(12.11)--能量法材料力学材料力学.pdf

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1、基本变形的刚度计算基本变形的刚度计算 轴向拉压轴向拉压 扭转变形扭转变形 弯曲变形弯曲变形 lEAlFNPGITlEI)x(M 抗变形刚度杆件长度内力强度理论强度理论 解决了组合变形的强度问题解决了组合变形的强度问题 组合变形的刚度问题怎么办组合变形的刚度问题怎么办 对于组合变形，能否只求出若干对于组合变形，能否只求出若干控制截面控制截面的变形的变形，避免求整个变形曲线，避免求整个变形曲线 弯曲变形弯曲变形 积分法求变形积分法求变形得到整个挠曲线得到整个挠曲线 组合变形的刚度计算组合变形的刚度计算 1313-1 1 概述概述 1313-2 2 杆件应变能的计算杆件应变能的计算 1313-3 3

2、 应变能的普遍表达式应变能的普遍表达式 1313-4 4 互等定理互等定理 1313-7 7 莫尔积分莫尔积分（公式推导公式推导）载荷载荷 一方面：一方面：力做功；力做功；因变形而具有因变形而具有做功的能力做功的能力，另一方面：另一方面：储存了储存了应变能应变能。13-1 概述概述 P 相应位移相应位移 P0 l0略去动能及其它能量损失；略去动能及其它能量损失；功能原理功能原理 能量守恒：能量守恒：对变形体对变形体都适用都适用普遍原理普遍原理。每一瞬间，变形体均每一瞬间，变形体均处于平衡状态处于平衡状态；P0 WV 产生产生塑性变形塑性变形时要消耗一部分能量，留下残余变形，时要消耗一部分能量，

3、留下残余变形，弹性体变形是可逆的弹性体变形是可逆的:当外力解除后，当外力解除后，塑性变形塑性变形的固体，的固体，变形能变形能不能不能全部转变为功全部转变为功;释放出变形能而做功。释放出变形能而做功。弹性体将恢复其原来形状，弹性体将恢复其原来形状，有限元有限元法求解力学问题的重要基础。法求解力学问题的重要基础。能量原理能量原理 固体力学固体力学中中运用功与能运用功与能有关的基本原理；有关的基本原理；从从功与能功与能的角度考察的角度考察 进一步学习固体力学的基础；进一步学习固体力学的基础；变形体的变形体的受力受力、应力应力与与变形变形的原理与方法；的原理与方法；由能量原理发展出来的方法；由能量原理

4、发展出来的方法；能量法能量法 莫尔积分莫尔积分 自学自学 卡氏定理卡氏定理 图乘法图乘法 能量法的用处能量法的用处 能量法的优点能量法的优点 不管中间过程，只算最终状态不管中间过程，只算最终状态 能量是正标量能量是正标量，容易计算，容易计算 用于计算用于计算弹性体弹性体控制截面控制截面的位移的位移 13-2 杆件应变能的计算杆件应变能的计算 1.轴向拉压的变形能（轴向拉压的变形能（Strain energy for axial loads)此外力功的增量为：此外力功的增量为：11dd()WFl11dd()FllEA当拉力为当拉力为F1 时时,杆件的伸长为杆件的伸长为l1 当再增加一个当再增加一

5、个dF1时时,相应的变形增量为相应的变形增量为d(l1)F F l l F l O l l1 d l1 dF1 F1 积分得积分得:2110dd22FlF lFWWFFlEAEA 根据功能原理根据功能原理 当轴力或截面发生变化时当轴力或截面发生变化时:V=W,可得以下变形能表达式可得以下变形能表达式 N1122VWF lFlNF lFllEAEA22N22F lF lVEAEA2N12ni iiiiF lVE AP 2P K B C D 1 2 3 4 5（单位（单位 J/m3)比能比能（strain energy density）:单位体积的应变能单位体积的应变能.记作记作u u 当轴力或截

6、面连续变化时：当轴力或截面连续变化时：2N0()d2()lFxxVEA x1122F lUVAluE221222EEudx q l x 2.2.扭转杆内的变形能扭转杆内的变形能（Strain energy for torsional loads）l 22eeeeppp112222M lM lT lVWMMGIGIGI21p2niiiiiT lVG I Me Me Me 当扭矩沿截面发生变化时当扭矩沿截面发生变化时 扭矩沿杆的轴线为变量扭矩沿杆的轴线为变量 2T()VV2llpx dxdGI x dx l T0 A B 17 纯弯曲纯弯曲（pure bending)横力弯曲横力弯曲（nonuni

7、form bending）3.3.弯曲变形的变形能弯曲变形的变形能 （Strain energy for flexural loads）Me 2eee11222M lM lVWMMEIEI2e()d2()lMxVxEI xMe Me Me eM lEI圆环形圆环形 KS=10/9 薄壁圆环薄壁圆环 KS=2 工字形工字形 KS=A/Af KS=6/5 矩形矩形 实心梁可以不计剪力影响，实心梁可以不计剪力影响，薄壁截面梁薄壁截面梁剪切应变能不能忽略；剪切应变能不能忽略；8hl除非除非 剪切变形应变能剪切变形应变能 l2SSGA2dxxFK)(V4.4.组合变形的变形能组合变形的变形能（Strai

8、n energy for combined loads)截面上存在几种内力截面上存在几种内力,各个内力及相应的各个位移相互独立各个内力及相应的各个位移相互独立,力独立作用原理成立力独立作用原理成立,各个内力只对其相应的位移做功各个内力只对其相应的位移做功.xxEIxMxxGIxTxxEAxFVllld)(2)(d)(2)(d)(2)(2p22N 5.5.纯剪切应力状态下的比能纯剪切应力状态下的比能 （Strain energy density for pure shearing state of stresses）假设单元体左侧固定假设单元体左侧固定,因此变形后右侧将向下移动因此变形后右侧将向

9、下移动 dx.dx x y z a b d 右侧面的外力（右侧面的外力（dydz）对相应的位对相应的位移移 dx 作了功作了功.dx 单元体上外力所作的功为单元体上外力所作的功为 11d(d d)(d)(d d d)22W y z xx y z 比能为比能为 ddd1ddd d d2VWWVVx y zu 将将 =G 代如上式得代如上式得 dx x y z a b d dx 12u2222GGu 等直圆杆扭转时应变能的计算等直圆杆扭转时应变能的计算 dd dVlAVVA xuu2222GGu22p222pp()d dd d22 ()d22lAlAATIVA xA xGGlTT lAGIGI2e

10、p2M lVGI1 同种材料，弹性模量同种材料，弹性模量E已知，已知，求系统的应变能求系统的应变能。P Al 2Al VEA2l2P)(EA22lP22lP 2l/3 P l/3 2 抗弯刚度抗弯刚度EI为常量，为常量，求应变能求应变能。2P/3 P/3 x x 30lx 3l 2x0 x3P2xM1)(x3PxM)(22l/3 P l/3 2P/3 P/3 x x VdxEI23Px3l202)(dxEI23Px23l02)(x3P2xM1)(x3PxM)(22cP 设在梁上作用有外力设在梁上作用有外力 ,求梁轴线求梁轴线上任一点上任一点C C处的处的挠度挠度 。n21F,F,Fcf在外力作

11、用下：在外力作用下：V13-7 莫尔积分莫尔积分 C F1 Fn Fi 一方面：从一方面：从外力的总功外力的总功计算总应变能计算总应变能 FW外力的功外力的功 内力方程内力方程 M(x)l2EI2dxxM)(0V施加单位力施加单位力 1F0外载作功仍：外载作功仍：L2EI2dx)x(MV单位力的功单位力的功 1.0 F1 Fn Fi fc 考察弹性体的变形考察弹性体的变形 单位力在单位力在 上做功上做功 cfcf10WFW内力方程内力方程)x(ML2EI2dx)x(McF0f1WWV总总梁的总应变能：梁的总应变能：)x(M)x(ML2EI2dx)x(M)x(M总总V梁截面上的弯矩梁截面上的弯矩

12、 梁的总应变能梁的总应变能 C F1 Fn Fi 1.0 f fc 另一方面：从内力方程计算总应变能另一方面：从内力方程计算总应变能 L2cF0EI2dx)x(M)x(Mf0.1WWLcEIdx)x(M)x(Mf0.1L2LL2EI2dx)x(MEIdx)x(M)x(MEI2dx)x(ML0FEIdx)x(M)x(MWW两种情况都是构件的总应变能两种情况都是构件的总应变能 LcEIdx)x(M)x(Mf0.1 ：单位载荷引起的弯矩单位载荷引起的弯矩。)x(MM(x)：载荷引起的弯矩；：载荷引起的弯矩；LcEIdx)x(M)x(M.01求转角的莫尔积分求转角的莫尔积分 在欲求截面处施加在欲求截面

13、处施加一单位力偶一单位力偶 特别强调特别强调 结构保持不动；结构保持不动；：正方向正方向、积分区间积分区间 欲求线位移欲求线位移施加力施加力，欲求，欲求角位移角位移施加施加单位力偶单位力偶；结果为正，结果为正，位移与单位力同向位移与单位力同向；分段分段 必须严格一致；必须严格一致；(x)M ,)x(M 施加单位力时所有的外载卸掉，施加单位力时所有的外载卸掉，1、计算、计算B截面的挠度、截面的挠度、C截面的转角截面的转角 Mqa2 P=2qa q a a B C Mqa2 P=2qa q B ax 0ax02xqxxxM1 P)(Mx2aqaxaPxM)()()(2x x 1.0 B xxM1)

14、(xaxM)(2x 计算计算B截面的挠度截面的挠度 x 2xqxxxM1 P)(Mx2aqaxaPxM)()()(2Byf01.aEIxdxxqxPx0)2(aEIdxxaMxaqaxaP0)()2()(B 0 xM1)(1.0)(2xMx 计算计算C截面的转角截面的转角 x 2xqxxxM1 P)(Mx2aqaxaPxM)()()(2c01.aEIdx.MxaqaxaP001)2()(1.0 2、外伸梁受力如图所示，已知弹性模量、外伸梁受力如图所示，已知弹性模量EI。梁材料。梁材料 为线弹性体。求梁为线弹性体。求梁C截面的挠度和截面的挠度和D截面的转角。截面的转角。A B C 2P a P

15、D a a A B C 2P P D a a a 0.5P NB NB=3.5P x x x ax 0ax0PxxM2)(1PxxaPxM3.5-)(2)(2PxxM5.0)(33.5P ax0A B C 2P P D a a a 0.5 0.5 x x x 0)(xM1xxM-0.5)(2xxM5.0)(3C截面的挠度截面的挠度 1.0 xxM1P)(PxxaPxM.53-)()(2PxxM5.0)(3c0.1dxEIxPxa0)5.0(5.0dxEIxPxPaa0)5.0()5.2(A B C 2P P D a a a 1/2a 1/2a x x x 0.)(1xM12a-1)(2xxMa

16、xxM2)(3D截面的转角截面的转角 xxM1P)(Px.xaPxM53-)()(2PxxM5.0)(31.0 D0.1dxEIaxPxa025.0dxEIPxa0dxEIaxPxPaa0)21()5.2(LcEIdx)x(M)x(Mf0.1LcEIdx)x(M)x(M0.1 弯曲变形弯曲变形-莫尔积分莫尔积分 拉压变形拉压变形莫尔积分莫尔积分 0.1扭转变形扭转变形莫尔积分莫尔积分 0.1niiiiNiNiAElFF1niPiiiiiIGlTT1剪切变剪切变形：形：GAd)(F)(F0.1SxxxKSS圆环形 KS=10/9 薄壁圆环 KS=2 工字形 KS=A/Af KS=6/5 矩形 实

17、心梁可以不计剪力影响，实心梁可以不计剪力影响，薄壁截面梁薄壁截面梁剪切应变能不能忽略；剪切应变能不能忽略；8hl除非除非 组合变形组合变形莫尔积分莫尔积分 0.1LSSsGAdxxFxFK)()(LNNEAdxxFxF)()(LEIdxxMxM)()(pGdxxxI)(T)(TFS(x)单位力作的功去哪里了？单位力作的功去哪里了？结构的各段以各种形式储存应变能结构的各段以各种形式储存应变能 曲杆曲杆莫尔积分莫尔积分 0.1LSSsGAds)s(F)s(FKLNNEAds)s(F)s(FLEIds)s(M)s(MpIGds)s(T)s(T 欲求相对线位移，欲求相对线位移，作用线作用线与两点的连线

18、重合与两点的连线重合。欲求相对转角，欲求相对转角，施加一对施加一对反向的单位力偶反向的单位力偶；施加施加一对反向单位力，一对反向单位力，相对线位移与相对角位移相对线位移与相对角位移 P A B C D 讨论：直角刚架各段长度相等均为讨论：直角刚架各段长度相等均为l，各段直各段直径径d相同。计算相同。计算A点的铅垂位移。点的铅垂位移。P A B C D x x PFN1PlxT3)(PxxM2)(PxxM)(3x 1.0 11NFlxT3)(xxM2)(xxM)(3Ayf01.PGIlTT EAlFFNNdxEIxMxMl0ii)()(PGIllPlEAPldxEIxPxl0dxEIxPxl0M

19、=qa2 P=qa a a a B C q 1、梁抗弯刚度、梁抗弯刚度EI，求，求B截面的挠度、截面的挠度、C截面的转角。截面的转角。直梁的莫尔积分直梁的莫尔积分 M=qa2 P=qa a a a C q 2.5qa 0.5qa x x ax 0ax02xxxM1q)(x2qa)x2a(qa)x(M2x ax0qaxxM)(3C M=qa2 P=qa q 2 1 0 xM1)(x)x(M2xxM)(3B截面的挠度截面的挠度 1.0 2xxxM1q)()x2a(qax2qa)x(M2qaxxM)(3EIdxx)x2a(qa2qax(a0dxEIqaxa02dxEI)x(M)x(Mf0.1a0ii

20、Byx x x C M=qa2 P=qa q 1/a 1/a 0 xM1)(axxM)(20)(3xMC截面的转角截面的转角 2xxxM1q)()x2a(qax2qa)x(M2qaxxM)(3EIdxax)x2a(qa2qax(a0dxEI)x(M)x(M0.1a0iiCx x x 1.0 2、梁的抗弯刚度、梁的抗弯刚度EI，求，求B截面的挠度截面的挠度、C截面的转角。截面的转角。M a a M B C a M a a M B C a M/a M/a x x ax 0ax0 xxM1aM)(xaMMxM)(2C 1/2 1/2 x x 2)(xxM12xxM)(2B截面的挠度截面的挠度 1.0

21、 xxM1aM)(xaMMxM)(2dxxaEI2Ma02dxEI2x)xaMM(a0dxEI)x(M)x(Mf0.1a0iiByC 1/2a 1/2a x x 2a)(xxM1a2x1xM)(2C 截面的转角截面的转角 1.0 xxM1aM)(xaMMxM)(2dxxEIa2Ma022EIdx)a2x1)(xaMM(a0dxEI)x(M)x(M0.1a0iic3 3 确定确定D D点的挠度和转角，点的挠度和转角，EI已知已知（剪力影响不计）剪力影响不计）A B qa C D q a a a A B qa C D q 7qa/4 qa/4 x x ax 0ax0 x4axM1q)(qaxxa4

22、qaxM-)()(2x ax02)(23xqxMA B C D qa q 3/2 1/2 x x 2xxM1)(2xaxM-)(2x xxM)(3D截面的挠度截面的挠度 1.0 x4axM1q)(qaxxa4qaxM-)()(22)(23xqxMdx)2x(EI4qaxa0dxxEIqxa022dxEI)x(M)x(Mf0.1a0iiDyEIdx)2xa()qax)xa(4qa(a0A B C D qa q 1/2a 1/2a x x a2xxM1)(a2xaxM-)(2x 1(3x)MD截面的转角截面的转角 x4axM1q)(qaxxa4qaxM-)()(22)(23qxxMdx)a2x(E

23、I4qaxa0dxEIqxa022dxEI)x(M)x(M0.1a0DEIdx)a2xa()qax)xa(4qa(a01.0 q 3qa2 2a 2a B 1、求求B截面截面的水平位移与转角的水平位移与转角 刚架的莫尔积分刚架的莫尔积分 q 3qa2 2a 2a B qa/2 qa/2 2qa x x ax20ax02x2aqa3xM21q)(2xqqax2xM2-)(2q 3qa2 2a 2a B 1.0 1.0 1.0 x x x2aqa3xM21q)(2xqqax2xM2-)(2B截面的水平位移截面的水平位移 1.0 xxM1)(xxM)(2EIdx)x()2qaxqa3(a202dxE

24、I)x(M)x(Mf0.1a0iiBxEIdx)x()2qxqax2(a202q 3qa2 2a 2a B 1/2a 1/2a x x x2aqa3xM21q)(2xqqax2xM2-)(2B截面的转角截面的转角 a2x1xM1)(0)(2xMEIdx)a2x1()2qaxqa3(a202dxEI)x(M)x(M0.1a0iiB1.0 q M=2qa2 a a a B 2、求求B截面的水平位移与转角截面的水平位移与转角 q M=2qa2 a a a B x x ax 0ax02xqxxM1)(2qa2xM)(2x ax02qa22aqaxM)(3q M=2qa2 a a a B x x 0)(

25、xM10)(2xMx xxM)(3B截面的水平位移截面的水平位移 1.0 2xqxxM1)(2qa2xM)(22qa22aqaxM)(3dxEIxMxMf01a0iiBx)()(.dxEI2xqa5a02)(q M=2qa2 a a a B x x 0)(xM11xM-)(2x 1xM)(3B截面的转角截面的转角 2xqxxM1)(2qa2xM)(22qa22aqaxM)(3dxEIxMxM01a0iiB)()(.dxEI1qa2a02)(1.0 dxEI21qa5a02)(A B C l l q 3、圆截面直角折杆、圆截面直角折杆ABC位于水平平面内，已知杆位于水平平面内，已知杆截面直径截面

26、直径d及材料的弹性常数及材料的弹性常数E,G。求。求C截面处的铅截面处的铅垂位移。不计剪力的影响。垂位移。不计剪力的影响。A B C x q x qlxxM)(2lx 0lx02xqxM21)(2lqlxT)(2A B C x q x qlxxM)(22xqxM21)(2lqlxT)(2C截面的铅锤位移截面的铅锤位移 1.0 xxM)(2xxM1)(lxT)(2dxxEI2qxl02dxEIxMxMf01iiCy)()(.dxEIxqlxl0P2GIlql2PiiiGIlTT1、梁的抗弯刚度、梁的抗弯刚度EI，受载如图，受载如图，AB=BC=2BD=l。计算中间铰。计算中间铰B处左右两截面的处

27、左右两截面的相对转角。相对转角。相对位移与相对转角相对位移与相对转角 P q A B C D q A C P D P q A B C D P/2 P/2 P/2 q A C P D P/2 P/2 P/2 x x x 20lx lx02PxxM1)(2xqx2PxxM)(320lx 2xxM2P)(A B C D B处左右两截面的相对转角处左右两截面的相对转角 1.0 1.0 A C D 1.0 1.0 1/l 1/l 1/l A C D 1.0 1.0 1/l 1/l 1/l x x x lxxM1)(lx1xM-)(3l-)(x1xM2dxEI)x(M)x(M0.1a0iiC左右2PxxM

28、1)(2xqx2PxxM)(32xxM2P)(dxlxEI2Px2l0EIdx)lx1()2xqx2Px(l0dx)lx1(EI2xP2l0q A B C l l 2 抗弯刚度均为抗弯刚度均为EI的静定组合梁的静定组合梁ABC，受力如图所，受力如图所示。梁材料为线弹性体，不计剪应变对梁变形的影示。梁材料为线弹性体，不计剪应变对梁变形的影响。求梁中间铰响。求梁中间铰B两侧截面的相对转角。两侧截面的相对转角。q A B C N 0N x lx 02qxxM2)(NB 0NBq A B C 铰铰B两侧截面的相对转角两侧截面的相对转角 1.0 1.0 C 1.0 1/l 1/l x lx1)x(M2q

29、xxM2)(左右01.dx)lx1(EI2qxl021/l 1、杆、杆AB的抗弯刚度为的抗弯刚度为EI，拉杆，拉杆CF的长度为的长度为l，抗拉压刚度为抗拉压刚度为EA。求。求B截面的铅垂位移和转角。截面的铅垂位移和转角。a 2a M=Pa P A B C F 莫尔积分综合莫尔积分综合 M=Pa P A B C F N=2P P x x ax 0PaPxxM1)(ax20PxxM2)(lx 0P2x3)(NB截面的铅垂位移截面的铅垂位移 M=Pa P B A C F 1.0 3/2 1/2 x x xxM1)(2)(xxM223)(Nx3dxEIxMxMf01a011B)()(.dxEIxMxM

30、a2022)()(EAlNN33PaPxxM1)(PxxM2)(P2x3)(NB截面的转角截面的转角 M=Pa P F 1/2a 1/2a x x 01xM1.)(2a)(xxM22a1)(Nx3dxEIxMxM01a011B)()(.dxEIxMxMa2022)()(EAlNN331.0 PaPxxM1)(PxxM2)(P2x3)(N5：结构受力如图所示，设结构受力如图所示，设AB杆的抗弯刚度为杆的抗弯刚度为EI,CD杆的抗拉刚度为杆的抗拉刚度为EA，不计剪力的影响。求，不计剪力的影响。求B 端的竖直端的竖直位移。位移。A l P C l/2 B 2l/3 D 1、在应用莫尔积分时，第一项表

31、示什麽意思？、在应用莫尔积分时，第一项表示什麽意思？dxEI)x(M)x(MEALFFfNN1.0 C A B D P A：C点的总位移；点的总位移；B：C点沿点沿CD方向的位移；方向的位移；C：C点铅垂位移；点铅垂位移；D：CD杆缩短引起杆缩短引起B点的铅垂位移；点的铅垂位移；莫尔积分概念莫尔积分概念 2、受力如左图，施加单位力如右图，利用莫尔积分、受力如左图，施加单位力如右图，利用莫尔积分求得位移为：求得位移为：。A：A截面的转角；截面的转角；B：B截面的转角；截面的转角；C：A、B两截面的相对转角；两截面的相对转角；D：AB段单位长度扭转角；段单位长度扭转角；1.1.A B A：结构上的最大位移；：结构上的最大位移；B：单位力作用点处的总位移；：单位力作用点处的总位移；C：单位力作用处的竖直位移；：单位力作用处的竖直位移；D：单位力作用处沿单位力方向上的位移；：单位力作用处沿单位力方向上的位移；3、用莫尔积分、用莫尔积分 求得的位移求得的位移是：是：。dxEIxMxM)()(4、应用莫尔积分计算挠度时，结果为正，说明挠度的方、应用莫尔积分计算挠度时，结果为正，说明挠度的方向为：向为：。A：向上；：向上；B：向下；：向下；C：与单位力方向一致；：与单位力方向一致；D：与单位力方向反向；：与单位力方向反向；