(8.10.8)--积分法与单位载荷法一致性的数学推证.pdf

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1、70力学与实践2013 年 第35 卷图 3 支座高度不等的 n 跨连拱体系那么下面讨论对于高跨比相同及跨度不等但对称的情况，它只是上述连拱体系的一种特例，当跨数 n 为偶数时，由于对称性，显然 fn fn1+(1)n1 f1=0，连拱体系为几何可变的体系；当跨数 n 为奇数时，连拱体系不一定是几何不变的体系，还需分情况讨论：奇数跨连拱体系结构中有一跨正好位于对称轴上，不妨称为“中轴跨”，设中轴跨是第 K 跨，则由对称性，有：当 fK 2fK1+(1)n1 2f1=0 时，连拱体系允许存在自内力，为几何可变的体系；当 fK 2fK1+(1)n1 2f16=0 时，连拱体系的内力只有零解，为几何

2、不变的体系.参 考 文 献1 单建.趣味结构力学.北京:高等教育出版社，20082 龙驭球，包世华.结构力学教程.北京:高等教育出版社，2000(责任编辑:胡 漫)积分法与单位载荷法一致性的数学推证摘要 在结构力学的线弹性问题中，求解杆件位移可用积分法与单位载荷法，两种方法的结果一致；在逻辑上，两种方法在处理该问题上的等价性也是比较明显的.本文旨在将此一致性进行数学上的表述与推证.本文在一般情形下，利用单位载荷法表示出杆件单元的位移分布，并验证该位移满足积分法所用的小挠度曲线微分方程以及边界条件.以此方式在数学上完成了该一致性的推证与论述.关键词 弹性位移，积分法，单位载荷法，等价性中图分类号

3、：O342文献标识码：ADOI：10.6052/1000-0879-12-276在结构力学的线弹性问题中，求解杆件位移的方法有多种.积分法是基于微分方程d2wdx2=ddx=Mp(x)EI1,求得弯矩分布之后，通过积分，结合边界条件得到 w 与 关于 x的表达式，求得的是杆件真实的位移分布.单位载荷法是基于虚力原理的，可求解杆件任意位置任意位移分量，该方法令单位载荷体系的内力在实际变形上做功，求得的自然也是真实的位移分布.两种方法在逻辑上必然是等价的.本文希望在数学上推证这种等价性.1总体说明本文采取的推证方式为，证明由单位载荷法求得的挠度、转角函数满足小挠度曲线微分方程d2wdx2=ddx=

4、Mp(x)EI，并满足边界条件.在本文中，弯矩的正负号定义为：杆件上部受拉对应的弯矩为正，下部受拉对应的弯矩为负；转角的正负号定义为：顺时针转动为正，逆时针转动为负；剪力正负号规定同结构力学；局部坐标定义为：沿杆件向右为 u 正向，垂直于杆件向下为 v 正向.2引理在推证等价性前需要对引理进行说明.引理：某长为 L 的弹性直杆在外载荷作用下有弯矩分布Mp(s)，其两端垂直于杆件方向的位移分别为 vA,vB(如图 1所示).图 1 外载荷作用下杆端位移示意图(体系 A)证明其右端的转角可以表示为(s=L)=B=vB vAL+1EIZL0sLMp(s)ds(1)证明：考虑一根悬臂梁同样有弯矩分布

5、Mp(s),其右端转角为 1=ZL0Mp(s)EIds,右端的挠度为 w1=20120712 收到第 1 稿，20121125 收到修改稿.1)郭孟武，1991 年生，男，本科生.E-mail：第4 期郭孟武：积分法与单位载荷法一致性的数学推证71ZL0dtZt0Mp(s)EIds.容易得到，两端垂直于杆件方向的位移分别为 vA,vB的杆件在弯矩分布 Mp(s)下右端转角可以表示为(s=L)=B=vB vAL+1w1L.进一步计算如下(s=L)=B=vB vAL+ZL0Mp(s)EIds 1LZL0dtZt0Mp(s)EIds=vB vAL+1EIZL0Mp(s)ds ZZ06s6t,06t6

6、LMp(s)Ldsdt!=vB vAL+1EIZL0Mp(s)ds ZL0dsZLsMp(s)Ldt!=vB vAL+1EIZL0Mp(s)ds ZL0Mp(s)1 sLds!=vB vAL+1EIZL0sLMp(s)ds(2)则该引理证毕.3等价性的数学推证本文的核心命题为：求解线弹性体系中的某杆件位移分布时，利用单位载荷法求得的挠度 w(x)满足微分方程d2wdx2=Mp(x)EI，并满足边界条件.以下将进行推证.结构中某杆件在外载荷作用下的弯矩分布为 Mp(s)，其中 s 为沿杆件的局部坐标.不妨称该体系为体系 A，在单位载荷法中，该体系贡献变形与位移.体系 A 的杆端位移亦如图 1 所

7、示.依据单位载荷法的基本原理即虚功原理，还需要一个有单位载荷作用的体系 B，令体系 B 的内力与外力分别在体系 A 的变形与位移上做功，从而写出虚功方程.出于方便，该体系 B 选为几何尺寸同体系 A 的杆件单元，单位载荷作用于 s=x 处，同时杆端作用着外力如图 2 所示.图 2 单位载荷作用下杆端内力示意图(体系 B)在杆系结构中，单位载荷在某杆件上移动，移动时的杆端内力MA，MB，QA，QB与单位载荷所处的局部坐标成线性关系.由此，MA，MB，QA，QB均为 x 的线性函数，且满足QA=1 xL+MAMBL(3)QB=xL+MAMBL(4)由虚力原理，体系 B 的内力与外力分别在体系 A

8、的变形与位移上做功，由外力功等于内力功得到如下方程2w(x)+QBvBQAvA+MBBMAA=1EIZL0M(s,x)Mp(s)ds(5)利用MA，MB，QA，QB与 x 的线性关系易得到d2w(x)dx2=1EIZL02M(s,x)x2Mp(s)ds(6)又由于M(s,x)=s(x L)L+MA+MBMALs,0 6 s xx(s L)L+MA+MBMALs,x s 6 L(7)得到M(s,x)x=sL+x?MA+MBMALs,0 6 s xs LL+x?MA+MBMALs,x s 6 L(8)鉴于MA，MB与 x 的线性关系，x?MA+MBMALs与 x 无关，进一步得到2M(s,x)x2

9、=(s x)(9)(s)为狄拉克 函数3.根据其性质d2w(x)dx2=1EIZL0(s x)Mp(s)ds=Mp(x)EI(10)即验证了单位载荷法的解满足微分方程.还须进一步验证边界条件.当 x=0 时，MB=MA=0，QA=1，QB=0，M(s,x)=0；x=L 时，MB=MA=0，QA=0，72力学与实践2013 年 第35 卷QB=1，M(s,x)=0.因此由虚力原理方程可以得到w(0)=vA,w(L)=vB.另外，当 x=L 时，根据MB=MA=0 以及式(8)，得到M(s,x)x=sL.再由式(5)，对 w(x)求一阶导数，可得dwdxflflflflx=L=vB vAL+1EI

10、ZL0sLMp(s)ds(11)由引理可见dwdxflflflflx=L=B；同理可证dwdxflflflflx=0=A.综上，边界条件也得到验证.单位力偶作用在杆件上求解转角分布也可以依此法进行证明.4总 结单位载荷法的理论依据为虚力原理，该方法的使用与材料本构关系无关；而积分法的理论依据为小挠度微分方程，是在材料服从胡克定律的前提下得到的.上述推证从数学上论证了在材料满足胡克定律时，积分法与单位载荷法在求解杆系结构弹性位移上的一致性.在实际工程问题求解时，应视方便选择具体的方法.参 考 文 献1 范钦珊.材料力学.北京:高等教育出版社,20002 龙驭球,包世华.结构力教程 I.北京:高等

11、教育出版社,20003 数学手册编写组.数学手册.北京:高等教育出版社,2006(责任编辑:胡 漫)计算机绘制无铰拱影响线的解析法1)摘要 提出了用 Maple 编程绘制无铰拱影响线的解析法.绘制了抛物线无铰拱在单位竖向移动载荷作用下，3 个多余未知力的影响线；指定截面上的弯矩，剪力和轴力的影响线；支座水平约束力，垂直约束力及约束力矩的影响线.实例表明，利用 Maple 强大的符号运算功能，使用解析法绘制无铰拱影响线，速度快，方法简单，能同时给出影响线的解析表达式.关键词 无铰拱,超静定,影响线,弹性中心法,Maple中图分类号：U448.22文献标识码：ADOI：10.6052/1000-0

12、879-12-150引 言影响线是结构力学中重要内容，在求解结构受移动载荷(如桥梁要承受的列车、汽车等载荷，厂房中的吊车梁要承受吊车载荷)作用下指定量值时有广泛的应用，是确定最不利载荷位置的有效方法1-2.由于无铰拱的轴线为曲线，而且属于三次超静定结构，用传统手工方法绘影响线需要列表数值计算，计算繁琐，工作量大，很难准确而快捷地求解无铰拱弯矩影响线3-4.在国外大学及研究所，Maple 已广泛应用于工程实际、科研及教学中.叶志明等5介绍了计算机代数系统在研究和力学教学领域的应用.马开平等6收集了 Maple 在 11个领域的 27 个应用实例，许多都是很好的教学素材.邢静忠7采用 Maple

13、编程，编制了杆、梁、实体和板单元的有限元程序.向宏军等8探讨了 Maple 在结构力学教学中的应用.李银山9-10编著出版了Maple 理论力学、Maple材料力学 教材.本文应用 Maple 软件编程，采用解析法绘制计算了无铰拱的多余未知力、指定截面的内力和支座约束力的影响线.1计算机绘制无铰拱影响线的方法和步骤1.1 绘制无铰拱多余未知力影响线设有抛物线无铰拱，如图 1(a)所示.绘制无铰拱多余未知力影响线的步骤如下：(1)确定弹性中心的位置：计算刚臂长度 ys；把坐标原点移至弹性中心；(2)确定与载荷无关的常数；(3)确定(a)无铰拱三次超静定结构图 1 抛物线无铰拱20120409 收到第 1 稿，20130424 收到修改稿.1)国家自然科学基金(10872063),上海市重点学科建设(B503)资助项目.2)李彤，1962 年生，女，讲师，博士，研究方向为结构优化设计.E-mail: