2024届新高考数学小题微点特训29 直线的方程含答案.pdf

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1、 直线的方程 考点对点练 保分必拿 考点一直线的方程若k,b三个数成等差数列,则直线yk xb必经过定点()A(,)B(,)C(,)D(,)直线l经过A(,),B(,m)(mR)两点,则直线l的倾斜角的取值范围是()A BCD 设直线x(k)yk 过定点P,则点P的坐标为()A(,)B(,)C(,)D(,)若等腰直角三角形一条直角边所在直线的斜率为,则斜边所在直线的斜率为()A 或B 或C 或D 或 考点二两直线的位置关系已知a,bR,则“a”是“直线a xy和直线x(a)y垂直”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件若两条平行直线l:xym(m)与l:xn

2、 y 之间的距离是,则mn()A B C D(多选题)已知直线l:xm y,l:(m)xy,则下列说法正确的是()A若ll,则m或mB若ll,则mC若ll,则mD若ll,则m过 点E(,)和 点F(,)的 直 线 与 过 点Mk,()和点N,k()(k)的直线的位置关系是()A平行B重合C平行或重合D相交或重合已知实数x,y满足xy,当x时,则yx的最大值为;最小值为 考点三距离问题 到直线xy 的距离等于的直线方程为()A xyB xyC xy或xy D xy或xy 当点P(,)到直线m xym的距离最大时,m的值为()A B C D 在平面直角坐标系x O y中,直线l:k xy与直线l:

3、xk y相交于点P,则当实数k变化时,点P到直线xy的距离的最大值为()A B CD 已知点A(,),B(,),C(,),直线ya xb(a)将A B C分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是()A(,)B,C,D,)已知直线l:a xy 和直线l:(a)xy 若ll,则实数a的值为,此时,两直线l与l之间的距离为 已知点A(,),B(,)P是x轴上一点,且|P A|P B|,则P A B的面积为微点特训数学(新)素养提升练 高分必抢一、单项选择题直线l经过A(,),B(,m)(mR)两点,那么直线l的倾斜角的取值范围为()A,pB,C,D,()若等边三角形一边所在直线的斜率为,则该三角形另

4、两条边所在直线斜率为()A,B,C,D,若a,b为正实数,直线x(a)y与直线b xy 互相垂直,则a b的最大值为()AB CD 在平面直角坐标系内,过定点P的直线la xy 与过定点Q的直线mxa y 相交于点M,则|MP|MQ|()A B C D 直线l:k xyk与x轴交于点M,直线l:xk yk 与y轴交于点N,线段MN的中点为P,则点P的坐标(x,y)满足的方程为()A(xy)(xy)Bxy C(xy)(xy)D xy已知P(a,b)与P(a,b)是直线yk x(k为常数)上 两 个 不 同 的 点,则 关 于x和y的 方 程 组axby,axby的解的情况是()A无论k,P,P如

5、何,总是无解B无论k,P,P如何,总有唯一解C存在k,P,P,使之恰有两解D存在k,P,P,使之有无穷多解直线a xya恒过定点M,则直线xy关于M点对称的直线方程为()A xy B xy C xy D xy 数学家欧拉在 年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半这条直线被后人称为三角形的欧拉线已知A B C的顶点A(,),B(,),且|A C|B C|,则A B C的欧拉线的方程为()AxyB xy Cxy D xy 二、多项选择题已知直线l过点P(,),且与直线l:xy以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形,则下列结论中正确的是()

6、A直线l与直线l 的斜率互为相反数B直线l与直线l 的倾斜角互补C直线在y轴上的截距为D这样的直线l有两条 如图,平面中两条直线l和l相交于点O,对于平面上任意一点M,若p,q分别是M到直线l和l的距离,则称有序非负实数对(p,q)是点M的“距离坐标”下列四个命题中正确命题为()A若pq,则“距离坐标”为(,)的点有且仅有个B若p q,且pq,则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有个C若p q,则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有个D若pq,则点M在一条过点O的直线上三、填空题 已知直线l过点P(,)且与以A(,),B(,)为端点的线段A B有公共点,则直线l倾斜角的取值范围为 设mR,过定

7、点A的动直线xm y和过定点B的动直线m xym交于点P(x,y),则|P A|P B|的最大值是 微点特训数学(新)如图,在 直 四 棱 柱A B C DABCD中,因为 底 面 是 菱 形,侧棱垂直底面,所以A C平面B DDB,所以B DA C在A B上取F,使得B FF A,连接E F,则E FA C,所以B DE F记A C与B D的交点为O,以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Ox y z,则B(,),D(,),E(,)在B B上取一点G,记为(,t),于是B D(,),E G(,t)由B DE G t,得t,即B GG B,所以E F G的边为点M的运动轨迹由题意得F G

8、B FB G,E FA C ,动点M的轨迹围成的图形的面积为()()显然当M与G重合时,MC与平面A B C D所成角最大因为M(,),C(,),所以MC(,),|MC|()(),因 为 直 线A C的一个方向向量为n(,),所以c o s(MC,n)MCn|MC|n|,即 异 面 直 线MC与A C所成角的余弦值为 真题体验练 实战抢分 B D 由点P满足B PB CB B,可知点P在正方形B C CB内A选项,当时,可知点P在线段C C(包括端点)上运动A BP中,A B,A P,BP(),因此周长LA BA PBP不为定值;所以选项A错误B选项,当时,可知点P在线段BC(包括端点)上运动

9、由图可知,线段BC平面AB C,即点P到平面AB C的距离处处相等,AB C的面积是定值,所以三棱锥PAB C的体积为定值,所以选项B正确C选项,当时,分别取线段B C,BC中点为D,D,可知点P在线段DD(包括端点)上运动很显然若点P与D或D重合,均满足题意,所以选项C错误D选项,当时,分别取线段B B,C C中点为M,N,可知点P在线段DD(包括端点)上运动此时,有且只有点P与N点重合时,满足题意所以选项D正确因此,答案为B D微点特训 直线的方程考点对点练 保分必拿 A 因为k,b三个数成等差数列,所以kb,即bk,于是直线方程化为yk xk,即yk(x),故直线必过定点(,)C 因为直

10、线l的斜率kt a nmm,所以 B 将直线方程化为(xy)k(y),当时y,xy,即xy,直线x(k)yk恒过定点(,)C 因为等腰直角三角形一条直角边所在直线的斜率为,即k,设其倾斜角为,则t a n,因为斜边与直角边的倾斜角相差,则斜边的倾斜角为 或,所以t a n()t a n t a n,t a n()t a n t a n,所以斜边所在直线的斜率为或故选C A 直线a xy和直线x(a)y垂直,则a(a),解得a或a,所以“a”是“直线a xy和直线x(a)y垂直”的充分不必要条件 C 由ll,得n,解得n,即直线l:xy,两直线之间的距离为d|m()|(),解得m(m舍去),所以

11、mn 微点特训数学(新)B D 直线ll,则m(m),解得m或m,但m时,两直线方程分别为xy,xy即xy,两直线重合,只有m时两直线平行,A错,B正确;ll,则mm,m,C错,D正确 C 由题意知:kE F,kMNkk,kE FkMN,当k时,E F与MN没有公共点,E FMN,当k时,E F与MN有公共点(,),E F与MN重合,E F与MN平行或重合 如图,设点P(x,y),因为x,y满足xy,且x,所以点P(x,y)在 线 段A B上 移动,并且A,B两点的坐标分别是A(,),B(,)因为yx的几何意义是直线O P的斜率,且kO A,kO B,所以yx的最大值为,最小值为 D 因为所求

12、与直线xy的距离为,所以可得 所 求直 线与 已 知直 线平 行,设 所求 直线 方程 为xyc(c),d|c|,解得c或c,故所求直线方程为xy或xy C 直线m xym可化为ym(x),故直线过定点Q(,),当P Q和直线垂直时,距离取得最大值,故mkP Qmm,m,故选C A 因为直线l:k xy与直线l:xk y的斜率乘积kk()(当k时,两条直线也相互垂直),并且两条直线分别经过定点:M(,),N(,)所以两条直线的交点P在以MN为直径的圆上并且kMN,可得MN与直线xy垂直所 以 点M到 直 线xy的 距 离d|,就是点P到直线xy的距离的最大值 B()当直线ya xb与A B、B

13、 C相交时(如图),由ya xb,xy,得yEaba,又 易 知xD ba,|B D|ba,由SD B Eabaaba得ba,()图图()当直线ya xb与A C、B C相交时(如图),由SF C G(xGxF)|CM|得ba,(a),对于任意的a恒成立,b,(),即b,故选B 因 为 直 线l:a xy和 直 线l:(a)xy且ll,所以a(a)解得a,所以l:xy即l:xy,l:xy,所以d 设A B的中点坐标为M(,),kA B(),所以A B的中垂线方程为y(x)即xy令y,则x,即P点 的 坐 标 为,(),|A B|()()点P到A B的距离为|PM|()所以SP A B|A B|

14、PM|素养提升练 高分必抢 D 直线l的斜率为kyyxxmm,因为mR,所以k(,所以直线的倾斜角的取值范围是,()C 根据题意,设三角形另两条边所在直线的斜率为k,m,且mk,则有t a n k km m,解得k,m,故另两条边所在直线斜率为,故选C B 因为直线x(a)y与直线b xy互相垂直,所以b(a),化简得ab,因为a,b为正实数,所以aba b,即a b,当且仅当ab时取等号,所以a b的最大值为 D 由题意知P(,),Q(,),过定点P的直线a xy与过定点Q的直线xa y垂直,MPMQ,|MP|MQ|P Q|,故选D B 由 题 意 得Mk,(),N,k(),因 此P(k,k

15、),满足xy,选B B 因为P(a,b)与P(a,b)是直线yk x(k为常数)上两个不同的点,直线yk x的斜率存在,所以kbbaa,即aa,并且bk a,bk a,所以ababk aak aaaaaa,所以由方程组axby,axby消元得(aa)xbb所以方程组有唯一解 D 由a xya,可得a(x)(y),令x,y,可得x,y,所以M(,),M不在直线xy上,设直线xy关于M点对称 的 直 线 方 程 为xyc(c),则|c|,解得c 或c(舍去),所以所求方程为xy,故选D C 因为|A C|B C|,所以欧拉线为A B的中垂线又A(,),B(,),故A B的中点为(,),kA B,故

16、A B的中垂线方程为y(x),即xy,故选C微点特训数学(新)A B C 如图所示,因为直线l与l 及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形,所以l与l 的倾斜角互补,斜率互为相反数,故选项,A,B均正确;由直线xy的斜率为,所以直线l的斜率为k,可得直线l的方程为y(x),因此其在y轴上的截距为,故C选项正确;结合图象,可得这样的直线l只有一条,故D选项错误 A B CA若pq,则“距离坐标”为()的 点是两条直线的交点O,因此有且仅 有个,故 正 确 B若p q,且pq,则“距离坐标”为(,q)或(p,)的点有且仅有个,故正确 C若p q,则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有个,如图,故正

17、确 D若pq,则点M在的轨迹是两条过O的直线,分别为交角的平分线所在直线,故不正确 ,)如图所示:设直线l过A点时直线l的斜率为k,直线l过B点时直线l的斜率为k,则,k ,k ,所以要使直线l与线段A B有公共点,则直线l的斜率的取值范围为:,所以l倾 斜 角 的 取 值 范 围,)易 知A(,),B(,)且 两 直 线 互 相 垂 直,即A P B为 直 角 三 角 形,所 以|P A|P B|P A|P B|A B|当且 仅 当|P A|P B|时,等号成立微点特训 圆的方程考点对点练 保分必拿 C 由已知得圆心坐标为(,),所以圆的标准方程为x(y)故选C C 圆xya xy的圆心为a

18、,(),由题意可知,a,()在直线yx上,即a,解得a,点C的坐标为(,),设圆心P为(x,y),则有(x)(y)|x|,即yxy故选C A 法一:如图由题意知O BA B,因为直线O B的方程为yx,所 以 直 线A B的 斜 率 为,因 为A(,),所 以 直 线A B的方程为y(x),即xy,故选A法二:依题意,以O A为直径的圆的方程为(x)y,解方 程 组(x)y yx,得xy 或xy(舍去),即B,(),因为A(,),所以kA B,所以直线A B的方程为y(x),即xy,故选A D 由题意得,圆心C(,),半径r,|P Q|P O|,且P QC Q,|P O|r|P C|,xy(x

19、)(y),即xy 点P的轨迹方程为xy,故选D B 圆C:(x)(y),圆心C为(,),半径为易知点C(,)关于直线xy对称的点为C,设C(a,b),则ba,ab,解 得a,b,所以C(,),所以圆C的圆心为C(,),半径为,所以圆C的方程为(x)(y)故选B A 据 题 设 分 析 知,圆C半 径r的 最 小 值rm i n|,此时圆C的圆心为直线xy与直线y(x)(直线xy)的交点联立方程xyxy,解得xy,所以所求圆C的方程是x()y()xy(x)(y)或(x)(y)由题意知,直线A B的斜率k,中点坐标为(,)则直线C D的方程为y(x),即xy设圆心P(a,b),则由点P在C D上得

20、ab,又因为直径|C D|,所以|P A|,所以(a)b ,由 解 得a,b,或a,b所以圆心P(,)或P(,)所以圆P的方程为(x)(y)或(x)(y)A 将圆的方程化为(x)(y),圆心坐标为(,),半径为,则圆心到直线xy的距离d|,故圆上的点到直线xy距离的最大值为d D 由圆xy x y 知其标准方程为(x)(y),圆xy x y 关于直线a xb y (a,b)对称,该直线经过圆心(,),即a b ,ab(a,b),ab(ab)ab()abba()abba,当且仅当baab,即ab时取等号,故选D Cyx的几何意义是点(x,y)与点(,)连线的斜率,设kyx,即k xyk,当直线k xyk与圆相切时,k取得最值,此时|k|k,解得k,所以yx的取值范围是,故选C 微点特训数学(新)