2024届新高考数学小题微点特训18 解三角形含答案.pdf

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1、 解三角形 考点对点练 保分必拿 考点一正弦定理以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是()A在A B C中,abc s i nA s i nB s i nCB在A B C中,若s i n As i n B,则abC在A B C中,若s i nAs i nB,则AB;若AB,则s i nA s i nB都成立D在A B C中,as i nAbcs i nBs i nC在A B C中,若as i nBcbc o sA,则B()A BCD在A B C中,若a,b,A,则此三角形有()A无解B两解C一解D解的个数不确定 A B C的三个内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,as i nAs i nB

2、bc o sAa,则ab等于()A B C D 在A B C中,角A,B,C的对边分别为a,b,c且有a,s i nAc o sC(s i nCb)c o sA,则A 考点二余弦定理在A B C中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若as i nAbs i nB(cb)s i nC,则角A的值为()ABCD 在A B C中,内角A,B,C所对边分别为a,b,c,若A,b,A B C的面积为,则s i nB()A B C D 在钝角A B C中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且ab,已知a,s i nBs i nCs i nA,c o s A,则A B C的面积为()A B C D

3、 在A B C中,A ,b,SA B C,则a 考点三解三角形及其应用 (多选题)已知A B C中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列条件中,能使A B C的形状唯一确定的有()Aa,b,A Ba,b,C Ca,B,C Da,b,c 在地平面上有一旗杆O P(O在地面),为了测得它的高度h,在地平面上取一基线A B,测得其长为 m,在A处测得P点的仰角为,在B处测得P点的仰角为,又测得A O B,则旗杆的高h等于()A mB mC mD m 明朝早期,郑和在七下西洋的过程中,将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性应用于航海,形成了一套自成体系且行之有效的先进航海技术 “过洋牵星术”简

4、单地说,就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位,其采用的主要工具为牵星板,由 块正方形木板组成,最小的一块边长约为厘米(称一指)观测时,将木板立起,一手拿着木板,手臂垂直,眼睛到木板的距离大约为 厘米,使牵星板与海平面垂直,让板的下边缘与海平面重合,上边缘对着所观测的星辰,与其相切,依高低不同替换、调整木板,木板上边缘与被观测星辰重合时所用的是几指板,观测的星辰离海平面的高度就是几指,然后就可以推算出船在海中的地理纬度如图微点特训数学(新)微 点 特 训 1 8 解 三 角 形所示,若在一次观测中,所用的牵星板为九指板,则s i n()A B

5、C D 我国古代数学家秦九韶在 数书九章 中记述了“三斜求积术”,即在A B C中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则A B C的 面 积S(a b)abc()根据此公式,若ac o sB(bc)c o sA,且bca,则A B C的面积为()A B CD 如图,在平面四边形A B C D中,A C D的面积为,A B,B C,A B C ,B C D ,则A C D,A D 素养提升练 高分必抢一、单项选择题已知A B C的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若cs i nBbs i nCa,则A B C是()A等边三角形B锐角三角形C等腰直角三角形D钝角三角形设A B C的内角A,

6、B,C的对边分别为a,b,c,且ac o sCcs i nA,已知A B C的面积等于,b,则a的值为()A B C D 设A B C的三个内角A、B、C成等差数列,s i nA、s i nB、s i nC成等比数列,则这个三角形的形状是()A直角三角形B等边三角形C等腰直角三角形D钝角三角形珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的这种挤压一直在进行,珠穆朗玛峰的高度也一直在变化由于地势险峻,气候恶劣,通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”攀登者们肩负高精度测量仪器,采用了分段测量的方法,从山脚开始,直到到达山顶,再把所有的高度差累加,就会得到珠峰的高度 年月,中国珠峰高程测量登山队名队

7、员开始新一轮的珠峰测量工作在测量过程中,已知竖立在点B处的测量觇标高 米,攀登者们在A处测得到觇标底点B和顶点C的仰角分别为,则A、B的高度差约为()A 米B 米C 米D 米“欲穷千里目,更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的 登鹳雀楼,鹳雀楼位于今山西永济市,该楼有三层,前对中条山,下临黄河,传说常有鹳雀在此停留,故有此名下面是复建的鹳雀楼的示意图,某位游客(身高忽略不计)从地面D点看楼顶点A的仰角为,沿直线前进 米到达E点,此时看点C的仰角为,若B CA C,则楼高A B约为()A 米B 米C 米D 米如 图 是 隋 唐 天 坛,古 叫 圜丘,它位于唐长安城明德门遗址东约 米,即今西安市雁塔区陕

8、西师范大学以南天坛初建于隋而废弃于唐末,比北京明清天坛早 多年,是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处某数学兴趣小组为了测得天坛的直径,在天坛外围测得A B 米,B C 米,C D 米,A B C,B C D ,据此可以估计天坛的最下面一层的直径AD大约为(结果精确到米)(参考数据:,)()A 米B 米C 米D 米 微点特训数学(新)a,b,c分别为A B C内角A,B,C的对边已知bs i nA(bc)s i nB,则ba c的最小值为()ABCD在A B C中,a、b、c分别为内角A、B、C所对的边,且满足bc,bac o sBc o sA,若点O是A B C外一点,A O B(),O A,O

9、 B,则平面四边形O A C B面积的最大值是()A B C D 二、多项选择题在A B C中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知c o sBc o sCbac,SA B C,且b,则()A c o sBB c o sBCac Dac 在A B C中,角A,B,C所对的边的长分别为a,b,c,则满足下面条件的三角形一定为直角三角形的是()A s i nAs i nBs i nC(c o sA c o sB)Bt a nAt a nBabC c o sBaccDac o sBbc o sAc三、填空题 在A B C中,B A C,B C,D是B C上的点,AD平分B A C,若AD,则A

10、B C的面积为 费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点,当三角形三个内角均小于 时,费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角,即该点所对的三角形三边的张角相等均为 ,根据以上性质,已 知A(,),B(,),C(,),P为A B C内一点,记f(P)|P A|P B|P C|,则f(P)的最小值为 ,此时s i nP B C 真题体验练 实战抢分(全国乙卷,)魏晋时期刘徽撰写的 海岛算经 是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海岛的高如图,点E,H,G在水平线A C上,D E和F G是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,E G称为“表距”,G C和EH都称为“

11、表目距”,G C与EH的差称为“表目距的差”,则海岛的高A B()A表高表距表目距的差表高B表高表距表目距的差表高C表高表距表目距的差表距D表高表距表目距的差表距(全国甲卷,)年 月日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 (单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一右图是三角高程测量法的一个示意图,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A,B,C 满足A C B ,A B C 由C点测得B点的仰角为 ,B B 与C C 的差为 ;由B点测得A点的仰角为 ,则A,C两点到水平面A B C 的高度差A A C C 约为()()A B C D (浙江卷,)在A B C中,B

12、 ,A B,M是B C的中点,AM,则A C;c o sMA C(全国乙卷,)记A B C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B ,aca c,则b微点特训数学(新)s i nx(t a nx)t a nxs i nxt a n t a nx t a nt a nx s i nxt a nx()()A Bys i nx(c o sx)s i nxc o sxs i n x(),令xk,xk(kZ),当k时,x,对 称 中 心 是,;当k 时,x,对 称 中 心是,C DC ,AB,t a n(AB),选项A,B错误;t a nA t a nB(t a nAt a nB),t a n

13、At a nB,又t a nA t a nB,联立解得t a nA t a nB,c o sB s i nA,故选项C,D正确 t a nAt a nBt a nC,t a nBt a nCt a nA,s i nAs i nBs i nCs i n(BC)s i nBs i nCs i nBc o sCc o sBs i nCs i nBs i nCt a nB t a nCt a nBt a nCt a n(BC)(t a nBt a nC)t a nBt a nCt a n(A)(t a nBt a nC)t a nBt a nCt a nA(t a nBt a nC)t a nBt a

14、 nCt a nAt a nA()t a nA(t a nA)t a nA t a nA t a nA(),当且仅当t a nA时,等号成立,因此,s i nAs i nBs i nC的最大值是 f(x)s i nxc o sx s i n(x),其中s i n,c o s,则f()s i n(),即s i n(),k(kZ),即k(kZ),s i n()s i nk()s i n()s i nc o sc o ss i n 真题体验练 实战抢分 C 由f(x)s i nxc o sx可 得f(x)s i nx(),故周期为T ,最大值为,故选C D 由题意可知c o s c o s c o

15、s s i n c o s A 由t a ns i nc o s s i nc o s s i nc o ss i n,化解得s i n,从而得t a n ,故选A微点特训 解三角形考点对点练 保分必拿 B 对于AabcRs i nARs i nBRs i nCs i nAs i nBs i nC,所以A正确对于B:因为s i nBs i n(B),所以s i nAs i n(B)也成立,此时A B,所以AB,所以AB不一定成立,所以ab不一定成立所以B不正确对于C:若A,B均为锐角,结论显然成立 若A,B中有一钝角,则AB时,B A,所以s i nBs i n(A)s i nA,因为s i

16、nAs i nB时,s i n(A)s i nB,所以C正确由等比定理知D正确 B 根据正弦定理,可知aRs i nA,bRs i nB,cRs i nC,代入原式可得s i nAs i nB s i nC s i nBc o sA,又ABC,s i nCs i n(AB)s i nAc o sBc o sAs i nB,则s i nAs i nBs i nAc o sB,s i nA,s i nBc o sB t a nB,得B B在A B C中,a,b,A,由正弦定理as i nAbs i nB,得:s i nBbs i nAa ,ab,AB,B的度数有两解,则此三角形有两解 B 因为as

17、 i nAs i nBbc o sAa,所以由正弦定理化简得:s i nAs i nBs i nBc o sAs i nA,整理得:s i nB(s i nAc o sA)s i nBs i nA,即s i nAs i nB,则由正弦定理得:abs i nAs i nB 由 s i nAc o sC(s i nCb)c o sA,得 s i nAc o sC s i nCc o sAbc o sA,所以 s i n(AC)bc o sA,即 s i nBbc o sA,又as i nAbs i nB,所以c o sAbs i nBas i nA,从而s i nAc o sAt a nA,又因为

18、A,所以A C 在A B C,因为as i nAbs i nB(cb)s i nC,由正弦定理可化简得abc(cb)bcb c,即bcab c,由余弦定理得c o sAbcab c,因为A(,),所以A ASb cs i nA c,所以c,由余弦定理可得:abcb cc o sA,得a,又由正弦 定 理 可 得:as i nAbs i nB,所 以s i nBbs i nAa C 已知a,s i nBs i nCs i nA,由正弦定理得bca,bc,c o sAc o sA,c o sA,当c o sA时,由余弦定理得:abcb cc o sA,即:bcb c(bc)b cb c,b c,与

19、bc联立解得b,c不满足ab,舍去c o sA,s i nAc o sA 微点特训数学(新)由余弦定理得:abcb cc o sA,即:bcb c(bc)b cb c,b c,与bc联立解得b,c,满足ab,A B C的面积为SA B Cb cs i nA 由三角形的面积公式知,Sb cs i nA,解得c,再由余弦定理得abcb cc o s ,故a B C D 对 于A,根 据 正 弦 定 理:as i nAbs i nB,可 得s i nB,又因为ba,所以BA,所以B或,故A不正确;对于B,由余弦定理可得caba bc o sC,解得c,故B正确;对于C,由三角形的内角和可知A ,又a

20、,利用正弦定理as i nAbs i nBcs i nC,可知b,c均有唯一值,故C正确;对于D,a,b,c,三角形的三边确定,三角形的形状唯一确定,故D正确 B 由 题 意 得,在 直 角 三 角P A O,P B O中,得P A O,P B O,A O h,B Oh再 在A B O中,由余弦定理可得A B(h)h hhc o s ,因此h ,h,故选B C 由题意所对直角边长为,相邻直角边长为,则斜 边 长 为 ,s i n,c o s,s i n s i nc o s C 由正弦定理边角互化可知ac o sB(bc)c o sA化简为s i nAc o sB(s i nBs i nC)c

21、 o sA,s i nAc o sBs i nBc o sAs i nCc o sA,即s i n(AB)s i nCs i nCc o sA,s i nC,c o sA,c o sAbcab cb c,解得:b c,根据面积 公 式 可 知S(b c)bca()在A B C中,A B,B C,A B C ,由余弦定理可得A CA BB CA BB Cc o s ,解 得A C,由 正 弦 定 理:A Bs i n A C BA Cs i n B,即s i nA C Bs i n ,解得s i nA C B,所以A C B,由B C D ,所以A C D,因为A C D的面积为,所以SA C

22、DA CC D,即C D,所以ADA CC D 素养提升练 高分必抢 Ccs i nBbs i nCa,由正弦定理可得,s i nCs i nBs i nBs i nC s i nAs i nCs i nBs i nBs i nC,s i nA,当s i nCs i nBs i nBs i nC时,“”成立,A,bc,A B C是等腰直角三角形 D ac o sC cs i nA,由正弦定理可得s i nAc o sC s i nCs i nA,s i nA,c o sCs i nC,即c o sCs i nC,s i nCc o sCs i nC s i nC s i nC,解得:s i n

23、C或s i nC(舍去)b,A B C的面积S a bs i nCa,解得a B 因为A B C的三个内角A,B,C成等差数列,所以B,AC,又因为s i nA、s i nB、s i nC成等比数列,所 以s i nBs i nAs i nC,所 以s i nAs i n A()s i nAs i n c o sAs i nAc o s()s i nAs i nAs i nAc o sAs i n A(),即s i n A()又因为A 所以A C 根据题意画出如图的模型,则C B,O A B,O A C,所以C A B,A C B,所以A B,所以在R t A O B中,B O s i n (

24、米)B 设A C的高度为x,则由已知可得A Bx,B CB Ex,B DA Bt a n AD B x,所以D EB DB E xx,解得x ,所以楼高A B (米)D 在A C B中,A B,B C,A B C,所以A C,在C DA中,ADA CC DA CC Dc o s ,所以AD (米)Cbs i nA(bc)s i nB,a b(bc)b,abc,即ac b aca c,ba c,当且仅当acb时,等号成立,ba c,故ba c的最小值为 Bbac o sBc o sA,由正弦定理得s i nBs i nAc o sBc o sA,即c o sAs i nBs i nAs i nA

25、c o sB,即s i nA s i nAc o sBc o sAs i nBs i n(AB)s i nC,由正弦定理得ac,又bc,所以,A B C为等边三角形,则cO AO BO AO Bc o sc o s,S平面四边形O A C BSA B CSA O Bs i ncs i n c o s s i n(),当时,即当 时,四边形O A C B的面积取最大值 A Dc o sBc o sCbacs i nBs i nAs i nC整理可得:s i nBc o sCs i nAc o sBs i nCc o sB可得s i nBc o sCs i nCc o sBs i n(BC)s i

26、 nA s i nAc o sBA为三角形内角,s i nA,c o sB,故A正确,B错误B(,),B,SA B C,b a cs i nBaca c,解得a c,由余弦定理得aca c(ac)a c(ac),解得ac,故C错误,D正确 微点特训数学(新)A C D 对于A选项,s i nAs i nBs i nC(c o sAc o sB),利用正弦定理角化边有abc(c o sAc o sB),整理得cc o sBbc o sCac o sCcc o sAc(c o sAc o sB),有(ab)c o sC,因为ab,所以c o sCC,故选项A正确,对于B选项,可知当三角形为等边三角

27、形时,等式同样成立,故选项B错误,对于C选项,c o sBacc,根据半角公式有,c o sBacccc o sBacc o sBcc o sBbc o sC,整理得bc o sCC,故选项C正确,对于D选项,ac o sBbc o sAc,因为在任意的三角形中都有ac o sBbc o sAc,所以两式相加可得ac o sBcac o sBac o sBbc o sA,整理得bc o sAA,故选项D正确 由正弦定理,B Ds i nADs i nB,D Cs i nADs i nC,即B DADs i nBs i ns i nB,D CADs i nCs i ns i nC,而B C,s

28、i nBs i nC,A Bs i nCA Cs i nBB Cs i n B A C,即s i nC A B,s i nB A C,A CA B,即A BA Ca cA B,又由余弦定理知:A CA BA CA Bc o sB A CB C,A CA BA CA B,即(A CA B)A CA B,令xA CA B,xx,即x(x舍去),SA B CA CA Bs i n B A C 设O(,)为 坐标 原点,由A(,),B(,),C(,)知|A C|B C|,且A B C为锐角三角形,因此,费马点F在线段O C上,设F(,h),则F A B为顶角是 的等腰三角形,故h|O B|t a n,

29、所以f(P)f(F)|F A|F B|F C|hh;在F B C中,由 正 弦 定 理,得|F C|s i n B F C|B C|s i n B F C,即hs i n F B Cs i n ,解得s i nF B C ,即此时s i nP B C 真题体验练 实战抢分 AD EA BEHAH,F GB AC GC A,故EHAHC GC A,即EHA EEHC GA EE GG C,解得A EEHE GC GEH,AHA EEH,故A BD EAHEHD E(A EEH)EHD EE GC GEHD E B 过C作B B 的垂线交B B 于点M,过B作A A 的垂线交A A 于点N,设B

30、C CMm,A B BNn,在三角形A B C 中,ms i n ns i n ,在三角形C BM中,ms i n s i n ,联立求得n ,得A,C两点到水平面A B C 的高度差A A C C 约为 ,故选B ()AMA BBMBMB Ac o sB,即 BMBM,所以BMBMBM,所以B C所以A CA BB CA BB Cc o sB ,故A C()由 余 弦 定 理 得c o s MA CA CAMMCAMA C 由SA B Ca cs i nB,得a cs i n ,即a c,得a c,所以aca c,则由余弦定理,得baca cc o s ,所以b 微点特训 平面向量的概念及线

31、性运算、平面向量的基本定理考点对点练 保分必拿 C 因为是单位向量,所以|a|,|b|D 由题意,P AB AP B,P AA CP C,而P AP BP C,P AB AA C,又A CB CB A,即P AB AB C,P AB AB C故选:D B C DB Ca,C Ab,ADC BA Cab,故A错;B EB CC Aab,故B正确;C F(C BC A)(ab)ab,故C正确;所以ADB EC Fbaabba故D正确 C 因为N是AM的一个三等分点(|AN|NM|),所以ANAM因为M是边C D的中点,所以DMD CA B又BNANA BAMA B(ADDM)A BADA B()A BA BAD,所以故选C AADD B,C DC AC B,C DC AADC AA BC A(C BC A)C AC B,故选A A 因为|O C|,A O C,所以C(,),又因为O C O AO B,所以(,)(,)(,)(,),所以,微点特训数学(新)