安徽省“皖中联考”2023-2024学年高二上学期期中质检数学试题含答案.pdf

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1、学科网（北京）股份有限公司启用前启用前“皖中联考皖中联考”20232024 学年高二（上学期）期中质检学年高二（上学期）期中质检 数学数学一一选择题选择题：本题共：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的合题目要求的.1.直线cos45y=的倾斜角为（）A.0B.90C.135D.不存在2.已知向量()()3,1,2,1ambn=，若ab，则（）A.1mn=B.1mn=C.1mn=D.1nm=3.已知,A B分别为椭圆222:1(06)6xyEmm+=的左右顶点，点C在E上，若A

2、BC是一内角为120的等腰三角形，则m=（）A.22B.1C.2D.24.关于圆220 xyDxEyF+=有四个命题：点()1,3A在圆内；点()2,3B在圆上；圆心为()1,0；圆的半径为 3.若只有一个假命题，则该命题是（）A.B.C.D.5.如图是元代数学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台1111ABCDABC D，若112ABAB=，点M在1BD上，且13BMD M=，则CM=（）A.1335488AAABAD+B.1335448AAABAD+C.1335448AAABAD D.1335488AAABAD+学科网（北京）股份有限公司6.点()1,2P 到直线()()()

3、:121 20lmxmymm+=R的最大距离为（）A.2 2B.5C.2D.27.在如图所示的结构对称的实验装置中，底面框架ABCD是边长为 2 的正方形，两等腰三角形框架,ADE BCF的腰长均为3,EF框架ABCD所在的平面，1EF=，活动弹子,M N分别在,EF AC上移动，,M N之间用有弹性的细线连接，且32MFAN=始终成立，则当MN的长度取得最小值时，MF=（）A.12 B.1017C.2134D.11178.若圆221:()450Cxyax+=与圆222:()430Cxybx+=相切，则22ab+的最小值为（）A.22B.2C.2D.2 2二二多选题多选题：本题共：本题共 4

4、小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.已知()()()0,1,2,0,1,1ABC，则（）A.直线AB的方程为220 xy+=B.点A到直线BC的距离为102C.ABC为等腰直角三角形D.ABC的面积为 510.已知曲线22:112xyCmm+=+为椭圆，则（）A.21m 的左右焦点，过y轴上的点A与2F的直线与C交于点B，且B不在线段2AF上，12290,23AFBAFBF=，则C的

5、离心率为_.四四解答题解答题：本题共：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.17.（10 分）已知ABC的边AB上的高所在的直线方程为230 xy+=，角C的平分线所在的直线方程为()40,0,1xyE+=为边AC的中点.（1）求边AB所在的直线方程；（2）求点B的坐标.18.（12 分）如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PA平面,2,3,2ABCD ABPAPMMB=，1,4PNND PHPA=.（1）证明：,C M H N四点共面；（2）求点P到平面MNC的距离.19.（12 分）如图，直三棱柱111ABCA

6、BC的底面为等边三角形，2,ABM N=分别为1,BC AC的中点.学科网（北京）股份有限公司 （1）证明：MN平面11ABC；（2）若三棱锥11AABC的体积为2 33，求平面1ABC与平面11ABC夹角的余弦值.20.（12 分）在一公园内有一如图所示的绿化空地，120,AOBOA OB=为两条甬路（宽度忽略不计，均视作直线），在点E处建一个八角亭，点E到直线OA的距离为50 3m11，到直线OB的距离为25 310 3m11+，过E再修一条直线型的甬路（宽度忽略不计），与直线,OA OB分别交于,M N两点，其中30mOM=，现建立如图所示的平面直角坐标系，请解决下面问题：（1）求,M

7、N之间两路的长；（2）在OMN内部选一点F，建一个可自动旋转的喷头，喷洒区域是一个以喷头F为圆心的圆形，喷洒的水不能喷到OMN的外面，求喷洒区域的最大面积，并求此时圆F的方程.21.（12 分）如图，在菱形ABCD中，2,60,ABDABM N=分别为,BC CD的中点，将MNC沿MN折起，使点C到点P的位置，6AP=.学科网（北京）股份有限公司 （1）证明：平面APN 平面PMN；（2）若Q为线段AB上一点，求PQ与平面APM所成角的正弦值的最大值.22.（12 分）已知椭圆2222:1(0)yxCabab+=经过33,122aPQa两点.（1）求C的方程；（2）设A为C的上顶点，过点()0

8、,4B且斜率为k的直线与C相交于,E F两点，且点E在点F的下方，点M在线段EF上，若2AMFABM=，证明：BEMFBFEM=.参考参考答案及解析答案及解析 一一选择题选择题 1.A 【解析】因为2cos452y=平行于x轴，所以直线cos45y=的倾斜角为0.故选A项.2.D 【解析】由ab，得3121mn=，解得2,mn=3，所以1nm=.故选 D 项.3.C 【解析】由椭圆的对称性可知，C为E的上或下顶点，且120ACB=，如图所示.不妨设C为E的上顶点，所以6tan603m=，则2m=.故选 C 项.学科网（北京）股份有限公司 4.D 【解析】若正确，则2,0,13230,DEDEF

9、=+=所以22(1)18xy+=，显然点()1,3A在圆内，正确，圆的半径为3 2，错误，符合题意；若正确，则圆的方程为22(1)9xy+=，显然点()2,3B不在圆上，错误，点()1,3A在圆外，错误，不合题意；其他两命题组合无法确定圆的方程，无法对剩余命题判断真伪.故选 D 项.5.C 【解析】因为1111112ADAAADAAAD=+=+，所以11112BDADABAAADAB=+.又13BMD M=，所以1133334484BMBDAAADAB=+，所以11333335484448CMBMBCBMADAAADABADAAABAD=+=.故选 C 项.6.B 【解析】直线l的方程()()

10、()121 20mxmymm+=R 可化为()()2210 xymxy+=，由20,210,xyxy+=+=解得1,1,xy=则直线l恒过定点(1,1)Q，所以点()1,2P 到直线l的最大距离为22(1 1)(2 1)5+=.故选 B 项.7.C 【解析】取,BC AD的中点分别为,H G，连接GH，与AC交于点O，则GHBC，连接,FH EG，则FHBC，又GHFHH=，所以BC 平面EFHG，又BC 平面ABCD，所以平面ABCD 平面EFHG.以O为坐标原点，过O作平行于AD的直线为x轴，在平面EFHG内过O作垂直于平面ABCD的直线为z轴，OH所在直线为y轴，学科网（北京）股份有限公

11、司 建立如图所示的空间直角坐标系.设()01MFmm=，则3 22ANm=，在等腰三角形BCF中，3 12FH=，易知梯形EFHG为等腰梯形，过F作FQGH，则222 17(2)22FQ=，则17330,1,1,02222MmNmm，则35371,2222MNmm=，所以22223537172115222222MNmmmm=+，当2134m=时，MN 取得最小值.故选 C 项.8.B 【解析】由题得圆221:(2)()9Cxya+=，圆2C：22(2)()1xyb+=.当圆1C与圆2C外切时，22(22)()3 14ab+=+=，所以2()16ab+=，又222282abab+=，当且仅当ab

12、=时等号成立，所以222 2ab+；当圆1C与圆2C内切时，22(22)()3 12ab+=，所以2()4ab+=，又222222abab+=，当且仅当ab=时等号成立，所以222ab+.综上可知，22ab+的最小值为2.故选 B 项.二二选择题选择题 学科网（北京）股份有限公司 9.ABC 【解析】直线AB的方程为121xy+=，整理得220,Axy+=项正确；直线BC的斜率为()1 01123k=，所以直线BC的方程为()123yx=+，即320 xy+=，则点A到直线BC的距离为2203 1210,B213d+=+项正确；易知0 111 1,22021 0ABACkk=，则1ABACkk

13、=，所以90BAC=，又2222(0 1)(20)5,(1 1)(1 0)5ABAC=+=+=，所以ABAC=，所以ABC为等腰直角三角形，C项正确；由上述可知，ABC的面积为155522=，D 项错误.故选ABC项.10.BD 【解析】由题意可知10,20,12,mmmm+解得122m 或11,A2m+，所以122m ，则3022m+，所以0226m+学科网（北京）股份有限公司 由题意可知002250 350 3331125 31110 3211(3)1xx+=+，解得020 x=，所以50 320,11E，又()30,0M，则5 311MEk=，所以MN的方程为()5 33011yx=，由

14、()3,5 330,11yxyx=解得25,25 3,xy=则()25,25 3N，故,M N之间甬路的长为MN=22(3025)(025 3)70m+=.（2）由（1）可知，22(25)(25 3)50ON=+=，当喷洒区域面积最大时，圆F与直线,OA OB MN均相切，易知OMN的内切圆F的圆心在AOB的平分线上，则在直线3yx=上.设圆心(),3(0)F aaa，则半径3ra=，由()11sin120322OMONOMONMNa=+，得()13130 503050703,222a=+所以5a=，因此喷洒区域的最大面积2275 mSr=.则圆心()5,5 3F，半径5 3r=，学科网（北京

15、）股份有限公司 所以圆F的方程为22(5)(5 3)75xy+=.21.（1）证明：连接,AC BD AC与MN交于点O，连接OP，则ACBD，又,M N分别为,BC CD的中点，所以MNBD，则ACMN，因为,MNOA MNOP OAOPO=，所以MN 平面APO，又AP 平面APO，所以MNAP，在菱形ABCD中，2,60ABDAB=，则在ADN中，由余弦定理得AN=222cos120ADDNAD DN+14 1 2 2 172+=，因为1PNCN=，所以222APPNAN+=，则APPN，又PNMNN=，所以AP 平面PMN，因为AP 平面APN，所以平面APN 平面PMN.（2）解：以

16、O为原点，以,OA OM所在直线分别为,x y轴，过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则3 331,0,0,1,0,0,0222ABM.由（1）可知，平面APO 平面ABCD，易知3,06P，63 学科网（北京）股份有限公司 所以3 3 14 36,0,0,2233AMAP=，()3,1,0AB=.设平面APM的法向量为(),mx y z=，则0,0,AM mAP m=即3 310,224 360,33xyxz+=+=令1x=，则()1,3 3,2 2m=.设()()3,001AQAB=，则4 363,33PQAQAP=，设PQ与平面APM所成角为，显然当0=时

17、，sin0=，不满足题意，所以01，所以24k，1212222436,3434kxxx xkk+=+.由2AMFABM=，得2ABMABM=BAM+，所以ABMBAM=，则AMBM=，所以点M在线段AB的垂直平分线1y=上，即01y=.易知12BExBFx=，设EMMF=，所以()()01012020,xx yyxxyy=，则()0120 xxxx=.又()00,M xy在直线EF上，所以004ykx=，则2120122362237234242434x xkxkkkxxk+=+，所以()012122xxxx x+=，则20121210 x xx xx xx x=，整理得()101202xxxxxx=，由得12xx=，所以12xEMMFx=，则12EMxMFx=，学科网（北京）股份有限公司 所以12BEEMxBFxMF=，故BEMFBFEM=.