(11.11)--附录 平面图形的几何性质.pdf

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1、第十章第十章 截面的几何性质截面的几何性质 (Properties of plane areas)10-1 截面的静矩和形心截面的静矩和形心(The first moments of the area¢roid of an area)10-2 极惯性矩极惯性矩 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积(Polar moment of inertia Moment of inertia Product of inertia)10-3平行移轴公式平行移轴公式(Parallel-Axis theorem)10-1 截面的静矩和形心截面的静矩和形心 (The first moment of the area

2、¢roid of an area)一、静矩一、静矩(The first moment of the area）O y z dA y z 截面对截面对 y,z 轴的静矩为轴的静矩为 静矩可正，可负，也可能等于零静矩可正，可负，也可能等于零.AyAzSd AzAySd 面积与面积与坐标坐标的乘积的乘积 y z O dA y z 二、截面的形心二、截面的形心(Centroid of an area)C CzCydyACz ASzAA dzACy ASyAA yCAzS zCAyS 对对形心轴形心轴的静矩的静矩 对某一轴的静矩等于零，对某一轴的静矩等于零，该轴必该轴必过形心过形心。必等于零。必

3、等于零。三、组合截面的静矩和形心三、组合截面的静矩和形心 (The first moments¢roid of a composite area)由几个简单图形组成的截面称为组合截面由几个简单图形组成的截面称为组合截面.截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，等于该截截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，等于该截 面对于同一轴的静矩面对于同一轴的静矩.其中其中 Ai 第第 i个简单截面面积个简单截面面积 1.1.组合截面静矩组合截面静矩(The first moments of a composite area)2.2.组合截面形心组合截面形心(Centroid of a compo

4、site area)1niyiizSA 1niziiySA 第第 i个简单截面的形心坐标个简单截面的形心坐标(),iiyzAyyiicAAzziicA分割法分割法 负面积法负面积法 几个简单图形组成几个简单图形组成 解：组合图形，用正负面积法解之解：组合图形，用正负面积法解之.方法方法1 用用分割法分割法求解求解.将截面分为将截面分为1，2 两个矩形两个矩形.例题例题1 试确定图示截面形心试确定图示截面形心C的位置的位置.取取 z 轴和轴和 y 轴分别与截面的底边和左边缘轴分别与截面的底边和左边缘 重合重合 AAyAyAAyAyniiniii21221111 AAzAzAz212211 10

5、10 1 2 O z y 90 1y1z2z2y图图(a)矩形矩形 1 矩形矩形 2 211200mm12010 A5mm1 y60mm1 z22800mm8010 A50mm280102 ymm25 z所以所以 38mm23mm212211212211 AAzAzAzAAyAyAy10 10 1 2 O z y 90 1y1z2z2y 方法方法2 用用负面积法负面积法求解，图形分割及坐标如图求解，图形分割及坐标如图(b)图图(b)C1（0,0）C2（5,5）C2 负面积负面积 C1 y z 212211AAAyAyAAyyii221108090120)11080(5例例1:已知：截面尺寸如图

6、。求：该截面的形心位置已知：截面尺寸如图。求：该截面的形心位置 z y zc yc 2.7cm 0.2cm 例例2：求图示图形的形心：求图示图形的形心 20 100 20 100 yc z zc 40 例例3：求图示图形的形心：求图示图形的形心 20 200 200 10 10 yc z zc 65 1-2 极惯性矩、惯性矩、惯性积极惯性矩、惯性矩、惯性积 (Polar moment of inertia、Moment of inertia、Product of inertia)y z O dA y z 二、极惯性矩二、极惯性矩 (Polar moment of inertia）一、惯性矩一、

7、惯性矩(Moment of inertia)AzAyAyIAzIdd22 AAIdP2 yz222 AAIdP2 所以所以 yzIII P对坐标轴的惯性矩对坐标轴的惯性矩 对坐标原点的极惯性矩对坐标原点的极惯性矩 解：解：b h y z C z dz 例题例题2 求矩形截面对其对称轴求矩形截面对其对称轴y,z轴的惯性矩轴的惯性矩.AzIAyd2 zbAdd12dd32222bhzbzAzIhhAy 123hbIz z y 解：因为截面对其圆心解：因为截面对其圆心 O 的极惯性矩为的极惯性矩为 例题例题3 求圆形截面对其对称轴的惯性矩求圆形截面对其对称轴的惯性矩.32PdI4 PIIIzy zy

8、II 所以所以 64dIIzy4 y z O dA y z 四、惯性积四、惯性积(Product of inertia)AyzAyzId惯性矩的数值恒为正惯性矩的数值恒为正，惯性积则可惯性积则可 能为能为正值正值，负值负值，也可能等于也可能等于零零；三、惯性半径三、惯性半径(Radius of gyration of the area)AIiyy AIizz 对称轴对称轴，惯性积一定等于零。惯性积一定等于零。在何种条件下，图形对坐标轴的惯性积为零？在何种条件下，图形对坐标轴的惯性积为零？IIIAAyzdAyzdAIAyzyzdAIIIAyzdA0IIA结论结论 IAy zc azzCA2CdA

9、zCyI A2dAzyI yI CyI A2ACA2CdAadAz2adAzA2CdA)a(zz y zc yc dA b a yc zc C y z Aa2一、平行移轴公式一、平行移轴公式(Parallel-Axis theorem for moment of inertia)10-3 平行移轴公式平行移轴公式 (Parallel-axis theorem)dAyzIAyzdA)az)(by(ACCdAzyACCCCy zI dAyaACz y zc yc dA b a yc zc C y z 2CzzIIA b同理得到：同理得到：惯性积惯性积:abAdAzbACdAabAAaII2yyCA

10、bII2zzCabAIICCzyyz平行移轴公式平行移轴公式 1 移轴的起点移轴的起点 2 对形心轴的惯性矩对形心轴的惯性矩 注意：注意：z y zc yc dA b a yc zc C y z 最小。最小。形心轴开始移轴形心轴开始移轴 二、组合截面的惯性矩二、组合截面的惯性矩 、惯性积、惯性积(Moment of inertia&product of inertia for composite areas ）组合截面的惯性矩，惯性积组合截面的惯性矩，惯性积 niyiyII1 nizizII1 niyziyzII1第第 i个简单截面对个简单截面对 y,z 轴的惯性矩轴的惯性矩，惯性积惯性积.y

11、ziziyiIII,例题例题4 求梯形截面对其形心轴求梯形截面对其形心轴 yC 的惯性矩的惯性矩.解：将截面分成两个矩形截面解：将截面分成两个矩形截面.20 140 100 20 截面的形心必在对称轴截面的形心必在对称轴 zC 上上.取过矩形取过矩形 2 的形心且平行于底边的的形心且平行于底边的 轴作为参考轴记作轴作为参考轴记作 y轴轴.2 1 zC yC 140201A801 z201002A0 z2所以截面的形心坐标为所以截面的形心坐标为 7mm.46212211 AAzAzAzCy 1z20 140 100 20 y 2 1 zc yC 2z)7.4680(1402014020121231 CyI)7.46(2010020100121232 CyI46m1012.12 21CCCyyyIIIAaIICyy2