2024届新高考数学小题微点特训3 不等式的性质与一元二次不等式含答案.pdf

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1、 不等式的性质与一元二次不等式 考点对点练 保分必拿 考点一不等式的概念及性质设a,b(,),则“ab”是“aabb”成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件关于x的不等式a xxa的解集不是空集,则实数a的取值范围是()AaBaCaDa(多选)已知:a,b,c,dR,则下列命题中必成立的是()A若ab,cb,则acB若ab,则caabC若ab,cd,则acbdD若ab,则a bb已知ab,cR,那么下列命题正确的是()AabBacbcCacbcDa cb c若a,b,cR,则下列命题正确的是()A若a b且ab,则abB若 a,则aaC若ab,则babaD若

2、cba且a c,则c ba b设ab,有下列不等式acbc;ab;|a|b|;a|c|b|c|,则一定成立的有(填正确的序号)若xy,ab,则在axby;axby;a xb y;xbya;aybx这五个式子中,恒成立的不等式的序号是 考点二一元二次不等式已知函数f(x)a x(a)xa为偶函数,则不等式(x)f(x)的解集为()A(,)(,)B(,)C(,)D(,)(多选题)下列选项中,关于x的不等式a x(a)x 有实数解的充分不必要条件的有()AaBa CaDa 不等式xx的解集是()A(,)B(,)C(,)D(,)(,)已知不等式a xb xa的解集是,则ab的值为()A B C D (

3、多选题)已知关于x的不等式a xb xc的解集为(,)(,),则()AaB不等式b xc的解集是x|xCabcD不等式c xb xa 的解集为x x或x 若a,则不等式(xa)xa()的解是 已知函数f(x)xm x,若对于任意xm,m,都有f(x)成立,则实数m的取值范围是微点特训数学(新)2024高考数学微点特训3 不等式的性质与一元二次不等式 素养提升练 高分必抢一、单项选择题设ab,c,则下列不等式中,恒成立的是()AabBa cb cCa cb cDcacb已知不等式|x|的解集与不等式xa xb的解集相同,则a,b的值为()Aa,bBa,bCa,bDa,b若a xb xc的解集为x

4、|x,或x,则对于函数f(x)c xb xa应有()Af()f()f()Bf()f()f()Cf()f()f()Df()f()f()在关于x的不等式x(a)xa的解集中至多包含个整数,则实数a的取值范围是()A(,)B(,)C,D,设a,bR,定 义 运 算“”和“”如 下:aba,ab,b,ab,abb,ab,a,ab若mn,pq,则()Am n且pqBmn且p qCm n且pqDmn且p q若ab,则下列结论正确的是()AabBambmCabD ab定 义 运 算:acbda db c若 不 等 式kk xx的解集是空集,则实数k的取值范围是()A,)B,C(,D(,)已知函数f(x)xx

5、,xxx,x,若关于x的不等式f(x)a f(x)恰有个整数解,则实数a的最大值是()A B C D 二、多项选择题已知关于x的不等式a xb x,关于此不等式的解集有下列结论,其中正确的是()A不等式a xb x的解集可以是x|xB不等式a xb x 的解集可以是RC不等式a xb x 的解集可以是D不等式a xb x 的解集可以是x|x 若a,b,cR,则下列命题正确的是()A若ab,则cabB若abc,则abacbcC若ab,c,则abba cab cD若ab,c,则cacb三、填空题 对于实数x,当且仅当nxn(nN)时,xn,则关于x的不等式x x 的解集为 (双空题)若a克不饱和糖

6、水中含有b克糖,则糖的质量分数为ba,这个质量分数决定了糖水的甜度如果在此糖水中再添加m克糖,生活经验告诉我们糖水会变甜,从而可抽象出不等式bmamba(ab,m)数学中常称其为糖水不等式依据糖水不等式可得出l o g l o g (用“”或“”填空);并写出上述结论所对应的一个糖水不等式微点特训数学(新)A C 由 指 数 函 数 的 性 质 可 知,当x(,)时,()x()x()x,()x()x恒成立,A错误;由对数 函数 的性 质 可知,当x(,)时,l o gx,l o gxl o gxl o gxl o gl o gxl o gl o gl o g,l o gxl o gx,恒成立,

7、B正确;对于C,当x时,()x,l o gx,则l o gx()x,C错误;对于D,当x时,l o gx,由对数函数与指数函数的性质可知,当x,()时,()xl o gx恒 成 立,D正确 A B D 对于A,aaaa(a),a或a,则“a”是“a”的充分不必要条件,故A对;对于B,全称命题的否定是特称命题,“任意xR,则xx”的否定是“存在xR,则xx”,故B对;对于C,“x且y”“xy”,“x且y”是“xy”的充分条件,故C错;对于D,a ba,且b,则“a”是“a b”的必要不充分条件,故D对 对于,“若xy,则s i nxc o sy”的逆命题是“若s i nxc o sy,则xy”,

8、当x,y 时,有s i nxc o sy成立,但xy,故逆命题为假命题,正确;对于,在A B C中,由正弦定理得s i nBs i nCbcBC,正确;对于,“a”是“直线xa y与直线xa y互相垂直”的充要条件,故错误;对于,根据否命题的定义知正确 xR,xxabc 根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知,命题“xR,xx”的 否 定 是xR,xx;设a,b,c是A B C的三条边,且abc,A B C为锐角三角形的一个充要条件是abc证明如下:必要性:在A B C中,C是锐角,过点A作ADB C于点D,如图:根据图象可知A BADB DA CC D(B CC D)A CC DB CC

9、DB CC DA CB CB CC DA CB C,即A BA CB C,abc可得证充分性:在A B C中,abc,所以C不是直角假设C是钝角,如图:过点A作ADB C,交B C延长线于点D,则A BADB DA CC D(B CC D)A CC DB CC DB CC DA CB CB CC DA CB C,即A BA CB C,abc,与abc矛盾故C为锐角,即A B C为锐角三角形 真题体验练 实战抢分 Ba,q时,Sn 是递减数列,所以甲不是乙的充分条件;Sn 是递增数列,可以推出anSnSn,可以推出q,甲是乙的必要条件故选B A 若函数f(x)在,上单调递增,则f(x)在,上的最

10、大值为f(),充分性成立,反之,则f(x)在,上的最大值为f(),但f(x)在,上不一定是增函数,如函 数f(x)x()在,上的 最 大 值 为f(),它在,上不单调,故必要性不成立 B 若ca且cb,则acbc,但a不一定等于b,故充分性不成立;若ab,则acbc,必要性成立,故为必要不充分条件故选择:B B 设f(x)范围是A,f(x)范围是B,由题意AB,f(x),且f(x)s i n(x),当 时,x,s i n(x)s i n ,s i n,s i n ;s i n 由此可知当,对任意的x,都存在x,使得f(x)f(x)成立,微点特训 不等式的性质与一元二次不等式考点对点练 保分必拿

11、 C 因为aa()bb()(ab)a b(),又a b,若ab,则(ab)a b(),所以aabb成立;反之,若(ab)a b(),则ab成立,所以“ab”是“aabb”的充要条件 A 由xa,得xa,当a时,a x显然不成立,则原不等式组无解;当a时,由a x得,xa,aa,则原不等式组的解集为a();当a时,由a x得,xa,aa,则原不等式组无解;要使原不等式组的解集不是空集,须a.B D 选项A,若a,b,c,显然不成立,选项B,若ab,则ab,所以cacb,成立,选项C不满足倒数不等式的条件,如ab,cd时,C项不成立;选项D,若ab,则ba,所以ba bb(ba),即a bb,成立

12、.A 对于选项A,ab(ba)(ba)ab,因为ab,所以(ba)(ba)ab,所以ab,所以该选项正确;对于选项B,C,acbcba(ac)(bc),如:a,b,c,则分母小于零,如:a,b,c,则分母大于零,所以差的符号不能确定,所以选项B,C不正确对于选项D,a cb cbaa b c,差的符号不能确定,所以选项B,C不正确 微点特训数学(新)BA中,ab有ab,错误;B中,a时,aa成立,正确;C中,a,b时,错误;D中,由题设,当b时,c ba b,错误.对于,c,故成立,对于,a,b时不成立;对于,取a,b时不成立;对于,|c|,故成立 令x,y,a,b符合题设条件xy,ab因为a

13、x(),by()所以axby,因此不成立因为a x,b y,所以a xb y,因此不成立因为ay,bx,所以aybx,因此不成立由不等式的性质可推出成立 A 因为函数f(x)a x(a)xa为偶函数,所以a,得a,所以f(x)x,所以不等式(x)f(x)可转化为x,f(x),或x,f(x),即x,x,或x,x,解得 x 或x故原不等式的解集为(,)(,)故选A A Ca时必有解,当a时,(a)aa 或 a,故A C符合题意 B 分式不等式xx等价于(x)(x),即(x)(x)解一元二次不等式得:x故不等式xx的解集是(,)D不等式a xb xa的解集是,ya xb xa图像开口向下,即a,且a

14、 xb xa的两根为和axxbaxxaa,解得:ab,ab()A B D关于x的不等式a xb xc的解集为(,)(,),a,A选项正确;且和是关于x的方程a xb xc的两根,由韦达定理得baca,则ba,ca,则abca,C选项错误;不等式b xc即为a xa,即x,解得x,B选项正确;不等式c xb xa即为a xa xa,即xx,解得x或x,D选项正确 a,a()a,aa,不等式(xa)(xa)的解集是x|axa.,因为函数f(x)xm x的图象是开口向上的抛物线,所以对于任意xm,m,都有f(x)成立,则有f(m),f(m),即mm,(m)m(m),解得m素养提升练 高分必抢 B 对

15、于A选项,ab,所以,aa bba b,所以,ba,A选项错误;对于B选项,c,则c,由不等式的基本性质可得a cb c,B选项正确;对于C选项,若c,由不等式的基本性质可得a cb c,C选项错误;对于D选项,若c,由A选项可知,ba,由不等式的基本性质可得cacb,D选项错误 C 解不等式|x|得x或x,所以xa xb的两个根为和,由根与系数的关系知a,b故选C D 因为a xb xc的解集为x|x或x,所以,是a xb xc的两个实数根,且a所以ba,ca化为ba,ca所以函数f(x)c xb xaacaxbax()a(xx)a(x)(x)因为a,抛物线开口向上,且对称轴为x所以离对称轴

16、越近,值 越 小又(),(),(),所 以f()f()f()D 因为关于x的不等式x(a)xa可化为(x)(xa),当a时,不等式的解集为x|xa;当a时,不等式的解集为x|ax,要使不等式的解集中至多包含个整数,则a且a,所以实数a的取值范围是a,故选D A 结合定义 及mn可 得m,mn或n,mn,即nm或mn,所以m n;结合定义及pq,可得p,pq或q,pq,即qp或pq,所以pq C 对于A,若ab,则ab,故A错误;对于B,若ab,则ambm,故B错误;对于C,若ab,则ab,故C正确;对于D,若ab,则ab,故D错误 B 由题意得kk xxk xk x的解集是空集,即k xk x

17、恒成立当k时,不等式即为,不等式恒成立;当k时,若不等式恒成立,则k,即k,k,解得k 综上可知:k D 函数f(x)的图象,如图所示,关于x的不等式f(x)a f(x),当a时,af(x),由 于 关 于x的 不 等 式f(x)a f(x)恰有个整数解,因此其整数解为,又f(),所以a,af(),则a,所以实数a的最大值为,故选D微点特训数学(新)B D 选 项A:假 设 结 论 成 立,则ab,解 得ab,则不等式为x,解得x,与解集是x|x 矛盾,故选项A错误;选项B:当a,b时,不等式x恒成立,则解集是R,故选项B正确;选项C:当x时,不等式a xb x,则解集不可能为,故选项C错误;

18、选项D:假设结论成立,则aabab,解 得ab,符 合 题 意,故 选 项D正确 B D 对于A选项,当c时,则cab,A选项错误;对于B选项,abacbcc(ab)b(bc),由abc,得ab,则abacbcc(ab)b(bc)abacbc,B选项正确;对于C选项,abba cab c(ab)(ab)b(ab c),由ab,c,则ab,则abba cab c,C选项不正确;对于D选项,cacbc(ba)a b,ab,c,得ba,则cacbc(ba)a bcacb,D选项正确,)由x x,得x,又当且仅当nxn(nN)时,xn,所以x,所以所求不等式的解集为,)l n l nl n l nl

19、nl n 空:因为l o g,所以可得:l o gl o gl o gl o gl o gl o gl o gl o g l o g l o g ;空:由上述结论,所对应的一个糖水不等式为l o gabl o ga mb m微点特训基本不等式考点对点练 保分必拿 A 由ab,得aba b;但由aba b不能得到ab,故“ab”是“a bab”的充分不必要条件 BA由基本不等式可知aba b,故A不正确;Baba baba b,即(ab)恒成立,故B正确;C当a,b时,不等式不成立,故C不正确;D当a,b时,不 等式 不成 立,故D不正确 C 对于选项A,当x时,xxx(),所以l gx()l

20、gx;对于选项B,当s i nx时显然不成立;对于选项C,x|x|x|,一定成立;对于选项D,因为x ,所以 x 故选C D 由图形可知,O FA CB Cab,O CA CO Aaabab(ab),由勾 股定 理可 得C FO FO Cab()ab()ab,在中R t O C F,由O FC F可得abab(ab)B 本小题主要考查均值定理f(x)xxxx(当且仅xx,即x时取等号)故选B B 运用基本不等式对各选项考察如下:对于B选项:f(x)xxxx,当且仅当x l o g时,取得最小值,故符合题意;对于D选项:y l o gx l o gx,只有当x(,)时,l o gx,l o gx

21、才为正数,才能运用基本不等式得,l o gx l o gx,故不合题意;对于A选 项:yxx,理 由 同 上,只 有x时,f(x)m i n,故不合题意;对于C选项:ys i nxs i nx(x)不合题意,s i nx,无法取“”,故不合题意;故选B Dx,y,z,xy且yzx,所以,xyzx(yz)xyz()xyzyzx xyzyzx,当且仅当xyzyzx时,即当yzx时,等号成立,因此,xyz的最小值为 D 由题意知,f(x)xxx(x)xxxx,因为x,所以x,则xx,(当且仅当xx,即x时取“”)故f(x)的最小值是 A C 因为x,y,由于xyx y,xyx y,当且 仅 当xy时

22、,等 号 同 时 成 立,故(xy)xy()恒成立,所以A正确;由xx,当且仅当xx,即x时取等号,由于(,),所以xx,所以B不正确;因为x,所以xx,当且仅当x时取等号,又由f(x)xxxxx,即函数f(x)xxx的最大值为,所以C正确;因为xy,则(x)(y),可得xyxyxy()(x)(y)yx(x)y,所 以D不 正 确故选A C 对任意a,bR,(ab)cc(a b)(ac)(bc)c,令c 代入得(ab)(a b)(a)(b),由abba可得(ab)(a b)(a)(b),由aa可得aba bab,所以yxxxx,因为x,由均值不等式可得yxx(当且仅当xx,即x时,等号成立).所以yxx(x)的最小值为 微点特训数学(新)