辽宁省2023-2024学年高三上学期11月期中大联考数学试题含答案.pdf

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1、#QQABJYYQoggAABIAAQhCUwUCCAEQkAACCAoGwBAEMAABwRNABAA=#QQABJYYQoggAABIAAQhCUwUCCAEQkAACCAoGwBAEMAABwRNABAA=#QQABJYYQoggAABIAAQhCUwUCCAEQkAACCAoGwBAEMAABwRNABAA=#QQABJYYQoggAABIAAQhCUwUCCAEQkAACCAoGwBAEMAABwRNABAA=#数学 全解全析及评分标准 第 1 页（共 11 页）2024 届高三 11 月大联考（新课标 II 卷）（辽宁专用）数学全解全析及评分标准 一、选择题：本题共 8 小题，每小

2、题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。1B【解析】解不等式(2)(1)0 xx，得12x，所以集合(1,2)A.又233x，所以233log(3)log 31yx，所以集合1,)B，所以1,2)AB.故选 B 2C【解析】由212nnnaa a，知当0na 时，数列na不是等比数列；反之，当数列na为等比数列时，必有212nnnaa a，所以“2*12()nnnaa anN”是“数列na为等比数列”的必要不充分条件.故选 C 3A【解析】由题意，得()13f，所以2,6kk Z，所以52,6kkZ.又0，所以56故选 A 4B【解析】设()ux ax

3、，因为euy 在定义域内是增函数，所以()ux ax在(1,2)上单调递增，所以22a，所以4.a 故选 B 5D【解析】由题意，知sincos7sin()7sinCCABC，所以cos6sinCC又22sincos1CC，0C，所以7in3s37C，所以由正弦定理，得2 sin4 3737ABRC(R为ABC外接圆的半径).故选 D 6C【解析】如图，连接,AC PC 因为正方形ABCD的边长为2，点P在边AD上，所以设APAD，其中01，所以)()+APACPCAP ACAP PCAP ACAPPDAP ACAP PD AP DCDC 2|cos45(1)|222(|120)ADACADA

4、D 22242(1)22 ，当1，即P点与D点重合时，等号成立，故()APACPC 的最大值为2故选 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C A B D C B D BD ABD ACD CD#QQABJYYQoggAABIAAQhCUwUCCAEQkAACCAoGwBAEMAABwRNABAA=#数学 全解全析及评分标准 第 2 页（共 11 页）7B【解析】如图，设1,O O分别为正四棱台1111ABCDABC D上、下底面的中心，过点1A作1AGBA于点G由题意，知正四棱台1111ABCDA BC D的侧面积1()2SCCh下上，其中CC下上，分别为上底面与下底

5、面的周长，h为正四棱台1111ABCDA BC D的斜高，所以1(2444)122Shh，所以1236h，所以3h，即13AG.又4212AG，所以2222113110AAAGAG 连接11O A,OA,1OO,过点1A作1A HOA于点H，则112O A，2 2OA，所以AHOAOH112OAO A,所以正四棱台1111ABCDABC D的高22111022 2AHAAAH，所以侧棱与底面所成角的正切值112 2tan22A HA AOAH.故选 B 8D【解析】设()sin0,(),2f xxx x，则()1cos0fxx，所以()f x在(0,2)上单调递增，所以当2()0,x时，()0

6、f x，即sinxx，所以21.11.21sin1.21sinaab 设21e)0)2(1(xxxgxx ，则 e(1)xg xx，令e10)(xh xx x，则e1(0)xh x ，所以()h x即()g x在(0,)上单调递增，所以()(0)0g xg，所以()g x在(0,)上单调递增，所以()(0)0g xg，所以0(0.2)g，即0.221e10.20.21.221.212ca，所以cab.故选 D 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9BD【解析】因为2

7、023ii(1i)1i1i22z，所以z的共轭复数1i2z，z的实部为12，z的虚部为12，22112|()(),222z 复数z在复平面内对应的点11(,)22在第四象限故选 BD#QQABJYYQoggAABIAAQhCUwUCCAEQkAACCAoGwBAEMAABwRNABAA=#数学 全解全析及评分标准 第 3 页（共 11 页）10ABD【解析】如图，分别取正方体1111ABCDABC D的棱111,AA BC C D的中点,M N H，再与点,G E F连线，构成正六边形，且正六边形所在平面GEF与平面11AC B平行，且与直线1B D垂直，故 A，B 正确；如图，因为1,MNE

8、F ABGM，所以直线1AB与直线EF所成的角等于直线GM与直线MN所成的角，即GMN.又因为六边形EMGNFH为正六边形，所以MNG是顶角为120的等腰三角形，所以30GMN，则所求角的正弦值为12，故 C 错误；由图知11111ABBCB B，所在直线与平面11AC B所成的角均相等，故正方体1111ABCDABC D的十二条棱所在直线与平面GEF所成的角均相等，故 D 正确.故选 ABD.11ACD【解析】因为()ln|sin()|ln|sin|()fxxxxxf x，定义域为|0 x x，所以()f x是偶函数，故 A 正确；当3()2x，时，()lnsinf xxx，则1()cosf

9、xxx，1()10f ，故 B 错误；在同一直角坐标系中作出ln|yx和|sin|yx的图象如图所示，由图象知 C 正确；1()ln662f，由ln1xx，得41ln11,6663 所以115()6326f ，故 D 正确 故选 ACD 12CD【解析】圆的三条切线不可能交于一点，故 A 错误；圆222440 xyxy的标准方程是22(1)(2)9xy，由三条切线123,l l l所围成的正三角形的边长可能是6 3（此时圆为正三角形的内切圆）或2 3（此时圆为正三角形的旁切圆（指与三角形的一边及其他两边的延长线相切的圆）,故 B 错误,C 正确；#QQABJYYQoggAABIAAQhCUwU

10、CCAEQkAACCAoGwBAEMAABwRNABAA=#数学 全解全析及评分标准 第 4 页（共 11 页）当1l与2l平行时，3l夹在1l与2l之间的线段长度的最小值等于圆的直径 6，故 D 正确.故选 CD.三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。132【解析】由(1,3)b，得|2b.由|2ab，得2224aa bb，即2|2|0aa.又a是非零向量，所以|2a故填 2 14 32 2【解 析】方 法 一：因 为1xyy，所 以10,1yx所 以01x，所 以12yx1212211()()332 2111xxxxxxxxxx，当 且 仅 当211xxxx，即21x

11、 时取等号，此时212y .故填32 2 方法二：因为1xyy，所以11xy，所以12yx1()(112322)32y xxyyxyx，当且仅当12xyxy，即22xy，此时221,12xy时取等号.故填32 2 153【解析】如图，取BC的中点E，连接,PE AE，由对称性知，球心O一定在平面PAE内，易知球心O在正四面体ABCD的高DG上，其中G为ABC的外心.又OAOP，所以取AP的中点F，过点F作AP的垂线，与DG的交点即为球心O.由题意知正四面体ABCD的棱长为 3，易求得6,3DGAG.设四面体PABC外接球的半径为 R.易证RtRtDFODGA，所以DFDGFOGA.又2221F

12、OOPPFR，所以22631R，所以3.R 故填3 1632【解析】因为()yf x满足(2)()2,fxf x所以()yf x的图象关于点(1,1)中心对称.当(1,2)x时，2(0,1),x2()2(2)32xf xfx.又()yf x的图象关于直线yx 对称，所以当(2,1)x 时，易证()yf x的图象上任意一点(,)P x y关于直线yx 的对称点(,)yx也在()yf x的图象上，#QQABJYYQoggAABIAAQhCUwUCCAEQkAACCAoGwBAEMAABwRNABAA=#数学 全解全析及评分标准 第 5 页（共 11 页）所以232yx，所以2log(3)2yx,所

13、以当(2,1)x 时，2()log(3)2f xx，所以3(23).2f 故填32.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）【解析】（1）由14a，21nnaa，知0na，所以1ln2lnnnaa，（2 分）所以1ln2lnnnaa.又1ln2ln20a，（3 分）所以数列lnna是等比数列（4 分）（2）由（1）知数列lnna是以2ln2为首项，2 为公比的等比数列，所以ln2 ln2nna，所以ln2ln2nnnnnab，（6 分）所以212222nnnS，所以231112122222nnnnnS，（8 分），得231111111

14、212222222nnnnnnS，所以222nnnS（10 分）说明：8 到 10 分之间，若学生能用错位相减得到23111111222222nnnnS，可得 1 分.18（12 分）【解析】（1）由题意，知sinsincos2sincostansinCCBACBB，（1 分）所以2sinsinsincoscossinABBCBC，（2 分）即2sinsinsin()sinABBCA.（3 分）由sin0A，得1sin.2B（4 分）因为0B，所以6B 或56B （5 分）（2）方法一：因为ABC为锐角三角形，由（1）知,6B 所以32A，32C.（6 分）#QQABJYYQoggAABIAA

15、QhCUwUCCAEQkAACCAoGwBAEMAABwRNABAA=#数学 全解全析及评分标准 第 6 页（共 11 页）由余弦定理的推论，得2223cos22acbBac，（7 分）所以22342acacac，（8 分）所以423ac，当且仅当ac时取等号，（9 分）此时512AC，符合题意，（10 分）所以ABC的面积1141sin2322223ABCSacB，（11 分）所以ABC面积的最大值为23（12 分）方法二：因为ABC为锐角三角形，由（1）知,6B 所以32A，32C（6 分）由正弦定理24sinsinsinsin6abcABC，得4sin,4sinaA cC，（8 分）所以

16、ABC的面积2115sin4sin4sinsin4sinsin()2sincos2 3sin226ABCSacBACBAAAAA（9 分）sin23cos232sin(2)3233AAA，（10 分）当且仅当232A，即512AC时取等号，（11 分）所以ABC面积的最大值为23（12 分）说明：第（1）问中，不写sin0A不扣分，若最后只得到6B 或56B 中的一个答案，扣 1 分.第（2）问中若没有判断角 A，C 的取值范围，扣 1 分.19（12 分）【解析】（1）因为PA 平面ABC，BC 平面ABC，所以PABC.（1 分）因为90ABC，所以BCAB.又PAABA，所以BC 平面P

17、AB.（2 分）因为BC 平面PBC，所以平面PBC平面PAB.（3 分）又,ADPBAD 平面PAB，平面PAB平面PBCPB，所以AD 平面PBC.（4 分）又PC 平面PBC，所以.ADPC（5 分）（2）方法一：过点 B 作BFAP，由题意知,BC BA BF两两垂直，所以以,BC BA BF 的方向分别为x轴、#QQABJYYQoggAABIAAQhCUwUCCAEQkAACCAoGwBAEMAABwRNABAA=#数学 全解全析及评分标准 第 7 页（共 11 页）y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，设00(,0,0),(0,0)C xAy，其中000,0 x

18、y，22004xy，则0(0,2)Py.（6 分）设平面PAC的法向量1111(,)x y zn，00(,0)ACxy，(0,0,2)PA，由1100ACPA nn，得10101020 x xy yz，解得10z，令10,xy则10yx，所以100(,0)yxn是平面PAC的一个法向量.（8 分）设平面PBC的法向量2222(,)xyzn，0(,0,0)BCx，0(0,2)BPy，由220,0BCBP nn得020220,20 x xy yz解得20 x，令22,y 则20zy，所以20(0,2,)yn是平面PBC的一个法向量.（10 分）由题意，知122|cos,|2n n，所以022200

19、02224xxyy.（11 分）又22004xy，解得02 33y（负值舍去），所以2 3.3AB（12 分）方法二：设PC的中点为E，连接,AE DE，如图.因为APAC，所以AEPC，（6 分）结合（1）中,ADPCADAEA，得PC 平面ADE，所以PCED，（7 分）所以AED为二面角APCB的平面角.（8 分）由（1）知AD 平面PBC，DE 平面PBC，所以ADDE，（9 分）所以2sin2ADAEDAE.又222AEAP，所以212ADAE.（10 分）在RtADP中，2,1,APADADPD所以30,APD（11 分）所以在RtPAB中，2 3tan.3ABAPAPB（12 分

20、）#QQABJYYQoggAABIAAQhCUwUCCAEQkAACCAoGwBAEMAABwRNABAA=#数学 全解全析及评分标准 第 8 页（共 11 页）说明：第一问：1.指出“PABC”得 1 分，没有写“BC 平面ABC”不扣分；2.得到“BC 平面PAB”得 1 分，没有写“PAABA”不扣分；3.得出“平面PBC平面PAB”得 1 分，没有写“BC 平面PBC”不扣分；4.得出“AD 平面PBC”得 1 分，没有写“AD 平面PAB，平面PAB平面PBCPB”不扣分；5.得出“ADPC”得 1 分，没有写“PC 平面PBC”不扣分；或者另解：因为AD 平面PBA，所以BC AD

21、.（3 分）又,ADPBPBBCB，所以AD 平面PBC.（4 分）又PC 平面PBC，所以.ADPC（5 分）第二问：方法一：1.建系设点得 1 分；2.得到“平面PAC的一个法向量是00(,0)yx”得 2 分；3.得出“平面PBC的一个法向量是0(0,2,)y”得 2 分；4.代入得出“02220002224xxyy”得 1 分；5.得出“2 33AB”得 1 分.方法二：1.指出“AEPC”得 1 分；2.得到“PCED”得 1 分；3.指出“AED为二面角APCB的平面角”得 1 分；4.得出“ADDE”得 1 分；5.得出“1AD”得 1 分；6.得出“30APD”得 1 分；7.

22、得出“2 33AB”得 1 分.#QQABJYYQoggAABIAAQhCUwUCCAEQkAACCAoGwBAEMAABwRNABAA=#数学 全解全析及评分标准 第 9 页（共 11 页）20（12 分）【解析】（1）设圆 C 的标准方程为222()()(0,0,0)xaybrabr.由题意，知圆心(0,0)O.因为直线 OC 与直线4:0 xyl平行，所以直线:OC yx，所以ba.（1 分）因为圆 O：222xy与圆 C 外切，所以222abr，即22ar.（2 分）因为圆 C 与直线4:0 xyl相切，所以|4|2aar，解得2 2r，（3 分）把2 2r 代入22ar，得3a，（4

23、 分）所以圆 C 的标准方程为22(3)(3)8xy.（5 分）（2）设点 C 关于直线l的对称点为(,)C m n，由CCl及CC的中点33(,)22mn在直线l上，得313334022nmmn，（6 分）解得71mn，所以(7,1)C.（7 分）由对称性得|PCPC，所以|APPCAPPCAC，当且仅当,A P C三点共线时取等号，（8 分）所以直线AC的斜率为1 117(1)4 ，（9 分）所以直线AC的方程为11(1)4yx ，即430 xy，（10 分）所以圆心 O 到直线AC的距离2233 171714d，（11 分）所以210 17|2 217ABd.（12 分）说明：根据评分标

24、准酌情给分.21（12 分）【解析】（1）由1112(1)2(1)nnnnnnacaccc两边同时除以1nncc，得1221nnbb，（2 分）所以11,2nnbb所以数列 nb为等差数列，公差为12，又112b，所以2nnb，（4 分）#QQABJYYQoggAABIAAQhCUwUCCAEQkAACCAoGwBAEMAABwRNABAA=#数学 全解全析及评分标准 第 10 页（共 11 页）所以114114()(1)1nnb bn nnn，（5 分）所以1111114(1)4(1)422311nTnnn（6 分）（2）因为2nnb，所以2(1)nnacn，（7 分）所以1112(1)2(

25、1)22(1)21(1)nnnnnnaananaccnnn n，（8 分）令1()(1)1(0nnf ananaa，且1)a，（9 分）则11()(1)(1)(1)(1)nnnfan nannan naa，当(0,1)a时，()0fa，当(1,)a时，()0fa，所以()f a在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，所以()(1)0f af（11 分）所以10nncc，即1nncc，所以数列 nc为递增数列（12 分）说明：第（1）问中，由1112(1)2(1)nnnnnnacaccc两边同时除以1nncc，但没有整理出1221nnbb，也可得 1 分；若nT表达式写正确，但没有整理出1

26、4(1)1nTn不扣分，但nT表达式整理错误要扣 1 分.第（2）问若写出了1nncc的表达式，但化简错误不得分，化简正确但未通过正确步骤分析出10nncc而直接得出结论，扣 3 分.22（12 分）【解析】（1）对()f x求导，得2()lnxfxxx，所以(1)1f （1 分）又(1)0f，所以曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程为1yx ，所以()1g xx （2 分）令1()()()(2)ln1,0h xf xg xxxxx，则12()ln2,hxxx令1()0,hx得1x，（3 分）所以当01x时,1()0,hx1()h x单调递减,当1x 时,1()0,hx1()h x单

27、调递增,所以11()(1)0h xh,（4 分）所以对任意正实数x，都有()()f xg x（5 分）（2）易知曲线()yf x在点(2,(2)f处的切线方程为(2)ln2yx.(6 分)令()(2)ln2s xx，下证当0 x 时，()()f xs x，令2()()()(2)(lnln2),0h xf xs xxxx，当02x时，20,lnln20,xx所以2()0h x，即()()f xs x 当2x 时，20,lnln20,xx所以2()0,h x 即()()f xs x#QQABJYYQoggAABIAAQhCUwUCCAEQkAACCAoGwBAEMAABwRNABAA=#数学 全解

28、全析及评分标准 第 11 页（共 11 页）综上，当0 x 时，()().f xs x（7 分）易知22()lnln1xfxxxxx在(0,)上单调递增，且(1)10,(2)ln20,ff 由函数零点存在定理，得()fx在(1,2)上存在唯一零点0 x,即002ln1xx，0(1,2)x.（8 分）当0(0,)xx时，()0fx，当0(,)xx时，()0,fx 所以()f x在0(0,)x上单调递减，在0(,)x 上单调递增，min000()()(2)lnf xf xxx.（9 分）又002ln1xx，所以min000024()(2)(1)4()0,f xxxxx 当01x时，()(2)ln0

29、f xxx，当01xx时，()(2)ln0f xxx，当02xx时，()(2)ln0f xxx，当2x 时，()(2)ln0f xxx，根据 以 上信息 作出(),(),()f x g x s x的大致图象，如图所示.所以()f xm在0(0,)x和0(,)x 上各有一个实数根.（10 分）由已知,得,a b为方程()f xm的两个不同实根，不妨设,ab作直线ym与曲线()yf x交于,C D两点,与直线(),()yg xys x分别交于,E F两点，可得,C D E F的横坐标分别为,CDxa xb，1Exm，2ln2Fmx，（11 分）因为()()()Eg xf ag a，且()yg x在R上单调递减，所以,Exa 同理，()()()Fs xf bs b，且()ys x在R上单调递增，所以Fxb，所以1|(1)1ln2FEbaxxm（12 分）说明：第（1）问，“1()()()(2)ln1,0h xf xg xxxxx”中未写定义域0 x，不扣分.第（2）问，直接写出()()f xs x，而没有过程，得 1 分，其他根据评分标准判分.#QQABJYYQoggAABIAAQhCUwUCCAEQkAACCAoGwBAEMAABwRNABAA=#