2024届新高考数学小题微点特训8 指数函数、对数函数含答案.pdf

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1、 指数函数、对数函数 考点对点练 保分必拿 考点一指数、对数的运算若非零实数a、b满足ab,则下列式子一定正确的是()AbaBbaC|b|a|D|b|a|设a l o g,b l o g,则()A a b(ab)a bB a b(ab)a bC a b(ab)a bD a b(ab)a b人们通常以分贝(符号是d B)为单位来表示声音强度的等级,强 度 为x的 声 音 对 应 的 等 级 为f(x)l gx(d B)喷气式飞机起飞时,声音约为 d B,一般说话时,声音约为 d B,则喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的()倍.AB C D 已知未成年男性的体重G(单位:k g)与身

2、高x(单位:c m)的关系可用指数模型Ga eb x来描述,根据大数据统计计算得到a ,b 现有一名未成年男性身高为 c m,体重为 k g,预测当他体重为 k g时,身高约为(l n )()A c mB c mC c mD c m已 知xyA,且xy,则A的 值是已知ab,若l o gabl o gba,abba,则a,b 考点二指数函数、对数函数的图象已知函数f(x)ax的图象经过定点P,则点P的坐标是()A(,)B(,)C(,)D(,)函数yax和ya(x)(其中a且a)的大致图象只可能是()已知方程x|l o gx|的两根分别为x,x,则()A xxBxxCxxD xx 设函数f(x)

3、|l o gax|(a)的定义域为m,n(mn),值域为,若nm的最小值为,则实数a的值为 考点三指数函数、对数函数的性质 若eabeba,则有()AabBabCabDab “a”是“函数f(x)l gxa()为奇函数”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件 已知x,y l o g,z c o s,则()AzyxByzxCzxyDxzy (多选题)已知等式l o gm l o gn,m,n(,)成立,那么下列结论:()mn;()nm;()mn;()nm;()mn;其中可能成立的是()A()()B()()C()()D()()已知函数f(x)是R上的奇函数,f(x)

4、是R上的偶函数,且当x(,)时,f(x)x,则fl o g()微点特训数学(新)2024高考数学微点特训8 指数函数、对数函数 素养提升练 高分必抢一、单项选择题已知函数f(x)ax,f(x)xa,f(x)l o gax(其中a且a),在同一坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的大致图象,其中正确的是()年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数;年笛卡尔开始使用指数运算;年,欧拉发现了指数与对数的互逆关系,指出:对数源于指数,对数的发明先于指数,称为历史上的珍闻若x,l g ,则x的值约为()A B C D 已知函数f(x)|x|xx,且f(l o ga)f(),则实数a的取值范围为

5、()A(,)(,)B(,)C(,)(,)D(,)声音的等级f(x)(单位:d B)与声音强度x(单位:W/m)满足f(x)l gx 喷气式飞机起飞时,声音的等级约为 d B;一般噪声时,声音的等级约为 d B,那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般噪声时声音强度的()A 倍B 倍C 倍D 倍定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x),且x,x,),xx时,都有(xx)f(x)f(x),则()Af(l o g)fl o g()f()Bfl o g()f(l o g)f()Cfl o g()f()f(l o g)Df()f(l o g)fl o g()已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x(,

6、时,f(x)xx,若实数m满足f(l o gm),则m的取值范围是()A(,B,C(,D,设函数f(x)l o g(x),xx,x,则满足f(x)的x的取值范围为()A(,)B(,)C(,)D(,)(,)设函数f(x)xx,g(x)l g(a xx),若 对 任 意xR,都 存 在xR,使f(x)g(x),则实数a的取值范围为()A(,B(,C(,D,)二、多项选择题给出下列三个等式:f(x y)f(x)f(y),f(xy)f(x)f(y),f(xy)f(x)f(y),下列函数中至少满足一个等式的是()Af(x)xBf(x)l o gxCf(x)xDf(x)k x(k)对于函数f(x)l g|

7、x|(),下列说法正确的有()Af(x)是偶函数Bf(x)是奇函数Cf(x)在区间(,)上是减函数,在区间(,)上是增函数Df(x)没有最小值三、填空题 已知x,y,x y,则l gxl gy的最小值是 已知函数f(x)l g(a xx)若f(x)的定义域为R,则实数a的取值范围是;若f(x)的值域为R,则实数a的取值范围是 真题体验练 实战抢分(新高考卷,)已知a l o g,b l o g,c,则下列判断正确的是()AcbaBbacCacbDabc(新高考卷,)已知函数f(x)x(axx)是偶函数,则a微点特训数学(新)当m时,得 到mg()mm,解 得:m综上所述:m C 因为ba c(

8、ac)a c(ac),所以f(x)至少有一个根,因为对任意的实数b,c都有不等式f(bc)f(b c)成立,bcb c恒成立,所以f(x)a xb xc(a)在区间ba,()上单调递增,所以a若b,由bac得ca,此时f(x)a xa有一个负根和一个正根;若b,则xba,结合可知f(x)至少有一个负根;若b,由a,bac,得c,则f(x)有一个负根和一个正根 A 对于内层函数ux|x|x|(),所以,当|x|时,即当x时,内层函数ux|x|取得最小值,此时,函数yf(x)取得最小值由题意 可 知(t,t)或(t,t),即tt或tt,解得t或t因此,实数t的取值范围是,(),()D 存在两个实数

9、x,x,使|f(x)f(x)|fm a x(x)fm i n(x),f(x)a x x ,与ya x的图象完全“全等”,即可以通过平移完全重合因为txt且tR,即用一个区间宽度为的任意区间去截取函数图象,使得图象的最高点与最低点间的纵坐标之差大于,因此取纵坐标之差最小的状态为f(x)a x(x),当a时,此时fm a x(x)fm i n(x)a,故a;当a时,显然符合;当a时,此时fm a x(x)fm i n(x)a,故a C D 若幂函数的图象经过点,(),则解析式为yx,故A错 误;函 数f(x)x是 偶 函 数 且 在(,)上单调递减,故在(,)单调递增,B错误;幂函数yx()始终经

10、过点(,)和(,),C正确;任意的x,x,要 证f(x)f(x)fxx(),即xxxx,即xxxxxx,即(xx),易知成立,故D正确 A C D 将点(,)代入函数f(x)x得:,则所以f(x)x,显然f(x)在定义域,)上为增函数,所以A正确f(x)的定义域为,),所以f(x)不具有奇偶性,所以B不正确当x时,x,即f(x),所以C正确当xx时,f(x)f(x)()fxx()xxxxxxxxxxxxxx(xx)即f(x)f(x)fxx()成立,所以D正确 幂函数图象不过第四象限,正确;yx图象是直线y上去掉点(,),错误;函数yx的定义域是x|x,则它的值域是y|y,错误;函数yx的定义域

11、是x|x,则它的值域是y|y,错误;若函数yx的值域是y|y,则它的定义域也可能是x|x,错误,故填(,)(,)(方法一)在同一坐标系中画f(x)|xx|,和g(x)a|x|的图象(如图),问题转化为f(x)与g(x)图象恰有四个交点当ya(x)与yxx(或ya(x)与y xx)相切时,f(x)与g(x)图象恰有三个交点把ya(x)代入yxx,得xxa(x),即x(a)xa,由,得(a)a,解得a或a又当a时,f(x)与g(x)仅两个交点,a或a(方法二)显然x,axxx令tx,则atttt(,tt(,)结 合 图 象 可 得a或a 真题体验练 实战抢分 DA B递 减,排 除,C有 增 有

12、减,排 除,因 此 只 有D正确f(x)x(xR)开放性问题,答案不唯一,所有的形如f(x)xnm,n,mN的函数都成立,以f(x)x为最优微点特训 指数函数、对数函数考点对点练 保分必拿 C 令a bt,则t,t,a l o gtl gtl g,b l o gtl gtl g,|a|b|l gt|l g|l gt|l g|l gt|(l g l g)l gl g,因此,|a|b|B 因为a l o g,bl o g,所以a b,abl o g l o g l o g,(),所以ab,所以a b(ab)a b,所以选B D 因为yf(x)l gx,所以当y 时,可得 l gx 即x ,当y 时

13、,可得 l gx ,即x,所以喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的 倍 C 将x ,G 代入G e x得 e ,将G 代入G e x,得 e x,由得e x ,即 (x )l n,解得x 微点特训数学(新)由xyA得x l o gA,yl o gA,则xyl o gAl o gAl o gA l o gA l o gA,A 又A,故A 由于ab,则l o gab(,),因为l o gabl o gba,即l o gabl o gab,所以l o gab或l o gab(舍去),所以ab,即ab,所以ab(b)bbbba,所以ab,bb,所以b(b舍去),a A 当x,即x时,axa

14、,为常数,此时f(x),即点P的坐标为(,)故选:A C 由于ya(x)过点(,),故D选项错误当a时,yax过(,)且单调递增;ya(x)过点(,)且单调递增,过(,a)且a所以A选项错误当a时,yax过(,)且单调递减,ya(x)过点(,)且单调递增,过(,a)且a所以B选项错误综上所述,正确的选项为C D 不妨设xx,作出yx与y|l o gx|的图象,如图由图可知xx,则x|l o gx|l o gx,x|l o gx|l o gx,那么l o gxl o gxl o g(xx)xx则xx 作出y|l o gax|(a)的大致图象如图所示,令|l o gax|得xa或xa,又aa()a

15、aa(a)(a)a,故aa,所以nm的最小值为a,a D 令f(x)exx,则f(x)在R上单调递增,因为eabeba,所以eaaebb,则f(a)f(b),所以ab,即ab故选D Ba时,a,当a时,f(x)l gxx,f(x)f(x),函数f(x)l gxa()为奇函数;当a时,f(x)l gxx,f(x)f(x),函数f(x)l gxa()不是奇函数,a时,f(x)不一定是奇函数,当f(x)是奇函数时,由f()可得a,a,所 以“a”是“函 数f(x)l gxa()为奇函数”的必要不充分条件,故选B Axt为增函数,x,y l o g为增函数,l o g l o g l o g,zc o

16、 s,即x,y,z,zyx A B 设l o gm l o gnt,则tm,tn,当t时,mn,故()正确;当t时,nm,故()正确;当t时,nm,故()正确 由f(x)是R上的偶函数,故f(x)图象关于直线x对称,所以函数f(x)图象关于直线x对称,即f(x)f(x),又因为函数f(x)是R上的奇函数,所以f(x)f(x),所 以f(x)f(x),所以f(x)f(x)f(x),所以函数f(x)是 以为 周 期 的 周 期 函 数,故fl o g()f(l o g)f(l o g)f(l o g l o g)fl o g (),因为l o g (,),所以由奇函数性质得fl o g ()f l

17、 o g ()fl o g ()l o g ,所以fl o g()素养提升练 高分必抢 C 若a则 三个 函数 在第 一 象 限 都 是 增 函 数 且f(x)过(,),f(x)过原点,f(x)过(,),故此时C符合要求,故选C Ax,x l o gl g l g l gl gl g Cf(x)|x|(x)(x)|x|xxf(x),f(x)的图像关于直线x对称,y|x|和yxx都在(,)上是减函数,在(,)上是增函数,f(x)在(,)上为减函数,在(,)上为增函数又f(l o ga)f(),|l o ga|,即l o ga或l o ga,解得a或a B 设喷气式飞机起飞时声音强度和一般噪声时声

18、音强度分别为x,x,则f(x)l gx ,解得x,f(x)l gx ,解 得x,所以xx ,因此喷气式飞机起飞时声音强度约为一般噪声时声音强度的 倍 Bx,x,),xx时,都有(xx)f(x)f(x),所以函数在,上单调递增,又函数f(x)满足f(x)f(x),所以函数为奇函数,且f(),所以f(x)在(,)上单调递增,l o g l o g,又 l o g,则l o gl o g,所以fl o g()f(l o g)f()A 当x(,)时,x(,),f(x)(x)(x)xx,因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)f(x)xx,即f(x)xx因此,f(x)xx,x,xx,x作出f(x)

19、的图象如下:f(x)在R上单调递增,又f(),由f(l o gm)f()得:l o gm,解得:m 微点特训数学(新)B 由题意,f(x)l o g(x),xx,x,所以f(x)l o g(x),x(x),x,当x时,f(x),即l o g(x),解得x,所以x;当x时,f(x),即(x),解得x,所以x;综上,f(x)时,x的取值范围为(,)Bf(x)(x)x,令tx,则f(t)tt(t),设g(x)值域为A,因为对任意xR都存在xR使f(x)g(x),所以(,A,设ya xx的值域为B,则(,B,显然当a时,上式成立;当a时,a解得a,当a时,ym a xa a即a恒成立,综上a,故选B.

20、A B D 对A:f(xy)xyxyf(x)f(y),符合;对B:f(x y)l o g(x y)l o gxl o gyf(x)f(y),符合;对C:不满足任何一个等式;对D:f(xy)k(xy)k xk yf(x)f(y),符合 A D 对A,B,因为f(x)l g|x|(),故f(x)l g|x|(),又f(x)l g|x|()l g|x|(),故f(x)为偶函数故A正确,B错误对C因为f(x)l g|x|()l gx (),x l g x(),x 当x(,)时,因为yx在x(,)为减函数,故yx为减函数,所以y l gx()在区间(,)为减函数故C错误对D,因为当x(,)时,y l g

21、x()为减函数故当x时,y故f(x)没有最小值故D正确 x y,x,y,l gx l gy,l gx,l gy,所l gxl gyl gxl gy()(l gx l gy)l gyl gxl gxl gyl gyl gxl gxl gy,当且仅当l gyl gxl gxl gy,即x 时取“”,(),因为f(x)的定义域为R,所以a xx 恒成立,若a,则x,解得x,不满足题意;若a,则a aa综上所述,a的取值范围是,()若f(x)的值域为R,则ya xx 可取遍所有正数,若a,yx 可取遍所有正数,满足题意;若a,则a aa综上所述,a的取值范围是,真题体验练 实战抢分 C 考查比较大小问

22、题,主要利用对数函数单调性,属于基础题以c为中间量,构造增函数y l o gx和y l o gx,l o g l o g l o g l o g 设g(x)axx,由已知知g(x)axx为奇函数,则g(x)g(x)(a)(xx),因此a微点特训 函数的图象考点对点练 保分必拿 A 把yf(x)的图象x轴下方的部分翻折到上方,上方部分保持不变可得y|f(x)|的图象,所以甲;把yf(x)的图象y轴左边的部分去掉,y轴右边的部分保持不变,同时把y轴右边的图象对称到y轴左边,可得yf(|x|)的图象,所以乙;把yf(x)的图象y轴右边的部分去掉,y轴左边的部分保持不变,同时把y轴左边的图象对称到y轴

23、右边,可得yf(|x|)的图象,所以丙;作yf(x)的图象关于y轴的对称图象,可得yf(x)的图象,所以丁 A 由图可知,一班成绩始终高于年级平均水平,整体成绩比较好,故正确;二班的成绩有时高于年级整体成绩,有时低于年级整体成绩,特别是第六次成绩远低于年级整体成绩,可知二班成绩不稳定,波动程度较大,故正确;三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平,只有第六次高于年级整体成绩,但在稳步提升,故正确 错误结论的个数为 D 由题意可知,P A c o sx,P B s i nx,所以P AP B c o sx s i nx s i nx(),x,(),所以yf(x)s i n(x),x,所以x,所以 s

24、 i n(x),所以函数yf(x)图象大致为D Cf(x)ex()s i nxexexs i nx,则f(x)exexs i n(x)exex(s i nx)exexs i nxf(x),则f(x)是偶函数,图象关于y轴对称,排除B,D,当x时,f()ees i n,排除A B 令f(x),即m xn,则m xl o gn,即xml o gn,由图可知,ml o gn,故m时n,m时n,排除A、D;当m时,易知ym x是减函数,且当x时,y则f(x)n,C明显不合题意,排除C Af(x)的定义域(,)(,),且f(x)f(x),所以f(x)是奇函数,排除C和D,因为f(),所以排除B故选A A

25、 B C 在坐标平面内画出函数yf(x)的图象,将函数yf(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数ff(x)的图象,因此A正确;作函数yf(x)的图象关于y轴的对称图形,得到yf(x)的图象,因此B正确;yf(x)在,上的值域是,因此y|f(x)|的图象与yf(x)的图象重合,C正确;yf(|x|)的定义域是,且是偶函数,当x时,yf(|x|)x,这部分的图象不是一条线段,因此选项D不正确,故选A B C Cf(x)的图象如图所示当x(,)时,由x f(x)得x(,);当x(,)时,由x f(x)得x 当x(,)时,由x f(x)得x(,)故x(,)(,)Df(x)aexb x,由图可知,f()a;当x时,ex,x,但f(x),则b Dg(x)xxx,由此g(x)的图象关于点(,)中心对称,yf(x)是奇函数f(x)f(x),由此f(x)f(x),所以f(x)关于点(,)中心对称,xxx,yyy,所以xxxyyy,故选D微点特训数学(新)