2024届新高考数学小题微点特训32 椭圆含答案.pdf

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1、 椭圆 考点对点练 保分必拿 考点一椭圆的定义已知F,F是椭圆x y的两焦点,过点F的直线交 椭 圆 于 点A,B,若A B,则A FB F()A B C D 已知椭圆xy的左、右两个焦点分别为F、F,O为 坐 标 原 点,点P在 椭 圆 上,且|O P|,则P FF的面积()AB CD“九天揽月”是中华民族的伟大梦想,我国探月工程的进展与实力举世瞩目近期,“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆,月球上“嫦娥四号”的着陆点,被命名为天河基地,如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图,圆形轨道距月球表面 千米,椭圆形轨道的一个焦点是月球球心,一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处,另一个长轴顶点距月球表

2、面 千米,则椭圆形轨道的焦距为千米 考点二椭圆的标椎方程椭圆xm y的一个焦点坐标为(,),则实数m()A BC D 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积若椭圆C的中心为原点,焦点F,F均在x轴上,C的面积为 ,且短轴长为,则C的标准方程为()Ax yBxyCxyDx y根据天文物理学和数学原理,月球绕地球运行时的轨迹是一个椭圆地球位于椭圆的两个焦点位置中的一个,椭圆上的点距离地球最近的点称为近地点已知近地点与地球之间的距离约为 万千米,月球轨道上点P与椭圆的左、右焦点F,F构成的P FF的面积约为 (万千米),FP F,则月球绕地球运行

3、轨道的一个标准方程为()Ax y Bx y Cx y Dx y 已知椭圆C:xayb(ab)的一个焦点为(,),A为椭圆C的右顶点,以A为圆心与直线ybax相交于P,Q两点,且APA Q,O PO Q,则椭圆C的标准方程为 ,圆A的标准方程为已知椭圆C:xayb(ab)的离心率是,若以N(,)为圆心且与椭圆C有公共点的圆的最大半径为,此时椭圆C的方程是 考点三椭圆的性质若焦点在x轴上的椭圆xmy的离心率为,则m()A B C D P是椭圆xayb(ab)上的一点,F,F分别是椭圆的左、右焦点,点P到原点O的距离为焦距的一半,且|P F|P F|a,则椭圆的离心率为()AB CD 天文学家开普勒

4、的行星运动定律可表述为:绕同一中心天体的所有行星的椭圆轨道的半长轴a的三次方跟它的公转周期T的二次方的比值都相等,即aTk,kGM,其中M为中心天体质量,G为引力常量,已知地球绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的半微点特训数学(新)长轴长约为 亿千米,地球的公转周期为年,距离太阳最远的冥王星绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的半长轴长约为 亿千米,取 ,则冥王星的公转周期约为()A 年B 年C 年D 年 已知F,F分别为椭圆xayb(ab)的左、右焦点,P为椭圆上一点,O为坐标原点,且(O PO F)FP,|P F|P F|,则该椭圆的离心率为()ABCD (多选题)已知椭圆xy的左、右焦点分别为F、E,

5、直线xm(m)与椭圆相交于点A、B,则()A当m时,F A B的面积为B不存在m使F A B为直角三角形C存在m使四边形F B E A面积最大D存在m,使F A B的周长最大 已知A,B是椭圆E:xayb(ab)上的两点,且A,B关于坐标原点对称,F是椭圆的一个焦点,若A B F面积的最大值恰为,则椭圆E的长轴长的最小值为()A B C D 如图,椭圆的中心在坐标原点O,顶点分别是A,A,B,B,焦点分别为F,F,延长BF与AB交于P点,若BP A为钝角,则此椭圆的离心率的取值范围为 如 图 是 数 学 家G e m i n a d D a n d e l i n用来证明一个平面截圆锥得到的截

6、面是椭圆的模型(称为丹德林双球模型):在圆锥内放两个大小不同的小球,使得它们分别与圆锥侧面、截面相切,设图中球O和球O的半径分别为和,OO,截面分别与球O和球O切于点E和F,则此椭圆的长轴长为 素养提升练 高分必抢一、单项选择题已知椭圆C的焦点为F(c,),F(c,),其中c,C的长轴长为a,过F的直线与C交于A,B两点若|A F|FB|,|B F|A B|,则|A F|()AaBaCaDa某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆,其轨道的离心率为e,设地球半径为R,该卫星近地点离地面的距离为r,则该卫星远地点离地面的距离为()A e ereeRB e ereeRCeere eRD e

7、 ereeR已知椭圆C:x y 的左、右焦点分别为F,F,点P在椭圆C上,若|P F|,则P FF的余弦值为()A B CD已知椭圆xy的焦点为F,短轴端点为P,若直线P F与圆O:xyR(R)相切,则圆O的半径为()AB C D 已知椭圆C:xayb(ab)的左、右焦点分别为F,F,顺次连接C上的四个点M,N,P,Q,可以得到一个正方形,若F,F不落在正方形MNP Q外侧,则椭圆C的离心率的取值范围为()A,B,C(,D,人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律:卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时,其运行速度是变化的,速度的变化服从面积守恒规律,即卫星的向径(卫星至地球的连线)在

8、相同的时间内扫过的面积相等设椭圆的长轴长、焦距分别为a,c李明根据所学的椭圆知识,得到下列结论:()微点特训数学(新)卫星向径的最小值为ac,最大值为ac;卫星向径的最小值与最大值的比值越小,椭圆轨道越扁;卫星运行速度在近地点时最小,在远地点时最大其中正确结论的个数是A B C D 第 届冬季奥林匹克运动会,将在 年月日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行这是中国历史上第一次举办冬季奥运会,北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”(先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会)国家根据规划,国家体育场(鸟巢)成为北京冬

9、奥会开、闭幕式的场馆国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示,内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆,若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线A C,B D(如图),且两切线斜率之积等于,则椭圆的离心率为()ABC D二、多项选择题已知椭圆M:x y 的左、右焦点分别是F,F,左、右顶点分别是A,A,点P是椭圆上异于A,A的任意一点,则下列说法正确的是()A|P F|P F|B直线P A与直线P A的斜率之积为C存在点P满足FP F D若FP F的面积为,则 点P的横 坐 标 为 设椭圆xy的右焦点为F,直线ym(m)与椭圆交于A,B两点,则下述结论正确的是()AA FB F为定

10、值B A B F的周长的取值范围是,C当m 时,A B F为直角三角形D当m时,A B F的面积为三、填空题 已知椭圆C:xayb(ab)的左、右焦点分别为F,F,点M,N是椭圆C上关于原点对称的两点,若MFN 恒成立,则椭圆C的离心率的取值范围为 已知椭圆C:xym的右焦点为F(,),上顶点为B,则B的坐标为,直线MN与椭圆C交于M,N两点,且BMN的重心恰为点F,则直线MN斜率为 真题体验练 实战抢分(新高考卷,)已知F,F是椭圆C:xy的两个焦点,点M在C上,则|MF|MF|的最大值为()A B C D(全国乙卷,)设B是椭圆C:xayb(ab)的上顶点,若C上的任意一点P都满足|P B

11、|b,则C的离心率的取值范围是()A,B,)C,D,(全国乙卷,文科)设B是椭圆C:xy的上顶点,点P在C上,则|P B|的最大值为()AB C D(浙江卷,)已知椭圆xayb(ab),焦点F(c,),F(c,),c,若过F的直线和圆xc()yc相切,与椭圆的第一象限交于点P,且P Fx轴,则该直线的斜率是,椭圆的离心率是微点特训数学(新)相切,所以C正确当时,n(nZ),t a n不存在,所以D不正确 C DA选 项,设kyx,则yk x,因 为 点P(x,y)在圆C:(x)(y)上,所以直线yk x与圆C:(x)(y)有交点,因此圆心到直线的距离d|k|k,解得k或k,故A错;B选项,由k

12、 xyk ,得k(x)(y),所以xy,即直线k xyk过 点P(,),因为直线k xyk和以M(,),N(,)为 端 点 的 线 段 相 交,所 以 只 需kkP N(),或kkP M(),故B错;C选项,圆xyr的圆心(,)到直线a xb yr的距离drab,而点P(a,b)是圆xyr外一点,所以abr,所以drabrrr,所以直线与圆相交,故C正确 D选项,与点N(,)的距离为的点在圆(x)y上,由题意知圆M:(x)(y)r(r)与圆(x)y相交,所以圆心距dMN满足rdr,解得r,故D正确故选C D ,由题意得|O D|,D在以O为圆心,以为半径的圆O上,设E F的中点为M,则M,m(

13、),且|E F|,当A、B在圆上运动时,存在某个位置使E D F为钝角,圆O与 以M为 圆 心 以为 半 径 的 圆 相 交,m(),解得 m,实数m的取值范围为,由题可知MNP Q,所以点N在以线段AM为直径的圆上,OMN的边|OM|,故当N到直线OM的距离最大时,OMN的面积最大,以线段AM为直径的圆的圆心为(,),半径为,直线OM的方程为xy,点(,)到直线OM的距离为,所以N到直线OM的距离的最大值为,故OMN的面积的最大值为 真题体验练 实战抢分 A B D 圆C的圆心到l的距离drab,对于A,当点A在圆上时,abr,dr,l与圆C相切,对于B,A在圆内,则abr,dr,故直线l与

14、圆C相离,对于D,点A在l上,则abr,则dr,l与圆C相切,对于C不成立,故A,B,D正确 C 如图,当圆心到直线的距离最大时,弦长最小,又m为直线在y轴上的截距,当直线平行于x轴时,所 截 弦 长 最 短,m 微点特训 椭圆考点对点练 保分必拿 C 根 据 椭 圆 定 义,A FA Fa,B FB Fa,所以三角 形A B F的 周 长 为A FB FA B ,所以A FB F A B 故选C B在椭圆xy中,a,b,c,则|FF|c,设P(x,y),由点P在椭圆上且|O P|,得xyxy,解得|y|所以SFFP|FF|y|故选:B 设椭圆的长半轴长为a千米,半焦距为c千米,月球半径为r千

15、米由题意 知ac r,ac r,解 得c 即椭圆形轨道的焦距为 千米 D 椭圆的标准方程为xym,由于该椭圆的一个焦点坐标为(,),所以焦点在y轴上,其中am,b,所以cabm,解得m B 由题意可得a b ,b,解得a,b,因为椭圆C的焦点在x轴上,所以C的标准方程为xy B 设月球绕地球运行轨道的一个标准方程为xayb(ab)由椭圆的定义和余弦定理可得P FF的面积Sbt a nb ,解得b 由题意得ac,又bac(ac)(ac),ac,a,所求椭圆的标准方程为x y 故选Bxy(x)y 如图,设T为线段P Q的中点菜,连接A T,则A TP Q A PA Q,A PA Q,|A T|P

16、Q|又O PO Q,|O T|P Q|A T|O T|,即ba由 已知 得 焦点 半距c,a,b,故椭圆C的方程为xy又|A T|微点特训数学(新)|O T|,|A T|A T|,|A T|,r|A P|圆A的方程为(x)yx y 由eca,得aba,即ab,得椭圆C的方程为xbyb设P(x,y)是椭圆上任一点,依题意,|PN|的最大值为,则|PN|x(y)(by)(y)(y)b(byb)若b,则y 时,|PN|m a xb,b,此时椭圆方程为x y;若b,则yb时,|PN|m a xb,b,不成立综上可得椭圆方程为x y D 焦点在x轴上,所以am,b,所以cmm,离心率e,所以ecamm,

17、解方程得m B 因为P是椭圆上一点,F,F分别为左、右焦点,则|P F|P F|a,而|P F|P F|a,则|P F|a,|P F|a又因为点P到原点O的距离为焦距的一半,即|P O|O F|O F|,故三角形P FF为直角 三 角 形,则|P F|P F|FF|,即a()a()(c),解得ca,所以e C 设地球椭圆轨道的半长轴为a,公转周期T设冥王星 椭 圆 轨 道 的 半 长 轴 为a,公 转 周 期T则aTGM aTGM,两式相除并化简得TaaT (),所以T 年 C 如图,取P F的中点A,连接O A,O AO FO P,且O AFP,O AFP又(O PO F)FP,O AFP,

18、又O AFPP FFP,|P F|P F|,不妨设|P F|m,则|P F|m,|P F|P F|am,|FF|cm(m)m,ca,e,故选C A C 如 图:对 于A选项,经计算显然正确;对于B选项,m时,可以得 出A F E,当m时,A F E,根据对称性,存在m使F A B为直 角 三 角 形,故B错误;对于C选项,根据椭圆对称性可知,当m时,四边形F B E A面积最大,故C正确;对于D选项,由椭圆的定义得:F A B的周长A BA FB FA B(aA E)(aB E)aA BA EB E;A EB EA B;A BA EB E,当A B过点E时取等号;A BA FB FaA BA

19、EB Ea;即直线xm过椭圆的右焦点E时,F A B的周长最大;此时直线xmc;但m,所以不存在m,使F A B的周长最大故D错误 D 如图所示,设直线A B的方程为t yx,F(c,),A(x,y),B(x,y)联立t yx,xayb 可得yabbtayy,所以A B F的面 积Sc|yy|c(yy)yycabbtac b,当t 时取等号所以b c 所以abc b c,a 所以椭圆E的长轴长的最小值为 故选D,设椭圆的方程为xayb(ab),BP A为钝角可转化为BA,FB所夹 的 角为 钝角,由题意得,BA(a,b),FB(c,b),则(a,b)(c,b),得ba c,即aca c,故ca

20、()ca,即ee,解得e或e 又e,e 如图,圆锥面与其内切球O,O分别相切与B,A,连接OB,OA,则OBA B,OAA B,过O作ODOA于D,连 接OF,OE,E F交OO于点C,设圆锥母线与轴的夹角为,截面与轴的夹角为,在R t OOD中,D O ,OD,c o sODOO ,OO,C OOC,E OCF OC,OCE OOCOF解得OC,OC,C FOCF O,即c o sC FOC,所以椭圆离心率为ec o sc o s ca,在E OC中c o sc o sE C OE COC,解得E C,E F c,a a,a 素养提升练 高分必抢 D 设|FB|x,则|A F|FB|,|A

21、F|x,又|B F|A B|,|B F|x,|B F|B F|xa,ax,|A F|a|A F|a微点特训数学(新)A 椭圆的离心率:eca(,),(c为半焦距;a为长半轴),设卫星近地点,远地点离地面距离分别为r,n,如图:则nacR,racR所 以,arRe,c(rR)ee,nacRrRee(rR)eReereeR Ax y,|P F|,|P F|P F|a,|P F|,而|FF|,故c o s P FF|P F|FF|P F|P F|FF|B 因为椭圆xy,不妨设F(,),P(,),所以P F的方程为xy,因为直线P F与圆O:xyR(R)相切,所以圆心到直线的距离等于圆的半径,即Rd

22、B 根据题意,不妨设点M是椭圆在第一象限内的点,根据椭圆和正方形的对称性,故可设其坐标为(m,m),则mab(),解得mabab;又F,F不落在正方形MNP Q外侧,故xFm,即cm,代入mabab,可得acbcab,不等式两边同除以ab,可整理化简为:ee,解得e,又e(,),故可得e,C 对于命题,由椭圆的几何性质得知,椭圆上一点到焦点距离的最小值为c,最大值为ac,所以,卫星向径的最小值为ac,最大值为ac,结论正确;对于命题,由椭圆的几何性质知,当椭圆的离心率eca越大,椭圆越扁,卫星向径的最小值与最大值的比值acacaacaaacdeee,当这个比值越小,则e越大,此时,椭圆轨道越扁

23、,结论正确;对于命题,由于速度的变化服从面积守恒规律,即卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等,当卫星越靠近远地点时,向径越大,当卫星越靠近近地点时,向径越小,由于在相同时间扫过的面积相等,则向径越大,速度越小,所以,卫星运行速度在近地点时最大,在远地点时最小,结论错误故选C B 若内层椭圆方程为xayb(ab),由离心率相同,可设外层椭圆方程为x(m a)y(m b)(m),A(m a,),B(,m b),设切线A C为yk(xm a),切线B D为ykxm b,yk(xm a)xayb,整 理 得(akb)xm akxmakab,由知:(m ak)(akb)(makab),整理得kbam,

24、同 理,ykxm bxayb,可得kba(m),(kk)ba(),即ba,故ecaaba B D 由题意a,b,c,F(,),F(,),A(,),A(,),短轴一个顶点B(,),|P F|P F|a,A错;设P(x,y),则x y,y x(),所以kP AkP Ayxyxyx (x)x,B正确;因为t a nO BF|O F|O B|,所以O BF,从而FBFO BF,而P是椭圆上任一点时,当P是短轴端点时FP F最大,因此不存在点P满足FP F,C错;P(x,y),SP FF|FF|yp|yp|,|yp|,则xp ,xp,D正确 A D 设椭圆的左焦点为F,则|A F|B F|,|A F|B

25、 F|A F|A F|为定值,A正确;A B F的周长为|A B|A F|B F|,因为|A F|B F|为定值,|A B|的范围是(,),A B F的周长的范围是(,),B错误;将y 与椭圆方程联立,可解得A(,),B(,),又F(,),B AB F(,)(,),A B F不是直角三角形,C不 正 确;将y与 椭 圆 方 程 联 立,解 得A(,),B(,),SA B F ,D正确,因为点M,N是椭圆C上关于原点对称的两点,所以四边形MFNF为平行四边形,因此由MFN 恒成立得FB F 恒成立,设B为椭圆短 轴 端 点,则FB F FMF,因 此 只 需FB F,因 为s i nFB FO

26、FB Fcae,s i n s i n(),椭圆C的离心率的取值范围为,()空:因为C:xym右焦点为F(,),所以有m且,a,bm,c,而abc,所以mm,因此椭圆上顶点的坐标为:(,);空:设直线MN的方程为:yk xm,由()可知:椭圆的标准方程为:xy,直线方程与椭圆方程联立:xyyk xm,化简得:(k)xk m xm,设M(x,y),N(x,y),线段MN的中点为D,于是有:xxk mk,yyk(xx)mmk,所以D点坐标为:k mk,mk(),因为BMN的重心恰为 点F,所 以 有B F F D,即(,)微点特训数学(新)k mkmk(),因 此 有:k mk()mk k mk(

27、)mk(),()()得:k,所以直线MN斜率为 真题体验练 实战抢分 C 由椭圆的定义可知a,b,|MF|MF|a,由 基 本 不 等 式 可 得|MF|MF|MF|MF|()(),当且仅当|MF|MF|时等号成立,答案选C C 依题意,B(,b),设椭圆上一点P(x,y),则|y|b,xayb,可得xaaby,则|P B|x(yb)xyb ybcbyb yabb因为当yb时,|P B|b,所以bcb,得ca,所以离心率eca,故选C A 由P在C上,设P(x,y),且xy,B(,),因此|P B|x(y),由xy,xy,y,代入上式得|P B|y(y)化 简 得|P B|y(),y,因此当且

28、仅当y时|P B|的最大值为,故答案选A 如 图 所 示:FAc,FFc,FBc,A Bc()kt a nP FFA BB Fcc()FA BFP F,所以cacacce微点特训 双曲线考点对点练 保分必拿 B 由题意,知a,则a,又由ba,得b,所以cab,则F(,)根据双曲线的定义知|MF|a|MF|MF|,所以|MN|MF|MN|MF|EN|MN|MF|FE|()(),故选B B 由 题 意b将x c代 入 双 曲 线C的 方 程,得ya则a,a,c,由|A F|A F|B F|B F|a,得A B F的周长为|A F|B F|A B|a|A F|a|B F|A B|a|A B|,设A

29、B F的内切圆的半径为r,则 r ,r B 因为线段FM的垂直平分线与直线FM相交于点P,如图所示:所以有P FPMP FMF,而O,N是中点,连接ON,故MFON,因此P FP F(FF)图当N在如图所示位置时有,所以有P FPMP FMF,而O,N是中点,连接ON,图故MFON,因此P FP F(FF),综上所述:有|P FP F|(FF),所以点P的轨迹是双曲线xy 设双曲线的一条渐近线方程为ybax,由渐近线过点P(,),得ba,且|O P|焦点到渐近线的距离是b,即|P F|b,在R t O P F中,|O F|O P|P F|,即cb又cab,所以a,b,所以双曲线C的方程为xy B 由双曲线的渐近线方程为y x,可设所求双曲线的标准方程为xyk又(,)在双曲线上,则k ,即双曲线的方程为xy,双曲线的标准方程为xy B 圆C:xxy,即(x)y,圆心坐标为(,),半径r双曲线xayb(a,b)的渐近线方程为ybax,由直线和圆相切的条件:dr,可得|b|ab,由题意可得c,由cab,可得b,即有双曲线的虚轴长为b故选B微点特训数学(新)