2024届新高考数学小题微点特训21 数列的概念与表示含答案.pdf

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1、 数列的概念与表示 考点对点练 保分必拿 考点一数列的概念现有这么一列数:,(),按照规律,()中的数应为()A B CD 年,英国来华传教士伟烈亚力将 孙子算经 中“物不知数”问题的解法传至欧洲 年,英国数学家马西森指出此法符合 年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将到 这 个数中,能被除余,且被除余的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列,则a()A B C D 在正整数数列中,由开始依次按如下规则,将某些整数染成红色先染;再染个偶数,;再染后面最邻近的个连续奇数,;再染 后面最邻近的个连续偶

2、数,;再染此后最邻近的个连续奇数,;按此规则一直染下去,得到一红色子数列:,则在这个红色子数列中,由开始的第 个数是()A B C D 考点二利用Sn与an的关系求通项公式若Sn为数列an 的前n项和,且Snnn,则a()ABC D 设数列an 前n项和为Sn,已知Snann,则a()AB C D 已知数列an 的前n项和为Sn,且a,anSn,若an(,),则称项an为“和谐项”,则数列an的所有“和谐项”的平方和为()A B C D 若数列an 满足aaaannn,则数列an 的通项公式为 考点三已知数列的递推公式求数列的通项公式已知a,ann(anan)(nN),则数列an的通项公式是(

3、)A nBnn()nCnDn在数列an 中,a,an an(n,nN),则a 的值为()A B CD 已知数列an 满足:m,nN,都有anamanm,且a,那么a()A B CD 已知数列an 满足:a,ananan(nN)则a()A B C D 已知数列an 的前项n和为Sn,满足a,且anan n n,则Sn,an 考点四数列的函数性质 “干支纪法”是我国记年、月、日、时的序号的传统方法,天干地支简称“干支”,天干指:甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸“地支”指:子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥如,农历 年为辛酉年,农历 年为壬戌年,农历 年为癸亥年,则农历 年为()A

4、丁亥年B丁丑年C戊寅年D戊子年 函数f(x)(a)x,xax,x,若数列an 满足anf(n),nN,且an 是递增数列,则实数a的取值范围是()A,)B,()C(,)D(,)微点特训数学(新)微 点 特 训 2 1 数 列 的 概 念 与 表 示 已知数列an 满足anann,a,则ann的最小值为()A B C D 已知数列an 满足a,anan(nN)设bnnan,nN且数列bn 是单调递增数列,则实数的取值范围是()A(,)B(,)C(,)D(,)已知数列an 中,aa,aa,anan,若数 列 an单 调 递 增,则 实 数a的 取 值 范 围为 素养提升练 高分必抢一、单项选择题已

5、知数列an 中,aa,anan,当n时,an为定值,则实数a的不同的值有()A 个B 个C 个D 个数列an 满足a,ananan,其前n项的积为Tn,则T ()A B C D 设Sn是数列an 的前n项和,若a,anan,则S ()A B C D 已知 数 列 an 满 足a,ananan,则 数 列anan 的前n项和Tn()AnnBnnCnnDnn等比数列an 中a,且a,a,a成等差数列,则ann(nN)的最小值为()A BCD 已 知 数 列 an 的 前n项 和 为Sn,a,且 满 足ann ann,若p,qN,pq,则SpSq的最小值为()A B C D 已知数列an 满足:a,

6、an an l n(an)则下列说法正确的是()A a Ba C a Da 二、多项选择题若数列an 满足:对任意正整数n,anan 为递减数列,则称数列an 为“差递减数列”给出下列数列an(nN),其中是“差递减数列”的有()AannBannCannDan l nnn意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列an 称为“斐波那契数列”,记Sn为数列an 的前n项和,则下列结论正确的是()Aa BS CS a Daaaa a 三、填空题 设数列an 的前n项和为Sn,已知a,anan,anan

7、,an,则S 等于 已知数列an 的前n项和Snn,则anaaaaaaa a 真题体验练 实战抢分(北京卷,)已知an 和bn 是两个等差数列,其中akbk(k)为常值,a ,a,b ,则b()A B C D 微点特训数学(新),(),故不存在(,),使得A EB E,C正确;D项,A EB E(,),所以|A EB E|(),当且仅当时等号成立,D正确 如图,由扇形面积公式可得 r,得r,所以扇形圆心角,则A O B为等边三角形,则|A B|,又|O AO B|O AO AO BO B,所 以|O AO B|A B|,即 P AP BP BP CP CP AP A(P AA B)(P AA

8、B)(P AA C)(P AA C)P AP A(A BA C)P AA BA CP AA BA C()(A BA C)A BA C(A BA C)A BA C(|A B|A C|)A BA C当P AA BA C,即P是A B C的重心时取等号A B C三边长分别为,若|B C|,则A BA C ,此时原式()若|B C|,则A BA C ,此时原式(),若|B C|,则A BA C ,此时原式(),所以P AP BP BP CP CP A的最小值是 真题体验练 实战抢分 A C 对于A:|O P|c o ss i n,|O P|c o ss i n,A对;因为|A P|(c o s)s i

9、 n c o s,|A P|(c o s)s i n c o s,所 以B错;因为O AO P(,)(c o s(),s i n()c o s(),O PO Pc o sc o ss i ns i nc o s(),O AO PO PO P,所以C对;而O AO P(,)(c o s,s i n)c o s,O PO P(c o s,s i n)(c o s(),s i n()c o sc o s()s i ns i n()c o s(),所以D错,故答案为A C(abc)abc(abbcca)(abbcca),原式 由题设知a b(,),由(a b)b得(a b)b(,)(,)()(),解得

10、 因为a(,),b(,),c(,),故(ab)c(,)(,),ab 令a(,),b(,),c(m,n),因为(ab)c,故mn,故c(n,n),因为d在a,b方向,(即x轴和y轴正方向)上的投影分别为x,y,故可设d(x,y),因 为da在c方 向 上 的 投 影 为z(da)c|c|xy,故xy z,故xyz(x)y(z)(xy z),当且 仅 当xy zxy z即xyz时 取 等 号,故填微点特训 数列的概念与表示考点对点练 保分必拿 A 由题意知,一列数:,(),可得每个数的分母为n,nN,分子为连续的奇数,所以()中的数应为 B 由题意可知an既是的倍数,也是的倍数,即an是 的倍数,

11、则an(n)(nN),故a ()D 第此染色的数为,共染色个,第次染色的最后一个数为,共染色个,第次染色的最后一个数为,共染色个,第次染色的最后一个数为,共染色个,第次染色的最后一个数为,共染色个,第n次染色的最后一个数为n,共染色n个,经过n次染色后被染色的数共有(n)n个,而 ,第 个数是在第 次染色时被染色的,第 次染色的最后一个数为 ,且相邻两个数相差,D 当n时,anSnSnnnnnn(n),a()C 当n,时anSnSn annan(n),整理得anan,又Saa,得a,aa,得a,aa,得a A 因为anSn,所以anSn(n),则ananSnSn,即ananan,anan,an

12、an,因为a,所以aSa,故ann,n,n,因为an 微点特训数学(新)(,),所以n,数列an 的所有“和谐项”的平方和为:aaa a ()an,n,nn,n,nNaaaan(n)(n),当n 时,a;当n 时,aaaanan(n)(n),aaaann(n),故当n时,annn,所以an,n,nn,n,nN D(构造法)由已知整理得(n)ann an,annann,数列ann是常数列且anna,ann A 在数列an 中,a,anan(n,nN),所以a,a,a,所 以 an 是 以为 周 期 的 周 期 数 列,所 以a a a A 因为数列an 满足:m,nN,都有anamanm,且a,

13、所以aaa,aaa那么aaa 故选A C 因 为ananan,所 以 两 边 取 倒 数 得anananan,则anan(),所 以 数 列an为等比数列,则ana()nn,所以ann,故a nn()nn(n)由题意,数列an 满足anannn,可得anan(n)(n)(n)(n)nn,所以Snnnnnn,由a,递推可得a,a ,a ,归纳可得an()nn(n)D 记a辛,b酉();a壬,b戌();a癸,b亥(),所以记天干为数列an,且最小正周期为,记地支为数列bn,且最小正周期为,故a a戊,b b子()D 由题意可知分段函数为增函数,且f()f(),即aaa(a),解得a,故实数a的取值

14、范围是(,)C 由anann知aa,aa,anan(n),n,以上各式相加得anann,n,所以annn,n,当n时,a 符合上式,所以annn n,nN,所以n时,ann单调递减,n时,ann单调递增,因为aa,所以ann的最小值为aa,故选C C 由anan(nN)可知数列an 是公比为的等比数列,所以an()nn,bnnan(n)n,数列bn 是单调递增数列,bnbn对于任意的nN恒成立,即(n)n(n)n,整理得:n,(,)由anan可知数列an 的奇数项、偶数项分别递增,若数列an 单调递增,则必有aa(a)a且aa(a)aanan,可得a,故实数a的取值范围为(,)素养提升练 高分

15、必抢 D 由题可知,若要满足n时,an恒为定值,则只需满足aa,故a或a当a时,解得a,从而解得:a,或a;当a时,解得a,从而解得:a,或a;故a的不同取值有个 Aananan,ananan,a,aaa,aaa,aaa,aaa,数 列an 是周期为的周期数列,且aaaa,T T B 在数列an 中,a,anan,则aa,aa,aa,以此类推可知,对任意的nN,anan,即数列an 是以为周期的周期数列,因此,S Saa Sa ()B 已知数列an 满足a,ananan,在等式ananan两边同时取倒数得anananan,anan,所以,数列an是等差数列,且首项为a,公差为,则,an(n)n

16、,ann,anan(n)(n)(nn),因 此,Tn()()()nn()n()nn D 在等比数列an 中,设公比q(q),当a时,有a,a,a成等差数列,所以aaa,即qq,解得q,所以ann,所以annnn,annannnn,当且仅当n时取等号,所以当n或n时,ann(nN)取得最小值微点特训数学(新)A 因为annann,所以annann,又a,所以数列ann是以为首项,公差为的等差数列,所以ann(n)n,所以an(n)(n),令an(n)(n),解得n,所以a,a其余各项均大于,所以(SpSq)m i nSSaa()()B 设f(x)x l n(x)(x),因为f(x)xxx(x),

17、当f(x)时,得x;则f(x)在(,)和单调递增,当f(x)时,x,则函数f(x)在(,)上单调递减,且f(x)f(),可得an,所以ananl n(an),即数列an 为单调递增数列,又f()l n l n l n e,af(a)f(),根据数列an 单调性可得:aaaan,所以a C D 对A,若ann,则anan(n)n,所以anan 不为递减数列,故A错误;对B,若ann,则an an(n)nn,所以an an为递增数列,故B错误;对C,若ann,则anannnnn,所 以anan 为 递减 数列,故C正 确;对D,若anl nnn,则ananl nnn l nnn l nnnnn l

18、 n nn(),由函数y l n xx()在(,)递减,所以数(anan)为递减数列,故D正确故选:C D B C D 对于A,可知数列的前项为,故A错误;对于B,S ,故B正确;对于C,可得ananan(n),则aaaaana(aa)(aa)(aa)(anan)即Snaananan,S a ,故C正确;对于D,由ananan(n)可得,aaaa a(aa)(aa)(a a )a ,故D正确 因为a,anan,anan,an,因为,所以a,由此可得a,a,a,所以anan,周期为,所以S (aaaa)故答案为:n SnnanSnSn,n,ann(n)n,n,当n时,aS故ann,满 足n,an

19、n,又(n)(n)nn()aaaaaaa a ()()()()()真题体验练 实战抢分B由题,abab,则b,故bbb 选B微点特训 等差数列考点对点练 保分必拿 B 设等差数列an 的公差为d,将题中两式相减可得d,所以d,所以a(a),解得a,所以aa()d,故选B A 通解:设 等 差数 列an 的 公 差为d,由 题 意可 得(ad)ad,得ad,则S a d(ad),故选A优解:设等差数列an 的公差为d,由aa,得(ad)ad,得a,所以S a,故选A Bamnamna(mn)d(a(mn)d)n d,dn,故选B A B 等比数例an 中,由aa,aa,得aaaa,即aqaaqa

20、q,(q)(q)q(q),化简得qq,解得q或q 因为在数列an 中,ann,所以其为等差数列,首项为,公差为,由求和公式得,n an(n)dnn(n)nn,由nna nb n,得a,b,故a b A 因为在等差数列an 中,aaaaa,所以(aa)a ,故选A C 由等差中项性质可得aaa,即 a,所以a,则f(a)f()l o g故选C D 由数列an 为等差数列,可知aaa(ad)a d(aad)(aa)由基本不等式aa()aa 得|aa|,当且仅当aa 时取等号,所以aa的取值范围为 ,C 由题意知,数列an 满足anan,可得anan,an 为等差数列,且d又由等差数列的性质,可得a

21、aaa,即a,所以aaaa(ad)(),l o g(aaa)l o g 由 条 件 可 知adada d,aaaa aa(ad)ad dd BS a ,所以a,所以aa a a,故选B C 设St(t),可得St,由等差数列片段和的性 质 可 知S、SS、S S成 等 差 数 列,则(SS)S(S S),解得S(SS)t,因此,S Stt C 因为annnannnan(n,nN),所以n an(n)an(n)an(n,nN),所以数列n an 是等差数列,又a,a,所以数列n an 是以为首项,aa为公差的等差数列,所以n ann,所以annnnnnn(),nN,所以当n时,ann取最大值,最大值为 微点特训数学(新)