x),若对任意的x,都有f(x)x f(x)成立,则()A f()f()B f()f()C f()f()D f()f()若不等式xex l nxk x对任意的x都成立,则实数k的取值范围是()A(,B,(C(,e)D,e(已知不等式ea x l nx(a)x对x(,)恒成立,则正实数a的最小值为()AeB eC eD e 已知函数f(x)axexxl na(a,a),对任意的x,x,不等式|f(x)f(x)|a恒成立,则a的取值范围为()A,eBee,)C,)De,ee 已知函数f(x)a

3、 xx对x(,总有f(x)成立,则实数a的取值范围是 考点三导数的综合问题 已知函数f(x)ex,xk x,x,若存在非零实数x,使得f(x)f(x)成立,则实数k的取值范围是()A(,)B(,C(,)D,)若f(x)图象上存在两点A,B关于原点对称,则点对A,B 称为函数f(x)的“友情点对”(点对A,B 与B,A视 为 同 一 个“友 情 点 对”),若f(x)xex,xa x,x恰有两个“友情点对”,则实数a的取值范围是()A e,()B,e()C(,)D(,)函数f(x)xxx,g(x)xxx,若函数F(x)f(x)g(x),且函数F(x)的零点均在a,b(ab,a,bZ)内,则ba的

4、最小值为微点特训数学(新)2024高考数学微点特训14 导数的综合应用 素养提升练 高分必抢一、单项选择题设函数f(x)ex(x)a xa,其中a,若有且只有一个整数x使得f(x),则a的取值范围是()Ae()Be,)Ce,De,()已知函数f(x)exa x(aR)有三个不同的零点,则实数a的取值范围是()A(e,)B(e,)C(e,)D(e,)设f(x)|l nx|,若函数g(x)f(x)a x在区间(,)上有三个零点,则实数a的取值范围是()A,e()Bl n,e()C,l n()Dl n,e()若对于任意的正实数x,y,都有xye()l nyxxme成立,则实数m的取值范围为()Ae,

5、()Be,(Ce,e(D,e(已知函数f(x)ax s i nx()xl na(a,a),对任意x,x,不等式|f(x)f(x)|a恒成立,则实数a的取值范围是()Ae,)Be,)C(e,eD(e,e)已知函数f(x)l nx,x,(x)ex,x,函数g(x)f(f(x)e零点的个数为()A B C D 设函数f(x)ex(x)a xa,其中a,若存在唯一的整数x,使得f(x),则a的取值范围是()A e,)B e,)C e,)D e,)若关于x的不等式(a)xxal nx在区间e,e(e为自然对数的底数)上有实数解,则实数a的最大值是()A B ee(e)Ce(e)e De(e)e 二、多项

6、选择题已知函数f(x)|x|ex,g(x)f(x),xxxa,x,且g(),则关于x的方程g(g(x)t)实根个数的判断正确的是()A当t时,方程g(g(x)t)没有相应实根B当et或t时,方程g(g(x)t)有个相应实根C当 te时,方程g(g(x)t)有个相异实根D当te或t或te时,方程g(g(x)t)有个相异实根 已知函数f(x)l nx,xx,x,若直线yk x与yf(x)交于三个不同的点A(a,f(a),B(b,f(b),C(c,f(c)(其中abc),则ba的可能值为()A B C D 三、填空题 已知函数f(x)x|xa|,若存在x,使得f(x),则实数a的取值范围是 已 知

7、函 数f(x)l n(x),xm,xxx,xm,若 函 数f(x)仅有个零点,则实数m的取值范围为 真题体验练 实战抢分(全国乙卷,)设a l n ,b l n ,c ,则()AabcBbcaCbacDcab微点特训数学(新)B 因为f(x)f(x),所以函数f(x)的对称轴为x,因为f(x)x,所以当x时,x,f(x),函数f(x)为增函数,因为a,所以l o gaa,f(l o ga)f()f(a)Dxf(x)f(x)l nxx,f(x)l nxxC(C为常数),f(e)l ne eC,f(e)e,eeC,解得C,f(x)l nxx,f(x)xl nx(x),不等式f(x)a x对任意x(

8、,)恒成立,xl nxa x对任意x(,)恒成立,即axl nx对任意x(,)恒成立,令g(x)xl nx,则g(x)l nx(l nx),令g(x)l nx(l nx),解得xe,xe时,g(x),g(x)在(,e)上单调递增;xe时,g(x),g(x)在(e,)上单调递减,当xe时,g(x)取 得 极 大 值,也 是 最 大 值,g(x)m a xg(e)el nee,ae,实数a的取值范围是e,)A D 根据材料知:h(x)xxel nxxexl nx,所以h(x)exl nxxl nx()exl nxxl nxx()xexl nx(l nx),令h(x)得xe,当xe时,h(x),此时

9、函数h(x)单调递增;当xe时,h(x),此时函数h(x)单调递减所以h(x)有极大值且为h(e)ee,无极小值 C D 令g(x)f(x)c o sx,x,),则g(x)f(x)c o sxf(x)s i nxc o sx,因为f(x)c o sxf(x)s i nx,所 以g(x)f(x)c o sxf(x)s i nxc o sx在,)上恒成立,因此函数g(x)f(x)c o sx在,)上单调递减,因此g()g(),即f()c o sf(),故A错;又f(),所以g()f()c o s,所以g(x)f(x)c o sx在,)上 恒 成 立,因 为l n,),所 以fl n(),故B错;又

10、g()g(),所 以f()c o sf()c o s,即f()f(),故C正确;又g()g(),所以f()c o sf()c o s,即f()f(),故D正确,)(,)若f(x)k xl nx在区间(,)单调递增,所以f(x)kx在(,)上恒成立,即kx在(,)上恒成立,又x时,x,所以k;若函数f(x)在区间(,)内不单调,则方程f(x)kx在区间(,)有解,因为x时,x,因此只需k(,)(,)构造函数g(x)f(x)x,则g(x)f(x),即函数g(x)在R上为增函数,且g()f()当x时,由x f(x)xx可得f(x)(x),即f(x)(x),即g(x)g(),可得x,解得x,此时x;当

11、x时,由x f(x)xx可得f(x)(x),即f(x)(x)即g(x)g(),可得x,解得x,此时x综上所述,不等式x f(x)xx的解集为(,)(,)真题体验练 实战抢分 D 当a,f(x)大致图像如下图左所示,易得ba当a,f(x)大致图像如下图右所示,易得ab综上所述,得a ba,故答案选D x时f(x)x l nx,f(x)x(x)x,当x时,f(x);当x时,f(x),故f(x)m i nf();x时,f(x)x l nx,f(x)x(x)x,此时f(x)x l nx为减函数,f(x)m i nf()l n综上:f(x)m i nf()微点特训 导数的综合应用考点对点练 保分必拿 C

12、 设f(x)xxx,f(x)x x(x)(x),由此可知函数的极大值为f(),极小值为f(),所以方程xxx 的实根个数为个 Ca时,不符合题意a时,f(x)a xx令f(x),得x或xa若a,则由图象知f(x)有负数零点,不符合题意则a,由图象结合f()知,此时必有fa(),即aaa,化简得a又a,所以a A 依题意f(x)eaeaexx,令teaea eaeaf(x)texx,f(x)tex,令f(x),解 得xl nt,故 函 数f(x)在,l nt()上递减,在l nt,()上递增,函数在x l nt处取得极小值也即是最小值,fl nt()tt l nt l nt,由于t,故l nt,

13、也即是函数f(x)的最小值为正数,故函数f(x)没有零点故选A C 令g(x)xx,h(x)al nx,则g(x)xx,h(x)ax(a,x)因为函数f(x)有唯一零点x,所以函数g(x),h(x)的 图 象有 唯一 一个 交 点,即微点特训数学(新)g(x),h(x)有 唯 一 公 切 点(x,y),即 由xxax,xxal nx,得xxxx()l nx,令(x)xxxx()l nx,则(),()l n,(e)ee,所以x(,e),所以m,n,所以mn C 令f(x)xa xx(xa),所以x或xa,显然a,f(x)恰有两个零点,f()a,另一个极值点xa必为零点,f(a)aaa,解得a,所

14、以f(x)xx所以f(),f(),f(),f(),f(x)在,上的最大值为(e,)f(x)aex(a xa)exexa(x)ex当a时,f(x),f(x)的变化情况如下表x(,)(,)f(x)f(x)极小值若使函数f(x)没有零点,当且仅当f()ae,解得ae,所以此时ea,故实数a的取值范围为(e,)Dx(xa),axx令f(x)xx,f(x)xl n f(x)在(,)上单调递增,f(x)f(),a的 取 值 范 围为(,)A 根据题意,令g(x)xf(x),其导函数g(x)x f(x)xf(x),又对任意的x,都有f(x)x f(x)成立,则当x时,有g(x)xf(x)x f(x)恒成立,

15、即函数g(x)在(,)上为增函数又由函数f(x)是定义在R上的偶函数,则f(x)f(x),则有g(x)(x)f(x)xf(x)g(x),即函数g(x)也为偶函数,则有g()g(),且g()g(),则有g()g(),即有f()f()故选A A 因为xex l nxk x对任意的x都成立,xex l nxex l nx l nxx l nx l nxx即:(k)x对任意的x都成立,即k,解得k A 不等式ea x l nx(a)x对x(,)恒成立,即为ea xa xx l nxel nx l nx,设函数f(x)exx,则f(x)ex,当x时,f(x)恒成立所以函数f(x)exx在(,)上为增函数

16、,ea xa xx l nxel nx l nx对x(,)恒成立即f(a x)f(l nx)a xl nx,即al nxx,设g(x)l nxx,则g(x)l nxx,由g(x)l nxx,则xe,由g(x)l nxx,则xe,所以g(x)在(,e)上单调递增,在(e,)上单调递减当xe时,g(x)有 最 大 值g(e)e,所 以ae B 因为f(x)axexxl na,所以,f(x)axl naex l na(ax)l naex,当a时,对任意的x,ax,l na,恒有f(x);当a时,对任意的x,ax,l na,恒有f(x)所以f(x)在x,是单调递增的,那么对任意的x,x,不等式|f(x

17、)f(x)|a恒成立,只要|f(x)m a xf(x)m i n|a,f(x)m a xf()ae l na,f(x)m i n f()所以aae l na,即aee,)当x(,时不等式a xx可化为axx,设g(x)xx,x(,g(x)x(x)xxx()xg(x)与g(x)随x的变化情况如下表:x,(),()g(x)g(x)极大值因此g(x)的 最 大 值 为,则 实 数a的 取 值 范 围 是,)A存在非零实数x,使得f(x)f(x)成立,由把f(x)k x(x)关于y轴对称后的图象yk x(x)与yex(x)有交点,它们都过原点,如图,yex,y ex,y|xe,即yex的图象在原点处切

18、线斜率为,k,即k A 根据题意,若要求“友情点对”,可把x时的函数图像关于原点对称,研究对称过去的图像和x时的图像有两交点即可,ya x(x)关于原点对称的解析式为ya x(x),考查yxex的图像和ya x(x)的 交点,可 得xex a x,a xex,令g(x)xexg(x)xex,所以x(,),g(x),g(x)为减函数,x(,),g(x),g(x)为增函数,g()e,其图象为,故若要axex有两解,只要ea即可,故选A f(x)xxx,f(x)xxf(x)xx,f(x)xxx在R上是单调递增函数f(),f(),微点特训数学(新)f(x)xxx在区间,上存在唯一零点,f(x)在区间,

19、上存在唯一零点,又g(x)xxx,g(x)xx,g(x)xx,g(x)xxx在R上是单调递减函数,g(),g(),g(x)xxx在区间,上存在唯一零点,g(x)在区间,上存在唯一零点,由F(x)f(x)g(x),得f(x)或g(x),故函数F(x)的零点均在,内,则ba的最小值为 素养提升练 高分必抢 D 已知函数f(x)ex(x)a xa,且f(x),所以ex(x)a xa,令g(x)ex(x),h(x)a xa,所以g(x)ex(x),当x,g(x),当x时,g(x),所以g(x)在,()上递减,在,()上递增,所以当x时,g(x)取得最小值 e,又g()h()a,g()h()e,h(x)

20、a xa,过定点(,),斜率为a,若有且只有一个整数x使得f(x),则g()h()ea,解得ae,又a,所以a的取值范围是ea C 若f(x)exa x,则aexx,令g(x)exx,则g(x)(x)exx,当x,或x时,g(x),当x时,g(x),所以,g(x)在(,)和(,)上递增,在(,)上递减,又g()e,作出函数g(x)的图像如图所示:要使直线ya与 曲 线g(x)exx有 三 个 交 点,则ae D 令yf(x)|l nx|,ya x,若函数g(x)f(x)a x在区间(,)上有三个零点,则yf(x)|l nx|与ya x的图象(图略)在区间(,)上有三个交点由图象易知,当a时,不

21、符合题意;当a时,易知y|l nx|与ya x的图象在区间(,)上有一个交点,所以只需要y|l nx|与ya x的图象在区间(,)上有两个交点即可,此时|l nx|l nx,由l nxa x,得al nxx令h(x)l nxx,x(,),则h(x)l nxx,故函数h(x)在(,e)上单调递增,在(e,)上单调递减,h(e)l neee,h(),h()l nl n,所以l nae,故选D D 由xye()l nyxxme,可得 e yx()l nyxm设yxt,令f(t)(e t)l nt,t,则f(t)l nt et令g(t)l nt et,t,则g(t)t et,g(t)在(,)上单调递减

22、,即f(t)在(,)上单调递减 f(e),f(t)在(,e)上单调递增,在(e,)上单调递减,f(t)m a xf(e)e,e m,实数m的取值范围为,e(故选D A 结 合 题 意,显 然a,f(x)l na(ax)c o sx(),由x,a,得l na,ax,c o sx(),故f(x),f(x)在,递增,故f(x)m a xf()a l na,f(x)m i nf(),对任意x,x,不等式|f(x)f(x)|a恒成立,即f(x)m a xf(x)m i na,a l naa,即l na,解得:ae B 令f(x)t,则f(t)l nt,t(t)et,t,当t时,f(t)e,即l ntet

23、ee,即f(x)ee当x时,l nxee有 一 个 解当x时,f(x)xex,x(,),f(x);x(,),f(x),且f()e当x时,(x)exe,而eee,所以方程(t)ete无解当t时,f(t)e,由()知t,即f(x)当x时,l nx有一个解当x时,f(x)e,所以f(x)无解综上,函数g(x)有两零点 D 设g(x)ex(x),ya(x),由题意知,函数yg(x)在直线ya xa下方的图象中只有一个点的横坐标为整数,g(x)ex(x),当x时,g(x);当x时,g(x)所 以,函 数yg(x)的 最 小 值 为g()e又g(),g()e 直线ya xa恒过定点(,)且斜率为a,故ag

24、()且g()eaa,解得 ea,故选D D 由(a)xxal nx,得a(x l nx)xx,令g(x)xl nx,xe,e,则g(x)x,则g(x)在e,递减,在(,e 递增,则g(x)g(),即由a(xl nx)xx,得axxx l nx,xe,e有解,设f(x)xxx l nx,xe,e,则f(x)(x)(x l nx)(x)(xx)(x l nx)(x)(xl nx)(x l nx),微点特训数学(新)令u(x)xl nx,xe,e,则u(x)x,故u(x)在e,)递减,在(,e 递增,故u(x)u()l n,故f(x)在e,递减,在(,e 递增,又fe()ee e,f(e)e ee,

25、故f(x)m a xf(e)e ee,故ae ee,即 实 数a的 最 大 值为e ee A B 由g()得a,则a;所以g(x)f(x),x(x),x,故g(x),当x时,g(x)f(x)xexxex,则g(x)exxexex(x),由g(x)得x;由g(x)得x;则g(x)m a xg()e,又g()f(),x时,g(x);即x时,g(x),e;当x时,g(x)(x);由g(g(x)t)解得g(x)t或g(x)t;A选项,当t时,g(x)t与g(x)t都无解,故没有相应实根;故A正确;B选项,当et或t时,方程g(g(x)t)有个相应实根,即g(x)t只要一个根,则只需t或te,解得t或t

26、e;故B正确;C选项,当te,g(x)t有三个根,g(x)t有一个根,所以方程g(g(x)t)有个相异实根;故C错;D选项,te时,方程g(x)t有两个解;g(x)t有一个解,共三个解;当t时,方程g(x)t有两个解;g(x)t有一个解,共三个解;当te时,方程g(x)t无解;方程g(x)t有三个解,共三个解;故D错 B C 在x时,f(x)l nx,f(x)x,设切点的坐标为:(x,y),f(x)x,因此有f(x)x,所以切线方程为:y l nxx(xx),当该切线过原点时,l nxx(x)xe,所以切点的坐标为:(e,),因为直线yk x与yf(x)交于三个不同的点,所以有b(,e),当切

27、线与直线yx相交时,解方程 组:yxyexxe ey e,因 此 有ae e,(),于是有a,e(),所以ba,e e(),显然选项B C符合(,)当x,时,f(x)|xa x|,由f(x),得xa x,即为xxaxx,设g(x)xx,则g(x)xx,当x,时,g(x),即g(x)在,上单调递减,所以g(x)m i n,即有a,即a;设h(x)xx,则h(x)xx,当x,时,h(x),即h(x)在,上单调递减,可得h(x)m a x即有a,即a综上可得,a的取值范围是a(,对于函数yx x x,y x x,令y ,解得x ,故当x,时,y;当x ,时,y ;当x ,时,y ;令l n(x),解

28、得x;令x x x,解得x,x 或x 作y l n(x),yx x x的大致图像:观察可知,若函数f(x)仅有个零点,则m,故实数m的取值范围为(,真题体验练 实战抢分 B显然ab令f(x)l n(x)(x)(x),则f(x)xx因为当x时,xx,所以xxxx,即xx,所以f(x),所以f()f(),即ac同理,令g(x)l n(x)(x)(x),则g(x)xx,因为当x时,(x)x,所以g(x),所以g()g(),即cb,综上acb,选B微点特训 三角函数的概念与诱导公式考点对点练 保分必拿 C D 是 第 四象 限角,A错;当x k ,(kZ)时,不是象限角,B也错,C D正确.B是第一象限角,k k,kZ,k k,kZ,为第一象限角或第二象限角或终边在y轴正半轴上的轴线角,|c o s|c o s,c o s,是第二象限角 A 由 题 意s i nc o s ,又s i n,点(s i n,c o s)在第三象限,即是第三象限角,k,kZ,最小正值为 A 由题意得扇形的半径为:s i n,又由扇形面积公式得该扇形的面积为:s i ns i n B 依题意,问题 三三 中扇形的面积为l r 平方步,问题 三四 中扇形的面积为l r 平方步 微点特训数学(新)