(6.14)--轴向拉压材料力学.doc

《(6.14)--轴向拉压材料力学.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(6.14)--轴向拉压材料力学.doc（26页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2-1轴向拉伸与压缩的概念及实例一、工程实例轴向拉伸和压缩的杆件在生产实际中经常遇到，虽然杆件的外形各有差异，加载方式也不同，但对受轴向拉伸与压缩的杆件的形状和受力情况进行简化，一般计算简图如图2-1。实例：如图2-2所示用于连接的螺钉；如图2-3所示桁架中的拉杆；如图2-4所示汽车式起重机的支腿；如图2-5所示巷道支护的立柱。二、特点：1. 受力特点：作用于杆件两端的外力大小相等，方向相反，与杆件轴线重合。2. 变形特点：杆件变形是沿轴线的方向伸长或缩短。2-2轴向拉（压）杆横截面上的内力和应力一内力1、计算在图2-6所示杆件上作任一横截面mm，取左段部分，并以内力的合力代替右段对左段的力。

2、由平衡条件 ，得由于（为拉力），则合力的方向正确。因而当外力沿着杆件的轴线作用时，杆件截面上只有一个与轴线重合的内力分量，该内力（分量）称为轴力，一般用N表示（Normal）。若取右段部分，同理，知得图中的方向也是正确的。2、正负：材料力学中轴力的符号是由杆件的变形决定，而不是由平衡坐标方程决定。习惯上将轴力N的正负号规定为：拉伸时，轴力N为正；压缩时，轴力N为负。注意两个问题：1）外力不能沿作用线移动。因为材料力学中研究的对象是变形体，不是刚体，力的可传性不成立。2）截面不能切在外力作用点处，要离开或稍微离开作用点。依据为圣维南原理。圣维南原理：作用在结构某一位置上的不同载荷，如果在静力学意

3、义上是等效的，则在远离该位置处的应力差异甚微。二轴力图用折线表示轴力沿轴线变化的情况。该图一般以杆轴线为横轴表示截面位置，纵轴表示轴力大小。例 求如图2-7所示杆件的内力，并作轴力图。解：（1）计算各段内力AC段：作截面11，取左段部分（图b）。由得kN （拉力）CD段：作截面22，取左段部分（图c），并假设方向如图所示。由得则kN （压力）的方向应与图中所示方向相反。（2）绘轴力图选截面位置为横坐标；相应截面上的轴力为纵坐标，根据适当比例，绘出图线。由图2-7可知CB段的轴力值最大，即kN，所以CB段最危险。三轴向拉（压）杆横截面上的应力由于只根据轴力并不能判断杆件是否有足够的强度，因此必须

4、用横截面上的应力来度量杆件的受力程度。为了求得应力的分布规律，采用试验、理论结合的方法。1、试验：如图2-8所示。2、平面假设：变形前后横截面保持为平面，而且仍垂直于杆轴线。 根据平面假设得知，横截面上各点正应力相等，即正应力均匀分布于横截面上，等于常量。3、理论分析：由静力平衡条件确定的大小由于，所以积分得，则 （2-1） 式中：横截面上的正应力 横截面上的轴力 横截面面积此式对于过集中力作用点的横截面不适应。4、说明：1）正应力的正负号规定为：拉应力为正，压应力为负。2）对于图2-9所示的变截面直杆，在考虑杆自重（密度）时，有 （2-2）其中若不考虑自重，则对于等截面直杆，由式（2-1）知

5、最大正应力发生在最大轴力处，也就是最易破坏处。而对于变截面直杆，最大正应力的大小不但要考虑，同时还要考虑。例 起吊三角架，如图2-10所示，已知AB杆由2根截面面积为cm2的角钢制成，kN，。求AB杆横截面上的应力。解：（1）计算AB杆内力取节点A为研究对象，由平衡条件，得则kN（拉力）（2）计算MPa例 起吊钢索如图2-11所示，截面积分别为cm2，cm2，m，kN，N/cm3，试绘制轴力图，并求。解：（1）计算轴力AB段：取11截面 BC段：取22截面 （2）绘轴力图当时，kN （拉力） 当时，kN （拉力）当时，kN （拉力） 当时，kN （拉力）轴力图如图2-11b。（3）应力计算MP

6、a （拉应力）MPa （拉应力）比较，的大小，得Mpa2-3轴向拉（压）杆斜截面上的应力一、内力：设直杆的轴向拉力为，横截面面积为，则 kk截面上的内力为：，而且均匀分布。二、应力：若以表示斜截面kk上的应力，于是有，而 ，所以三：分解：则将分解成正应力和剪应力，有所以斜截面kk上的应力 （2-3） （2-4）正负号分别规定为：自x轴逆时针转向外法线n，为正；反之为负；拉应力为正，压应力为负；取保留截面内任一点为矩心，而对矩心顺时针为正，反之为负。四、讨论：1）当时，横截面，2）当时，斜截面，3）当时，纵向截面，结论：对于轴向拉（压）杆，发生在横截面上；，发生在沿顺时针转45角的斜截面上。例

7、木立柱承受压力，上面放有钢块，如图2-13所示，其截面积为cm2，MPa，木柱截面积 cm2，求木柱顺纹方向剪应力大小及指向。解：（1）计算木柱压力，由所以kN（压力）（2）计算木柱的正应力MPa （压应力）则 MPa指向如图所示。2-4 材料在拉伸时的力学性能材料的力学性能：反映材料在受力过程中所表现出的与结构（试件）几何尺寸无关的特性。如弹性模量E,极限强度等。研究材料的力学性能的目的是确定在变形和破坏情况下的一些指标，以作为选用材料，计算材料强度、刚度的依据。一般用常温静载试验来测定材料的力学性能。试件和设备圆截面试件，如图2-14：标距与直径的比例为，；具体试验见材料力学试验。板试件（

8、矩形截面）：标距与横截面面积的比例为，试验设备一是用来施加载荷；二是用来测量变形。一. 低碳钢拉伸时的力学性能低碳钢是指含碳量在0.3%以下的碳素钢。（一）拉伸图（PL），如图2-15所示。弹性阶段（oa）屈服（流动）阶段（bc）强化阶段（ce）由于PL曲线与试样的尺寸有关，为了消除试件尺寸的影响，采用应力应变曲线，即曲线来代替PL曲线。（二）曲线图，如图2-16所示，其各特征点的含义为：1、oa段：在拉伸（或压缩）的初始阶段应力与应变为直线关系直至a点，此时a点所对应的应力值称为比例极限。它是应力与应变成正比例的最大极限。此段写成等式为 （2-5）即胡克定律，它表示当工作应力小于时，应力与应

9、变成正比。为弹性模量，应力应变（）曲线上初始点（零点）至比例极限点的应力与应变为直线关系，该直线的斜率定义为材料的弹性模量，单位与相同。应力应变曲线上当应力增加到b点时，再将应力降为零，则应变随之消失；一旦应力超过b点，卸载后，有一部分应变不能消除，则b点的应力定义为弹性极限。是材料只出现弹性变形的极限值。2、bc段：应力超过弹性极限后继续对塑性材料加载，会出现一种现象，即在应力增加很少或不增加时，应变会很快增加，这种现象叫屈服。开始发生屈服的点所对应的应力叫屈服极限。又称屈服强度。在屈服阶段应变不断增加，而应力不变；当屈服时，材料产生显著的塑性变形，所以是衡量材料强度的重要指标。表面磨光的试

10、样屈服时，表面将出现与轴线大致成45倾角的条纹，这是由于材料内部相对滑移形成的，称为滑移线，如图2-17所示。3、ce段：应变强化阶段的最高点（e点）所对应的应力称为强度极限。它表示材料所能承受的最大应力。过e点后，即应力达到强度极限后，局部截面发生剧烈收缩的现象，称为颈缩，如图2-18所示。在一定温度范围内，材料在不变应力作用下，其变形随时间缓慢增加的现象，叫蠕变。对低碳钢来说，是衡量材料强度的重要指标。4、ef段：局部变形阶段：5、延伸率和截面收缩率延伸率定义为%截面收缩率定义为%对于低碳钢：%，%，这两个值越大，说明材料塑性越好。工程上通常按延伸率的大小把材料分为两类：%塑性材料；%脆性

11、材料。6、卸载定律及冷作硬化卸载定律：把试样拉到超过屈服极限后卸载，在卸载过程中，应力和应变按直线规律变化。冷作硬化：材料经过屈服阶段以后，因塑性变形使其组织结构得到调整，若需要增加应变则需要增加应力。曲线又开始上升，这一现象称为冷作硬化。二其它塑性材料拉伸时的力学性能对于没有明显屈服阶段的塑性材料，当产生的塑性应变%时，所对应的应力叫名义屈服极限，用表示。三铸铁拉伸时的力学性能具有以下特点1）如图2-19所示灰口铸铁拉伸时的应力应变关系，它只有一个强度指标；2）拉断时应力较小；3）近似服从胡克定律，并以割线的斜率作为弹性模量。2-5材料在压缩时的力学性能材料的压缩试件一般为很短的圆柱，其高度

12、与直径的关系为。一低碳钢压缩时的曲线低碳钢压缩时的曲线，如图2-20所示。与拉伸时大致相同。二铸铁压缩时的曲线铸铁压缩时的曲线，如图2-21所示，铸铁的抗压强度极限与其抗拉强度极限的关系为。综上所述，衡量材料的力学性能的指标主要有：比例极限，屈服极限，强度极限，弹性模量，延伸率和断面收缩率等。2-6许用应力，安全系数，强度条件一、失效现象：由于各种原因使结构丧失其正常工作能力的现象，称为失效。材料的两种失效形式为（1）塑性屈服，指材料失效时产生明显的塑性变形，并伴有屈服现象。塑性材料如低碳钢等以塑性屈服为标志。（2）脆性断裂，材料失效时未产生明显的塑性变形而突然断裂。脆性材料如铸铁等以脆断为失

13、效标志。二、几个应力：工作应力：许用应力：保证安全可靠工作所容许的最大应力值。对于塑性材料，屈服时的应力是屈服极限，则；对于脆性材料：断裂时的应力是强度极限，则，其中是材料的危险应力，由试验测定。由于构件许用应力用表示，则 塑性材料：； 脆性材料：分别为塑性材料和脆性材料的安全系数。三、强度条件：设是发生在轴力最大处的应力（等直截面杆），则 （2-5）式（2-5）是构件轴向拉伸或压缩时的强度条件。根据上述强度条件可以解决以下三个问题：1）校核强度2）设计截面，3）确定载荷，对于杆系，轴力不仅满足平衡条件，而且满足强度条件。例2-5 杆系结构，如图2-22所示，已知杆AB、AC材料相同，MPa，

14、横截面积分别为mm2，mm2，试确定载荷P的最大值。解：（1）由平衡条件计算实际轴力，设AB杆轴力为，AC杆轴力为。对于节点A，由得 （1）由得 （2）由强度条件计算容许轴力 kN kN由于AB、AC杆不能同时达到最大容许轴力，则将，代入（2）式，解得kN这个解显然是错误的。正确的解应是将（1）、（2）式联解（2）根据强度条件计算实际轴力达到容许轴力时各杆对应的容许载荷，即，时所对应的载荷，由kN所以kN则kN而kN所以kN则kN要保证AB、AC杆的强度，应取小值，即，因而得kN2-7轴向拉（压）杆变形一沿杆件轴线的纵向变形如图2-23，设等直杆的原长为，横截面面积为。在轴向力作用下，纵向变形

15、为 （1）一点纵向线应变为 （2）由得所以 （2-6）这是胡克定律的另一种表达形式。式中是材料弹性模量与拉压杆件横截面面积乘积，EA越大，则变形越小，将EA称为抗拉（压）刚度。二横向变形若在图2-23中，设变形前杆件的横向尺寸为，变形后为，则横向变形为横向线应变可定义为受单向拉压作用，杆件变形后横向尺寸改变量与变形前横向尺寸之比。即由实验证明，在弹性范围内 （2-7）为杆的横向线应变与轴向线应变代数值之比，一般冠以负号，称为泊松比或横向变形系数。与的关系为： （2-8）三变截面杆如图2-24所示变截面杆，其微段的伸长为积分得 （2-9）例2-6 图2-25所示变截面杆，cm2，cm2，kN，k

16、N。求AB杆的变形。（材料的MPa）解：首先分别求得BD、DC、CA三段的轴力，为kN kNkN（m）（m）（m）（m）的负号说明此杆缩短。变形与位移：对轴向拉（压）杆，它们的关系明确，如例2-6中，。对于杆系结构，由于变形和结构约束条件，从而使变形和位移之间存在一定的几何关系。例2-7 图2-26所示杆系结构，已知BC杆圆截面mm，BD杆为8号槽钢，MPa，GPa，kN。求B点的位移。解：（1）计算轴力，取节点B（图a）由，得（1）由，得（2）所以（压力）（拉力）（2）计算变形由：，得m。BC杆圆截面的面积，BD杆为8号槽钢，由型钢表查得截面面积，由胡克定律求得（m）（m）1） 确定B点位移

17、。上一步中，为拉伸变形，而为压缩变形。设想将托架在节点B拆开（图a），BC杆伸长变形后变为B1C，BD杆压缩变形后变为B2D。分别以C点和D点为圆心，和为半径，作圆弧相交于B3。B3点即为托架变形后B点的位置。因为变形很小，B1B3和B2B3是两段极其微小的短弧，因而可用分别垂直于BC和BD的直线线段来代替，这两段直线的交点即为B3。即为B点的位移。也可以用图解法求位移。这里用解析法来求位移。注意到三角形BCD三边的长度比为，由图b可以求出B点的水平位移最后求出位移为：2-8轴向拉（压）杆的变形能一、 变形能：1、 定义：变形能：弹性体在外力作用下，因变形而储存的能量称为变形能。 （1）2、

18、计算：下面以图2-27来讨论轴向拉伸或压缩的变形能。对轴向拉压（杆），拉力P作功为 （2）所以，由胡克定律，得即轴向拉（压）杆的变形能为 （2-10）二、 比能：1、 定义：比能（比密度）：单位体积的变形能。2、 计算： （2-11）由胡克定律，则得单位为焦/米3，J/m3。例 简易起重机如图2-28所示。BD杆为无缝钢管，外径90mm，壁厚2.5mm，即，杆长，弹性模量。BC是两条横截面面积为172mm2的钢索，即，弹性模量，。若不考虑立柱的变形，试求B点的垂直位移。设。解：1、由BD杆的平衡方程，求得钢索BC的拉力为BD杆的压力为2、P所完成的功3、杆系的变形能，亦即等于BC和BD两杆变形

19、能的总和。故将各数值代入，由此求得这里只是初步用能量法计算了B点的位移。2-9 拉（压）杆超静定问题一、概念：超静定问题：单凭静力学平衡方程不能解出全部未知力的问题，称为超静定问题。超静定次数：未知力个数与平衡方程式数之差，称为超静定次数。二、超静定问题的计算：一般超静定问题的解法为：1）解除多余约束，使超静定变为静定基，建立静定平衡方程。2）根据变形协调条件，建立变形几何方程。3）根据胡克定律建立物理方程。4）联解静定方程以及2）和3）所建立的补充方程，求出未知力（约束力、内力）。变形协调条件应使静定基变形与原超静定结构相一致。例2-10 如图2-29，已知EA，求，。解：此题属于一次超静定

20、问题（1）建立静定平衡方程由得，即（1）（2）建立变形几何方程；所以 （2）（3）建立物理方程， （3）将（3）式代入（2）式有所以得补充方程 （4） （5）（4）联立求解（1）、（5）式得，（向上），（向上）例2-11 图2-30所示杆系结构，设AB杆为刚性杆，、杆刚度为EA，载荷为P，求、杆的轴力。解：（1）建立静定平衡方程由得即 （1）（2）变形几何方程所以 （2）（3）物理方程， （3）则 （4）（4）联立求解（1）和（4）式得，（拉力），（拉力）2-10温度应力和装配应力一温度应力1、概念：由于温度变化会引起物体的膨胀或收缩，对于超静定结构由于温度变化而引起的内应力，称为温度应力。2

21、、计算：现以图2-31所示问题进行分析：1）静力平衡方程 （1）2）变形协调方程 （2）3）物理方程， （3）是杆件因作用而产生的缩短；是当温度变化时，杆件温度变形（伸长）。将（3）式代入（2）式得补充方程又所以应力为例2-12 图2-32a所示的等直杆AB的两端分别与刚性支承连结。设两支承间的距离（即杆长）为，杆的横截面面积为A，材料的弹性模量为，线膨胀系数为。试求温度升高时杆内的温度应力。解：分析：如果杆只有一端例如A端固定，则温度升高后，杆将自由地伸长（图b）。但现因刚性支承B的阻挡，使杆不能伸长，这就相当于在杆的两端加了压力而将杆顶住。这两端的压力和（图c）都是未知量。由于只能写出一个

22、平衡方程，故由它只能得知两端的轴向压力相等，而压力的大小则仍不知道。因此问题是一次超静定的，必须建立一个补充方程。1、变形协调方程： （1）式中，和都取绝对值。2、物理关系： （2） （3）3、求解：将（2）、（3）两式中的、代入式（1），即得温度内力为 （4）由此得温度应力为 （5）结果为正，说明当初认为杆受轴向压力是对的，故该杆的温度应力是压应力。若此杆为钢杆，其，则当温度升高时，杆内的温度应力由式（5）算得为 （压应力）二装配应力1、定义：超静定结构由于杆件制作误差而引起的内应力。2、计算：例 已知杆系结构，如图2-33所示，1、2杆刚度为，3杆刚度为，并且3杆短。求将杆系装配后三杆的轴

23、力。解：（1）建立静力平衡方程由，（1）由，得 （2）（2）变形协调关系 （3）式中为3杆的伸长，是装配后A点的位移。（3）物理方程， （4）将（4）式代入（3）式得式（5） （5）再将（2）式代入（5）式得（拉）所以2-12应力集中的概念一、定义：由于实际当中，有些零件常有切口、切槽、油孔、螺纹等，以致在这些部位上截面尺寸发生突然变化。如图2-34所示开有圆孔和带有切口的板条，当其受轴向拉伸时，在圆孔和切口附近的局部区域内，应力的数值剧烈增加，而在离开这一区域稍远的地方，应力迅速降低而趋于均匀。这种因杆件外形突然变化而引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。二、理论应力集中因数k：设发生应力集中的截面上的最大应力为，同一截面上的平均应力为，则： 理论应力集中因数反映了应力集中的程度，是一个大于1的因数。三、 危害：当截面尺寸改变得越急剧，孔越小，角越尖，应力集中的程度就越严重，局部出现的最大应力就越大。鉴于应力集中不利于杆件的工作，因此在设计中应尽可能避免或降低应力集中的影响。四、 应力集中的影响：塑性材料：可以不考虑应力集中的影响；脆性材料：应力集中的危害很大，应当考虑应力集中的影响；但灰铸铁本身结构的不均匀性是产生应力集中的主要因素，零件外形改变所引起的应力集中为次要因素。